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Taller Preparcial 1- Probabilidad y Estadística Fundamental Valentina Bueno Valles

1. Establecer qué tipo de variable (cuantitativa-discreta, continua; cualitativa-nominal, ordinal) y qué tipo de escala tienen las siguientes variables. a. Resultado de una prueba de embarazo. Cualitativa nominal. b. Velocidad. Cuantitativa continua. c. IPC. Cuantitativa continua. d. Índice de Gini. Cuantitativa continua. e. Nota de este taller. Cuantitativa continua. f. Situación laboral (empleado, desempleado) Cualitativa nominal. g. Duración de una canción. Cuantitativa continua. h. Índice General de la Bolsa de Valores. Cuantitativa continua. i. Estrato socioeconómico. Cualitativa ordinal. j. Clasificación nivel de inglés. Cualitativa ordinal. k. Canales de televisión. Cualitativa nominal. l. Etnia. Cualitativa nominal. 2. Se lanzan dos dados, sea el evento A=” el resultado del primer lanzamiento es cuatro” y al evento B=” el segundo lanzamiento es un número par”. ¿Son A y B independientes? Sí son eventos independientes porque el evento B no provoca efecto alguno sobre el A ya que es el primer lanzamiento y B hace referencia al segundo, así como A no afecta a B debido a que independientemente de lo que haya sucedido en el primer lanzamiento, se da otra condición en el segundo que no se ve afectado. 3. En mercurio un año dura 88 días, calcular la probabilidad de que en un grupo de 15 extraterrestres dos cumplan años el mismo día. Por medio de la paradoja del cumpleaños se sabe que es mucho más fácil evaluar el caso complementario así que se establece a A= “En un grupo de 15

extraterrestres, dos cumplen años el mismo día” y, por lo tanto, Ac = “En un grupo de 15 extraterrestres NO hay dos que cumplan el mismo día” y analizando el comportamiento de Ac se sabe que cada día debe cumplir un extraterrestre y no hay días repetidos por lo que 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 88 88 88 88 88 88 88 88 88 88 88 88 88 88 Representa la probabilidad de Ac que tiene un valor de 0.282 y como es el evento complementario de A y se debe cumplir que P(A)+P(Ac)=1, entonces se sabe que P(A)=1-P(Ac)=1-0.282=0.718 4. La probabilidad de que un vehículo que entra a las Cavernas Luray tenga matrícula de Canadá es 0.12, la probabilidad de que sea una casa rodante es 0.28 y la probabilidad de que sea una casa rodante con matrícula de Canadá es 0.09. ¿Cuál es la probabilidad de que: a. Una casa rodante que entra a las Cavernas Luray tenga matrícula de Canadá? 𝑃(𝐵/𝐴) =

𝑃 (𝐴 ∩ 𝐵) 0.09 = = 0.3214 𝑃 (𝐵) 0.28

b. Un vehículo con matrícula de Canadá que entra a las Cavernas Luray sea una casa rodante? 𝑃 (𝐴/𝐵) =

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 0.09 = = 0.75 𝑃 (𝐴) 0.12

c. Un vehículo que entra a las Cavernas Luray no tenga matrícula de Canadá o no sea una casa rodante? 𝑃 (𝐴𝑐 ∪ 𝐵𝑐 ) = 𝑃(𝐴𝑐 ) + 𝑃 (𝐵𝑐 ) − 𝑃(𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐 ) 𝑃(𝐴𝑐 )𝑃(𝐵𝑐 ) = 0.88 + 0.72 − 𝑃(𝐵𝑐 ) 0.88 ∗ 0.72 = 0.88 + 0.72 − 0.72 𝑃(𝐴𝑐 ∪ 𝐵𝑐 ) = 0.72 NOTA: Para este problema se define lo siguiente: A= “vehículo con matrícula de Canadá que entra a las Cavernas Luray” B= “vehículo que es casa rodante” P(A)=0.12 P(B)=0.28 P(A∩B)=0.09

5. Suponga que usted le pide a un compañero de curso que lo inscriba a la asignatura Matemáticas sin Esfuerzo que se ofrecerá el próximo semestre en la universidad. Si su compañero olvida hacer la inscripción en los plazos determinados, la probabilidad de que usted obtenga el cupo es de 2%, en tanto que, si su compañero hace la inscripción a tiempo, la probabilidad de que usted consiga el cupo es del 80%. Usted está seguro, en el 95%, de que su compañero hará la inscripción a tiempo. Si usted no obtuvo el cupo, ¿a qué es igual la probabilidad de que su compañero haya olvidado inscribirlo a tiempo?

El problema plantea que sabiendo que no se obtuvo cupo, ¿cuál es la probabilidad de que el compañero haya olvidado hacer la inscripción a tiempo?, por lo que se representa así: A= “Compañero olvida inscribir la materia a tiempo” B= “No se recibe cupo” 𝑃 (𝐴/𝐵) =

𝑃(𝐴)𝑃(𝐵/𝐴) 0.05 ∗ 0.98 = = 0.205 ∑ 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵/𝐴) (0.05 ∗ 0.98) + (0.95 ∗ 0.20)

Por lo tanto, la probabilidad de que el compañero haya olvidado hacer la inscripción a tiempo dado que no se recibió cupo es de 20.5% 6. Si se lanza un dado cuatro veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener resultados diferentes? Para que se obtengan resultados diferentes debe suceder que no se repita un mismo número en los siguientes lanzamientos por lo que se obtiene lo siguiente: 6 5 4 3 60 ∗ ∗ ∗ = = 0.278 6 6 6 6 34 Entonces la probabilidad de obtener resultados diferentes en cuatro lanzamientos de un dado es de 27.8%

7. Una pequeña compañía manufacturera iniciará un turno de noche. Hay 20 mecánicos empleados por la compañía. a. Si una cuadrilla nocturna que compone de 3 mecánicos, ¿cuántas cuadrillas diferentes son posibles? Como no importa el orden en que se hagan las cuadrillas se emplea la combinación para obtener la cantidad de cuadrillas así: (

20 ) = 1140 3

Por lo tanto, existen 1140 cuadrillas posibles. b. Si los mecánicos están clasificados 1, 2, …, 20 en orden de competencia, ¿cuántas de estas cuadrillas no incluirían al mejor mecánico? Como no se incluye al mejor mecánico entonces ahora la empresa deberá elegir entre 19 mecánicos la forma de hacer las cuadrillas de modo que se vuelve a emplear la combinación así: (

19 ) = 969 3

Por lo tanto, existen 969 cuadrillas posibles. c. ¿Cuántas de las cuadrillas tendrían por lo menos 1 de los 10 mejores mecánicos? Al igual que en la paradoja del cumpleaños es mucho más sencillo evaluar el caso en donde no hay ninguno de los mejores 10 mecánicos así que si existen cuadrillas que no tienen al menos a uno de los 10 mejores mecánicos significa que la empresa debe elegirlas entre los otros 10 mecánicos disponibles por lo que una vez más se emplea combinación así: (

10 ) = 120 3

Por lo tanto, de todas las cuadrillas disponibles que se hallaron (1140) se deben quitar aquellas en las que no hay ninguno de los 10 mejores mecánicos entonces 1140-120=1020 son las cuadrillas que tienen por lo menos a uno de los 10 mejores mecánicos. 8. Un grupo de estudiantes de física avanzada se compone de 10 alumnos de primer año, 30 del último año y 10 graduados. Las calificaciones finales muestran que 3 estudiantes de primer año, 10 del último año y 5 de los graduados obtuvieron 10 en el curso. Si se elige un estudiante al azar de este grupo y se descubre que es uno

de los que obtuvieron 10 de calificación, ¿cuál es la probabilidad de que sea un estudiante de último año?

El problema plantea que sabiendo que el estudiante elegido obtuvo nota de 10, ¿cuál es la probabilidad de que sea de último año?, por lo que se representa así: A= “Estudiante de último año” B= “Sacó una nota de 10” 𝑃 (𝐴/𝐵) =

𝑃(𝐴)𝑃(𝐵/𝐴) 0.6 ∗ 0.333 = = 0.5553 ∑ 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵/𝐴) (0.6 ∗ 0.333) + (0.2 ∗ 0.3) + (0.2 ∗ 0.5)

Por lo tanto, la probabilidad de que el estudiante sea de último año dado que obtuvo una nota de 10 es de 55.53% 9. Considere lanzar en forma independiente dos dados imparciales, uno rojo y otro verde. Sea A el evento en el que el dado rojo muestra 3 puntos, B el evento en el que el dado verde muestra 4 puntos y C el evento en que el número total de puntos que muestran los dos dados es 7. ¿Son estos eventos independientes por pares? (es decir, ¿son A y B eventos independientes, son A y C eventos independientes y son B y C eventos independientes?) ¿Son los tres eventos mutuamente independientes? El único par de eventos que es independiente es A con B puesto que el resultado de uno no afecta al otro. Por otra parte, los pares A-C y B-C no son independientes puesto que, si se conoce alguno de los eventos, este tendrá efecto en su evento compañero. Finalmente, los tres eventos no son independientes porque el evento C depende de los resultados obtenidos en los dados así que podría existir la posibilidad de que A o B o juntos ocurran, mientras que si se sabe C este tiene un efecto tanto en A como en B.

10. Usted elige 8 cartas de un mazo de 52. Calcule la probabilidad de no tener ninguna pica. En el mazo de 52 cartas hay 13 de ellas que son picas, por lo tanto, se tiene la siguiente expresión: 39 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 ( 8 ) 𝑃(𝐴) = = 52 = 0.08175 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 (8)

Donde A= “Al sacar 8 cartas ninguna tiene pica”. Entonces, la probabilidad de que al sacar 8 cartas ninguna tenga pica es del 8.175% 11. En un bosque hay 20 osos de anteojos de los cuales 5 son capturados, marcados y dejados nuevamente en libertad. Unas semanas más tarde, 4 de los 20 osos son capturados. Calcular la probabilidad de que máximo dos de los osos estén marcados. Para elegir los 4 osos, no interesa el orden por lo tanto se debe usar la combinación para saber cuantos casos posibles hay, así que: (

20 ) = 4845 4

4845 son los casos posibles para elegir los 4 osos. Ahora, al analizar los casos posibles se deben tener en cuenta los casos en los que se eligen 0 osos marcados, 1 oso marcados y 2 osos marcados, así que cada uno de estos casos se expresa así:  0 osos marcados (50)(15 ) 1365 4 = = 0.282 20 4845 (4) 

Por lo tanto, la probabilidad de que salgan 0 osos marcados es del 28.2% 1 oso marcado (51)(15 ) 5 ∗ 455 2275 3 = = = 0.47 20 4845 4845 (4) Por lo tanto, la probabilidad de que salga 1 oso marcado es del 47%



2 osos marcados (52)(15 ) 2 (20 ) 4

=

10 ∗ 105 1050 = = 0.217 4845 4845

Por lo tanto, la probabilidad de que salgan 2 osos marcados es del 21.7%

Finalmente, para saber cual es la probabilidad de que salgan máximo 2 osos marcados se deben sumar las probabilidades encontradas anteriormente, por lo que queda de la siguiente manera: 0.282 + 0.47 + 0.217 = 0.969 Por lo tanto, la probabilidad de que al elegir 4 osos máximo dos de ellos estén marcados es de 96.9% 12. Un sistema puede experimentar tres tipos diferentes de defectos. Sea Ai = (1, 2, 3) el evento en que el sistema tiene un defecto de tipo i. Suponga que 𝑃(𝐴1 ) = 0.12 𝑃 (𝐴2 ) = 0.07 𝑃 (𝐴3 ) = 0.05 𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2 ) = 0.13 𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴3 ) = 0.14 𝑃 (𝐴2 ∪ 𝐴3 ) = 0.10 𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3 ) = 0.01 a. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema no tenga un defecto de tipo 1? Como el sistema no debe tener defecto tipo 1 basta calcularlo a partir de la P(A1) de la siguiente manera: 𝑃 (𝐴𝑐 ) = 1 − 𝑃(𝐴) = 1 − 0.12 = 0.88 Así que la probabilidad de que el sistema NO tenga defecto tipo 1 es de 88% b. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema tenga defectos de tipo 1 como de tipo 2? Como debe tener defectos de tipo 1 y tipo 2 se debe usar la intersección de los eventos. Se sabe que 𝑃 (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) entonces, de esta fórmula se puede deducir una expresión para el valor de la intersección que queda así: 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃 (𝐴) + 𝑃 (𝐵) − 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) Reemplazando los valores en la fórmula obtenida se tiene que 𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴2 ) = 𝑃 (𝐴1 ) + 𝑃 (𝐴2 ) − 𝑃(𝐴1 ∪ 𝐴2 ) = 0.12 + 0.07 − 0.13 = 0.06 Por lo tanto, la probabilidad de que el sistema tenga defectos tipo 1 y 2 es de 6%. c. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema tenga defectos de tipo 1 como de tipo 2 pero no de tipo 3? Como en el casi anterior, deba cumplirse que: 𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴𝑐3 ) = 𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴2 ) − 𝑃 (𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3 )

Así que, al reemplazar, queda que: 𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴𝑐3 ) = 𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴2 ) − 𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3 ) = 0.06 − 0.01 = 0.05 Entonces la probabilidad de que el sistema tenga defectos de tipo 1 y tipo 2 pero no de tipo 3 es de 5% d. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema tenga a lo sumo dos de estos defectos? Que el sistema presente a lo sumo 2 de los defectos posibles implica que tenga 0 defectos, un defecto o 2 defectos. Y es más sencillo evaluar esta condición por el complemento. Se sabe que la probabilidad de que el sistema tenga los tres defectos es 𝑃(𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3 ) = 0.01 Entonces su complemento denotará que el sistema tendrá a lo sumo 2 de los defectos por lo que queda que: 1 − 𝑃 (𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3 ) = 1 − 0.01 = 0.99 Así que, la probabilidad de que el sistema tenga a lo sumo 2 defectos (0, 1 o 2 defectos) es de 99% 13. Cuatro corredores igualmente calificados, John, Bill, Ed y Dave, corren un sprint de 100 metros y se registra el orden de llegada. a. ¿Cuántos eventos simples hay en el espacio muestral? Se puede establecer el enunciado “¿Cuál es la probabilidad de que llegue de primero/segundo/tercero/último John/Bill/Ed/Dave? b. Si los corredores están igualmente calificados, ¿qué probabilidad debe usted asignar a cada evento simple? Para cualquiera de las formas que adopte el enunciado anterior, su probabilidad será de 0.25 c. ¿Cuál es la probabilidad de que Dave gane la carrera? Para saber de cuantas formas pueden llegar los jugadores, se emplea la permutación ya que el orden es indispensable, por lo tanto, 4!=24 son las formas posibles.

Así es como se establecería la forma para analizar el caso propuesto en el que Dave llega de primero y el resto de los 3 corredores se pueden organizar de otras formas en los siguientes lugares. Entonces la expresión que soluciona este problema es: 𝑃 (𝐴) =

𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 6 6 = = = 0.25 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 4! 24

Por lo tanto, la probabilidad de que Dave gane la carrera es de 25% d. ¿Cuál es la probabilidad de que Dave gane y John se coloque en segundo lugar?

Así es como se establecería la forma para analizar el caso propuesto en el que Dave llega de primero y John llega de segundo y el resto de los corredores se pueden organizar de otras formas en los siguientes lugares. Entonces la expresión que soluciona este problema es: 𝑃(𝐴) =

𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 2 2 = = = 0.083 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 4! 24

Por lo tanto, la probabilidad de que Dave gane la carrera es de 8.3% e. ¿Cuál es la probabilidad de que Ed termine en último lugar?

Así es como se establecería la forma para analizar el caso propuesto en el que Ed termina en último lugar y el resto de los 3 corredores se pueden organizar de otras formas en los siguientes lugares. Entonces la expresión que soluciona este problema es: 𝑃 (𝐴) =

𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 6 6 = = = 0.25 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 4! 24

Por lo tanto, la probabilidad de que Dave gane la carrera es de 25%

14. Beethoven escribió 9 sinfonías y Mozart 27 conciertos para piano. Si el locutor de una estación de radio de una universidad desea tocar primero una sinfonía de Beethoven y luego un concierto de Mozart, ¿de cuántas maneras puede hacerlo?

Como se quiere tocar primero cualquiera de las 9 sinfonías de Beethoven y luego cualquiera de los 27 conciertos de Mozart entonces se debe aplicar multiplicación y por tanto 9*27=243 así que hay 243 formas de presentar las obras en el formato deseado. El gerente de la estación decide que en cada noche sucesiva (7 días a la semana), se tocará una sinfonía de Beethoven, seguida por un concierto para piano de Mozart, seguido por un cuarteto de cuerdas de Schubert (de los cuales existen 15). ¿Durante aproximadamente cuántos años se podría continuar con esta política antes de que exactamente el mismo programa se repita?

Como se quiere tocar primero cualquiera de las 9 sinfonías de Beethoven, luego cualquiera de los 27 conciertos de Mozart y finalmente cualquiera de los 15 cuartetos de Schubert entonces se debe aplicar multiplicación y por tanto 9*27*15=3645 así que hay 3645 formas de presentar las obras en el formato deseado y asumiendo que cada año tiene 365 días el programa tardaría aproximadamente 10 años en repetirse. 15. El 70% de las aeronaves ligeras que desaparecen en vuelo en cierto país son posteriormente localizadas. De las aeronaves que son localizadas, 60% cuentan con un localizador de emergencia, mientras que 90% de las aeronaves no localizadas no cuentan con dicho localizador. Suponga que una aeronave ligera ha desaparecido: a. Si tiene un localizador de emergencia, ¿Cuál es la probabilidad de que no sea localizada?

El problema plantea que sabiendo que la aeronave tenía localizador, ¿cuál es la probabilidad de que no sea localizada?, por lo que se representa así: A= “Aeronave no localizada” B= “Tiene localizador” 𝑃(𝐴/𝐵) =

𝑃 (𝐴)𝑃(𝐵/𝐴) 0.3 ∗ 0.1 = = 0.0667 ∑ 𝑃 (𝐴)𝑃(𝐵/𝐴) (0.3 ∗ 0.1) + (0.7 ∗ 0.6)

Por lo tanto, la probabilidad de que la aeronave no sea localizada dado que tenía localizador es de 6.67% b. Si no tiene un localizador de emergencia, ¿Cuál es la probabilidad de que sea localizada?

El problema plantea que sabiendo que la aeronave no tenía localizador, ¿cuál es la probabilidad de que sea localizada?, por lo que se representa así: A= “Aeronave localizada” B= “No tiene localizador” 𝑃(𝐴/𝐵) =

𝑃 (𝐴)𝑃(𝐵/𝐴) 0.7 ∗ 0.4 = = 0.509 ∑ 𝑃 (𝐴)𝑃(𝐵/𝐴) (0.7 ∗ 0.4) + (0.3 ∗ 0.9)

Por lo tanto, la probabilidad de que la aeronave sea localizada dado que no tenía localizador es de 50.9% 16. Un banco local revisa su política de tarjetas de crédito con objeto de retirar algunas de ellas. En el pasado aproximadamente 5% de los tarjetahabientes incumplieron, dejando al banco sin posibilidad de cobrar el saldo pendiente. De manera que el director estableció una probabilidad previa de 0.05 de que un tarjetahabiente no cumpla. El banco encontró también que la probabilidad de que un cliente que es cumplido no haga un pago mensual es 0.20. Por supuesto la probabilidad de no hacer un pago mensual entre los que incumplen es 1.

a. Dado que un cliente no hizo pago de uno o más meses, calcule la probabilidad posterior de que el cliente no cumpla.

El problema plantea que sabiendo que un cliente no hizo el pago, ¿cuál es la probabilidad de que no cumpla posteriormente?, por lo que se representa así: A= “No realizar un pago posterior” B= “El cliente no realizó uno o más pagos”

𝑃 (𝐴/𝐵) =

𝑃(𝐴)𝑃(𝐵/𝐴) 1 ∗ 0.05 = = 0.2083 ∑ 𝑃 (𝐴)𝑃(𝐵/𝐴) (1 ∗ 0.05) + (0.2 ∗ 0.95)

Por lo tanto, la probabilidad de que un cliente vuelva a incumplir dado que no pagó en uno o más meses es de 20.83% b. El banco deseará retirar sus tarjetas si la probabilidad de que un cliente no cumpla es mayor que 0.20. ¿Debe retirar el banco una tarjeta si el cliente no hace un pago mensual? No, porque la probabilidad de que un cliente cumplido no pague un mes es justamente de un 20% así que tiene la oportunidad de ponerse al día con el banco al no realizar uno de sus pagos.

17. De un ejemplo de datos reales que puedan tener asimetría positiva y negativa respectivamente. 

Mroz's data on U.S. married women's labor-force participation [1] y [2]

Presenta asimetría positiva para la variable “age”

Presenta asimetría negativa para la variable “inc”

18. Se recolectaron datos acerca de los años de educación de los habitantes de una ciudad, y se encontró que su coeficiente de variación es de 0.43 y que los años medios de estudio son 11. ¿Cuál es la varianza de la variable años de educación de esta población? 𝑆

La fórmula del coeficiente de variación es: 𝐶𝑉 = |𝑥̅ | Entonces, como se conoce el valor del coeficiente de variación y del promedio se puede conocer el valor de la desviación estándar, pero se sabe que la varianza es el cuadrado de la desviación estándar. Así que, al despejar queda que: 𝐶𝑉 ∗ |𝑥̅ | = 𝑆 y el valor de la desviación estándar es: 𝐶𝑉 ∗ |𝑥̅ | = 𝑆 = 0.43 ∗ 11 = 4.73 y al calcular su cuadrado, se obtiene la varianza así: 𝑆 2 = 4.732 = 22.3729

19. Se obtuvo el siguiente diagrama de tallos sobre los pesos (en libras) del equipaje de mano de los pasajeros de un vuelo, donde el tallo representa decenas (1|2 representa 12.0) 0|67 1|2 1|58 2|044 2|223 3|223 3|555689 4|012 4|78 a. Encuentre la media, la mediana, la moda y la desviación estándar Se organizan los datos para poder calcular las distintas medidas: 6 7 12 15 18 20 22 22 23 24 24 32 32 33 35 35 35 36 38 39 40 41 42 47 48 ∑𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖

o

Media: 𝑥̅ =

o o

Mediana: 32 Moda: 35

o

Desviación estándar: 𝑆 = √∑𝑛𝑖=1

𝑛

= 29.04

(𝑥𝑖 −𝑥̅ )2 𝑛−1

= 11.858

b. ¿Cómo cree que será el coeficiente de asimetría para estos datos? ¿positivo o negativo? Será negativo porque el promedio es menor que la mediana y a su vez estas dos medidas son menores que la moda y esto reflejará una distribución con sesgo a la izquierda.

20. Suponga que, en una ciudad en particular, el aeropuerto A maneja 50% de todo el tráfico aéreo y los aeropuertos B y C manejan el 30% y el 20% respectivamente. Los porcentajes de detección de armas en los tres aeropuertos son 0.9%, 0.8% y 0.85%, respectivamente. Si se encuentra un pasajero en uno de los aeropuertos llevando un arma por la puerta de abordar, ¿cuál es la probabilidad de que el pasajero esté usando el aeropuerto A? ¿Y el aeropuerto C?



El problema plantea que sabiendo que se encuentra a un pasajero portando un arma, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido en el aeropuerto A?, por lo que se representa así: A= “Suceso en el aeropuerto A” B= “Se encuentra un pasajero portando un arma”

𝑃 (𝐴/𝐵) =

𝑃(𝐴)𝑃(𝐵/𝐴) 0.5 ∗ 0.009 = = 0.5233 ∑ 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵/𝐴) (0.5 ∗ 0.009) + (0.3 ∗ 0.008) + (0.2 ∗ 0.0085)

Por lo tanto, la probabilidad de que el suceso se haya presentado en el aeropuerto A dado que se encuentra un pasajero portando un arma es de 52.33% 

El problema plantea que sabiendo que se encuentra a un pasajero portando un arma, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido en el aeropuerto C?, por lo que se representa así: A= “Suceso en el aeropuerto C” B= “Se encuentra un pasajero portando un arma” 𝑃(𝐴/𝐵) =

𝑃 (𝐴)𝑃(𝐵/𝐴) 0.2 ∗ 0.0085 = = 0.1977 ∑ 𝑃 (𝐴)𝑃(𝐵/𝐴) (0.5 ∗ 0.009) + (0.3 ∗ 0.008) + (0.2 ∗ 0.0085)

Por lo tanto, la probabilidad de que suceso se haya presentado en el aeropuerto C dado que se encuentra un pasajero portando un arma es de 19.77%

21. Se realiza un experimento que consiste en lanzar tres monedas al tiempo y se define la variable aleatoria X= “Número de sellos en cada lanzamiento” Construya la función de densidad y de distribución de la variable aleatoria X, halle su esperanza y varianza. Se tiene el siguiente espacio muestral y se le asigna un valor según la variable aleatoria (V.A) elegida que es X= “Número de sellos en cada lanzamiento” V. A CCC → 0 CCS → 1 CSC → 1 CSS → 2 SCC → 1 SCS → 2 SSC → 2 SSS → 3 Entonces, la función de densidad es: 𝑓 (𝑥) = {

1/8 𝑠𝑖 𝑥 = 0 3/8 𝑠𝑖 𝑥 = 1 3/8 𝑠𝑖 𝑥 = 2 1/8 𝑠𝑖 𝑥 = 3 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

La función de distribución es: 0 𝑠𝑖 𝑥 < 0 1/8 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 1 𝐹 (𝑥) = 4/8 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 < 2 5/8 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 < 3 { 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3 Esperanza de x: 𝐸(𝑥) = ∑ 𝑓 (𝑥) ∗ 𝑥 = 1.5 Varianza de x: 𝑉(𝑥) = 𝐸 (𝑥 2 ) − 𝐸 2 (𝑥) = 3 − 1.52 = 0.75 22. Después de nacer cada niño recién nacido es evaluado en una escala llamada escala de Apgar. Las evaluaciones posibles 0,1, …, 10, con la evaluación del niño determinada por color, tono muscular, esfuerzo para respirar, ritmo cardiaco e irritabilidad refleja (la mejor evaluación posible es 10). Sea X la evaluación Apgar de un niño seleccionada al azar nacido en cierto hospital durante el siguiente año y supóngase que la función masa de probabilidad de X es: X p(X)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.002 0.001 0.002 0.005 0.02 0.04 0.18 0.37 0.25 0.12 0.01

a. Hallar la esperanza y la desviación estándar de la variable aleatoria X. Esperanza de x: 𝐸(𝑥) = ∑ 𝑓 (𝑥) ∗ 𝑥 = 7.15 La desviación estándar corresponde a la raíz cuadrada de la varianza, por lo tanto, es indispensable calcular la varianza así: Varianza de x: 𝑉(𝑥) = 𝐸 (𝑥 2 ) − 𝐸 2 (𝑥) = 52.704 − 7.152 = 1.5815 Finalmente, la desviación estándar es: Desviación estándar de x: 𝑆(𝑥) = √𝑉(𝑥) = √1.5815 = 1.258 b. Hallar P(X=3), P(X≤6) y P(3≤X≤7)  𝑃 (𝑥 = 3) = 0.005  𝑃 (𝑥 ≤ 6) = 𝑃 (0) + 𝑃(1) + 𝑃 (2) + 𝑃 (3) + 𝑃(4) + 𝑃 (5) + 𝑃(6) = 0.25  𝑃 (3 ≤ 𝑥 ≤ 7) = 𝑃 (3) + 𝑃 (4) + 𝑃(5) + 𝑃 (6) + 𝑃(7) = 0.615

REFERENCIAS: [1] Mroz's data on U.S. married women's labor-force participation. Recuperado de: https://socialsciences.mcmaster.ca/jfox/Books/Applied-Regression-3E/datasets/Moore.txt [2] Explanation. Mroz's data on U.S. married women's labor-force participation. Recuperado de: https://socialsciences.mcmaster.ca/jfox/Books/Applied-Regression-3E/datasets/Mroz.pdf