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• Abdiel Malek

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Tarea # 1 Problema # 1:

2 n  1

1  2

Pruebe que:



1  n n

paratodo n 

.

Prueba:

Primero probaremos que 1 

1  2



1  n n

paratodo n 

Por inducción sobre n, tenemos: Si n=2

1

1  2 2

paratodo n  .

De lo contrario si multiplicamos por

Así: 1 

1  2 2

2 , tenemos

paratodo n  .

Supongamos que: 2 k  1 

1  2



1  k k

Probemos que: 2 n  1  1 

1  2



1  n 1 n 1

Por hipótesis de inducción tenemos que:

2 k  1

1  2

2  1  2 , lo cual no es cierto.



1  k k

(*)

paratodo k  .

paratodo (k  n  1) 

Como

1

1  2

1  0 se tiene que sumándolo a ambas partes de (*), se tiene: k 1



1 1 1   k k k 1 k 1 

 k 



1

1  2



k 1



k 1 k  k  1  1 k 1

1 1 kk  1   k k 1 k 1 k 1  k 1  k 1

Así :1 

1  2



1 1   k 1 k k 1

Ahora probaremos que 2 n  1 

1  2



1 n

Por inducción sobre n, tenemos: Si n=2

1

1 2 2 2

paratodo n  .

De lo contrario si

Así: 1 

1 2 2 2

2  1  4 , lo cual no es cierto.

paratodo n  .

paratodo n 

Supongamos que:

1 1   1 2



1 2 k k

paratodo k 

( Hipótesis de inducción) .

Probemos que:

1 1   1 2



1 1   2 n 1 n n 1

Note que: En efecto:

1 1   1 2



1 1 1   2 n n n 1 n 1 

2 n(n  1)  1

n 1 2(n  1)  n 1  2 n 1