problemas de calculo 3
6.1 ( ) ( ) 1.3 4) Demuestre que la intersección de la superficie es una elipse . y el plano Solucion: Si reemplaz
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- Rudxy M
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6.1 (
)
(
)
1.3 4) Demuestre que la intersección de la superficie es una elipse .
y el plano
Solucion: Si reemplazamos la ecuación en curva que intersecta a las 2 superficies.
se obtiene la ecuación de la
y simplificando se obtiene:
Esta es la ecuación de una elipse. 7)…… 1.4 12) (
El movimiento de una particula esta representado por la función
) t 0.
En el tiempo t=1, la particula es expulsada por la tangente con una rapidez de 12 unidades por seundo. ¿A que tiempo y por que punto atraviesa al paraboloide ? Solucion: (
Sea
)el vector posición entonces la velocidad será
en el tiempo t=1 la ecuación de la recta que des {(
)
Reemplazando superficie
} en
para hallar el tiempo que demora en intersectar a la
, obtenemos que Para hallar la punto de intersección se reemplaza (
)
√
√
√
en √
√
,
13)Dada la curva ( rectas tangente y normal en t=0.
√ ) , encontrar la curvatura y las ecuaciones de las
Solucion: Primero hallaremos la curvatura y los vectores tangente y normal unitario. ‖
Sea
‖ ‖
‖
,
‖
‖
(
,
√ )
‖
(
‖
√ )
Reemplazando en cada ecuación se obtiene: ‖(
√ ) ‖
‖
‖
√
‖
√
√
‖
(
√ )
(
√ )
‖(
√ )
(
√ )‖
√
√
√ ‖
√ ‖
√
Ahora hallaremos las rectas tangente y normal con las siguientes ecuaciones: {
√
{
√
} }
√
14) Hallar la función vectorial para la curva de intersección entre el cilindro y=5z. Encontrar la curvatura en el punto (2,5,1). Solucion: Parametrizamos las curvas para hallar la curvatura. √
√
√
Donde el vector posición es: ( √ Para hallar t para el punto (2,5,1) , lo igualamos a
√
√
)
y el plano
√
√
√
.
Donde el valor de t q cumple este sistema de ecuaciones es
.
Entonces hallamos la curvatura para
Donde
‖
‖ ‖
( ( )
√ (
( ( )
√ √
√ (
√
)
√
( )
( ) √
√
√ ( )
( ))
)
√ √
‖
( )
( ))
√
Reemplazando ( ) y ( ) en ‖ ( )
( )
( ) ‖
‖
‖ ‖
‖ ( ) ‖
‖
‖ ‖
‖ ‖
√
3.3 ( )
c) (
d)
→
Solucion: Transformando a coordenadas polares.
3.4 e)
)
(
( )
)
( )
{|
f)
| | |
=
| | | |
|
|
|
|
| |
|
|
|
3.6 2.Hallar Fx(0,0) y Fy(0,0) d) {
(
)
(
)
e) {| |
| |
| |
|
|
|
|
|
(
)
| |
| |
| | (
)
| |
| | f) {
(
)
(
)
3.8) c) {
Si las derivadas parciales son continuas entonces la función es diferenciable Hallamos la derivadas parciales c.1)
( { Analizando la continuidad de
)
| |
c.2)
(
)
{
Analizando la continuidad de
Se concluye que
es diferenciable en todo su dominio
d) {
Para que
sea diferenciable en el punto
se debe cumplir la siguiente condición: ||
|| || || Donde
( )y
Hallamos (
)
(
)
(
)
||
|| || || ||
( )| | √
√
|
(
|
||
||
)
√
( )
|
|
( )|
3.10) 1.La temperatura en (x,y) de una placa viene dada por crecimiento del calor desde el punto P (3,4) Solucion: La dirección de mayor crecimiento el punto (3,4) viene dado por
El mayor crecimiento se da en la direccion 3.11 3) Calcule el valor aproximado de la función
.Hallar la dirección de mayor
|
Solucion:
8.16
9) Demuestre que Obteniendo las derivadas parciales se obtiene:
10) Sea
Solucion:
donde
√ (
√
)
√ (
√
)
√