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• Jean Carlos Peña Calle

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PROBLEMAS DE ELASTICIDAD 01. Suponga que el módulo de Young para un hueso es 1,5 x 10 10 N/m2 y que el hueso se fracturará si se ejercen más de 1,5 x 108 N/m2. a) ¿Cuál es la fuerza máxima que puede ejercerse sobre el hueso fémur en la pierna si éste tiene un diámetro efectivo mínimo de 2,5 cm? b) Si esta gran fuerza se aplica comprensivamente, ¿cuánto se acorta un hueso de 25 cm de largo? Solución: a) Y = 1,5 x 1010 N/m2 σ = 1,5 x 108 N/m2 𝜎 𝑌= = 1,5 𝑥 1010 ∆𝐿

∆𝐿

→

𝐿0

𝐿0 Pero sabemos que: 𝜎 =

𝐹𝑚𝑎𝑥 𝐴

𝐹𝑚𝑎𝑥 𝐴 ∆𝐿 𝐿0

 𝑌=

Remplazando los valores tenemos: ∆𝐿

𝑌 .𝐿

0

=

𝐹𝑚𝑎𝑥

1,5 𝑥 1010 .



𝐴

=

1,5 𝑥 108 1,5 𝑥 1010

→

1,5 𝑥 108 10

1,5 𝑥 10

=

𝑌.

𝐹𝑚𝑎𝑥

∆𝐿 𝐿0

;

𝐴

=

𝐹𝑚𝑎𝑥 𝐴

2,5 𝑥 10−2

𝐴 = 𝜋(

2

2

) = 4.91 𝑥 10−4

𝑭𝒎𝒂𝒙 = 𝟕. 𝟑𝟔 𝒙 𝟏𝟎𝟒 𝑵 ∆𝐿

b) 𝑌 . 𝐿 = 0

𝐹𝑚𝑎𝑥 𝐴

→

7.36 𝑥 104 2 2,5 𝑥 10−2 ) 3.1416( 2

= 1,5 𝑥 1010 .

∆𝐿 25 𝑥 10−2

∆𝑳 = 𝟐, 𝟓𝟎 𝒎𝒎 02. La elastina es una proteína elástica encontrada en los vertebrados. Su módulo de Young es 6 x 105 N/m2. Si una muestra de elastina de 1 cm se estira hasta 3.6 cm de longitud por acción de una carga de 0.05 N, ¿cuál es el diámetro de la muestra? Solución 𝑌 = 6 𝑥 105 𝐹 = 0.05 𝑁 ∆𝐿 = 𝐿 − 𝐿0 = 3.6 𝑐𝑚 − 1 𝑐𝑚 = 2.6 𝑐𝑚

𝑌=

𝐹 𝐴 ∆𝐿 𝐿0

=

𝐹 𝐿0 ∆𝐿 𝐴

→

𝐴=

𝐷= √

𝐹 𝐿0 𝑌 ∆𝐿

→

𝜋𝐷2 4

=

𝐹 𝐿0 𝑌 ∆𝐿

4 (5𝑥10−2 ) (10−2 ) 5

−3

𝜋 (6𝑥10 ) (26𝑥10 )

→ 𝐷= √

= 2𝑥10−4 𝑚

4 𝐹 𝐿0 𝜋 𝑌 ∆𝐿

03. Una pierna humana puede considerarse como una barra de hueso de 1.2 m de largo. Si la deformación (o elongación) es de 1.3 x 10-4 cuando cada pierna soporta su peso, ¿Cuánto se acorta cada pierna? Solución 𝐿0 = 1.2 𝑚 𝜀 = 1.3 𝑥 10−4 𝑚 ∆𝐿 𝜀𝐿 = = 1.3 𝑥 10−4 𝐿0

→

∆𝐿 = 1.3 𝑥 10−4 . 𝐿0 ∆𝐿 = 1.3 𝑥 10−4 . (1,2) = 1.56 𝑥 10−4 ∆𝐿 = 1.56 𝑥 10−4 = 0.000156 𝑚

04. Un músculo bíceps del brazo derecho de cierta persona tiene un área máxima de su sección 12 cm2 ¿Cuál es la tensión en el músculo si se ejerce una fuerza de 300 N? Solución: A =12 cm2 = 1.2 x 10-3 m2

𝜎=

𝐹 300 = = 2.5 𝑥 105 𝑁/𝑚2 𝐴 1.2 𝑥 10−3

05. Evalúe el módulo de elasticidad para el material cuya curva de esfuerzo-tensión (o deformación) se muestra en la figura.

Solución: Por definición: 6 𝑁 𝜎 350 𝑥 10 𝑚2 𝑌= = 𝜀 3 𝑥 10−3

𝑌 = 1.67 𝑥 1011 𝑁⁄𝑚2

06. Suponga que las paredes del intestino son un cilindro elástico de 3 mm de grosor y que el tejido tiene módulo de Young, Y = 107 Pa. Su radio en estado de reposo es de 2 cm. Hallar la tensión por unidad de longitud a la que estarán sometidas las paredes del intestino cuando se dilata hasta 3 cm. Solución: L  2r

La longitud de la pared sin deformar es: 𝐿0 = 2𝜋𝑟0 La pared deformada es: 𝐿 = 2𝜋𝑟 El área en la que se producen las fuerzas de tensión es: 𝐴 = 𝐿. ℎ

r h

De la definición de módulo de Young se tiene: 𝐹 𝐴 𝐹 𝐿

∆𝐿

= 𝑌.𝐿

= 𝑌ℎ (

0

𝑟 − 𝑟0 𝑟0

→

𝐹 𝐿 .ℎ

𝐿− 𝐿

=𝑌 𝐿 0 → 0

𝐹 𝐿

2𝜋𝑟 − 2𝜋𝑟0

= 𝑌ℎ (

3 𝑥 10−2 − 2 𝑥 10−2

) = 107 (3. 10−3 ) (

2 𝑥 10−2

2𝜋𝑟0

)

) = 1.5 𝑥 104 𝑁⁄𝑚

𝐹 = 1.5 𝑥 104 𝑁⁄𝑚 𝐿 07. Un niño se desliza por un piso en un par de zapatos ortopédico con suela de hule. La fuerza de fricción que actúa sobre cada pie es de 20.0 N. El área de la huella de cada suela es de 14.0 cm2, y el grosor de cada suela es de 5.00 mm. Encuentre la distancia horizontal por la cual las superficies superior e inferior de cada suela están descentradas. El módulo de corte del hule es 3.00 MN/m2. Solución: 𝐹𝑟 = 20𝑁 𝐴 = 14 𝑐𝑚2 = 14 𝑥 10−4 𝑚 ℎ = 5 𝑚𝑚 = 5 𝑥 10−3 𝑚 𝑀𝑁 𝐺 = 3 2 = 3 𝑥 106 𝑁⁄𝑚2 𝑚 De la definición de módulo de rigidez ó corte: 𝐺 =

𝐹 𝐴

𝜃

=

𝐹ℎ 20(5 𝑥 10−3 ) ∆𝑋 = = = 2.38 𝑥 10−5 𝑚 𝐺 𝐴 3 𝑥 106 (14 𝑥 10−4 )

𝐹 𝐴 ∆𝑋 ℎ

=

𝐹ℎ ∆𝑋 𝐴

∆𝑋 = 2.38 𝑥 10−5 𝑚 = 2.38 𝑥 10−3 𝑐𝑚 = 2.38 𝑥 10−2 𝑚𝑚 08. Una esfera de cobre macizo está inicialmente rodeada de aire, y la presión del aire ejercida sobre ella es 1.0 x 105 N/m2 (presión atmosférica normal). La esfera se hace bajar en el océano a una profundidad donde la presión es 2.0 x107 N/m2. El volumen de la esfera en aire es 0.50 m3, ¿cuánto cambia ese volumen una vez que la esfera se sumerge? (Módulo o compresibilidad del cobre: 6.1 x 1010 N/m2).

Solución:

𝑃0 = 𝑃1 = 105 𝑃𝑎 𝑃2 = 2 𝑥 107 𝑃𝑎 𝑉0 = 𝑉1 = 0. 50 𝑚3 𝑉2 = ? ? ? 𝐵 = 6.1 𝑥 1010 𝑃𝑎 De la definición de módulo de compresibilidad: 𝐵 = −

∆𝑉 = −

∆𝑃 ∆𝑉 𝑉0

= −

∆𝑃 . 𝑉0 ∆𝑉

(𝑃2 − 𝑃1 )𝑉0 (2 𝑥 107 − 105 ) (0.50) ∆𝑃 . 𝑉0 = − = − = − 1.63 𝑥 10−4 𝑚3 𝐵 𝐵 6.1 𝑥 1010

∆𝑉 = − 1.63 𝑥 10−4 𝑚3 = 𝑉2 − 𝑉1

→

𝑉2 = − 1.63 𝑥 10−4 + 𝑉1 𝑉2 = − 1.63 𝑥 10−4 + 0.50 𝑉2 = 0.499 𝑚3

09. El punto más profundo de los océanos es la Fosa de las Marianas, de unos 11 km de profundidad. La presión a esta profundidad es enorme, de alrededor de 1.13 x 108 N/m2. (a) calcule el cambio en el volumen de 1.0 m3 de agua de mar llevada desde la superficie a este punto más profundo del océano Pacífico. (b) La densidad del agua de mar en la superficies es de 1.03 x 103 kg/m3. Encuentre su densidad en el fondo. (c) ¿Es buena aproximación considerar el agua como incompresible? Solución: ℎ = 11 𝐾𝑚 𝐵𝐻2 0 = 2,2 𝑥 109 𝑃𝑎 𝑃𝑠𝑢𝑝 = 1 𝑥 105 𝑃𝑎 𝑃𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 = 1.13 𝑥 108 𝑃𝑎 a) 𝑉0𝐻2 0 = 1 𝑚3 ∆𝑉 = ? ?

𝐵= −

∆𝑃 ∆𝑃 . 𝑉0 = − ∆𝑉 ∆𝑉 𝑉0

∆𝑉 = −

→

∆𝑉 = −

(1.13 𝑥 108 − 1 𝑥 105 ). 1 9

2,2 𝑥 10

(𝑃𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 − 𝑃𝑠𝑢𝑝 )𝑉0 𝐵

= −0.05132 𝑚3

∆𝑉 = −0.05132 𝑚3 𝑉𝑓 = −0.05132 + 1 = 0.949 𝑚3

b) 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑟 𝑒𝑛 𝑠𝑢𝑝 = 1.03 𝑥 103 𝑘𝑔⁄𝑚3 𝜌𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑟 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 = ? ?

𝜌=

𝑚 𝑉

→

𝑚 = 𝜌𝑠𝑢𝑝 . 𝑉𝑠𝑢𝑝 ;

𝑚 = 𝜌𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 . 𝑉𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜  la masa de agua no cambia 𝜌𝑠𝑢𝑝 . 𝑉𝑠𝑢𝑝 = 𝜌𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 . 𝑉𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜

𝜌𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 =

(1,03 𝑥 103 ). (1) 𝜌𝑠𝑢𝑝 . 𝑉𝑠𝑢𝑝 𝑘𝑔 = = 1.085 𝑥 103 ⁄𝑚3 𝑉𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 0.949 𝜌𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 = 1.085 𝑥 103

𝑘𝑔⁄ 𝑚3

10. La representación gráfica de la fuerza que ejerce un músculo al contraerse de 8 cm a 2cm se muestra en la Fig. ¿qué trabajo hace el músculo? Solución: 𝑊 = 𝐹. ∆𝐿 𝑊 = (200) (8 𝑥 10−2 − 2 𝑥 10−2 ) 𝑊 = 200 (6 𝑥 10−2 ) 𝑊 = 12 𝐽 11. De un alambre de cobre de 1,5 m de longitud y 2 mm de diámetro se cuelga un peso de 8 kg. Se pregunta: a) ¿Hemos rebasado el límite de elasticidad? b) ¿Se romperá el alambre? c) En caso de ser negativas las preguntas anteriores, ¿cuál es su alargamiento? Módulo de Young = 12x1010 N/m2 Límite de elasticidad de 3x107 a 12x107 N/m2 Límite de ruptura de 20x107 a 50x107 N/m2 Solución: