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23. Un tanque esférico de radio “a” contiene este líquido con una profundidad h y el volumen del agua en el tanque del agua está dado V=1/3 πh2(3a – h) . Suponga que un tanque esférico de 5 m de radio se está llenando a razón de 400 L/ min. Calcule la razón de cuantos metros por segundo se lleva el nivel del agua cuando h=1.25 m. * a= radio *h= profundidad *v= 1/3 πh2(3a – h) *r= 5 m *dv/dt = 400 L/ min Conversión 400/min= 400(100cm3)/ 60 seg 2000/3 cm3/seg 2000/3 (0.01m)3/ seg

V= 1/3 πh2(3a – h)

2000/3 (0.000001) m3/ seg

V= 1/3 πh2 (3(5) – h)

=6.66x10-4 m3/seg

V= 1/3 πh2(15 – h) Derivando respecto a t

*dh/dt | h=1.25 dy/dt]

3dy/dt

dv/dt= V= 1/3 π [2h dh/t (15-h) + h2(-1)

= 30h dh/dt – 2 h2 – h2 dh/dt

π

3 dv/dt + 2h2= (30h-h2) dh/dt π 3 dv/dt + 2h2 π 30h-h2

= dh/dt

3 (6.66x10-4) + 2(1.25)2 π

dh/dt = 0.02769 m/seg = dh/dt | h=1.25

30(1.25)-(1.25)2 17.- El área de un triángulo equilátero disminuye a razón de 4cm²/min. Calcule la rapidez de variación de la longitud de sus lados en el momento en el que el área de triangulo es de 200cm².

h=√3/2 Z Z

dZ/dt

A= √3/4 Z²

con A= A (t) y Z= Z (t)

cuando A= 200 cm²

dA/dt = √3/4 Z² dZ/dt ---------------------- ec. 1 Derivando ec. 1 dA/dt = √3/4 (2Z) (dZ/dt) ----------------------- ec. Despejando ec.1 para obtener L dA/dt =√3/4 Z² dZ/dt Z= 21.5

200 = √3/4 Z²

De ec.2 despejar dZ/dt -4cm²/min dZ/dt = (dA/dt (4) ) /2 dZ/dt = -8 dZ/dt = cm/min

- 0.21

√200(4/√3) = Z dA/dt =

dZ/dt = ((-4)(4))/2

dZ/dt =

-16/2

21.- Cuando dos resistencias R1 y R2 se conectan en paralelo (véase la figura), la resistencia total R está dada por

Ω s

razón de 0.01

1 1 1 = +( R R1 R2 ) .Si R1 y R2 aumentan en

( )

(Ohms por segundo) y 0.02

Ω s

, respectivamente, ¿A

razón de cuantos ohms por segundo varia R en el momento en que R 1 = 30Ω y R2 = 90Ω? Pero sabemos que: De la fórmula: R1

R2

dR Ω 1 1 1 1 =0.01 = + dt R−1=R1s−1+ R 2−1 R R1 R 2

d R2 dt −1 −1 −1 R =R1 + R2

Derivemos =0.02

Primero puedo calcular R 1 1 1 = + R 30 Ω 90 Ω 1 2 = R 45 R=

45 =22.5 2

Ω s 1 1 1 = + R R1 R 2

d R1 d R2 dR ( −2 ) −R =−R1−2 −R2−2 dt dt dt

dR = dt

dR = dt

−R1−2

R 1−2

d R1 d R2 −R2−2 dt dt −2 −R

d R1 d R2 + R2−2 dt dt −2 R

Sustituimos

dR = dt

dR

(30)−2

d R1 d R2 +(90)−2 dt dt −2 (22.5)

(

( 30Ω )−2 0.01

Ω Ω −2 + ( 90 Ω ) 0.02 s s

)

(

)

Un globo de aire caliente se eleva en forma vertical y una cuerda atada a la base del globo se va soltando a razón de 1.5m/s. El torno desde el cual se suelta la cuerda está a 6 m de la plataforma de abordaje. ¿Si se ha soltado 150m de cuerda, con qué rapidez asciende el globo?

dx m =1.5 dt s dh =? dt

a2 +b 2=c 2 62 +h2 =x2 2

36 + h =x

h2=x 2−36

2

despejamos h

√ h2=√ x 2−36 h=√ x 2−36 1

h= ( x 2−36 ¿ 2

derivamos con respecto a x

1 dh 2 2 dx =( x −36 ¿

dh dx =

1 2

dh dx =

−1 2x 2 2 ( x −36 ¿ 2

−1 2

( x 2−36 ¿

(2x)

−1 dh 2 =x ( x −36 ¿ 2 dx

dh dt

Tenemos que encontrar

que es la rapidez con que haciende el globo

cuando se ha soltado 150m de cuerda

dx dh (razon de cambio del problema1.5 m/s) , dt dx

(resultado de la derivación con

respecto a X)

dh dx dh . = dt dt dx Tenemos todos los datos solo sustituimos directo

x ¿ dh ¿ m dt = 1.5 s ¿ x ( ¿ ¿ X= 150m

)

150 ¿ dh ¿ m dt = 1.5 s ¿ 150 ( ¿ ¿ 1.5012

)

m s

x+y = 60 r² = 90² + y² => r = √(8100+y²) x + y = 60 => y = 60-x r = √(8100+(60-x )²) -(60-x) (dx/dt) dr/dt = ------------------------ = √(8100+(60-x )²) -(60-x) = ---------------------- (dx/dt) √(8100+(60-x )²) si; y = 20 => x =40 Y como dx/dt = 25 - 20 dr/dt = ------------------------25 = -5,43326 pies/s. √(8100+(20 )²)

dh dt =

13.Los extremos de un abrevadero de 3m de largo tiene una forma triangular equilátera, con lados de 60 cm, se suministra agua al abrevadero a razón de 20 L/minuto ¿Cuál es la rapidez de cambio del nivel de agua cuando lo

cm

3

profundidad es 20 cm? (1L=1000

)

Respuesta del ejercicio 13: L=300 cm; h=200 cm;

dv =20000 cm3 → H= dt

√ 602−302

= 30

√ 3 cm

Si h es la profundidad del agua, entonces r varia al variar h. El área del triángulo A=1/2 2rh

r 30 30 h = → r= h h H

→

30 h 30 √ 3

El volumen esta dado por V=

→ r=

100 √3 h 2

√ 30 h 3

→ A=

3h h 3

√3 h2 ¿ →A 3

200 √ 3 h

Por lo que : dv/dt =

[

1 200(20)

]

= dt/h =

5 √3

dh/dt = (dv/dt)

cm min

[

1 200 √ 3 h

]

= 20000

=2.8867cm/min

12-Una bola de nieve se derrite de manera que su radio disminuye con rapidez constante de 30 a 20 cm. ¿Cuál será la rapidez de cambio del volumen en el momento en que el radio media 25cm?

30cm

25cm

20 cm

dr 10 cm = dt 45 min

dv =? dt 4 v = ∏ r3 3

dv 4 r 2∗dr = ∏∗3 dt 3 dt dv r 2∗dr =4 ∏ dt dt 2

(25) ∗10 dv =4 ∏ dt 45

dv 25000 ∏ = dt 45 dv cm3 =555.555∏ ≈ 1745 dt min

Un tanque esférico está cubierto por una capa uniforme de hielo de 2 pulgadas de grueso. El volumen de hielo se derrite con una rapidez directamente proporcional al área de la superficie. Demuestre que es constante la rapidez de cambio del diámetro exterior.

V r +∆r

∆r = 2 PULG.

VEsfera =

4 3

π r3

∆V = 4 π r

2

∆V= 4 π r

2

∆V= 8 π r

2

∆r (2)

Para que dV/dt sea constante r no debe variar y es lo que se observa.

Diámetro exterior = d + 4 Volumen del hielo =

4 3

π (r +∆ r )

d (∆ V ) dt

Rapidez de cambio

dV π (r +∆ r )2 dt = 4 dV π (r +∆ r )2 dt = 4

d (∆ V ) dt (4k π r

2

K es la constante de proporcionalidad, ya que r no varía y ∆r = 2 ) PULG;

dV dt

es

Cuando un disco metálico circular se calienta, su diámetro aumenta a razón de 0.01 cm/min ¿cuál es la rapidez de cambio del área?

A= ∏ d²/4 A’= 1/2πd dA/dt= 1/2πd (0,01)

Discusion de los resultados

 

Para calcular el área de un circulo en función de su diámetro ocupamos la fórmula A= ∏ d²/4. Tanto el área como el diámetro son funciones del tiempo. Derivamos y se debe saber para qué valor del diámetro se solicita la velocidad de aumento del área

Problema 16: Un incendio que comenzó en un terreno seco, se extiende formando un círculo. El radio del círculo crece a razón de 1.8m/min. Calcular la rapidez con la que crece el área del círculo cuando el radio es de 45 metros. A=πr2 A(t)= πr2 (t) A´(t)= 2πr(t) A´(1.8)= 2πr(1.8) A´(1.8)= 162π m2/min ≈ 509 m2/min.

19. se lanza una piedra a un lago y produce ondas circulares cuyos radios crecen a razón de 0.5 m/s. ¿A razón de cuantos metros por segundo aumenta el perímetro de una onda cuando su radio mide 4 m?

dr m =0.5 dt s dp m dp dp =? = dt s dt dr

( )( drdt ) dpdr =2 π

r=4m

dp dp =( 2 π )( 0.5 ) =3.14159 m/s dt dt

P=2πr El perímetro de una onda aumenta a razón de 3.14 m/s

7. La cubierta de un silo tiene la forma de un hemisferio de 6m de diámetro. En dicha cubierta se deposita una capa de hielo de 5 cm de grueso que disminuye a razón de 0.5 cm/h. ¿Cuál es la rapidez de variación de volumen de hielo?

dv dr =? =0.5 cm/h dt dt

V=

V=

4 3

π r3

4 3 1 ¿ 2

π r 3)

r= 3 m + 0.5 cm (capa de hielo)

dV 4 2 dr = .3 π r dt 6 dt

dV dr =2 π r 2 dt dt

dV cm 2 =2 π ( 305 cm ) (−0.5 ) dt h

dV m m =−2 π ( 3.05m )2 0.005 =−0.2922 dt h h

(

)

4.- Una niña comienza a correr a partir de un punto A hacía el este, a 3 m/s. Un minuto después, otra niña sale corriendo desde A hacía el norte a 2 m/s. ¿Cuál es la rapidez de variación de la distancia entre las niñas un minuto más tarde?

Z

dy =2 dt

A

v=

dy =2 dt dx =3 dt

d t

d = v.t x= 3(120)

dx =3 dt

y= 2(60)

dz =? dt

x= 360

y= 120

z2 = x2 + y2 z2 = 3602 + 1202 Z= 379.34 z2 = x2 + y2 2Z dz dt

dz dt

dx dt

= 2x

= 2x

dx dt

dy dt

+ 2y

+ 2y

dy dt

360(3)+120(2) 379.47 dz dt

=x

dx dt

+y

dz dt

=

2z dy dt

dz m =3.47 dt s

z

5.- Un farol se encuentra en lo alto de un poste de 16 pie de altura. Un niño de 5 pie de estatura se aleja del poste a una velocidad de 4 pie/s, ¿Con qué rapidez se mueve la extremidad de su sombra, cuando él se encuentra a 18 pie del poste? ¿Cuál es la tasa de crecimiento de su sombra? dx dt

=4

ft/s dy =? dt

H h

a) y x+ y = h H y x+ y = 5 16

x

y

b) 16 y = 5 (x + y) 16 y = 5x + 5y 16 y – 5y = 5x 11 y = 5x 11

dy dt

dy dt

=5

=5

dx dt

11 dy dt

=

dx dt

dx =4 dt dy dt

=1.81

dz dt

= ¿?

dz dt

=

dx dy + dt dt

dz ft =5.81 dt seg

5 (4) 11

dy m =1.81 dt s

EJERCICIO 30 -La orilla de una piscina es un rectángulo de 60ft de largo y 30ft de ancho. Su profundidad aumenta uniformemente de 4 a 9ft en un tramo

horizontal de 40ft y después continua al mismo nivel de 20ft restantes, como se ilustra en la figura, la cual representa una sección transversal. La piscina se está llenando a razón de 500gal/min de agua. Calcule aproximadamente en el momento en el que la profundidad en la parte más honda es de 4ft (1 gal ~

ft 3 )

0.1337

1

gal = 0.1337

ft 3

5

500 gal = 66.85 0