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• Ferral del Rosal Nadia Lizeth

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INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE ÁLAMO TEMAPACHE

Nombre de la asignatura: Matemáticas iniciales

Fecha:

14

Unidad temática: 2.Pensamiento algebraico

Grupo: 2SZA

/

03

/ 2020

Nombre del o los estudiantes 1. 2. 3.

Pamela Lizbeth López Osorio Edgar sair ferral del rosal Keren Azeneth Ramírez guzmán

4. 5. Datos generales del proceso de evaluación Producto: Problemario

Periodo escolar: Feb-Jul 2018

BUENO 20 puntos

REGULAR 15 puntos

DEFICIENTE 10 punto

Presenta la totalidad de ejercicios a resolver.

Entrega más del 80% de los ejercicios a resolver.

Presenta más del 60% de los ejercicios a resolver.

Presenta menos del 50% de los ejercicios a resolver.

Utiliza de forma adecuada la notación matemática acorde al tema involucrado.

Utiliza la notación matemática adecuada en un 80 %.

Utiliza la notación matemática pero no es la adecuada

No utiliza una notación matemática.

Utiliza un proceso adecuado al problema Utiliza un proceso adecuado al problema planteado. planteado. Refleja un razonamiento Refleja un razonamiento coherente pero poco coherente y ordenado. ordenado.

Utiliza un proceso parcialmente adecuado al problema planteado. No refleja un procedimiento coherente y es poco ordenado.

No utiliza un proceso adecuado al problema planteado. No refleja un procedimiento coherente y es poco ordenado.

RESULTADOS

Entre 91% - 100% de los resultados son correctos e interpreta de acuerdo con el requerimiento de los problemas.

Entre 81% - 90% de los resultados son correctos e interpretados de acuerdo con el requerimiento de los problemas.

Entre 70% - 80% de los resultados son correctos e interpretados de acuerdo con el requerimiento de los problemas.

Menos del 70% de los resultados son correctos e interpretados de acuerdo con el requerimiento de los problemas

TOTAL

100 PUNTOS

80 PUNTOS

60 PUNTOS

40 PUNTOS

CATEGORÍA

EJERCICIOS

EJECUCIÓN TÉCNICA

PROCEDIMIENTO

EXCELENTE 25 puntos

Valor:

Total Puntuación Retroalimentación:

Puntu ación

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE ÁLAMO TEMAPACHE

Suma de numeros complejos 5+5𝑖

+ 1+3𝑖 = 𝟔 + 𝟖𝒊

a) (5 + 5i) +(1 + 3i) =

8+4𝑖

b) (8 + 4i) + (3 + 9i) = + 3+9𝑖 = 𝟏𝟏 + 𝟏𝟑𝒊 5+3𝑖

c) (5 + 3i) + (3 + 12i) =+ 3+12𝑖 = 𝟖 + 𝟏𝟓𝒊 3+3𝑖

d) (3 + 3i )+ (2 + 2i )= + 2+2𝑖 = 𝟓 + 𝟓𝒊 e) (−5 + 3i) + (2 + 4i) =+ f) (2 + i )+ (1 + 3i) =+

−5+3𝑖

−5+3𝑖

= −𝟑 + 𝟕𝒊

2+4𝑖

g) (−2 + 2i) + (−5 + i) =+

= −𝟑 + 𝟕𝒊

2+4𝑖

−2+2𝑖

= −𝟕 + 𝟑𝒊

−5+𝑖

5−7𝑖

h) (5 − 7i) + (−10 + 2i) =+ −10+2𝑖 = −𝟓 − 𝟓𝒊 4+5𝑖

i) (4 + 5i) + (−4 + 6i) =+ −4+6𝑖 = 𝟎 + 𝟏𝟏𝒊 3+4𝑖

j) (3 + 4i) + (−2 + 5i) =+ −2+5𝑖 = 𝟏 + 𝟗𝒊

Resta de numeros complejos −5+5𝑖

−5+5𝑖

a) (−5 + 5i) – (2 − 10i) =− (2−10𝑖)

−2+10𝑖

10+𝑖

10+𝑖

b) (10 + i) – (1 − 10i )= − (1−10𝑖) −4−6𝑖

c) (−4 − 6i) – (2 + 4i) = − (2+4𝑖) 3−2𝑖

d) (3 − 2i )– (4 − 3i) =− (4−3𝑖) 4−8𝑖

e) (4 − 8i) – (2 − 2i) =− (2−2𝑖) 3−2𝑖

f) (3 − 2i) – (1 + 3i) =− (1+3𝑖) 3+2𝑖

g) (3 + 2i )– (5 − 6i )= − (5−6𝑖) 4+𝑖

h) (4 + i) – (3 − 2i) =− (3−2𝑖) 5+𝑖

i) (5 + i) – (5 + 3i )= − (5+3𝑖)

−1+10𝑖 −4−6𝑖 −2−4𝑖 3−2𝑖

4−8𝑖

= 𝟐 − 𝟓𝒊

−1−3𝑖 3+2𝑖

−5+6𝑖

−3+2𝑖 5+𝑖 −5−3𝑖

= −𝟔 − 𝟏𝟎𝒊

= 𝟐 − 𝟔𝒊

−2+2𝑖

4+𝑖

= −𝟗 + 𝟏𝟏𝒊

= −𝟏 + 𝟏𝒊

−4+3𝑖

3−2𝑖

= −𝟕 + 𝟏𝟓𝒊

= −𝟐 + 𝟖𝒊

= 𝟏 + 𝟑𝒊 = 𝟎 − 𝟐𝒊

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE ÁLAMO TEMAPACHE −1+3𝑖

j) (−1 + 3i) –( 2 − 3i) =− (2−3𝑖)

−1+3𝑖 −2+3𝑖

= −𝟑 + 𝟔𝒊

Multiplicacion de numeros complejos a) (3 − 2i) (1 − 4i) = 3 - 12i − 2i + 8i² = 3 - 14i + 8 (−1) = 3 -14i -8 = -5 -14i b) (3 + 0i) (3 − 3i )= 9 – 9i + 0i – 0i² = 9 - 9i c) (3 + 2i) (1 + i) = 3 + 3i + 2i + 2i² = 3 + 5i + 2 (-1) = 3 + 5i – 2 = 1 + 5i d) (2i) (4 − 3i) = 8i – 6i²= 8i -6(-1)= 6 + 8i e) (2i) (5i) = 10i² = 10(-1)= -10+ 0i f) (2 + 3i) (4 + 5i) = 8 + 10i + 12i + 15i² = 8 + 22i + 15(-1) = 8 + 22i -15 = -7 + 22i

g) (2 + i) (2 − 3i) = 4 – 6i + 2i – 3i² = 4 - 4i – 3(-1) = 4 – 4i + 3 = 7 – 4i

h) (4 − 3i) (5 + 6i) = 20 + 24i – 15i – 18i²= 20 + 9i – 18(-1)= 20 + 9i + 18= 38 + 9i

i) (6 − 3i) (3 − 2i )= 18 – 12i – 9i + 6i²= 18 -21i + 6(-1) = 18 – 21i -6 = 12 – 21i

j) (5 + 3i) (2 + 5i) = 10 + 25i + 6i + 15i²= 10 + 31i + 15(-1)= 10 + 31i -15= -5 + 31i

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE ÁLAMO TEMAPACHE

Multiplicacion de numeros complejos a) (2 − 2i) (2 − 3i) = 4 – 6i – 4i + 6i²= 4 -10i + 6(-1)= 4 -10i -6 = -2 -10i b) (1 + i) (5 − 2i) = 5 – 2i + 5i – 2i² = 5 + 3i -2(-1)= 5 + 3i + 2 = 7 + 3i

c) (4 + i) (2 + 3i) = 8 + 12i + 2i + 3i² = 8 + 14i + 3(-1)= 8 + 14i -3= 5 + 14i

d) (−3i) (3 − 2i) = -9i + 6i²= -9i +6(-1)= -9i -6 = -6 – 9i

e) (2i ) (−1 − 5i) = -2i – 10i²= -2i – 10(-1)= -2i + 10 = 10- 2i

f) (2 + 2i) (3 − 2i) = 6 – 4i + 6i – 4i²= 6 + 2i -4(-1)= 6 + 2i + 4= 10 + 2i

g) (3 + i) (2 − 2i) = 6 – 6i + 2i – 2i²= 6 -4i – 2(-1)= 6- 4i + 2= 8 -4i

h) (2 − 1i) (3 − 3i )= 6 – 6i – 3i + 3i²= 6 -9i + 3(-1)= 6 – 9i – 3= 3 -9i

i) (4 − 3i) (3 + 2i) = 12 + 8i – 9i – 6i²= 12 – 1i – 6(-1)= 12 – 1i + 6= 18 -1i

j) (4 + 2i) (1 + 5i) =4 + 20i + 2i + 10i²= 4 + 22i +10(-1)= 4 + 22i -10= -6 + 22i

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE ÁLAMO TEMAPACHE

Divison de numeros complejos: a) (5 + 5i) ÷ (1 – i) =

5+5𝑖

5+5𝑖

1−𝑖

4−8𝑖

b) (4 − 8i) ÷ (2 + 2i) =

1+𝑖

= ( 1−𝑖 ) ∗ (1+𝑖) = 4−8𝑖

5+5𝑖+5𝑖+5𝑖 2

5 + 10𝑖 +5(−1)

1+1𝑖−1𝑖−𝑖 2

1+ 𝑜𝑖−𝑖(−1)

2−2𝑖

= (2+2𝑖) ∗ (2−2𝑖) = 2+2𝑖

=

5+10𝑖−5

8−8𝑖−16𝑖+16𝑖 2

8−24𝑖 +16(−1)

4−4𝑖+4𝑖−4𝑖 2

4+0𝑖 −4(−1)

0+10𝑖

=

1+1

2

8−24𝑖−16

=

= 𝟎 + 𝟓𝒊 −8−24𝑖

=

4+4

8

=

−𝟏 − 𝟑𝒊

c) (5 − 10i )÷ (3 + 4i) = −25−50𝑖 25

5−10𝑖 3+4𝑖

3+3𝑖 2+2𝑖

e) (−5 − 3i) ÷ (2 + 4i) = 20

3−4𝑖

15−20𝑖−30𝑖+40𝑖 2

15−50𝑖 +40(−1)

9−12𝑖+12𝑖−16𝑖 2

9+0𝑖−16(−1)

=

15−50𝑖−40 9+16

=

= −𝟏 − 𝟐𝒊

d) (3 + 3i) ÷ (2 + 2i) =

−22+14𝑖

5−10𝑖

= ( 3+4𝑖 ) ∗ (3−4𝑖) =

3+3𝑖

=(

2+2𝑖

−5−3𝑖 2+4𝑖

2−2𝑖

)∗(

2−2𝑖

)=

−5−3𝑖

6−6𝑖+6𝑖−6𝑖 2

6+0𝑖−6(−1)

4−4𝑖+4𝑖−4𝑖 2

4+0𝑖−4(−1)

2−4𝑖

= ( 2+4𝑖 ) ∗ (2−4𝑖) =

=

6+6 4+4

12

=

= 𝟏. 𝟓 + 𝟎𝒊

8

−10+20𝑖−6𝑖+12𝑖 2

−10+14𝑖+12(−1)

4−8𝑖+8𝑖−16𝑖 2

4+0𝑖−16(−1)

−10+14𝑖−12

=

4+16

=

= 𝟏. 𝟏 + 𝟎. 𝟕𝒊

2+3𝑖

2+3𝑖

8−10𝑖+12𝑖−15𝑖 2

4−5𝑖

8+2𝑖−15(−1)

f) (2 + 3i) ÷ (4 + 5i) = 4+5𝑖 = (4+5𝑖) ∗ (4−5𝑖) = 16−20𝑖+20𝑖−25𝑖 2

16+0𝑖−25(−1)

8+2𝑖+15

=

16+25

23+2𝑖

=

41

=

𝟎. 𝟓𝟔 + 𝟎. 𝟎𝟓𝒊 g) (2 + i) ÷ (2 − 3i) =

2+𝑖

2+𝑖

2−3𝑖

4+6𝑖+2𝑖+3𝑖 2

2+3𝑖

4+8𝑖+3(−1)

= (2−3𝑖) ∗ (2+3𝑖) = 4+6𝑖−6𝑖−9𝑖 2

4+0𝑖−9(−1)

=

4+8𝑖−3 4+9

1+8𝑖

=

13

= 𝟎. 𝟎𝟖 +

𝟎. 𝟔𝟐𝒊

4−3𝑖

4−3𝑖

20−24𝑖−15𝑖+18𝑖 2

5−6𝑖

h) (4 − 3i) ÷ (5 + 6i )= 5+6𝑖 = (5+6𝑖) ∗ (5−6𝑖) = 25−30𝑖+30𝑖−36𝑖 2

20−39𝑖+18(−1) 25+0𝑖−36(−1)

20−39𝑖−18

=

25+36

=

2+39𝑖 61

=

𝟎. 𝟎𝟑 + 𝟎. 𝟔𝟒𝒊

6−3𝑖

6−3𝑖

3+2𝑖

i) (6 − 3i) ÷ (3 − 2i) = 3−2𝑖 = (3−2𝑖) ∗ (3+2𝑖) =

18+12𝑖−9𝑖−6𝑖 2

18+3𝑖−6(−1)

9+6𝑖−6𝑖−4𝑖 2

9+0𝑖−4(−1)

18+3𝑖+6

=

9+4

=

24+3𝑖 13

= 𝟏. 𝟖𝟓 +

𝟎. 𝟐𝟑𝒊

j) (5 + 3i) ÷ (2 + 5i )=

5+3𝑖

5+3𝑖

2−5𝑖

10−25𝑖+6𝑖−15𝑖 2

= (2+5𝑖) ∗ (2−5𝑖) = 4−10𝑖+10𝑖−25𝑖 2 2+5𝑖

10−19𝑖−15(−1) 4+0𝑖−25(−1)

=

10−19𝑖+15 4+25

=

25−19𝑖 29

=

𝟎. 𝟖𝟔 − 𝟎. 𝟔𝟔 division de numeros complejos a) (3 + 6i) ÷ (2 – i) =

3+6𝑖 2−𝑖

3+6𝑖

2+𝑖

= ( 2−𝑖 ) ∗ (2+𝑖) =

6+3𝑖+12𝑖+6𝑖 2

6+15𝑖+6(−1)

4+2𝑖−2𝑖−1𝑖 2

4+0𝑖−1(−1)

=

6+15𝑖−6 4+1

=

0+15𝑖 5

= 𝟎 + 𝟑𝒊

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2−4𝑖

2−4𝑖

2+4𝑖−4𝑖−8𝑖 2

1+2𝑖

2−8(−1)

b) (2 − 4i) ÷ (1 − 2i) = 1−2𝑖 = (1−2𝑖) ∗ (1+2𝑖) = 1+2𝑖−2𝑖−4𝑖 2

3−6𝑖

3−6𝑖

2−2𝑖

c) (3 − 6i) ÷ (2 + 2i) = 2+2𝑖 = (2+2𝑖) ∗ (2−2𝑖) =

2+8

= 1+0𝑖−4(−1)

10

= 1+4

6−6𝑖−12𝑖+12𝑖 2

6−18𝑖+12(−1)

4−4𝑖+4𝑖−4𝑖 2

4+0𝑖−4(−1)

5

= 𝟐 + 𝟎𝒊

6−18𝑖−12

=

4+4

−6−18𝑖

=

8

=

−𝟎. 𝟕𝟓 − 𝟐. 𝟐𝟓𝒊 3+𝑖

3+𝑖

3−6𝑖+1𝑖−2𝑖 2

1−2𝑖

d) (3 + i) ÷ (1 + 2i) = 1+2𝑖 = (1+2𝑖) ∗ (1−2𝑖) = 1−2𝑖+2𝑖−4𝑖 2 e) (−2 – i) ÷ (2 + 2i) =

−2−𝑖 2+2𝑖

−2−𝑖

2−2𝑖

= ( 2+2𝑖 ) ∗ (2−2𝑖) =

3−5𝑖−2(−1)

3−5𝑖+2

= 1+0𝑖−4(−1)

1+4

−4+4𝑖−2𝑖+2𝑖 2

−4+2𝑖+2(−1)

4−4𝑖+4𝑖−4𝑖 2

4+0𝑖−4(−1)

=

5−5𝑖

=

5

−4+2𝑖−2 4+4

=

=𝟏−𝒊 −6+2𝑖 8

=

−𝟎. 𝟕𝟓 + 𝟎. 𝟐𝟓𝑖 2+2𝑖

f) (2 + 2i) ÷ (1 + i) =

1+𝑖 2−𝑖

2+2𝑖

=(

1+𝑖

1−𝑖

)∗(

2−𝑖

1−𝑖

)=

2−2𝑖+2𝑖−2𝑖 2

2+0𝑖−2(−1)

1−𝑖+𝑖−𝑖 2

1+0𝑖−1(−1)

−

2−3𝑖

2

= (2+3𝑖) ∗ (2−3𝑖) = 4−6𝑖−2𝑖+3𝑖 2+3𝑖 4−6𝑖+6𝑖−9𝑖 2

g) (2 – i) ÷ (2 + 3i) =

=

4−8𝑖+3(−1) 4+0𝑖−9(−1)

2+2 1+1

4

=

4−8𝑖−3

=

= 𝟐 + 𝟎𝒊

2

4+9

=

1−8𝑖 13

= 𝟎. 𝟎𝟖 −

𝟎. 𝟔𝟐𝒊 2−3𝑖

2−3𝑖

3−6𝑖

h) (2 − 3i) ÷ (3 + 6i )= 3+6𝑖 = (3+6𝑖) ∗ (3−6𝑖) =

− 6−12𝑖−9𝑖+18𝑖 2 9−18𝑖+18𝑖−36𝑖 2

6−21𝑖+18(−1) 9+0𝑖−36(−1)

6−21𝑖−18

=

9+36

=

−12−21𝑖 45

−𝟎. 𝟐𝟕 − 𝟎. 𝟒𝟕i 3−3𝑖

3−3𝑖

3+2𝑖

i) (3 − 3i) ÷ (3 − 2i) =3−2𝑖 = (3−2𝑖) ∗ (3+2𝑖) =

− 9+6𝑖−9𝑖−6𝑖 2 9+6𝑖−6𝑖−4𝑖 2

9−3𝑖−6(−1) 9+0𝑖−4(−1)

=

9−3𝑖+6 9+4

=

15−3𝑖 13

= 𝟏. 𝟏𝟓 −

𝟎. 𝟐𝟑i 2+3𝑖

2+3𝑖

2+4𝑖

j) (2 + 3i) ÷ (2 − 4i )= 2−4𝑖 = (2−4𝑖) ∗ (2+4𝑖) =

− 4+8𝑖+6𝑖+12𝑖 2 4+8𝑖−8𝑖−16𝑖 2

4+14𝑖+12(−1) 4+0𝑖−16(−1)

=

−𝟎. 𝟒 + 𝟎. 𝟕𝒊

Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo Ejercicios: Calcular: a. 𝑖 55 = 𝒊𝟒(𝟏𝟑)+𝟑

𝒊𝟏𝟑 ∗ 𝒊𝟑 𝟏 ∗ −𝒊 = −𝒊

b. 𝑖 −43 =𝒊𝟒(𝟏𝟏)+𝟏

𝒊−𝟏𝟏 ∗ 𝒊𝟏 𝟏 ∗ 𝒊 = 𝒊

c. 𝑖 −23 =𝒊𝟒(−𝟔)+𝟏

𝒊−𝟔 ∗ 𝒊𝟏 𝟏 ∗ 𝒊 = 𝒊

4+14𝑖−12 4+16

=

−8+14𝑖 20

=

=

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𝑖 −6 =𝒊𝟒(−𝟐)+𝟐

d.

𝒊−𝟖 ∗ 𝒊𝟐 𝟏 ∗ −𝟏 = −𝟏

Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo

a) 2 − 3i = |z| = √22 + (−3)2 , 𝑧 = √4 + 9

= √𝟏𝟑,

−3

|𝐳| = 𝟑. 𝟔𝟎 tan−1

2

= −56.30 =

𝟑𝟎𝟑. 𝟔𝟗 b) 1 + i = |z| = √12 + (1)2 , 𝑧 = √1 + 1

= √𝟐,

c) 4 + i =|z| = √42 + (1)2 , 𝑧 = √16 + 1

= √𝟏𝟕,

d) −3i =|z| = √02 + (−3)2 , 𝑧 = √0 + 9

e) 2i =|z| = √02 + (2)2 , 𝑧 = √0 + 4

= √𝟒,

|𝐳| = 𝟐 tan−1

f) 2 + 2i = |z| = √22 + (2)2 , 𝑧 = √4 + 4

= √𝟖,

g) 3 + i = |z| = √32 + (1)2 , 𝑧 = √9 + 1

= √𝟏𝟎,

h) 2 − 1i = |z| = √22 + (−1)2 , 𝑧 = √4 + 1

1

= 𝟒𝟓

1

|𝐳| = 𝟒. 𝟏𝟐 tan−1

|𝐳| = 𝟑 tan−1

= √𝟗,

1

|𝐳| = 𝟏. 𝟒𝟎 tan−1

2 0

−3 0

4

= 𝟏𝟒. 𝟎𝟑

= 𝟐𝟕𝟎

= 𝟗𝟎

|𝐳| = 𝟐. 𝟖𝟐 tan−1

|𝐳| = 𝟑. 𝟏𝟔 tan−1

= √𝟓,

|𝐳| = 𝟐. 𝟐𝟑 tan−1

= √𝟐𝟓,

|𝐳| = 𝟓 tan−1

2 2

= 𝟒𝟓

1 3

= 𝟏𝟖. 𝟒𝟑

−1 2

= −26.56 =

𝟑𝟑𝟑. 𝟒𝟒

i) 4 − 3i =|z| = √42 + (−3)2 , 𝑧 = √16 + 9

−3 4

= −36.86 =

𝟑𝟐𝟑. 𝟏𝟒

j) 4 + 2i = |z| = √42 + (2)2 , 𝑧 = √16 + 4

= √𝟐𝟎,

|𝐳| = 𝟒. 𝟒𝟕 tan−1

2 4

= 𝟐𝟔. 𝟓𝟔

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Raíces de los polinomios de la forma

a)6x² -16x+8=0 𝑥 =

ax2+bx+c=0

−16±√(16)2 −4(6)(8) 2(6)

𝑥=

−16 ± √256 − 192 12 𝑥=

−16 ± √64 12

√𝑏 2 − 4𝑐 =√64 =√64 =√−1 =8i y las raíces son: X1 =

−𝟏𝟔+𝟖𝒊

= -1.3 + 0.6i

𝟏𝟐

b)z² − 4z + 8 = 0

𝑥=

X2=-1.3 – 0.6i

y

−4±√(−4)2 −4(1)(8) 2(1)

𝑥=

−4 ± √16 − 32 2

𝑥=

−4 ± √−16 12

√𝑏 2 − 4𝑐 =√−16 =√−16 =√−1 =4i y las raíces son: X1 =

−𝟒+𝟒𝒊 𝟐

= -2 + 2i

c)z² + z + 25 = 0

X2=-2 – 2i

y

𝑥=

−1±√(1)2 −4(1)(25) 2(1)

𝑥=

−1 ± √1 − 100 2

𝑥=

1 ± √−99 2

3

√𝑏 2 − 4𝑐 =√−99 =√−99 =√−1 =√11 = 9.94 y las raíces son: 3

X1 =

−𝟏+ √11 𝟐

= -0.5 + 4.97i

d)z² + 7z + 10 = 0

𝑥=

y

X2=-0.5 - 4.97i

−7±√(7)2 −4(1)(10) 2(1)

𝑥=

−7 ± √49 − 40 2

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𝑥=

−7 ± √9 2

√𝑏 2 − 4𝑐 =√9 =√9 =√−1 =3i y las raíces son: X1 =

−𝟕+𝟑𝒊 𝟐

= -3.5 + 1.5i

y

X2=-3.5 – 1.5i

Convertir a su forma rectangular (x,y) los siguientes números polares o trigonométricos:

a) (53, 160°)

Forma Binomica=

X= r cos ⊖

Y= r sen⊖

X= 53(cos (160)) =-49.80

Forma Trigonometrica=

Y= 53 (sen (160))= 18.12

z= r (cos ⊖ + i sen ⊖)

-49.80 + 18.12i

z= 53 (cos (160)+i sen (160)

Forma Exponencial = z=r𝑒 ⊖𝑖 i

b) 25 , −45°

Z = 53𝒆𝟏𝟔𝟎𝒊

Forma Binomica=

X= r cos ⊖

Y= r sen⊖

X= 25(cos (-45)) = 17.67

Forma Trigonometrica=

Y= 25 (sen (-45))= -17.67

z= r (cos ⊖ + i sen ⊖)

17.67 +(- 17.67i) Forma Exponencial = z=r𝑒 ⊖𝑖 i

c) 86, −115°

z= 25 (cos (-45)+i sen (-45) Z = 25𝒆−𝟒𝟓𝒊

Forma Binomica=

X= r cos ⊖

Y= r sen⊖

X= 86(cos (-115)) = -36.34

Forma Trigonometrica=

Y= 86 (sen (-115))= -77.94

z= r (cos ⊖ + i sen ⊖)

-36.34 +(- 77.94i) Forma Exponencial = z=r𝑒 ⊖𝑖 i

d) 24 , 120°

Forma Binomica=

z= 86 (cos (-115)+i sen (-115) Z = 86𝒆−𝟏𝟏𝟓𝒊

X= r cos ⊖

Y= r sen⊖

X= 24(cos (120)) = -12

Forma Trigonometrica=

Y= 24 (sen (120))=20.78

z= r (cos ⊖ + i sen ⊖)

-12 + 20.78i Forma Exponencial = z=r𝑒 ⊖𝑖 i

z= 24(cos (120)+i sen (120) Z = 24𝒆𝟏𝟐𝟎𝒊

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE ÁLAMO TEMAPACHE

e) 10, 90°

Forma Binomica=

X= r cos ⊖

X= 10(cos (90)) = 0

Forma Trigonometrica=

Y= 10 (sen (90))=10

z= r (cos ⊖ + i sen ⊖)

0+ 10i

z= 10(cos (90)+i sen (90)

Forma Exponencial = z=r𝑒 ⊖𝑖 i

f) 𝑒 3ᴫ𝑖

Forma Binomica=

Z = 10𝒆𝟗𝟎𝒊

X= r cos ⊖

Y= r sen⊖

X= 1(cos (3ᴫ)) = -1

Forma Trigonometrica=

Y= 1 (sen (3ᴫ))=0

z= r (cos ⊖ + i sen ⊖)

-1+ 0i

z= 1(cos (3ᴫ)+i sen (3ᴫ)

Forma Exponencial = z=r𝑒 ⊖𝑖 i

g) e3πi

Z = 1𝒆𝟑ᴫ𝒊

Forma Binomica=

X= r cos ⊖

Forma Trigonometrica=

Y= 1 (sen (3ᴫ))=0

z= r (cos ⊖ + i sen ⊖) z= 1(cos (3ᴫ)+i sen (3ᴫ)

Forma Exponencial = z=r𝑒 ⊖𝑖 i

Z = 1𝒆𝟑ᴫ𝒊

π

h) 6𝑒 6 𝑖

Forma Binomica=

X= r cos ⊖

π

X= 6(cos (6 )) = 3√𝟑 π

𝟔√𝟑 𝟔 𝟐

, 𝟐 = 3√𝟑, 3

Forma Exponencial = z=r𝑒 ⊖𝑖 i

5π

Forma Binomica= X= 4(cos (− Y= 4 (sen (−

5π 6

)) =- 2√3

5π 6

))= -2

Y= r sen⊖

Forma Trigonometrica= z= r (cos ⊖ + i sen ⊖)

Y= 6 (sen (6 ))= 3

i) 4𝑒 − 6 𝑖

Y= r sen⊖

X= 1(cos (3ᴫ)) = -1

-1+ 0i

√𝟑 𝟏 , , 𝟐 𝟐

Y= r sen⊖

𝛑

𝛑

z= 6(cos (𝟔)+i sen (𝟔) 𝛑

Z = 6𝒆𝟔𝒊

X= r cos ⊖

Y= r sen⊖ Forma Trigonometrica= z= r (cos ⊖ + i sen ⊖)

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE ÁLAMO TEMAPACHE

−√𝟑 𝟏 𝟐

, 𝟐,

−

𝟒√𝟑 𝟒 𝟐

, 𝟐 = -2√𝟑, 2

Forma Exponencial = z=r𝒆⊖𝒊 i

z= 4(cos (−

𝟓𝛑 𝟔

)+i sen (−

𝟓𝛑 𝟔

)

𝟓𝛑

Z = 4𝒆− 𝟔 𝒊

Convertir a su forma Pólar, trigonométricas y exponenciales los siguientes números rectangulares r = √52 + 52 a) 5+5i=

r = √x 2 + y 2

r = √25 + 25 𝑟 = √50

5

tan−1 5 =

tan−1(1) θ=45°

Formula polar=( √50, 45°) Trigonométricas= √50( cos 45° + isen 45°) Exponencial = z=√50𝑒

b) 4-8i=

r = √x 2 + y 2

45°𝑖

r = √42 + 82 r = √16 + 64 𝑟 = √80

8

tan−1 4=

θ= - 63.43° θ= 296.57° Formula Polar= = √80,296.56°

Trigonométrica= √80(cos 296.67° + isen 296.57°) Exponencial= z=√80𝑒

c) 2+3i

3

tan−1 2=

296.57°𝑖

r = √x 2 + y 2

θ=56.30°

r = √22 + 32 r = √4 + 9 𝑟 = √13 Formula Polar= = √13,56.30° Exponencial= z=√13𝑒

Trigonométrica= √13(cos 56.30° + isen 56.30°)

d) 6+8i

r = √x 2 + y 2

r = √62 + 82 r = √36 + 64

56.30°𝑖

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE ÁLAMO TEMAPACHE

𝑟 = √100 8

tan−1 6=

θ=53.13° Formula Polar = √100,53.13°

Exponencial= z=√100𝑒

53.13°𝑖

e) 8+12i r = √x 2 + y 2

r = √82 + 122 r = √64 + 144 𝑟 = √208

tan−1

12 8

=

θ=56.30° Formula Polar= √208,56.30° Exponencial= z=√208𝑒

f) 6+4i

r = √x 2 + y 2

56.30°𝑖

r = √62 + 42 r = √36 + 16 𝑟 = √52

4

tan−1 6=

θ=33.69° Formula Polar= √52,33.69°

Exponencial= z=√52𝑒

g) 3+7i

33.69°𝑖

r = √x 2 + y 2

r = √32 + 72 r = √9 + 49 𝑟 = √58

7

tan−1 3=

θ=66.80° Formula Polar= √58,66.80°

Exponencial= z=√58𝑒

h) -4+3i

r = √x 2 + y 2

66.80°𝑖

r = √−42 + 32 r = √16 + 9 𝑟 = √25

3

tan−1 −4=

θ=323.11° Formula Polar= √25,323.11°

θ=360-36.89

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE ÁLAMO TEMAPACHE

Exponencial= z=√25𝑒

i) 5-8i =

323.11°𝑖

r = √x 2 + y 2

r = √52 + 82 r = √25 + 64 𝑟 = √89

8

tan−1 5=

θ=57.994° Formula Polar= √89,57.994°

Exponencial= z=√89𝑒

57.994°𝑖

j) -4-3i r = √x 2 + y 2

r = √−42 + (−3)2 r = √16 + 9 𝑟 = √25

−3

tan−1 −4=

θ=36.86° Formula Polar= √25,36.86°

Exponencial= z=√25𝑒

36.86°𝑖