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• Renán Ancona Lazcano

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UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA Casa abierta al tiempo

UNIDAD IZTAPALAPA División de Ciencias Básicas e Ingeniería

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

MATERIAL DIDACTICO

MATEMATICAS I

D.C.B.I.

PROBLEMARIO

DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

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MATEMÁTICAS I

D.C.B.I.

PROBLEMARIO

UNIDAD IZTAPALAPA Av. Michoacan y La Purísima, Col Vicentina, 09340 México. O.F. Tel.: 724-4600 TELEFAX: (5) 612 0885 DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

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MATEMÁTICAS

I

C. B. I . PROBLEMARIO

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M A T K M A T 7 C A S

J

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA Probleraario

Este raarerial tiene por objeto brindar al profesor una guía para el curso y poner al alcance del alumno material didáctico para su mejor desempeño académico.

Agradecemos a los lectores sus sugerencias para mejorar este trabajo. Estas se recibirán en la Coordinación del Tronco General de Matemáticas de la División de Ciencias Básicas e Ingeniería. Autores;

Luis Aguirre Castillo María José Arroyo Paniagua David Elizarraráz Martínez Héctor Juárez Valencia Ma« de Lourdes Palacios Fabila Carlos Signoret Poillon José Ma. Campaña Valenzuela Fernando Verduzco González

Mecanografía:

Martha Patricia Sánchez Sánchez Alicia Morlaes Pérez

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS, UAM.I.

Enero, 1937,

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ÍNDICE: I. II.

Conjuntos Números Reales II. 1 Propiedades de los Números 11.2 Des i gual dades 11.3 Valor Absol uto ... „ 11.4 Axioma del Supremo II. 5 Representación Decimal 11.6 Inducción Matemática

...........................*„..»... 1 Reales

..........................«22 • ........ 48 . 91 .114 .127 .......r..................134

III. Funciones III. 1 111.2 1II.3 111.4 111.5 111.6

Concepto de Función ....,...•••••..... •......«.. 147 Dominio y Rango ....*.... «.152 Operaciones con Funciones ..... ••.........••..e..•... *........160 Funciones Trigonométricas .., «172 Dibujos de Gráficas. Aplicaciones para resolver Desigualdades,.183 Funciones Inyectivas, sobre, biyectivas. Función Inversa.......«201

IV. Límites y Continuidad. IV.1 Concepto y Definición de Limite y Continuidad •.....••...•....215 IV. 2 Propiedades 221 IV.3 Propiedades de las Funciones Continuas ...««„ .-.....«.235 V. Derivadas V.1 V.2 V.3 V.4 V.5 V.6 V.7 V.8 V.9

Concepto y Definición, Interpretación Geometría y Física».....*«241 Fórmulas Básicas de Derivación. Derivadas de Orden Superior,,. O 243 Regla de la Cadena. Problemas de Razón de Cambio. D e r i r• » o «.0 246 vación Impl íci ta ..., Teorema de Rolle y del Valor Medio. Monotonía de Funciones.«.255 Máximos y Mínimos. Puntos Críticos. Criterio de la Segunda Derivada. Concavidad. Puntos de Inflexión. Gráficas de Funciones.«259 Planteamiento y Solución de Problemas Relativos a Máximos y y Mínimos „ «267 e0. a La Diferencial. Aproximación Lineal ........•..•••..271 Regla de L'Hopital ............272 oa Derivada de la Función Inversa. o 274

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I. CONJUNTOS

El conjunto A = {1, 3, 5, 7, 9, 11}

está descrito de tal manera que se en-

cuentran escritos específicamente los elementos del conjunto. Tal conjunto se puede escribir también mediante la descripción de alguna propiedad común a todos sus elementos. Por ejemplo:

A =

1.

(x|x es un número entero positivo impar menor que 13}

Para cada una de las descripciones siguientes, escribir específicamente los elementos del conjunto A. a) A =

{x|x

es un entero positivo par no mayor que 10}

b) A -

{x|x2 -1 = 0}

c) A «

{x|x

es un número primo entre 30 y 40} *

Solución

a) A = {2, 4, 6, 8, 10} b) A = {1, -1} c) A - (31 , 37}

2o

Para cada uno de los siguientes conjuntos, escribir tal conjunto mediante la descripción de una propiedad común a todos sus elementos» a) A - {1, 3, 5, 7, 9) b) A = U t 8 V 12, 16, 20} C)

A

- {±* ¿' ^ L 1> ±L) 2

2

2

2

2

2

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Solución a) A = {x|x = 2n - 1, b) A = (xe U j x - 4n;

n e 3N & 1 < n < 5 } 1 < n < 5}

A = {x|x es múltiplo positivo de 4 no mayor que 20} ó A = {x|x = 4 y con y e IN c) A = {x|x =

2l

)~l , neIN

y 1 áy

^5}

& 1 á n á 6}

Si todo elemento de un conjunto A es elemento de un conjunto B, se dice que A es un subconjunto de B y escribimos A c B Por ejemplo, el conjunto A = {a, e, i, o, u} es un subconjunto del conjunto B » {x|x oe letra del alfabeto latino} .

De acuerdo a la definición de subconjunto, todo conjunto es subconjunto de sí mismo. Así, A es subconjunto de A en el ejemplo anterior•

En el mismo ejemplo dado arriba, A es subconjunto deB (A £ B) pero A no es igual a B, puesto que B

tiene elementos que no pertenecen a A, a sa-

ber, las letras consonantes. En este caso se dice que A es subconjunto propio de B, lo cual se denota así: A c B o

A C B . También 8 no es un

subconjunto de A por la misma razón. Esto se denota

3.

escribiendo B i A.

Determinar para cada uno de los incisos si A es subconjunto de B B es subconjunto de A B es subconjunto propio de A A es subconjunto propio de B

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a) A = {1,3,5,6,8}

B = {1,5,7}

b) A = {2,4,5}

B = {x | x es un entero par}

c) A = (x| x es un entero positivo}

B = f x | x es un entero}

d)A={2,3,5,7}

B = (x | x es un número primo menor que 10}

SOLUCIÓN

a) A i B, B i A b) A i B, B i A c) A c B, B i A d) A £ B , B £ A

4.-

Si

A - {a,b} y B = {a,c,A} ¿Cuáles de las siguientes proposiciones

son verdaderas? a) a e A

i) b e B

b) a c A

j) b tf B

c) a ¿ A

k) b c B

d) {a} i A

i)

e) A e A

m) A e B

f) A c A

n)

g)

A

¿

A

h) A i A

b

i

B

A i B

o) A c B

p)AO q) A e B

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Solución Son verdaderas a ) , f ) , j ) , 1), m ) , p ) , q ) . En cualquier presentación o investigación, todos los conjuntos se suponen subconjuntos de un conjunto fijo U llamado conjunto universal. Por

otro

lado, el conjunto vacío 0, es el conjunto que en cualquier presentación o investigación no contiene elementos» Al realizar operaciones con conjuntos (A , AUB, AflB, etc.) debemos considerar a los conjuntos como subconjuntos del conjunto universal U. Por ejemplo, si A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} A c = {xjxeU , x i A} = AUB

= {x|x £A ó x e B) =

AftB = {x|x E A A-B

= {x|x e A

y

xeB}

{5, 6, 7, 8, 9}

.

Ü , 2, 3, 4, 6, 8) =

y x ¿ B} •«

{2, 4} {1, 3}

Para calcular conjuntos como (AOB ) BC =

y U = {1, 2, 3, 4, 5, ..., 9}

procedemos en cierto orden:

{1, 3, 5, 7, 9}

=

(1, 3 }

=

{2, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Como una ilustración más calculemos (B-A)C - AC B - A

=

{6, 8}

(B-A)c

=

{1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}

AC = (B-A)C

-

{5, 6, 7, 8, 9} AC = (1, 2, 3, 4}

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.- Dados

A = {a9b?c,d} , B « {a,b,e,f,g} , C « {b,c,e,h} y el universo

U « {a,b,c,d,e,f,g,h} , expresar cada uno de los siguientes conjuntos por sus elementos o

a) A fl C b) A - B c c) A

d)

Bcn c

c c e) (BílC )

f ) (C-B>-A 8) (A Í1B)-B SOLUCIONES

a) {b,c}

e) {b,c,d,e,h}

b) íc.d}

f) {h}

c) {e.f.g.h}

g) 0

d) (c,h)

6.- Si A y B son subconjuntos de un conjunte universal U , decidir cuales de los siguientes enunciados son correctos y cuales incorrectos y decir por qué.

a) A U 0 - A

f) Si A = B C , entonces

C b) A fl A = A

g) (A- B)° - A C - B C

c) A Ü U

= U

h) ( A U B ) C = A C íl B C

d) (A )

» U

i) A - A - A

e)

/AC\C

(A )

a

A

B = A°

j) A - A c . A

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Solución

Son correctos a ) , c \ e ) , f),.. h ) , j)

Por ejemplo, para verificar que f) es verdadera partimos de que Á » B . Para demostrar que B « A , tómense complementos en la primera igualdad, es decir, A c = ( B C ) C , pero por e) ( B C ) C - B. Por tanto A C « B, Para verificar que g) es falsa recuérdese que A - B »{ x |x z A y x i B} * Afl Bc« Por tanto (A~B) C « (AflBC)c * A C U ( B C ) C « A C U B

donde la segunda igualdad se justifica por una de las leyes de DfMorgan* Por otro lado

A° -

B° - AC fl (B C ) C - A C n B

Así que, por un lado obtenemos A U B y por el otro A II B

que no son igua-

le ; en general.

7.

Usando diagramas de Venn ilustrar lo siguiente: a) AÍlB

d) (AflB) C

b) (A U B ) c

e) A c U B c

c) A C Í1B C

f) A C n B

Establecer las relaciones de contención o igualdad entre los conjuntos de los incisos a) al f) Solución (AUB) C « A C Í1B C ; (AQB) 0 = A C UB C El producto cartesiano de dos conjuntos A y B cualesquiera es el conjunto cuyos elementos son parejas (a,b) cuya primera componente a pertenece a A y cuya segunda componente b.pertenece a B, es decir

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A x B - { (a,b) , a £ A, b £ B } Por ejemplo, si

A = { a,b } y

B «{ a,b,c } .» entonces

A x B - { (a,a), (a,b), (a,c), (b,a), (b,b), (b,c) }

Una forma ilustrativa para representar el producto cartesiano de dos conjuntos consiste en tomar dos rectas perpendiculares (ejes coordenados) e identificar el conjunto to

B

A

con puntos de la recta horizontal y el conjujn

con puntos de la recta vertical; a continuación trazar

horizontales que pasen por los puntos de pasen por los puntos de sentarán los elementos de

B

8.- Si

A.

y rectas verticales que

Las intersecciones de estas rectas repre-

A x B como se muestra a continuación.

(a.c)

(b.c)

(a,b)

(b,b)

A « {1,2,3,4} y

B

rectas

B « U,4,5,10}, encontrar cada uno de los siguieri

tes conjuntos.

a ) A x B

b ) B x A

c ) A x A

d ) B x B

SOLUCIÓN A) A x B =

{(U),(1,4),(1,5),(1,10),(2,1),(2,4),(2,5),(2,10),(3,1), (3,4),(3,5),(3,10),(4,1),(4,4),(4,5),(4,10)}.

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8

Al estudiar el cálculo, los conjuntos de interés son subconjuntos del conjunto de números reales. Si IR denota al conjunto de los números reales, al conjunto A = {x|x e IR y 0 ^ x < 2} se le llama "intervalo cerrado11 entre cero y dos y se denota por [0,2]. Análogamente al conjuii to B = {x|x e IR y ] < x < 3} se le llama tfintervalo abierto" entre uno y tres y se denota por (1,3). Al conjunto C = { x : x e I R y r < x á 4} se le llama intervalo semiabierto por la izquierda entre -15- y cuatro ó S£ 1 1 micerrado por la derecha entre y .Y cuatro y se denota por. (y, 4 ] , Definiciones análogas se pueden dar para conjuntos como D - {x|x e IR y x > 2} = (2, +«>) E = {x|x G IR y x S 3} = (-oo,33 » etc. Los interiores subconjuntos de números reales se pueden representar gráficamente en la r-¿cta numérica como se ilustra a continuación:

B -

1

6

1

2

3

M

1

- 1 0

5

2

3

4

no incluye a los extremos 1 y 3

incluye a los extremos 0 y 2

-1

no incluye al extremo izquierdo 2.

sólo incluye el extremo derecho 4,

-1

0

incluye al extremo derecho 3. DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]

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Una de las ventajas de esta representación es que podemos utilizarla para encontrar de una manera muy sencilla el conjunto resultante al operar con intervalos.

Por ejemplo, para encontrar

A fl B, dibuja-

mos los dos intervalos en una misma recta:

-

-3

y como

A n B

es el conjunto que tiene como elementos aquellos núme-

ros que pertenecen tanto al conjunto

A

como al conjunto

B, entonces

como se observa en el diagrama, este conjunto es

A 0 B = (1,2] . {x|x e IR y

Asimismo, para encontrar

1 < x S 2}

A Ü B, dibujamos los dos intervalos

en la misma recta numérica

B

y como

A U B

es el conjunto

que tiene como elementos aquellos

números que pertenecen al conjunto al conjunto

B, entonces

A

asi como los que pertenecen

observando el diagrama, concluímos que

este conjunto es

AUB=

[0,3) = { x | x e IR y

0a dx2 * ex + f Un'ejemplo lo constituye 2x2 +'x-5 > x r - 2s r- 7

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Para resolver desigualdades de este tipo contiene agrupar todos los términos en un sólo miembro de la desigualdad; en nuestro «aso conviene agrupar todos los términos en el lado izquierdo, pues de esti manera el coeficiente de xa resultará positivo como se observa a continuación: 2x2 + x — 5 - x2 + 2x + 7 > 0 x 2 + 3x + 2 > 0 En seguida de esto» conviene observar si el polinomio de segunde grado obtenido puede expresarse como el producto de dos factores.

En nuestro caso

el polinomio puede factorizarse, obteniendo lo siguiente: (x + 1) (x + 2) > 0 Hemos obtenido que el producto de dos factores es mayor que cero. Entonces se presentan dos casos

I.- Los dos factores son mayores x + 1> 0

y

que cero:

x+ 2 > 0

II.- Los dos factores son menores que cero. x+1 < 0

y

x+2 < 0

Para el primer caso tenemos que x+1 > 0

y x+2 > 0, entonces, x >-1

y x > -2, es decir,

x z (~lf+oo) y x e (-2,+co), Por tanto x e (-1,+») n

(-2,+CD)

« (-1,+*)

Para el ^egundo caso tenemos que

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x+1 < O

y

x+2 < O, entonces

x e (-oo,-1.) y x e (-oo,-2).

x < -1

y jr < - 2 , es decir

Por tanto

x g (-«,-1) fl (-«,-2) = (-«,-2)

Del resultado obtenido en los dos casos obtenemos que x e (-l,+«) ó

x ¿ (-oof-2)

es decir x e (-1.+") U (-«,-2) Concluímos

que el conjunto solución de la desigualdad

2x 2 + x -5 > x 2 - 2x-7 es *: {x:2x*+ x~5 > x 2 -2x-7} = (- 0

y

3x+2 < 0

II.- El primer factor es menor que cero y el segundo mayor que cero 2x-l < 0

y

3x4-2 > 0

Para el primer caso tenemos si

2x-l > 0

y

que :

3x4-2 < 0, entonces

x > 1/2

y

x < -2/3

es decir x £ (l/2,+«) n (-«,-2/3) - ^ Para el segundo caso tenemos que* si

2x-l < 0

y

3x + 2 > G? entonces

x < 1/2

y

x > -2/3,

es decir x c Cr«fl/2) y x e (-2/3,»).

Por tanto

x e (-«,1/2)-Q (-2/3, +«) - (-2/3,1/2) De los resultados obtenidos en los dos casos obtenemos x

que

e 0 U (-2/3,1/2)-

Concluímos

que el conjunto solución de la desigualdad

6x 2 + x-2 < 0

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68

es

{x:6x2+ x-2 < 0} - (-2/3, 1/2)

Otra forma para resolver desigualdades cuadráticas es por medie del método de complementar al cuadrado. Para ilustrar este método resolveremos la anterior desigualdad: 6x2+ x-2 < ü Primero se divide toda la expresión por el coeficiente óe x2 En nuestro caso dividimos por 6. Por tanto X +

6

6

6

Ahora sumamos el inverso aditivo del término independiente* nuestro caso el inverso aditivo de - i

En

es ~ , Por tanto

x*+ 2L _ I + I < o + I 6

x+

b

3


x e. (j, •»•) Q (r^9 +•) « (^t +•) Caso II 3x-2< •>

0

y

4x + l < 0 « > x

x c (-00,1) n ( - » , — r ) • ^3 *

0 es (-». --J-) U C|, |, +•) 2) Método completando el cuadrado 12x2- 5x - 2 > 0 Dividiendo entre 12, tenemos X2

2

" I 2 X ~ "Í2 > °

Sumando

Y2 «A.

5 mm

•=— tenemos 12 v

¡i •

^t

?

12

2 12

El cuadrado de la mitad del coeficiente de

x es

5 2 25 (—) *• — — 24 576

* + 25 >2-+-25_ 12 576 12 576 es decir (x U

5 2 121 24} > 576

Hemos obtenido una desigualdad de la forma

a2 > b

Podemos aplicar la propiedad a 2 >b

asx-^-

2 ^ 24

a > /b y

X

ó

b - ||i- ,

a < -*/b obtenemos

" 24 < " 24

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72

2

x

> 53

,

ó

.. „

1

x < - r

X € (| ,.+•) U (—, - J) Por tanto, el conjunto solución de 12x 2 - 5x - 2 > 0

es

(-«,- ^) ü (y , +•)

como ya hablamos obtenido anteriormente. El método de completar al cuadrado es particularmente útil cuando el polinomio de segundo grado no puede factorizarse por ningún método. Por ejemplo en la desigualdad 5x 2 - 3x + 6 > 4x 2 - 5x + 1 agrupando términos

tenemos que

x 2 + 2x + 5 > 0 cuyo polinomio de segundo grado no puede factorizarse directamente. Si aplicamos la fórmula del discriminante para ecuaciones de segundo grado tenemos

-2*/2*- 4(1)757

X «

donde

/-16 « 16i (con

i * /-T) no es un número real sino un número complejc.

Por tanto no podemos factorizar reales.

x 2 + 2x + 5

en el campo de los números

Sin embargo podemos utilizar el inétodo de completar el cuadrado

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73

para resolver la desigualdad:

X2-!- 2% 4- 5 > 0 x 2 + 2x > -> x 2 * 2x + 1 > -5 •+. 1 > -4 La última desigualdad

se cumple para cualquier

valor de

que un número al cuadrado siempre es mayor o igual a cero. última

desigualdad

es equivalente

x

ya

Como esta

a la primera, entonces la primera

también se cumple para todo valor de x. Concluímos

que el conjunto

solución de x 2 * 2x + 5 > 0

es IR, el conjunto de todos los número? reales.

Veamos otro ejemplo2x 2 ~ 3x + 2 < 0,

Resolver

El polinomio

2x2 - 3* + 2

no puede

factorizarse directamente.

Aplicando la fórmula del discriminante, tenemos

x =

2° 2

es decir

Como

/-7

2x 2 -3x -f 2

no

es un número real, entonces no podemos factorizar

en el campo de los números reales.

Por tanto procedemos

a completar el cuadrado.

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74

Dividiendo entro 2, tenemos x2- | x + 1 < 0 Sumando

-1, tenemos

x2- | x < - 1 9 Sumando el cuadrado de la mitad del coeficiente de x que es jgobtenemos x2

~ 2

x +

16


0 tenemos

dos casos -

4x + /? > 0

y

4x - v 7 > 0

ó 4x + i/T < 0 y 4x -/í < 0 es decir

X O

al ' nultiplicar

ó

x < 0.

los miembros de la desigualdad

debemos distinguir dos casos: cuando

x > 0

)• cuando

x < 0.

Caso cuando x 0

es solución de la desigualdad

x + 3 < 5 '- £ En este caso el conjunto solución es

0

Caso cuando x x(5 - £) • es decir x 2 + 3x > 5x - 1 Agrupando, obtenemos x 2 - 2x + 1 > 0 Factorizando, obtenemos (x-JL)2>0 Como esta última desigualdad se cumple para toda x £ IR - {1}. Como

estamos considerando

valores de

x 4 1, entonces x

menores que

cero, entonces x e (-«,0) íl (IR -{ 1}) - (-~,0)

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79

Por tanto el conjunto solución en este caso es

(-°°,0).

Tomando los conjuntos solución de los dos casos obtenemos to solución de la desigualdad

que el conjun

x+3 > 5 - — es x.

tí U (-co,0) » (-oo,0)

lio

Resolver la desigualdad.

> x

En este caso debemos multiplicar arabos miembros de la cesigualdad término

x - 3. Se obtienen dos casos.(Obsérvese que x-3

por el

debe ser distinto

de cero)• a)

Caso en que x-3 > 0, es decir

Mult iplicando9

(x-3) ~

x >3

obtenemos

> (x-3)(x+6)

es decir x+2 > x 2 + 3x - 18 agrupando términos, obtenemos 0 > x 2 + 2x - 20 es decir x 2 + 2x - 20 < 0

Resolviendo esta última desigualdad por cualquiera de los métodos presentados anteriormente para resolver desigualdades cuadráticas obtanemos:

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80

x c (-/ir - 1 , i/zr-1) Como estamos considerando

x > 3, entonces

x £ (3,+oo) n (-•2T-lf/2l-l) - (3,/zf-l) b) Caso en que x-3 0 Resolviendo esta última desigualdad por alguno de los anteriores méto dos , obtenemos x e (-co9-/2f - 1) U (i^T-1, +«) Como estamos considerando

x < 3, entonces

x c Por tanto X £ (-a>,~/2r~l)

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81

En consecuencia, Lomando el conjunto solución de los dos casos anter .ores obtenemos que el conjunto solución de la desigualdad

-7-5- > x+6

as

(-a>,V2T-l)

III.- Resolver la desigualdad x-1 ^ 2JL_ x^I 2+x En este problema debemos multiplicar ambos miembros de .«.a desigualdad por el término

x-3

y también por el término

2+x. Er otra.** palabras, de-

bemos multiplicar ambos miembros por (x-3)(2+x). Aquí consideramos tro casos (observamcs que x-o a) x-3 > 0

y 2+x deben 3er ambos distintos de cero^:

y 2+x > 0. En este caso

b) x-3 > 0

cue-

(x-3)(2+x) > 0

y 2+x < 0. En «>ste caso (x-3)(2f-x) < 0

c)x~3 < 0

y 2+x > 0. En este caso (x-3)(2+x) < 0

d) x-3 < 0

y 2+x < 0. En este caso (x-3)(2+x) > 0

Simplifiquemos un poco: En el caso a)

x-3 > 0

y

2+x > 0

=>

x >3

y

x > -2

es decir

x > 3. En el caso b) x-3 > 0 y 2+x < 0 posible

descartamos

En el caso c)

=s>x>3yx

x < 3

y

x > -2

es decir

-2 < x < 3, En el caso d) x *• 3 < 0

y 2+x < 0

»>

x < 3 y x < -2-

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82

es decir'

x < -2

Puesto que el caso

b)

no es posible, Los cintro < asos anteriores se

reducen a tres casóse a)

x > 3.

En o

(x-3)(2+x) > 0

c)

-2 < x < 3.

En «iste caso

(x-3)(2+x) < 0

d)

x < -2. En este caso

'x-3)(2+x) > 0

Ahora procedemos a resolver la desigualdad a) Caso en que

x > 3

Multiplicando la desigualdad por

(x-3)(2+x)

el sentido de la desigual-

dad no se altera

(x-3K2+x)

es decir ) < (x O)2x x3-f x-2 < 2x 2 - Ox agrupando los términos tenemos 0 < x 2 - 7x + 2 o sea x 2 - 7x 4- 2 > 0 Resolviendo esta desigualdad, obtenemos qae

Puesto que estamos considerando que

x > 3 , entonces

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^7+^41 N i ^ — 2 ~ ' +O°)j

u

j

n

/o (3»

Por tanto:

c)

Caso en que

-2 < x < 3

Multiplicando la desigualdad por

(x-3)(2+x) el sentido de la desigual-

dad cambia:

(x-3'(2+x) 2~J es decir (2+x)(x-l) > (x-3)2x x2 + x-2 > 2x2~ 6x 0 > x 2 - 7x+2 0 sea x 2 - 7x+2 < 0 Resolviendo esta última desigualdad cuadrática obtenemos ,7-V4l x e ( 2

f

7-fv^, 2 ^

Como estamos considerando que

. . ( i f , *£í) n (-••, 3)

-2 < x < 3 9 entonces

- (-'-# , 3)

Por tanto

,7-/51

x e (—2~ , 3)

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d) Caso en que x < -2 Multiplicando la desigualdad por

(X-3)(2^K)

el sentido de la desigual

dad no cambia

Realizando las mismas operaciones que en el caso gualdad

a) obtenemos la desi-

x 2 - 7x + 2 > 0, cuya solución es

como obtuvimos en el caso a ) . Como en este caso estamos considerando

Por tanto

x < -2, entonces

x z (~®,-2)

Tomando el conjunto solución de los c&so3 a ) , c ) , d) obtenemos el conjunto solución de la desigualdad. x-1 , 2x 3^3 2+x es

U afeo

?

b)

°

e)

g) TIx" *1+2x

h)

6¿r s *+4 3x+l

c) x

< 2x

f)

> I -2

x-2 - x-5

fc

SOLUCIÓN:

a) (V2.O) U (/2,+«) ..

r

b) [

-y^l4-10

g

2

1 n f

f) ( - « , 2 ) U ( 5 , +•) /2ÍI-1O

. .

g— . +00)

, 5] « I

N

,

ii

g) (-«, - ~J h) (-3, -1) u('!' 3 >

c) (-3,0) u (2,+«o) d) (-=o,-3) U (2,+»)

Las siguientes aplicaciones de desigualdades cuadráticas serán útiles en el análisis del comportamiento de las funciones.

En particular d^ las

funciones poliñomiales de segundo grado,

I.- Encontrar el mínimo valor del número todo número real

.M

con la propiedad de que para

x

5+4x - x2 < M • El método que so utiliza para resolve: este tipo de problemas es el de completar el cuadrado.

Primoro trasformamos la desigualdad en una equivalen-

te que tenga el término en

x

esto se logra multiplicando por

con coeficiente positivo.

En nuestro caso

-l t lo cual invierte la desigualdad:

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(-l)(5+4x - x 2 ) > (-1) M es decir x 2 - 4x - 5 Z ~K Ahora sumamos 5 a ambos lados de La desigualdad rara obtener x 2 - 4x > 5-M Para completar un trinomio cuadrado perfecto sumamos la mitad del coeficiente de x elevado al cuadrado, obteniendo x 2 - 4x + 4 2 9-M Por tanto (x-2) 2 £ 9-M

_ ( * )

Esta última desigualdad es equivalente a la inicia]. interesa verificarla

Puesto que nos

para todo número real x, obser/amos que lo único

que podemos asegurar es que. (x-2) 2 £ 0

Vx € 1DR

entonces necesariamente debemos tener que 9 -M ~ 0 para que (x-2) 2 £ 9-M

Vx £ffi

Por tanto, el mínimo numero M 5+4x-x2 * H

tal que

Vx e IR

es M * 9 Observamos que si tomamos un valor para M ces la desigualdad (*) no se verifica para toda

que sea menor que 9 entonx £ IR. Por ejemplo si to-

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mamos M « 8.999y la desigualdad v*) sej á (x-2) 2 * 9-8.999 es decir (x-2) 2 > 0.001 y esta, última desigualdad nc se verifica si tomamos

x » 2.01 pues, en este

CcLSO

(%~2)2- (2,GI~2) 2 - ( 0 X 1 ) 2 - 0,0001 que claramente ea menor que 0.001 Un argumento sigilar se puede utilizar para demostrar que, en general* con cualquier número y

M « 9- e (con

por tanto» la desigualdad

£ > 0 ) , Tá desigualdad (*)

5t4x-x? < M

no se satisface para todo número

real x« Para una mejor comprensión del problema anterior daremos une interpretación geométrica: En la desigualdad

5-f^x-x2 á M, el polinomio

y * -x 2 + 4x + 5 repre-

u;;¿.-.u ^..^ "j^tníüiülü. vertical que se abre hacia abajo en un sistema d& coor^.•c^ii-uliiTúfi, como se muestra en la siguiente figura

"•j «

p*

- Xa

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Esta.parábola £i^e:c^Y S 0

-odo número real

x, entonces

se verifica para todo número real

que quere-

m-2~Q puesto t¡ue

x. Por tanto el

WÁKVMQ

valor

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de m para que m ^ x 2 - 6x + 11 Vx £ I

es m = 2

Obsérvese que si Lomamos un valor para m mayor a 2, entoices la desigualdad (**) ya no se vorifica para todo número real x.

La interpretación geométrica para este problema es la siguiente: En la desigualdad m áx a - 6x + 11, el polinomio y --• x3 - 6x + 11 « (x-3)a+2 es una parábola vertical que S B abre hacia arriba con vértice en el punto de coordenadas

(3,2), Esta parábola no intercepta al ejo x e intercepta

al eje y en 11, como mostramos en la figura siguiente:

En donde observamcar que el máximo valor que puede tomar m es m « 2 para que m 5 x a - 6x + Jl V X^IR.

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9. Encontrar el mínimo valor del número M con la propiedad de que V x e l : a) 2x - x 1 á M

b) 1 + 6x - xa s M

(Dar una interpretación gráfica del resultado) SOLUCIÓN a) M - 1

b) M m 10

10. Encontrar el máximo número m con la propiedad de que VxelR: a) 4x3 + 4x + 2 £ : 0 | -8 | * - ( - 8 ) , pues ~8 absoluto sin demostrar las. Nuestro objetivo es, irás biér-, presentar algurios ejemplos y problemas dor.de hagamos uso de estas propiedades. El lector interesado en la demostraciór de estas propiedades puede acudir a los textos da cálculo, o demostrarlas por sí mismo.

a.

|a| - |-a|

b.

|ab| a

0#

d.

a

para todo a £ K

|a||b|para todos a, b e I lal

l ¥ l * ib

para t o d c a € E

yb ^°

'

|a + b| 3|a| + |b | (Desigualdad del triángulo) para todo a, b e IR

e. |aj < b es equivalente a la desigualdad

-b b

e s equivalente a l a proposición ( a

>

b ó a


b a > b ó a < - b )

1. Encuentre los siguientes valores a)

|(-3)a|-

b)

»6(2) I

e

;

|(-3)3|«

c)

hl +3 - 4|-

^l

SOLUCIÓN a)

9

b) 27

c) 2

d) 1

e)

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El concepto de valor absoluto

es útil para expresar en forma sencilla

y compacta la distancia en':re dos puntos Pi

y

P2

de la recta numérica

cuyas coordenadas son x x y x 2 • Así

p, x3

Obsérvese que

|xx - x2i = |x2 - x x |.

Por ejemplo, la distancia entre los puntos cuvas coordenadas son y

2,-

-1 está dada por

|5-(-l | =* 6 ó

5

|(-1)-5| - 6

Enuncie en palabras las interpretaciónÍS geométricas de las siguientes expresiones, a) | x—2| < "J

b) |5 -2| > |l-3j

c) |x-l| > ¿

«0 |a-b| > 0

SOLUCIÓN c) x dista de 1 en más de 4 unidades

3,~ Describa los siguientes conjuntos de números usar.do el símbolo de valor absoluto y las desigualdades apropiadas* a) El conjunto de numeres cuya distancia a 3 es menor que 2* b) El conjunto de números c^iya distancia al origen es monor que 5. c) El conjunto de números cuya distancia a «1 es mayor que 3 d) El conjunto de números cuya distancia a -2

es menor que 4 y mayor

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o igual que 1. SOLUCIÓN a) {x e JR||x-3| < 2 }

b) {x e IR||x| < 5}

c){x ¿IR||x+l| > 3}

d) íx e » | 1 á |x + 2|