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PROBLEMA 18.56. ̇

Determine la razón de cambio ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐇𝐆 de la cantidad de movimiento angular del disco del problema 18.2. PROBLEMA 18.2 Un disco homogéneo delgado de masa m y radio r gira a la razón 𝝎𝟏 constante alrededor de un eje que se sostiene mediante una varilla terminada en horquilla, la cual gira a razón constante 𝝎𝟐 . Determine la cantidad de movimiento angular ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑯𝑮 del disco alrededor de su centro de masa G.

Solución ̇

⃗⃗⃗⃗⃗⃗G ) se  Sabemos que la razón de cambio de la cantidad movimiento angular (H expresa de la forma, ̇ ̇ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒙⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐇𝐆 = (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐇𝐆 )𝑮𝒙𝒚𝒛 +  𝑯𝑮

Donde: ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑯𝑮 : Cantidad de movimiento angular del cuerpo con respecto al sistema de referencia 𝑮𝑿´𝒀´𝒁´ de orientación fija. ̇ (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐇𝐆 )𝑮𝒙𝒚𝒛: Razón de cambio de ⃗⃗⃗⃗⃗ HG con respecto al sistema de referencia en rotación 𝑮𝑿𝒀𝒁 ⃗⃗⃗⃗⃗ : Velocidad angular del sistema de  referencia en rotación 𝑮𝑿𝒀𝒁 .

⃗⃗⃗⃗⃗G ),  Calculamos la cantidad de movimiento angular (H ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐇𝐆 = (𝑯𝒙 ; 𝑯𝒚 ; 𝑯𝒛 ) 𝑯𝒙 = ̅𝑰𝒙 ∗ 𝝎𝒙 − ̅𝑰𝒙𝒚 ∗ 𝝎𝒚 − ̅𝑰𝒙𝒛 ∗ 𝝎𝒛 𝑯𝒚 = −𝑰̅𝒚𝒙 ∗ 𝝎𝒙 + ̅𝑰𝒚 ∗ 𝝎𝒚 − ̅𝑰𝒚𝒛 ∗ 𝝎𝒛 𝑯𝒛 = −𝑰̅𝒛𝒙 ∗ 𝝎𝒙 − ̅𝑰𝒛𝒚 ∗ 𝝎𝒚 + ̅𝑰𝒛 ∗ 𝝎𝒛 Velocidad angular: Del gráfico tenemos,

⃗⃗⃗ = (𝟎; 𝝎𝟐 ; 𝝎𝟏 ) 𝝎 Momentos de inercia: Del disco homogéneo respecto a los ejes principales XYZ,

Para nuestro disco homogéneo tenemos:

𝐈̅𝐱 =

𝟏 𝐦𝐫 𝟐 ; 𝟒

𝐈̅𝐲 =

𝟏 𝐦𝐫 𝟐 ; 𝟒

̅𝐈𝐳 =

𝟏 𝐦𝐫 𝟐 𝟐

Productos de inercia: Por simetría del cuerpo respecto a los ejes XYZ,

𝐈̅𝐱𝐲 = 𝐈̅𝐲𝐳 = 𝐈̅𝐳𝐱 = 𝟎

Remplazando obtenemos:

𝑯𝒙 = ̅𝑰𝒙 ∗ 𝝎𝒙 − ̅𝑰𝒙𝒚 ∗ 𝝎𝒚 − ̅𝑰𝒙𝒛 ∗ 𝝎𝒛 = 𝟎 − 𝟎 − 𝟎 = 𝟎 𝟏

𝟏

𝟒

𝟒

𝑯𝒚 = −𝑰̅𝒚𝒙 ∗ 𝝎𝒙 + 𝑰̅𝒚 ∗ 𝝎𝒚 − 𝑰̅𝒚𝒛 ∗ 𝝎𝒛 = −𝟎 + 𝐦𝐫𝟐 ∗ 𝝎𝟐 − 𝟎 = 𝐦𝐫𝟐 ∗ 𝝎𝟐 𝟏

𝟏

𝟐

𝟐

𝑯𝒚 = −𝑰̅𝒛𝒙 ∗ 𝝎𝒙 − ̅𝑰𝒛𝒚 ∗ 𝝎𝒚 + ̅𝑰𝒛 ∗ 𝝎𝒛 = −𝟎 − 𝟎 + 𝐦𝐫𝟐 ∗ 𝝎𝟏 = 𝐦𝐫𝟐 ∗ 𝝎𝟏 

𝟏 𝟏 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐇𝐆 = (𝟎; 𝐦𝐫 𝟐 ∗ 𝛚𝟐 ; 𝐦𝐫 𝟐 ∗ 𝛚𝟏 ) 𝟒

𝟐

⃗⃗⃗⃗⃗ ) del sistema de referencia en rotación 𝑮𝑿𝒀𝒁 :  La Velocidad angular (

⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝟎; 𝝎𝟐 ; 𝟎)   Razón de cambio de ⃗⃗⃗⃗⃗ HG con respecto al sistema de referencia en rotación ⃗⃗⃗⃗⃗𝐆̇ )𝑮𝒙𝒚𝒛 ) 𝑮𝑿𝒀𝒁 ((𝐇 ⃗⃗⃗⃗⃗̇ ) (𝐇 =𝟎 𝐆 𝑮𝒙𝒚𝒛

Entonces remplazando: ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒙𝑯 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗𝐆̇ )𝑮𝒙𝒚𝒛 +  ⃗⃗⃗⃗⃗𝑮 𝐇𝐆̇ = (𝐇 𝟏 𝟏 ⃗⃗⃗⃗⃗𝐆̇ = 𝟎 + (𝟎; 𝝎𝟐 ; 𝟎)𝒙(𝟎; 𝐦𝐫 𝟐 ∗ 𝛚𝟐 ; 𝐦𝐫 𝟐 ∗ 𝛚𝟏 ) 𝐇 𝟒 𝟐 𝟏 𝟏 ⃗) ⃗⃗⃗⃗⃗𝐆̇ = (𝝎𝟐 𝐣) 𝒙 ( 𝐦𝐫 𝟐 ∗ 𝛚𝟐 𝐣 + 𝐦𝐫 𝟐 ∗ 𝛚𝟏 𝒌 𝐇 𝟒 𝟐 𝟏 𝟏 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐇𝐆̇ = 𝐦𝐫 𝟐 ∗ 𝛚𝟏 𝝎𝟐 𝐢 = ( 𝐦𝐫 𝟐 ∗ 𝛚𝟏 𝝎𝟐 ; 𝟎; 𝟎) 𝟐 𝟐

PROBLEMA 18.93. Dos discos, cada uno de 5 kg de masa y 100 mm de radio, giran como se muestra a la razón 𝝎𝟏 = 𝟏 𝟓𝟎𝟎 𝒓𝒑𝒎 alrededor de una barra AB de masa despreciable que gira alrededor de un eje vertical Z a la razón 𝝎𝟐 = 𝟒𝟓 𝒓𝒑𝒎. a) Determine las reacciones dinámicas en los puntos C y D. b) Resuelva el inciso a) suponiendo que se invierte la dirección de giro del disco B.

Solución ⃗⃗⃗⃗⃗G ) de cada disco sobre  Calculamos la cantidad de movimiento angular (H su centro de masa, ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐇𝐆 = (𝑯𝒙 ; 𝑯𝒚 ; 𝑯𝒛 ) 𝑯𝒙 = ̅𝑰𝒙 ∗ 𝝎𝒙 − ̅𝑰𝒙𝒚 ∗ 𝝎𝒚 − ̅𝑰𝒙𝒛 ∗ 𝝎𝒛 𝑯𝒚 = −𝑰̅𝒚𝒙 ∗ 𝝎𝒙 + ̅𝑰𝒚 ∗ 𝝎𝒚 − ̅𝑰𝒚𝒛 ∗ 𝝎𝒛 𝑯𝒚 = −𝑰̅𝒛𝒙 ∗ 𝝎𝒙 − ̅𝑰𝒛𝒚 ∗ 𝝎𝒚 + ̅𝑰𝒛 ∗ 𝝎𝒛 Velocidad angular: Del gráfico tenemos,

⃗⃗⃗ = (−𝝎𝟏 ; 𝝎𝟐 ; 𝟎) 𝝎

Momentos de inercia: Del disco homogéneo respecto a los ejes principales XYZ,

Para nuestro disco tenemos:

𝐈̅𝐱 =

𝟏 𝐦𝐫 𝟐 ; 𝟐

𝐈̅𝐲 =

𝟏 𝐦𝐫 𝟐 ; 𝟒

̅𝐈𝐳 =

𝟏 𝐦𝐫 𝟐 𝟒

Productos de inercia: Por simetría del cuerpo respecto a los ejes XYZ,

𝐈̅𝐱𝐲 = 𝐈̅𝐲𝐳 = 𝐈̅𝐳𝐱 = 𝟎 Remplazando obtenemos: 𝑯𝒙 = 𝑰̅𝒙 ∗ 𝝎𝒙 − 𝑰̅𝒙𝒚 ∗ 𝝎𝒚 − 𝑰̅𝒙𝒛 ∗ 𝝎𝒛 =

𝟏 𝟏 𝐦𝐫 𝟐 ∗ (−𝝎𝟏 ) − 𝟎 − 𝟎 = − 𝐦𝐫 𝟐 ∗ 𝝎𝟏 𝟐 𝟐

𝟏 𝟏 𝑯𝒚 = −𝑰̅𝒚𝒙 ∗ 𝝎𝒙 + 𝑰̅𝒚 ∗ 𝝎𝒚 − 𝑰̅𝒚𝒛 ∗ 𝝎𝒛 = −𝟎 + 𝐦𝐫 𝟐 ∗ 𝝎𝟐 − 𝟎 = 𝐦𝐫 𝟐 ∗ 𝝎𝟐 𝟒 𝟒

𝑯𝒛 = −𝑰̅𝒛𝒙 ∗ 𝝎𝒙 − ̅𝑰𝒛𝒚 ∗ 𝝎𝒚 + ̅𝑰𝒛 ∗ 𝝎𝒛 = −𝟎 − 𝟎 + 𝟎 = 𝟎 

𝟏 𝟏 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐇𝐆 = (− 𝐦𝐫 𝟐 ∗ 𝝎𝟏 ; 𝐦𝐫 𝟐 ∗ 𝛚𝟐 ; 𝟎) 𝟐

𝟒

⃗⃗⃗⃗⃗ ) del sistema de referencia en rotación 𝑮𝑿𝒀𝒁 :  La Velocidad angular (

⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝟎; 𝝎𝟐 ; 𝟎)   Razón de cambio de ⃗⃗⃗⃗⃗ HG con respecto al sistema de referencia en rotación ⃗⃗⃗⃗⃗𝐆̇ )𝑮𝒙𝒚𝒛 ) 𝑮𝑿𝒀𝒁 ((𝐇 ⃗⃗⃗⃗⃗̇ ) (𝐇 =𝟎 𝐆 𝑮𝒙𝒚𝒛

Entonces remplazando: ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒙𝑯 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗𝐆̇ )𝑮𝒙𝒚𝒛 +  ⃗⃗⃗⃗⃗𝑮 𝐇𝐆̇ = (𝐇

𝟏 𝟏 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐇𝐆̇ = 𝟎 + (𝟎; 𝝎𝟐 ; 𝟎)𝒙 (− 𝐦𝐫 𝟐 ∗ 𝝎𝟏 ; 𝐦𝐫 𝟐 ∗ 𝛚𝟐 ; 𝟎) 𝟐 𝟒 𝟏 𝟏 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐇𝐆̇ = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐇𝐀̇ = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐇𝐁̇ = 𝐦𝐫 𝟐 ∗ 𝛚𝟏 𝝎𝟐 𝐤 = (𝟎; 𝟎; 𝐦𝐫 𝟐 ∗ 𝛚𝟏 𝝎𝟐 ) 𝟐 𝟐  Ecuaciones de movimiento.

Sabemos que:

⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑮 = ⃗⃗⃗⃗⃗ ∑𝑴 𝐇𝐆̇ ⃗⃗⃗⃗𝑨 y 𝒎𝒂 ⃗⃗⃗⃗⃗𝑩 de la misma magnitud y tienen Como vemos las dos fuerzas 𝒎𝒂 sentidos opuestos, estos se anulan, quedando sola las fuerzas efectivas: ⃗⃗⃗⃗⃗𝐆̇ 𝟐𝐇 ⃗⃗⃗⃗⃗𝐆̇ = (𝟎; 𝟎; 𝐦𝐫 𝟐 ∗ 𝛚𝟏 𝝎𝟐 ) 𝟐𝐇 𝑫𝒊 = −𝑪𝒊 ⃗| ⃗⃗ | = |𝑪 |𝑫

Entonces,

⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑮 = ⃗⃗⃗⃗⃗ ∑𝑴 𝐇𝐆̇ ⃗ = 𝐦𝐫 𝟐 ∗ 𝛚𝟏 𝝎𝟐 ⃗𝒌 𝑫 ∗ 𝟎. 𝟑𝒌 ⃗ = 𝑫𝒌

𝐦𝐫 𝟐 ∗ 𝛚𝟏 𝝎𝟐 ⃗ 𝒌 𝟎. 𝟑

Entonces el módulo de será:

⃗⃗ | = 𝐦𝐫 |𝑫 Remplazando los datos del problema: 𝝎𝟏 = 𝟏 𝟓𝟎𝟎 𝒓𝒑𝒎 = 𝟓𝟎𝝅

𝒓𝒂𝒅 𝒔

𝟐 ∗𝛚 𝝎 𝟏 𝟐

𝟎.𝟑

m=5 kg; r=0.1m;

; 𝝎𝟐 = 𝟒𝟓 𝒓𝒑𝒎 = 𝟏. 𝟓𝝅

𝒓𝒂𝒅 𝒔

,

a) ⃗|= ⃗⃗ | = |𝑪 |𝑫

𝒓𝒂𝒅 𝒓𝒂𝒅 ∗ 𝟏. 𝟓𝝅 𝒔 𝒔 𝟎. 𝟑

𝟓 ∗ 𝟎. 𝟏𝟐 ∗ 𝟓𝟎𝝅

⃗ | = 𝟏𝟐𝟑. 𝟑𝟕𝑵 ⃗⃗ | = |𝑪 |𝑫 ⃗⃗⃗⃗ = (𝟏𝟐𝟑. 𝟑𝟕𝑵)𝒊 ; ⃗⃗⃗ 𝑫 𝑪 = (−𝟏𝟐𝟑. 𝟑𝟕𝑵)𝒊

b) Cuando se invierte la dirección de giro del disco B, su momento angular también se invertirá y el efecto efectivo, por lo tanto las fuerzas (reacciones) aplicadas se reducen a cero. ⃗⃗⃗⃗⃗𝐁̇ , entonces; Es decir ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐇𝐀̇ = −𝐇

⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑮 = ⃗⃗⃗⃗⃗ ∑𝑴 𝐇𝐆̇ = 𝟎 Por lo tanto; ⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗ 𝑫 𝑪 =𝟎