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• Jorge Luis Narro Vasquez

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GEOTECNIA I

Problemas Para los problemas 12.1 al 12.5, use un peso específico del concreto, 𝛾𝑐 = 23.58 kN/m3. 1.2 Para el muro de retención en voladizo mostrado en la figura 12.30, las dimensiones son H = 8 m, 𝑥1 = 0.4 m, 𝑥2 = 0.6 m, 𝑥3 = 1.5 m, 𝑥4 = 3.5 𝑥5 = 0.96 3 m, D = 1.75 m y 𝛼 = 10°; las propiedades del suelo son 𝛾1 = 16.8 kN/m , 𝜙1 = 32°, 𝛾2= 17.6 kN/m3, 𝜙2 = 28° 𝑐2 = 30 kN/m2. Calcule los factores de seguridad respecto a volteo, deslizamiento y capacidad de carga.

RESOLUCION Con referencia a la figura 12.30, encontramos H´=H1+H+x5= 3.5 tan10° + 8 + 0.96 = 9.577 m La fuerza activa de Rankine por unidad de longitud del muro es: 𝑃𝑎 =

1 𝛾 H´2 𝐾𝑎 2 1

Para 𝜙1 = 32° y 𝛼 = 10°, Ka es igual a 0.321 (tabla 9.6). Entonces,

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GEOTECNIA I

1 (16.8)(9.577)2 (0.321) = 247.31 𝑘𝑁/𝑚 2 𝑃𝑣 = 𝑃𝑎 𝑠𝑒𝑛10° = 246.54(𝑠𝑒𝑛10°) = 42.94 𝑘𝑁/𝑚 𝑃ℎ = 𝑃𝑎 𝑐𝑜𝑠10° = 246.54(𝑐𝑜𝑠10°) = 243.55 𝑘𝑁/𝑚 𝑃𝑎 =

Factor de seguridad contra volteo La siguiente tabla se prepara ahora para determinar el momento resistente. Sección N°

Área (m2)

1 2 3 4 5

3.2 0.8 5.376 28 1.080

Peso / longitud Unitaria (kN/m)

Brazo de momento al punto C (m)

Momento (kN-m/m)

1.9 1.63 2.8 3.85 4.43 5.6

143.37 30.75 354.94 1811.04 80.38 240.46 ∑ 𝑀𝑅=2660.94

75.456 18.864 126.766 470.4 18.144 Pv=42.94 ∑ 𝑉= 752.57

Para el momento de volteo, obtenemos: 𝐻´ 9.577 𝑀o = 𝑃ℎ ( ) = 243.55 ( ) = 777.49 𝑘𝑁 − 𝑚/𝑚 3 3 Por consiguiente, 𝑭𝑺(𝒗𝒐𝒍𝒕𝒆𝒐) =

∑ 𝑀𝑅 2660.94 = = 𝟑. 𝟒𝟐 > 𝟏. 𝟓 𝑶𝑲 ∑ 𝑀o 777.49

Factor de seguridad contra deslizamiento De la ecuación (12.13), tenemos 𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) =

(∑ 𝑉) tan(𝑘1 𝜙1 ) + 𝐵𝑘2 𝑐2 + 𝑃𝑝 𝑃𝑎 𝑐𝑜𝑠𝛼

2

Sea 𝑘1 𝑦 𝑘2 = 3 , También, 1 𝑃𝑝 = 𝐾𝑝 𝛾2 𝐷2 + 2𝑐2 √𝐾𝑝 𝐷 2 Nota: La 𝑃𝑝 para este ejercicio se desprecia para poder trabajar el factor de seguridad en las condiciones más críticas, por lo que la fórmula del factor de seguridad nos quedaría:

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GEOTECNIA I

𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) =

𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) =

(∑ 𝑉) tan(𝑘1 𝜙1 ) + 𝐵𝑘2 𝑐2 𝑃𝑎 𝑐𝑜𝑠𝛼

(752.57) tan (

2𝑥28 2 ) + (5.6) ( 3 3) (30) 243.55

𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) = 𝟐. 𝟖𝟎 > 𝟏. 𝟓 𝑶𝑲 Factor de seguridad contra falla por capacidad de carga Momento neto de las fuerzas respecto al punto C 𝑀𝑛𝑒𝑡𝑜 = ∑ 𝑀𝑅 − ∑ 𝑀𝑜 𝑀𝑛𝑒𝑡𝑜 = 2660.94 − 777.49 = 1883.45 Calculo de la distancia en donde intersecta la resultante “R” con la loza, tomada desde el punto C.

̅̅̅̅ = 𝑥̅ = 𝐶𝐸

𝑀𝑛𝑒𝑡𝑜 1883.45 = = 2.50 𝑚 ∑𝑉 752.57

Por consiguiente la excentricidad de la resultante “R” se expresa como: 𝑒= 𝑒=

𝐵 − ̅̅̅̅ 𝐶𝐸 2

5.6 𝐵 − 2.50 = 𝟎. 𝟑 𝒎 < = 0.93 𝑚 2 6

De nuevo, de las ecuaciones (12.22) y (12.23), 𝑞𝑝𝑢𝑛𝑡𝑎 =

∑𝑉 6𝑒 752.57 6(0.3) (1 + ) = (1 + ) = 177.58 𝑘𝑁/𝑚2 𝐵 𝐵 5.6 5.6

𝑞𝑡𝑎𝑙𝑜𝑛 =

∑𝑉 6𝑒 752.57 6(0.3) (1 − ) = (1 − ) = 91.19 𝑘𝑁/𝑚2 𝐵 𝐵 5.6 5.6

La capacidad de carga última del suelo se determina con la ecuación (12.24): 1 𝑞𝑢 = 𝑐2𝑁𝑐𝐹𝑐𝑑𝐹𝑐𝑖 + 𝑞𝑁𝑞𝐹𝑞𝑑 𝐹𝑞𝑖 + 𝛾2 𝐵′𝑁𝛾 𝐹𝛾𝑑 𝐹𝛾𝑖 2

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GEOTECNIA I

Para 𝜙2 = 28°, encontramos 𝑁𝑐 = 25.80, 𝑁𝑞= 14.72 Y 𝑁𝛾 = 16.72 (tabla 11.1). También 𝑞 = 𝛾2 𝐷 = (17.6)(1.75) = 30.8 𝑘𝑁/𝑚2 𝐵´ = 𝐵 − 2𝑒 = 5.6 − 2(0.3) = 5 𝑚 𝐷 1.75 𝐹𝑐𝑑 = 1 + 0.4 ( ) = 1 + 0.4 ( ) = 1.14 𝐵´ 5 𝐷 1.75 𝐹𝑞𝑑 = 1 + 2 tan 𝜙2 (1 − 𝑠𝑒𝑛𝜙2 )2 ( ) = 1 + 2 tan 28° (1 − 𝑠𝑒𝑛28°)2 ( ) = 1.10 𝐵´ 5 𝐹𝛾𝑑 = 1 𝜓° 2 𝐹𝑐𝑖 = 𝐹𝑞𝑖 = (1 − ) 90° 𝜓 = 𝑡𝑎𝑛−1 (

𝑃𝑎 cos 𝛼 243.55 ) = 𝑡𝑎𝑛−1 ( ) = 17.93° ∑𝑉 752.57

Por lo que 𝐹𝑐𝑖 = 𝐹𝑞𝑖 = (1 −

𝐹𝛾𝑖 = (1 −

17.93 2 ) = 0.64 90°

𝜓 2 17.93 2 ) = (1 − ) = 0.129 𝜙2 28

Por consiguiente: 1 𝑞𝑢 = (30)(25.80)(1.14)(0.64) + (30.8)(14.72)(1.10)(0.64) + (17.6)(5)(16.72)(1)(0.129) 2

𝑞𝑢 = 564.71 + 319.18 + 94.90 = 978.79 𝑘𝑁/𝑚2

𝑭𝑺(𝒄𝒂𝒑𝒂𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂) =

𝑞𝑢 𝑞𝑝𝑢𝑛𝑡𝑎

=

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978.79 = 𝟓. 𝟓 > 3 𝑂𝐾 177.58

GEOTECNIA I

12.2. Resuelva el problema 12.1 para las dimensiones del muro H = 6 m, 𝑥1 = 0.3 m, 𝑥2 = 0.7 m, 𝑥3 = 1.4 m, 𝑥4 = 2.3 m, 𝑥5 = 0.85 m, D = 1.25 m 𝛼 = 5°; las propiedades del suelo son 𝛾1 = 18.4 kN/m3, 𝜙1 = 34°, 𝛾2= 16.8 kN/m3, 𝜙2 = 18° 𝑐2 = 50 kN/m2 RESOLUCION Con referencia a la figura 12.30, encontramos H´=H1+H+x5= 2.3 tan5° + 6 + 0.85 = 7.051 m La fuerza activa de Rankine por unidad de longitud del muro es: 𝑃𝑎 =

1 𝛾 H´2 𝐾𝑎 2 1

Para 𝜙1 = 34° y 𝛼 = 5°, Ka es igual a 0.286 (tabla 9.6). Entonces, 1 (18.4)(7.051)2 (0.286) = 130.81 𝑘𝑁/𝑚 2 𝑃𝑣 = 𝑃𝑎 𝑠𝑒𝑛5° = 130.81(𝑠𝑒𝑛5°) = 11.40 𝑘𝑁/𝑚 𝑃ℎ = 𝑃𝑎 𝑐𝑜𝑠5° = 130.81(𝑐𝑜𝑠5°) = 130.31 𝑘𝑁/𝑚 𝑃𝑎 =

Factor de seguridad contra volteo La siguiente tabla se prepara ahora para determinar el momento resistente. Sección N°

Área (m2)

Peso / longitud Unitaria (kN/m)

1 2 3 4 5

1.8 1.2 3.44 13.8 0.23

42.444 28.296 88.189 253.92 4.232 Pv=42.92 ∑ 𝑉= 460.0

Brazo de momento al punto C (m)

Momento (kN-m/m)

1.95 1.66 2.2 3.25 3.63 4.4

82.76 46.97 194.01 825.24 15.36 188.848 ∑ 𝑀𝑅=1353.19

Para el momento de volteo, obtenemos: 𝐻´ 7.051 𝑀o = 𝑃ℎ ( ) = 130.31 ( ) = 306.27 𝑘𝑁 − 𝑚/𝑚 3 3

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GEOTECNIA I

Por consiguiente, 𝑭𝑺(𝒗𝒐𝒍𝒕𝒆𝒐) =

∑ 𝑀𝑅 1353.19 = = 𝟒. 𝟒𝟐 > 𝟏. 𝟓 𝑶𝑲 ∑ 𝑀o 306.27

Factor de seguridad contra deslizamiento De la ecuación (12.13), tenemos 𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) =

(∑ 𝑉) tan(𝑘1 𝜙2 ) + 𝐵𝑘2 𝑐2 + 𝑃𝑝 𝑃𝑎 𝑐𝑜𝑠𝛼

2

Sea 𝑘1 𝑦 𝑘2 = 3 , Tambien, 1 𝑃𝑝 = 𝐾𝑝 𝛾2 𝐷2 + 2𝑐2 √𝐾𝑝 𝐷 2 Nota: La 𝑃𝑝 para este ejercicio se desprecia para poder trabajar el factor de seguridad en las condiciones más críticas, por lo que la fórmula del factor de seguridad nos quedaría:

𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) =

𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) =

(∑ 𝑉) tan(𝑘1 𝜙2 ) + 𝐵𝑘2 𝑐2 𝑃𝑎 𝑐𝑜𝑠𝛼 2𝑥18 2 3 ) + (4.4) (3) (50) 130.31

(460.0) tan (

𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) = 𝟏. 𝟖𝟕 > 𝟏. 𝟓 𝑶𝑲 Factor de seguridad contra falla por capacidad de carga Momento neto de las fuerzas respecto al punto C 𝑀𝑛𝑒𝑡𝑜 = ∑ 𝑀𝑅 − ∑ 𝑀𝑜 𝑀𝑛𝑒𝑡𝑜 = 1353.19 − 306.27 = 1046.92 Calculo de la distancia en donde intersecta la resultante “R” con la loza, tomada desde el punto C.

̅̅̅̅ 𝐶𝐸 = 𝑥̅ =

𝑀𝑛𝑒𝑡𝑜 1046.92 = = 2.27 𝑚 ∑𝑉 460.0

Página 6

GEOTECNIA I

Por consiguiente la excentricidad de la resultante “R” se expresa como: 𝑒= 𝑒=

𝐵 − ̅̅̅̅ 𝐶𝐸 2

4.4 𝐵 − 2.27 = −𝟎. 𝟎𝟕 𝒎 < = 0.73 𝑚 2 6

De nuevo, de las ecuaciones (12.22) y (12.23), 𝑞𝑝𝑢𝑛𝑡𝑎 = 𝑞𝑡𝑎𝑙𝑜𝑛 =

∑𝑉 6𝑒 460.0 6(−0.07) (1 + ) = (1 + ) = 94.57 𝑘𝑁/𝑚2 𝐵 𝐵 4.4 4.4

∑𝑉 6𝑒 460.0 6(−0.07) (1 − ) = (1 − ) = 114.52 𝑘𝑁/𝑚2 𝐵 𝐵 4.4 4.4

La capacidad de carga última del suelo se determina con la ecuación (12.24): 1 𝑞𝑢 = 𝑐2𝑁𝑐𝐹𝑐𝑑𝐹𝑐𝑖 + 𝑞𝑁𝑞𝐹𝑞𝑑 𝐹𝑞𝑖 + 𝛾2 𝐵′𝑁𝛾 𝐹𝛾𝑑 𝐹𝛾𝑖 2 Para 𝜙2 = 18°, encontramos 𝑁𝑐 = 13.10, 𝑁𝑞= 5.26 Y 𝑁𝛾 = 4.07 (tabla 11.1). También 𝑞 = 𝛾2 𝐷 = (16.8)(1.25) = 21 𝑘𝑁/𝑚2 𝐵´ = 𝐵 − 2𝑒 = 4.4 − 2(−0.07) = 4.54 𝑚 𝐷 1.25 𝐹𝑐𝑑 = 1 + 0.4 ( ) = 1 + 0.4 ( ) = 1.11 𝐵´ 4.54 𝐷 1.25 𝐹𝑞𝑑 = 1 + 2 tan 𝜙2 (1 − 𝑠𝑒𝑛𝜙2 )2 ( ) = 1 + 2 tan 18° (1 − 𝑠𝑒𝑛18°)2 ( ) = 1.08 𝐵´ 4.54 𝐹𝛾𝑑 = 1 𝜓° 2 𝐹𝑐𝑖 = 𝐹𝑞𝑖 = (1 − ) 90° 𝜓 = 𝑡𝑎𝑛−1 (

𝑃𝑎 cos 𝛼 130.31 ) = 𝑡𝑎𝑛−1 ( ) = 15.82° ∑𝑉 460.0

Por lo que 15.82 2 𝐹𝑐𝑖 = 𝐹𝑞𝑖 = (1 − ) = 0.67 90°

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GEOTECNIA I

𝜓 2 15.82 2 𝐹𝛾𝑖 = (1 − ) = (1 − ) = 0.015 𝜙2 18 Por consiguiente: 1 𝑞𝑢 = (50)(13.10)(1.11)(0.67) + (21)(2.26)(1.08)(0.67) + (16.8)(4.54)(4.07)(1)(0.015) 2

𝑞𝑢 = 487.12 + 34.34 + 2.33 = 523.79 𝑘𝑁/𝑚2

𝑭𝑺(𝒄𝒂𝒑𝒂𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂) =

𝑞𝑢 523.79 = = 𝟒. 𝟓𝟕 > 3 𝑂𝐾 𝑞𝑚𝑎𝑥 114.52

12.3 Resuelva el problema 12.1 con las dimensiones del H = 5.49 m, 𝑥1 = 0.46 m, 𝑥2 = 0.58 m, 𝑥3 = 0.92 m, 𝑥4 = 1.55 m, 𝑥5 = 0.61 m, D = 1.22 m 𝛼 = 0°; las propiedades del suelo son 𝛾1 = 18.08 kN/m3, 𝜙1 = 36°, 𝛾2 = 19.65 kN/m3, 𝜙2 = 15° 𝑐2 = 44 kN/m2

Página 8

GEOTECNIA I

RESOLUCION Con referencia a la figura 12.30, encontramos H´=H+x5= 5.49 + 0.61 = 6.1 m La fuerza activa de Rankine por unidad de longitud del muro es: 𝑃𝑎 =

1 𝛾 H´2 𝐾𝑎 2 1

Para 𝜙1 = 36° y 𝛼 = 0°, Ka es igual a 0.260 (tabla 9.6). Entonces, 1 𝑃𝑎 = (18.08)(6.1)2 (0.260) = 87.46 𝑘𝑁/𝑚 2 𝑃𝑣 = 𝑃𝑎 𝑠𝑒𝑛5° = 87.46 (𝑠𝑒𝑛0°) = 0 𝑘𝑁/𝑚 𝑃ℎ = 𝑃𝑎 𝑐𝑜𝑠5° = 87.46 (𝑐𝑜𝑠0°) = 87.46 𝑘𝑁/𝑚 Factor de seguridad contra volteo La siguiente tabla se prepara ahora para determinar el momento resistente. Sección N°

Área (m2)

Peso / longitud Unitaria (kN/m)

Brazo de momento al punto C (m)

Momento (kN-m/m)

1 2 3 4

2.525 0.329 1.860 8.510

59.540 7.758 43.859 153.861 ∑ 𝑉= 265.018

1.27 1 1.525 2.275

75.62 7.76 66.88 350.03 ∑ 𝑀𝑅=500.29

Para el momento de volteo, obtenemos: 𝐻´ 6.1 𝑀o = 𝑃ℎ ( ) = 87.46 ( ) = 177.84 𝑘𝑁 − 𝑚/𝑚 3 3 Por consiguiente, 𝑭𝑺(𝒗𝒐𝒍𝒕𝒆𝒐) =

∑ 𝑀𝑅 500.29 = = 𝟐. 𝟖𝟏 > 𝟏. 𝟓 𝑶𝑲 ∑ 𝑀o 177.84

Página 9

GEOTECNIA I

Factor de seguridad contra deslizamiento De la ecuación (12.13), tenemos 𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) =

(∑ 𝑉) tan(𝑘1 𝜙2 ) + 𝐵𝑘2 𝑐2 + 𝑃𝑝 𝑃𝑎 𝑐𝑜𝑠𝛼

2

Sea 𝑘1 𝑦 𝑘2 = 3 , Tambien, 1 𝑃𝑝 = 𝐾𝑝 𝛾2 𝐷2 + 2𝑐2 √𝐾𝑝 𝐷 2 Nota: La 𝑃𝑝 para este ejercicio se desprecia para poder trabajar el factor de seguridad en las condiciones más críticas, por lo que la fórmula del factor de seguridad nos quedaría:

𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) =

𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) =

(∑ 𝑉) tan(𝑘1 𝜙2 ) + 𝐵𝑘2 𝑐2 𝑃𝑎 𝑐𝑜𝑠𝛼

(265.018) tan (

2𝑥15 2 3 ) + (3.05) (3) (44) 87.46

𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) = 𝟏. 𝟓𝟔 > 𝟏. 𝟓 𝑶𝑲 Factor de seguridad contra falla por capacidad de carga Momento neto de las fuerzas respecto al punto C 𝑀𝑛𝑒𝑡𝑜 = ∑ 𝑀𝑅 − ∑ 𝑀𝑜 𝑀𝑛𝑒𝑡𝑜 = 500.29 − 177.84 = 322.45 Calculo de la distancia en donde intersecta la resultante “R” con la loza, tomada desde el punto C.

̅̅̅̅ = 𝑥̅ = 𝐶𝐸

𝑀𝑛𝑒𝑡𝑜 322.45 = = 1.22 𝑚 ∑𝑉 265.018

Por consiguiente la excentricidad de la resultante “R” se expresa como: 𝑒=

𝐵 − ̅̅̅̅ 𝐶𝐸 2

Página 10

GEOTECNIA I

3.05 𝐵 − 1.22 = 𝟎. 𝟑𝟎𝟓 𝒎 < = 0.51 𝑚 2 6 De nuevo, de las ecuaciones (12.22) y (12.23), 𝑒=

𝑞𝑝𝑢𝑛𝑡𝑎 =

∑𝑉 6𝑒 265.018 6(0.305) (1 + ) = (1 + ) = 139.02 𝑘𝑁/𝑚2 𝐵 𝐵 3.05 3.05

𝑞𝑡𝑎𝑙𝑜𝑛 =

∑𝑉 6𝑒 265.018 6(0.305) (1 − ) = (1 − ) = 34.76 𝑘𝑁/𝑚2 𝐵 𝐵 3.05 3.05

La capacidad de carga última del suelo se determina con la ecuación (12.24): 1 𝑞𝑢 = 𝑐2𝑁𝑐𝐹𝑐𝑑𝐹𝑐𝑖 + 𝑞𝑁𝑞𝐹𝑞𝑑 𝐹𝑞𝑖 + 𝛾2 𝐵′𝑁𝛾 𝐹𝛾𝑑 𝐹𝛾𝑖 2 Para 𝜙2 = 15°, encontramos 𝑁𝑐 = 10.98, 𝑁𝑞= 3.94 Y 𝑁𝛾 = 2.65 (tabla 11.1). También 𝑞 = 𝛾2 𝐷 = (19.65)(1.22) = 23.973 𝑘𝑁/𝑚2 𝐵´ = 𝐵 − 2𝑒 = 3.05 − 2(0.305) = 2.44 𝑚 𝐷 1.22 𝐹𝑐𝑑 = 1 + 0.4 ( ) = 1 + 0.4 ( ) = 1.22 𝐵´ 2.44 𝐷 1.22 𝐹𝑞𝑑 = 1 + 2 tan 𝜙2 (1 − 𝑠𝑒𝑛𝜙2 )2 ( ) = 1 + 2 tan 15° (1 − 𝑠𝑒𝑛15°)2 ( ) = 1.15 𝐵´ 2.44 𝐹𝛾𝑑 = 1 𝐹𝑐𝑖 = 𝐹𝑞𝑖 = (1 −

𝜓° 2 ) 90°

𝑃𝑎 cos 𝛼 87.46 𝜓 = 𝑡𝑎𝑛−1 ( ) = 𝑡𝑎𝑛−1 ( ) = 18.26° ∑𝑉 265.018 Por lo que 18.26° 2 𝐹𝑐𝑖 = 𝐹𝑞𝑖 = (1 − ) = 0.64 90° 𝜓 2 18.26 2 𝐹𝛾𝑖 = (1 − ) = (1 − ) = 0.05 𝜙2 15 Por consiguiente:

Página 11

GEOTECNIA I

𝑞𝑢 = (44)(10.98)(1.2)(0.64) + (23.973)(3.94)(1.15)(0.64) 1 + (19.65)(2.44)(2.65)(1)(0.05) 2

𝑞𝑢 = 371.04 + 69.52 + 3.18 = 443.74 𝑘𝑁/𝑚2

𝑭𝑺(𝒄𝒂𝒑𝒂𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂) =

𝑞𝑢 443.74 = = 𝟑. 𝟏𝟗 > 3 𝑂𝐾 𝑞𝑚𝑎𝑥 139.02

12.4 En la figura 12.31 se muestra un muro de retención de gravedad. Calcule los factores de seguridad con respecto a volteo y deslizamiento. Las dimensiones del muro son H = 6 m, x1 = 0.6 m, x2 = 0.2 m, x3 = 2 m, x4 = 0.5 m, x5 = 0.75 m, x6 = 0.8 m y D = 1.5 m; las propiedades del suelo son 𝛾1 = 16.5 kN/m3, 𝜙1 = 32°, 𝛾2 = 18 kN/m3, 𝜙2 = 22° Y 𝑐2 = 40 kN/m2. Use para el cálculo la presión activa de Rankine.

RESOLUCION Con referencia a la figura 12.31, encontramos: H´=H+x6= 6 + 0.8 = 6.8 m Página 12

GEOTECNIA I

La fuerza activa de Rankine por unidad de longitud del muro es: 𝑃𝑎 =

1 𝛾 H´2 𝐾𝑎 2 1

Para 𝜙1 = 32° y 𝛼 = 0°, Ka es igual a 0.307 (tabla 9.6). Entonces, 1 𝑃𝑎 = (16.5)(6.8)2 (0.307) = 117.11 𝑘𝑁/𝑚 2 𝑃𝑣 = 𝑃𝑎 𝑠𝑒𝑛0° = 117.11 (𝑠𝑒𝑛0°) = 0 𝑘𝑁/𝑚 𝑃ℎ = 𝑃𝑎 𝑐𝑜𝑠0° = 117.11 (𝑐𝑜𝑠0°) = 117.11 𝑘𝑁/𝑚 Factor de seguridad contra volteo La siguiente tabla se prepara ahora para determinar el momento resistente. Sección N°

Área (m2)

Peso / longitud Unitaria (kN/m)

Brazo de momento al punto C (m)

Momento (kN-m/m)

1 2 3 4 5 6

6 3.6 0.6 3.24 6 4.5

141.48 84.888 14.15 76.40 99 74.25 ∑ 𝑉= 490.168

1.97 1 0.63 2.025 2.63 3.675

278.72 84.89 8.91 154.71 260.37 272.87 ∑ 𝑀𝑅=1060.47

Para el momento de volteo, obtenemos: 𝑀o = 𝑃ℎ (

𝐻´ 6.8 ) = 117.11 ( ) = 265.45 𝑘𝑁 − 𝑚/𝑚 3 3

Por consiguiente, 𝑭𝑺(𝒗𝒐𝒍𝒕𝒆𝒐) =

∑ 𝑀𝑅 1060.47 = = 𝟑. 𝟗𝟗 > 𝟏. 𝟓 𝑶𝑲 ∑ 𝑀o 265.45

Factor de seguridad contra deslizamiento De la ecuación (12.13), tenemos 𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) =

(∑ 𝑉) tan(𝑘1 𝜙2 ) + 𝐵𝑘2 𝑐2 + 𝑃𝑝 𝑃𝑎 𝑐𝑜𝑠𝛼

Página 13

GEOTECNIA I

2

Sea 𝑘1 𝑦 𝑘2 = 3 , Tambien, 1 𝑃𝑝 = 𝐾𝑝 𝛾2 𝐷2 + 2𝑐2 √𝐾𝑝 𝐷 2 Nota: La 𝑃𝑝 para este ejercicio se desprecia para poder trabajar el factor de seguridad en las condiciones más críticas, por lo que la fórmula del factor de seguridad nos quedaría:

𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) =

𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) =

(∑ 𝑉) tan(𝑘1 𝜙2 ) + 𝐵𝑘2 𝑐2 𝑃𝑎 𝑐𝑜𝑠𝛼

(490.168) tan (

2𝑥22 2 3 ) + (4.05) (3) (40) 117.11

𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) = 𝟐. 𝟎𝟐 > 𝟏. 𝟓 𝑶𝑲

12.5 Resuelva el problema 12.4 usando para el cálculo la presión activa de Coulomb y 2 𝛿 = 3𝜙

Página 14

GEOTECNIA I

Con referencia a la figura 12.31, encontramos: H´=H+x6= 6 + 0.8 = 6.8 m La fuerza activa de Coulomb por unidad de longitud del muro es: 𝑃𝑎 =

1 𝛾 H´2 𝐾𝑎 2 1

2

Para y 𝛼 = 0°,𝜃 =18°,𝛿 = 3 𝜙 ,𝜙1 = 32° Ka es igual a: 𝑐𝑜𝑠 2 (𝜙 − 𝜃)

𝐾𝑎 =

2

𝑐𝑜𝑠 2 𝜃

𝑠𝑒𝑛(𝛿 + 𝜙)𝑠𝑒𝑛(𝜙 − 𝛼) ⌋ 𝑐𝑜𝑠(𝛿 + 𝜙)𝑐𝑜𝑠(𝜙 − 𝛼)

cos(𝛿 + 𝜃) ⌊1 + √

𝑐𝑜𝑠 2 (32 − 18)

𝐾𝑎 =

2

𝑐𝑜𝑠 2 18

𝑠𝑒𝑛(21.33 + 32)𝑠𝑒𝑛(32 − 0) cos(21.33 + 𝜃18) ⌊1 + √ ⌋ 𝑐𝑜𝑠(21.33 + 32)𝑐𝑜𝑠(32 − 0) 𝐾𝑎 = 0.4339

1 𝑃𝑎 = (16.5)(6.8)2 (0.4339) = 165.52 𝑘𝑁/𝑚 2 2 𝑃𝑣 = 𝑃𝑎 𝑠𝑒𝑛 (18 + 𝜙1 ) = 165.52 (𝑠𝑒𝑛39.33) = 104.91𝑘𝑁/𝑚 3 2 𝑃ℎ = 𝑃𝑎 𝑐𝑜𝑠(18 + 𝜙1 ) = 165.52 (𝑐𝑜𝑠39.33) = 128.03 𝑘𝑁/𝑚 3 Factor de seguridad contra volteo La siguiente tabla se prepara ahora para determinar el momento resistente. Sección N°

Área (m2)

1 2 3 4

6 3.6 0.6 3.24

Peso / longitud Unitaria (kN/m)

141.48 84.888 14.148 76.399 Pv=104.91 ∑ 𝑉= 421.83

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Brazo de momento al punto C (m)

Momento (kN-m/m)

1.97 1 0.63 2.025 2.9

278.72 84.89 8.91 154.71 304.24 ∑ 𝑀𝑅=831.47

GEOTECNIA I

Para el momento de volteo, obtenemos: 𝑀o = 𝑃ℎ (

𝐻´ 6.8 ) = 128.03 ( ) = 290.20 𝑘𝑁 − 𝑚/𝑚 3 3

Por consiguiente, 𝑭𝑺(𝒗𝒐𝒍𝒕𝒆𝒐) =

∑ 𝑀𝑅 831.47 = = 𝟐. 𝟖𝟔 > 𝟏. 𝟓 𝑶𝑲 ∑ 𝑀o 290.20

Factor de seguridad contra deslizamiento De la ecuación (12.13), tenemos 𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) =

(∑ 𝑉) tan(𝑘1 𝜙2 ) + 𝐵𝑘2 𝑐2 + 𝑃𝑝 𝑃𝑎 𝑐𝑜𝑠𝛼

2

Sea 𝑘1 𝑦 𝑘2 = 3 , Tambien, 1 𝑃𝑝 = 𝐾𝑝 𝛾2 𝐷2 + 2𝑐2 √𝐾𝑝 𝐷 2 Nota: La 𝑃𝑝 para este ejercicio se desprecia para poder trabajar el factor de seguridad en las condiciones más críticas, por lo que la fórmula del factor de seguridad nos quedaría:

𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) =

𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) =

(∑ 𝑉) tan(𝑘1 𝜙2 ) + 𝐵𝑘2 𝑐2 𝑃𝑎 𝑐𝑜𝑠𝛼 2𝑥22 2 ) + (4.05) ( 3 3) (40) 128.03

(421.83) tan (

𝑭𝑺(𝒅𝒆𝒔𝒍𝒊𝒛𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐) = 𝟏. 𝟕𝟎 > 𝟏. 𝟓 𝑶𝑲

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GEOTECNIA I

12.6 Refiérase al corte apuntalado en la figura 12.32, para el cual 𝛾= 17.6 kN/m3, 𝜙= 32° y 𝑐 =0. Los puntales están localizados a 4 m entre centros en planta. Dibuje la envolvente de presión de tierra y determine las cargas de los puntales en los niveles A, B Y C.

H

RESOLUCION Envolvente de presión de tierra Por tratarse de un material que no presenta cohesión, la envolvente de la presión de tierra mostrada en la figura 12.15 es aplicable. Por consiguiente

𝜎 = 0.65𝛾𝐻𝐾𝑎

𝜙 32 𝐾𝑎 = 𝑡𝑎𝑛2 (45 − ) = 𝑡𝑎𝑛2 (45 − ) = 0.307 2 2 𝜎 = 0.65(17.6)(9)(0.307) = 31.61 𝑘𝑁/𝑚2

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GEOTECNIA I

Cargas en los puntales A, B y C Para esto nos referimos a la figura:

∑ 𝑀𝐵1 = 0 31.61(5)(2.5) − 𝐴(3) = 0 𝐴 = 131.71 𝑘𝑁/𝑚

∑ 𝑀𝐵2 = 0 𝐶(3) − 31.6(4)(2) = 0 𝐶 = 84.27 𝑘𝑁/𝑚

∑ 𝐹𝑦 = 0 𝐴 + 𝐵1 − 31.6(5) = 0 𝐵1 = 26.34 𝑘𝑁/𝑚

∑ 𝐹𝑦 = 0

𝐵2 + 𝐶 − 31.6(4) = 0 𝐵2 = 42.13 𝑘𝑁/𝑚

Las cargas en los puntales son: 𝑃𝐴 = 𝐴(𝑠) = 131.71(4) = 𝟓𝟐𝟔. 𝟖𝟒 𝒌𝑵 𝑃𝐵 = (𝐵1 + 𝐵2 )(𝑠) = (26.34 + 42.13)(4) = 𝟓𝟐𝟔. 𝟖𝟒 𝒌𝑵 𝑃𝐴 = 𝐶(𝑠) = 84.27(4) = 𝟑𝟑𝟕. 𝟎𝟖 𝒌𝑵

12.7 Para el corte apuntalado descrito en el problema 12.6, suponga que 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 172 MN/m2. a. Determine la sección de la tablaestaca. b. ¿Cuál es el módulo de sección de los largueros en el nivel A?

RESOLUCION Parte a: Nos basamos en los diagramas de fuerzas cortantes para calcular la magnitud de los momentos con respecto a cada puntal.

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GEOTECNIA I

Calculamos x1 y x2 𝑥1 =

26.34 = 0.83𝑚 31.61

𝑥2 =

42.13 = 1.33𝑚 31.61

Los momentos son entonces: 1 𝑀𝐴 = (63.22)(2) = 63.22 𝑘𝑁 − 𝑚 2 1 𝑀𝐵1 = (26.34)(0.83) = 10.97 𝑘𝑁 − 𝑚 2 1 𝑀𝐵2 = (42.13)(1.33) = 28.08 𝑘𝑁 − 𝑚 2 1 𝑀𝐶 = (31.57)(1) = 15.78 𝑘𝑁 − 𝑚 2 𝑀𝐴 es el máximo , por lo que 𝑆𝑥 =

𝑀𝑚𝑎𝑥 0.06322 = = 𝟑. 𝟔𝟖 𝒙 𝟏𝟎−𝟒 𝒎𝟑 /𝒎 𝜎𝑎𝑑𝑚 172

Parte b: Para el larguero en el nivel A, 𝑀𝑚𝑎𝑥 = 𝑆𝑥 =

𝐴(𝑠 2 ) (131.71)(42 ) = = 263.42 𝑘𝑁 − 𝑚 8 8 𝑀𝑚𝑎𝑥 0.263 = = 𝟏. 𝟓𝟑𝒙 𝟏𝟎−𝟑 𝒎𝟑 /𝒎 𝜎𝑎𝑑𝑚 172

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GEOTECNIA I

12.8 Resuelva el problema 12.6 para 𝛾= 18.2 kN/m3, 𝜙= 35°, 𝑐=0 y un espaciamiento de puntales centro a centro en planta de 3m.

RESOLUCION Envolvente de presión de tierra Por tratarse de un material que no presenta cohesión, la envolvente de la presión de tierra mostrada en la figura 12.15 es aplicable. Por consiguiente

𝜎 = 0.65𝛾𝐻𝐾𝑎

𝜙 35 𝐾𝑎 = 𝑡𝑎𝑛2 (45 − ) = 𝑡𝑎𝑛2 (45 − ) = 0.271 2 2 𝜎 = 0.65(18.2)(9)(0.271) = 28.85 𝑘𝑁/𝑚2

Cargas en los puntales A, B y C Para esto nos referimos a la figura:

∑ 𝑀𝐵1 = 0 28.85(5)(2.5) − 𝐴(3) = 0 𝐴 = 120.21 𝑘𝑁/𝑚

∑ 𝑀𝐵2 = 0 𝐶(3) − 28.85(4)(2) = 0 𝐶 = 76.93 𝑘𝑁/𝑚

∑ 𝐹𝑦 = 0 𝐴 + 𝐵1 − 28.85(5) = 0 𝐵1 = 24.04𝑘𝑁/𝑚

∑ 𝐹𝑦 = 0

𝐵2 + 𝐶 − 28.85(4) = 0 𝐵2 = 38.47 𝑘𝑁/𝑚 Página 20

GEOTECNIA I

Las cargas en los puntales son: 𝑃𝐴 = 𝐴(𝑠) = 120.21(3) = 𝟑𝟔𝟎. 𝟔𝟑 𝒌𝑵 𝑃𝐵 = (𝐵1 + 𝐵2 )(𝑠) = (24.04𝑘𝑁 + 38.473)(3) = 𝟏𝟖𝟕. 𝟓𝟑 𝒌𝑵 𝑃𝐶 = 𝐶(𝑠) = 76.93(3) = 𝟐𝟑𝟎. 𝟕𝟗 𝒌𝑵 Parte a: Nos basamos en los diagramas de fuerzas cortantes para calcular la magnitud de los momentos con respecto a cada puntal.

Calculamos x1 y x2 𝑥1 =

24.04 = 0.83𝑚 28.85

𝑥2 =

38.473 = 1.33𝑚 28.85

Los momentos son entonces: 1 𝑀𝐴 = (57.7)(2) = 57.7 𝑘𝑁 − 𝑚 2 1 𝑀𝐵1 = (24.04)(0.83) = 9.98 𝑘𝑁 − 𝑚 2 1 𝑀𝐵2 = (38.473)(1.33) = 25.58 𝑘𝑁 − 𝑚 2 1 𝑀𝐶 = (28.85)(1) = 14.42 𝑘𝑁 − 𝑚 2 𝑀𝐴 es el máximo, por lo que 𝑆𝑥 =

𝑀𝑚𝑎𝑥 0.0577 = = 𝟑. 𝟑𝟓 𝒙 𝟏𝟎−𝟒 𝒎𝟑 /𝒎 𝜎𝑎𝑑𝑚 172

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GEOTECNIA I

Parte b: Para el larguero en el nivel A, 𝑀𝑚𝑎𝑥

𝐴(𝑠 2 ) (120.21 )(32 ) = = = 135.24 𝑘𝑁 − 𝑚 8 8

𝑆𝑥 =

𝑀𝑚𝑎𝑥 0.135 = = 𝟕. 𝟖𝟔 𝒙 𝟏𝟎−𝟒 𝒎𝟑 /𝒎 𝜎𝑎𝑑𝑚 172

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