• Author / Uploaded
• Sarahi Gonzalez

Citation preview

SISTEMAS NUMERICOS

• Desde tiempos remotos el hombre comenzó a desarrollar diferentes sistemas para satisfacer sus necesidades de cálculo. • Algunos sistemas numéricos mas antiguos son: • * Babilónico • * Romano • * Hindú • * Árabe

• El sistema numérico babilónico tenía base 60 y en la actualidad de éste sólo quedan en uso los grados, horas, minutos y segundos. El romano, por su parte, era el más atrasado de todos. De ese sistema actualmente sólo se utilizan sus números (I, V, X, L, C, D y M) para señalar las horas en las esferas de algunos relojes, indicar los capítulos en los libros y, en otros casos para hacer referencia a un determinado año.

• Sin embargo, el sistema numérico hindú y árabe sí han llegado hasta nuestros días; es lo que conocemos como sistema numérico decimal (de base 10), siendo el de uso más extendido en todo el mundo. Tal como indica su prefijo (deci), este sistema utiliza 10 dígitos, del 0 al 9, con los cuales podemos realizar cualquier tipo de operación matemática.

BASE DE UN SISTEMA NUMÉRICO

• La base de un sistema numérico radica en la cantidad de dígitos diferentes que son necesarios para representar las cifras.

Conversión de un sistema numérico a otro • Matemáticamente, existe la posibilidad de convertir un numero de un sistema numérico a otro. Ejemplo: • Descomposición en factores de un número base 2 (binario) y su conversión a un número equivalente en el sistema numérico decimal. •

101111012 = (1 . 27) + (0 . 26) + (1 . 25) + (1 . 24) + (1 . 23) + (1 . 22) + (0 . 21) + (1 . 20) = (128) + (0) + (32) + (16) + (8) + (4) + (0) + (1) = 18910

Conversión de un número entero del sistema numérico decimal al sistema de binario.

• Seguidamente realizaremos la operación inversa, es decir, convertir un número perteneciente al sistema numérico decimal (base 10) a un número binario (base 2). Utilizamos primero el mismo número 189 como dividendo y el 2, correspondiente a la base numérica binaria del número que queremos hallar, como divisor. A continuación el resultado o cociente obtenido de esa división (94 en este caso), lo dividimos de nuevo por 2 y así, continuaremos haciendo sucesivamente con cada cociente que obtengamos, hasta que ya sea imposible continuar dividiendo

Suma de números binarios

Suma de dos números binarios

Primer paso

segundo paso

Tercer paso

Cuarto paso

Bits y bytes • Bit es el nombre que recibe en informática cada digito “1” ó “0” del sistema numérico binario que permite hacer funcionar a los ordenadores o computadoras. • La palabra “bit” es el acrónimo de la expresión inglesa Binary DigIT o digito binario, mientras que “byte” es simplemente la agrupación de ocho bits o dígitos binarios.

• Para que el ordenador pueda reconocer los caracteres alfanuméricos que escribimos cuando trabajamos con textos, se creó el Código ASCII (American Standard Code for Information Interchange – Código Estándar Americano para Intercambio de Información), que utiliza los números del 0 al 255..

• Cada uno de los números del Código ASCII compuestos por 8 dígitos o bits, representan una función, letra, número o signo y como tal es entendido por el ordenador. Por tanto, cada vez que introducimos un carácter alfanumérico en el ordenador éste lo reconoce como un byte de información y así lo ejecuta.

SISTEMA BINARIO

DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN FACTORES  Descomposición de un número entero de base 10. • Para recordar como se realiza la descomposición en factores de un número entero perteneciente al sistema numérico decimal (de base 10), veamos un ejemplo con el número 235. Este número está formado por la centena 200, la decena 30 y la unidad 5, tal como se representa a continuación: 235 = 200 + 30 + 5 Para descomponer este número será necesario relacionar cada dígito con el factor 10 de la base numérica y con los exponentes de las potencias que corresponden al lugar específico que ocupa cada uno en la cifra, es decir, 100 para la unidad, 101 para la decena, 102 para la centena y así sucesivamente, tal como se puede ver a continuación: Descomposición de la centena: 200 = 2 . 102 Descomposición de la centena: 200 = 2 . 102 Descomposición de la unidad: 5 = 5 . 100

Por tanto, matemáticamente la descomposición del número 235 podemos representarla de la siguiente forma:

23510 (base) = (2 . 102) + (3 . 101) + (5 . 100) = (200) + (30) + (5)

Por acuerdo internacional, no es necesario identificar la base de los números pertenecientes al sistema decimal como se ha hecho en este ejemplo, porque se sobreentiende que es 10. Sin embargo, cualquier otro sistema numérico es necesario identificarlo escribiendo al final de la cifra el número correspondiente a su base con el fin de evitar confusiones.

CONVERSIÓN DE UN SISTEMA NUMÉRICO A OTRO Descomposición en factores de un número base 2 (binario) y su conversión a un número equivalente en el sistema numérico decimal. Veamos ahora cómo llevamos el número binario 101111012 a su equivalente en el sistema numérico decimal. Para descomponerlo en factores será necesario utilizar el 2, correspondiente a su base numérica y elevarlo a la potencia que le corresponde a cada dígito.Como exponentes utilizaremos el “0”, “1”, “2”, "3" hasta llegar al "7", completando así la cantidad total de exponentes que tenemos que utilizar con ese número binario. La descomposición en factores la comenzamos a hacer de izquierda a derecha empezando por el mayor exponente, como podrás ver a continuación en el siguiente ejemplo:

101111012 = (1 . 27) + (0 . 26) + (1 . 25) + (1 . 24) + (1 . 23) + (1 . 22) + (0 . 21) + (1 . 20) = (128) + (0) + (32) + (16) + (8) + (4) + (0) + (1) = 18910 En el resultado obtenido podemos ver que el número binario 101111012 se corresponde con el número entero 189 en el sistema numérico decimal.

Conversión de un número entero del sistema numérico decimal al sistema de binario. Seguidamente realizaremos la operación inversa, es decir, convertir un número perteneciente al sistema numérico decimal (base 10) a un número binario (base 2). Utilizamos primero el mismo número 189 como dividendo y el 2, correspondiente a la base numérica binaria del número que queremos hallar, como divisor. A continuación el resultado o cociente obtenido de esa división (94 en este caso), lo dividimos de nuevo por 2 y así, continuaremos haciendo sucesivamente con cada cociente que obtengamos, hasta que ya sea imposible continuar dividiendo. Veamos el ejemplo:

Una vez terminada la operación, escribimos los números correspondientes a los residuos de cada división en orden inverso, o sea, haciéndolo de abajo hacia arriba. De esa forma obtendremos el número binario, cuyo valor equivale a 189, que en este caso será: 101111012 .

SUMA DE NÚMEROS BINARIOS

Tabla de sumar de números binarios

Suma consecutiva de números binarios de 1 en 1 hasta completar 10

Suma de dos números binarios Sean los números binarios 00102 y 01102

Primer paso: De la misma forma que hacemos cuando sumamos números del sistema decimal, esta operación matemática la comenzamos a realizar de derecha a izquierda, comenzando por los últimos dígitos de ambos sumandos, como en el siguiente ejemplo:

En la tabla de suma de números binarios podemos comprobar que 0 + 0 = 0

Segundo paso • Se suman los siguientes dígitos 1 + 1 = 10 (según la tabla), se escribe el “0” y se acarrea o lleva un “1”. Por tanto, el “0” correspondiente a tercera posición de izquierda a derecha del primer sumando, adquiere ahora el valor “1”.

Tercer paso Al haber tomado el “0” de la tercera posición el valor “1”, tendremos que sumar 1 + 1 = 10. De nuevo acarreamos o llevamos un “1”, que tendremos que pasar a la cuarta posición del sumando.

Cuarto paso El valor “1” que toma el dígito “0” de la cuarta posición lo sumamos al dígito “0” del sumando de abajo. De acuerdo con la tabla tenemos que 1+ 0 = 1.

El resultado final de la suma de los dos números binarios será: 1 0 0 0.

Tabla de Primeros 16 Números

Sistema Octal • Es un sistema de base 8, es decir, con sólo ocho símbolos distintos 0,1,2,3,4,5,6,7

• Los números octales pueden construirse a partir de números binarios agrupando cada tres dígitos consecutivos de estos últimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal.

Características Suma

Fracciones

Multiplicación

Ejemplo • el número binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario), lo agruparíamos como 1 001 010. De modo que el número decimal 74 en octal es 112.

Aplicaciones • En informática, a veces se utiliza la numeración octal en vez de la hexadecimal. Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros símbolos diferentes de los dígitos. • Es posible que la numeración octal se usara en el pasado en lugar de la decimal, por ejemplo, para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares.

Sistema Hexadecimal 16 • El sistema de numeración más utilizado Actualmente en computación es el hexadecimal o base 16, el cual consta de 16 dígitos símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F . • Estas letras y su valor en decimal son: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15.

Características •

Suma

Multiplicación

Ejemplos • Veamos un ejemplo numérico: 3E0,A (16) = ( 3×16 ) + ( E×16¹ ) + ( 0×160 ) + ( A×16–1 ) = (3×256 ) + ( 14×16 ) + ( 0×1 ) + ( 10×0,0625 ) = 992,625 2A703 16 es un número en base 16 y representa el número: {$ 2 * 16^4 + 10 * 16^3 + 7 * 8^2 + 0 * 16^1 + 3 * 16^0 = 2 * 65536 + 10 * 1096 + 7 * 256 + 0 * 16 + 3 * 1 = 16384 + 10960 + 1792 + 0 + 3 = 29139 $}

Aplicaciones • El sistema hexadecimal un sistema de numeración vinculado a la informática, ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programación en bytes, que están compuestos de ocho dígitos. A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento, funcionan con múltiplos de ocho, como 16 o 32. Por este motivo, el sistema hexadecimal, de 16 dígitos, es un estándar en la informática