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PREPARACIÓN DEL EXAMEN FINAL1 Nota redactada por el profesor

Docentes de la Universidad Privada del Norte2 se han reunido para diseñar un único examen final, costará de cinco (5) preguntas y cuya duración debe ser de 90 minutos. Previamente cada docente a elaborado preguntas que en su criterio consideran que el estudiante del curso de Cálculo 2 debe resolver. Las preguntas sugeridas por los docentes fueron: 1) Para pensar La gráfica de 𝑓 está compuesta por segmentos de recta y un semicírculo, como se muestra en la figura. Evaluar cada integral definida utilizando fórmulas geométricas.

2

6

a) ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

d) ∫−4 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

b) ∫2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

e) ∫−4|𝑓(𝑥)|𝑑𝑥

c) ∫−4 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

f)

6 2

6 6

∫−4[𝑓(𝑥) + 2]𝑑𝑥

2) Para pensar La gráfica de ƒ consta de segmentos de recta, como se muestra en la figura. Evaluar cada integral definida utilizando fórmulas geométricas.

1

d) ∫5 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

b) ∫3 3𝑓(𝑥)𝑑𝑥

e) ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

c) ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

f)

4 7

1

11

a) ∫0 −𝑓(𝑥)𝑑𝑥

11 10

∫4 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Adaptado de, FRIEDBERG, S. Teaching mathematics in colleges and universities: Case studies for Today’s Classroom. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2001. 2 El presente caso de estudio corresponde a una situación ficticia pero común en la práctica de los docentes universitarios, Los personajes son ficticios. Cualquier similitud con la realidad es una coincidencia.

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3) Velocidad La gráfica muestra la velocidad, en pies por segundo, de un automóvil que acelera desde el reposo. Emplear la gráfica para estimar la distancia que el automóvil recorre en 8 segundos.

4) Velocidad La gráfica muestra la velocidad de un automóvil tan pronto como el conductor aplica los frenos. Emplear la gráfica para estimar qué distancia recorre el auto antes de detenerse.

5) La gráfica de 𝑓 se muestra en la figura.

7

a) Calcular ∫1 𝑓(𝑥)𝑑𝑥. b) Determinar el valor medio de 𝑓 en el intervalo [1; 7]. c) Determinar las respuestas a los apartados 𝑎) y 𝑏) si la gráfica se desplaza dos unidades hacia arriba. 6) Ciclo respiratorio. El volumen 𝑉 en litros de aire en los pulmones durante un ciclo respiratorio de cinco segundos se aproxima mediante el modelo 𝑉 = 0.1729𝑡 + 0.1522𝑡 2 − 0.0374𝑡 3 donde 𝑡 es el tiempo en segundos. Aproximar el volumen medio de aire en los pulmones durante un ciclo.

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7) La gráfica de 𝑓 se muestra en la figura. La región sombreada 𝐴 tiene un área de 1.5, 6 ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 3.5. Usar esta información para completar los espacios en blanco.

2

a) ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 6

b) ∫2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 6

c) ∫0 |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 = 2

d) ∫0 −2𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 6

e) ∫2 [2 + 6𝑓(𝑥)]𝑑𝑥 = f) El valor promedio de 𝑓 sobre el intervalo [0; 6] es: 8) Ventas. Las ventas 𝑆 (en miles de unidades) de un producto de temporada están dadas por el modelo 𝜋𝑡 𝑆 = 74.50 + 43.75 𝑠𝑒𝑛 ( ) 6 donde 𝑡 es el tiempo en meses, con 𝑡 = 1 correspondiente a enero. Determinar las ventas medias para cada periodo. a) El primer trimestre (0 ≤ 𝑡 ≤ 3) b) El segundo trimestre (3 ≤ 𝑡 ≤ 6) c) El año completo (0 ≤ 𝑡 ≤ 12) 9) La probabilidad de que una persona recuerde entre 100𝑎% y 100𝑏% del material aprendido en un experimento es 𝑏

𝑃𝑎,𝑏 = ∫

𝑎

15 𝑥√1 − 𝑥 𝑑𝑥 4

donde 𝑥 representa el porcentaje recordado. (Ver la figura.) a) ¿Cuál es la probabilidad de que un individuo elegido al azar recuerde entre 50 y 75% del material? b) ¿Cuál es el porcentaje medio de lo que se recuerda? Esto es, ¿para qué valor de 𝑏 es cierto que la probabilidad de recordar de 0 a 𝑏 es 0.5?

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10) La probabilidad de que se tomen muestras de un mineral de una región que contiene entre 100𝑎% y 100𝑏% de hierro es 𝑏

1 155 3 𝑥 (1 − 𝑥)3/2 𝑑𝑥 32 𝑎 donde 𝑥 representa el porcentaje de hierro. (Ver la figura.) ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra contendrá entre a) 0 y 25% de hierro? b) 50 y 100% de hierro? 𝑃𝑎,𝑏 = ∫

11) Temperatura La temperatura en grados Fahrenheit en una casa es 𝜋(𝑡 − 8) 𝑇 = 72 + 12 𝑠𝑒𝑛 [ ] 12 donde 𝑡 es el tiempo en horas, con 𝑡 = 0 representando la media noche. El costo horario de refrigeración de una casa es de 0.10 dólares por grado. Encontrar el costo 𝐶 de refrigeración de la casa si el termostato se ajusta en 72°𝐹 calculando la integral 20

𝐶 = 0.1 ∫8 [72 + 12 𝑠𝑒𝑛

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𝜋(𝑡−8) − 12

72] 𝑑𝑡. (Ver la figura.)

12) Temperatura La temperatura en grados Fahrenheit en una casa es 𝜋(𝑡 − 8) 𝑇 = 72 + 12 𝑠𝑒𝑛 [ ] 12 donde 𝑡 es el tiempo en horas, con 𝑡 = 0 representando la media noche. El costo horario de refrigeración de una casa es de 0.10 dólares por grado. Encontrar el ahorro al reajustar el termostato en 78°𝐹 calculando la integral 18

𝐶 = 0.1 ∫10 [72 + 12 𝑠𝑒𝑛

𝜋(𝑡−8) − 12

78] 𝑑𝑡. (Ver la figura.)

13) Calcule el área de la región limitada por las gráficas de las funciones 𝑦 = 𝑥 = 2.

𝑥+4 ;𝑦 4

= √𝑥 + 1;

14) Calcule el área de la región limitada por las gráficas de las funciones 𝑦 = 2𝑥 2 + 4𝑥 + 4 ; 𝑦 2 = 𝑥 + 1.

15) Considerar las tres regiones 𝐴, 𝐵 y 𝐶 determinadas por la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥, como se muestra en la figura.

a) Calcular las áreas de las regiones 𝐴 y 𝐵. b) Usar la respuesta del apartado 𝑎) para evaluar la integral √2/2

∫

1/2

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𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥

16) Considerar las tres regiones 𝐴, 𝐵 y 𝐶 determinadas por la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥, como se muestra en la figura.

a) Calcular las áreas de las regiones 𝐴 y 𝐵. b) Usar la respuesta del apartado 𝑎) para evaluar la integral 3

∫ 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 1

17) Considerar las tres regiones 𝐴, 𝐵 y 𝐶 determinadas por la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥, como se muestra en la figura.

a) Calcular las áreas de las regiones 𝐴 y 𝐵. b) Usar la respuesta del apartado 𝑎) para evaluar la integral √3

∫ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑥 1

18) Las gráficas 𝑦 = 𝑥 4 + 2𝑥 2 + 1 y 𝑦 = 1 − 𝑥 2 se intersecan en tres puntos. Sin embargo, el área entre las curvas puede encontrarse por una sola integral. Explicar por qué es así, y escribir una integral para esta área. 19) El área de la región acotada por las gráficas de 𝑦 = 𝑥 3 y 𝑦 = 𝑥 no puede encontrarse por 1 una integral única ∫−1(𝑥 3 − 𝑥) 𝑑𝑥. Explicar por qué esto es así. Usar la simetría para escribir una sola integral que representa el área.

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20) Encontrar el área entre la gráfica de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 y el segmento de recta que une los puntos 7𝜋 6

(0; 0) y (

1

; − 2), como se muestra en la figura.

21) Arquitectura. El ventanal de una iglesia está limitado en la parte superior por una parábola, y en la parte inferior por el arco de una circunferencia (ver la figura). Hallar el área de la superficie del ventanal.

22) Arco semielíptico: Use la integral definida para aproximar el área de la pared de ladrillos mostrada en la figura adjunta, donde la curva que se observa es una semielipse centrada en el punto(0; 0).

23) Utilizar la regla de los trapecios y de Simpson para estimar el número de metros cuadrados de tierra en un lote donde 𝑥 y 𝑦 se miden en metros, como se muestra en la figura adjunta. La tierra es acotada por un río y dos caminos rectos que se juntan en ángulos rectos. 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 000 𝑥 0 𝑦 125 125 120 112 90 90 95 88 75 35

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24) Utilizar la regla de los trapecios y de Simpson para estimar el número de metros cuadrados de tierra en un lote donde 𝑥 y 𝑦 se miden en metros, como se muestra en la figura adjunta. La tierra es acotada por un río y dos caminos rectos que se juntan en ángulos rectos. 𝑥 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 0 𝑦 75 81 84 76 67 68 69 72 68 56 42 23

25) Integración numérica. Estimar el área de la superficie del campo de golf usando a) la regla de los trapecios y b) la regla de Simpson.

26) Integración numérica. Estimar el área de la superficie del derrame de petróleo usando a) La regla de los trapecios y b) La regla de Simpson.

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27) Integración numérica a) Escribir una integral que represente el área de la región. b) Después usar la regla de los trapecios con 𝑛 = 8 para estimar el área de la región. c) Explicar cómo se pueden usar los resultados de los apartados 𝑎) y 𝑏) para estimar 𝜋.

28) Mediante el método de las arandelas, calcule el volumen del sólido de generado al rotar la región limitada por las gráficas de las funciones 𝑦 = 𝑥 2 + 8𝑥 + 16 ; 𝑦 = √𝑥 + 4. alrededor de la recta 𝑥 = −2.

29) Mediante el método de los casquetes cilíndricos, calcule el volumen del sólido de generado al rotar la región limitada por las gráficas de las funciones 𝑦 = 𝑥 2 + 8𝑥 + 16 ; 𝑦 = √𝑥 + 4. alrededor de la recta 𝑥 = −2.

30) Calcule la longitud de la gráfica dada por la ecuación 5𝑥 = 𝑦 5/2 + 5𝑦 −1/2 ; 𝑦 ∈ [4; 9].

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31) Calcule la longitud de la gráfica dada por la ecuación 5𝑥 = 𝑦 5/2 + 5𝑦 −1/2 ; 𝑦 ∈ [0; 4].

32) Diseño de un puente. El cable de un puente colgante está suspendido (formando una parábola) de dos torres a 120 metros una de la otra y a 20 metros de altura sobre la autopista. Los cables tocan la autopista en el punto medio entre ambas torres. a) Hallar la ecuación para la forma parabólica de cada cable. b) Hallar la longitud del cable parabólico de suspensión

33) Un tanque tiene secciones transversales en forma de triángulos isósceles con el vértice hacia abajo. Las dimensiones del tanque (en pies) se muestran en la figura adjunta. Encuentre el trabajo realizado para llenar el tanque al introducirle agua a través de un orificio en el fondo por medio de una bomba situada a 5 pies por abajo del vértice

34) Una tina horizontal con extremos semicirculares de diámetro 10 pies contiene aceite cuya densidad es 80 lb/pie3. Las dimensiones del tanque (en pies) se muestran en la figura adjunta. Si la profundidad del aceite es de 3 pies, encuentre el trabajo realizado para bombear todo el aceite hasta la parte superior del tanque.

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35) Encuentre el trabajo realizado al bombear agua hasta el borde superior de un depósito, que es de 50 pies de largo y tiene extremos semicirculares de radio 10 pies, si el depósito está lleno hasta una profundidad de 7 pies (véase la figura adjunta).

36) Ciudad Central acaba de construir una nueva torre de agua (véase la figura adjunta). Sus elementos principales consisten en un tanque esférico que tiene un radio interno de 10 pies y un tubo de 30 pies de largo para llenar. El tubo para llenar es cilíndrico con diámetro interno de 1 pie. Suponga que se bombea agua desde el nivel del piso hasta el tanque, por medio del tubo. ¿Cuánto trabajo se realiza para llenar el tubo y el tanque con agua?

37) Bombeo de agua. Un tanque rectangular con base de 4 pies por 5 pies y una altura de 4 pies está lleno de agua (ver la figura). El agua pesa 62.4 libras por pie3. Cuánto trabajo se realiza bombeando el agua encima del borde de la parte superior para vaciar: a) La mitad del tanque b) Todo el tanque c) Explicar por qué la respuesta en el apartado b) no es igual al doble de la respuesta del apartado a).

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38) Las plantas de producción de energía eléctrica a partir de la “energía de marea”, tienen una presa que separa una bahía del mar. La energía eléctrica se produce por el flujo y reflujo del agua entre la bahía y el mar. La cantidad de “energía natural” producida depende del volumen de la bahía y del rango de la marea, que es la distancia vertical entre las mareas alta y baja.

a) Considerar una bahía con una base rectangular, como se muestra en la figura adjunta. La bahía tiene un rango de marea de 25 pies, con marea baja que corresponde a 𝑦 = 0. ¿Cuánta agua contiene la bahía cuando hay marea alta? b) La cantidad de energía producida durante el llenado (o el vaciado) de la bahía es proporcional a la cantidad de trabajo requerido para llenar (o vaciar) la bahía. ¿Cuánto trabajo es necesario para llenar la bahía con agua del mar? (Usar una densidad de agua de mar de 64 libras/pie3.) 39) Mediante la integral definida aproxime el área de la superficie de revolución de una barrica con base circular y generatriz de forma parabólica, cuyas dimensiones se muestran en la figura adjunta. 50 cm

Dimensiones:

120 cm

70 cm

➢ ➢ ➢

120 cm de altura 50 cm de diámetro en los extremos 70 cm de diámetro en el medio

40) Mediante el Teorema de Pappus, resuelve uno y solo uno de los siguientes problemas: a) Calcule el volumen del sólido de revolución, obtenido al rotar alrededor de la recta 2𝑦 = 𝑥 − 2 la región limitada por las gráficas de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(2𝑥), 𝑥 ∈ 𝜋 𝜋

[− 2 ; 6 ].

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b) Calcule el volumen del sólido de revolución, obtenido al rotar alrededor de la recta 𝑦 = 2𝑥 − 1 la región limitada por las gráficas de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥), 𝑦 = 𝑒 𝑥 , 𝑦 = 𝑒 𝑥 , 𝑥 = 0 ; 𝑥 = 𝜋/4.

c) Calcule el volumen del sólido de revolución, obtenido al rotar alrededor de la recta 𝑦 = 2𝑥 + 2 la región limitada por las gráficas de 𝑦 = 𝑥 3 + 𝑥, 𝑦 = 2√𝑥.

41) Obtenga la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales a) 𝑥𝑦 𝑑𝑥 +𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 𝑦 𝑑𝑦 = 0 b) 𝑦 𝑙𝑛 𝑙𝑛 𝑥 𝑙𝑛 𝑙𝑛 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 = 0 c) 𝑦 ′ = (−2𝑥 + 𝑦)2 − 7 42) Resuelve una y solo una de las siguientes ecuaciones diferenciales a) 𝑦 ′ = −𝑒 𝑥 𝑦 + 𝑒 −𝑥 𝑥 𝑑𝑦

b) 𝑥 𝑑𝑥 − 2𝑦 = 𝑥 2 + 𝑥

c) (𝑦 2 − 1)𝑑𝑥 = 𝑦(𝑥 + 𝑦)𝑑𝑦 43) Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales de Bernoulli a) 𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑦 −2 b) 𝑦 ′ + 𝑥𝑦 = 𝑥𝑦 2

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44) Resuelve uno y solo uno de los siguientes problemas: a) Una bola de nieve se funde de modo que la razón de cambio en su volumen es proporcional al área de su superficie. Si la bola de nieve tenía inicialmente 4 centímetros de diámetro y 30 minutos después tenía 3 centímetros de diámetro, ¿En qué momento tendrá un diámetro de dos pulgadas? ¿en qué momento desaparecerá la bola de nieve? b) Una taza de chocolate caliente está inicialmente a 80° C y se deja en un cuarto que tiene una temperatura ambiente de 22 °C. Suponga que pasado 15 minutos la tasa de chocolate se encuentra a 50° C ¿Cuánto tiempo le toma al chocolate alcanzar una temperatura de 35° C? En la construcción del examen final, se debe considerar los siguientes criterios: ● ● ● ● ● ●

¿El examen es realizable en el tiempo establecido? ¿Los problemas son lo suficientemente claros o contienen errores?, ¿es posible subsanar los errores de las preguntas propuestas por los docentes? ¿El examen es balanceado, en temas y estilos de preguntas? ¿Las instrucciones de cada problema son claras, existe alguna posibilidad que el estudiante malinterprete el enunciado? ¿Cuál es la puntuación de cada problema? Si los estudiantes tienen la posibilidad de usar calculadora, ¿cómo el uso de la calculadora afecta el desempeño de la prueba?

En este punto los docentes se hacen la pregunta: ¿cómo podrán construir un único examen final de cinco problemas, de duración de 90 minutos y que satisfaga con los criterios señalados? PROBLEMÁTICA Los docentes necesitan elaborar una propuesta que cumpla con los lineamientos mencionados anteriormente, su grupo debe elaborar una propuesta de examen final ya sea usando los ejercicios de la lista de los docentes o a lo más un ejercicio que proponga el grupo. Recuerde que el examen final de debe cubrir la mayoría de los saberes esenciales del curso (ver el silabo del curso). El informe debe contener una justificación de las preguntas seleccionadas de acuerdo con los criterios expuestos, la propuesta del examen final y su solución. Si considera que debe incluir algún criterio adicional, está en completa libertad de hacerlo.

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