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Predimensionado de Vigas y Viguetas

El predimensionado de vigas y viguetas está gobernado por la teoría de la flexión. Esta teoría relaciona la geometría del miembro estructural y las fuerzas aplicadas (análisis estructural) con el comportamiento de su sección transversal debido a la aplicación de cargas (análisis del miembro).

Definiciones

Viga - Vigueta: en un elemento estructural lineal (generalmente en posición horizontal) donde dos de sus dimensiones (sección transversal: base y altura) son mucho menores a su tercera dimensión (longitud). Análisis Estructural: consiste en encontrar los efectos de las cargas en una estructura en particular, en la forma de Fuerza Cortante (FC) y Momento Flector (MF). Depende de la geometría de la estructura (forma y tamaño generales), de los tipos y localización de los apoyos y de los tipos y localización de las cargas actuantes. Se obtienen funciones que representan las variaciones de las magnitudes (a lo largo del elemento) de Fuerza Cortante y de Momento Flector.

Análisis del Miembro: relaciona las magnitudes de la Fuerza Cortante (FC) y el Momento Flector (MF) con los esfuerzos producidos en los diferentes planos transversales (secciones transversales) del miembro estructural. Se obtienen esfuerzos

variables dentro de las secciones transversales que deben ser resistidos por el material que conforma el miembro estructural (viga/vigueta).

Fuerza Cortante: es la suma algebraica de las componentes que actúan transversalmente al eje de la viga, de todas las cargas y reacciones aplicadas a la parte de la viga de uno u otro lado de esta sección transversal. (Norris y Wilbur, 1969) Momento Flector: es la suma algebraica de los momentos, tomados respecto a un eje por el centro de la sección, de todas las cargas y reacciones aplicadas a la parte de la viga de uno u otro lado de esta sección transversal. (Norris y Wilbur, 1969) Sección Transversal: es una sección perpendicular al eje del elemento, con un espesor infinitesimal.

Explicación:

Análisis estructural: con este procedimiento se estiman las variaciones de la Fuerza Cortante y el Momento Flector, originadas por la geometría general del elemento, las cargas actuantes y los tipos y localización de los apoyos. En las figuras siguientes se muestran ejemplos de resultados de análisis estructural de varias vigas, donde varían las cargas actuantes y los tipos de apoyos. Esta comparación analítica será ilustrativa de los fenómenos que gobiernan la flexión, por lo que se deben leer con atención.

Caso 1: Viga simplemente apoyada (Isostática) con Caso 2: Viga con empotramiento y rodillo ( carga puntual en el centro de la luz. de Grado 1) con carga puntual en el centro de la luz.

Las reacciones son idénticas, debido a la posición simétrica de la carga respecto de los apoyos (que además actúan de igual manera, es decir, absorbiendo cargas verticales), recibiendo cada una de ellas la mitad de la carga puntual.

Es notable cómo al cambiar uno de los apoyos (en este caso el empotramiento en B), las reacciones verticales no son iguales entre sí. El empotramiento, por tener mas capacidad de absorción de carga, toma un 68,75% de la carga total (carga puntual en centro de luz), mientras el rodillo sólo toma un 31,25% de la carga total (menos de la mitad de lo que toma el empotramiento).

Nótese como los diagramas son lineales en ambos casos (FCy MF), esto es debido al tipo de carga Los diagramas son lineales, tanto para (puntual). pero se diferencian del Caso 1, en que las cantidades son El diagrama de FC es una función lineal constante, diferentes. Analizando la variación de la Fuerza Cortante, es con expresión: evidente que la función constante en la primera mitad de la viga (mitad izquierda) tiene la expresión: V(x) = P/2 = 0,5P V(x) = 5P/16 = 0,3125 hasta la mitad de la luz; de ahí en adelante y debido a la posición y magnitud de la carga P, se produce Esta función constante tiene menor valor que la producida una discontinuidad de la función de FC, que seguirá en el mismo tramo de la viga en el Caso 1 siendo constante pero con con signo negativo, según Al entrar en juego la carga puntual P, la función de la la expresión: cortante tiene la expresión: V(x) = - P/2 = -0,5P El diagrama de MF, es una función lineal discontinua por tramos, con discontinuidad en x = L/2, donde hay un cambio de signo de la pendiente (de 0,5 a -0,5). La pendiente de la recta será positiva en la mitad izquierda de la viga y

V(x) = -11P/16 = -0,6875 El valor absoluto de la FC es mayor en la mitad derecha de la viga, y además será también mayor (en valor absoluto) que la función de FC en su homólogo del Con respecto al diagrama de MF, se puede observar que el

negativa en la derecha, con las expresiones: M(x) = Px/2 = 0,5Px (mitad izquierda) M(x) = - Px/2 = - 0,5Px (mitad derecha) En el punto de cambio de signo de la pendiente se produce un máximo valor de la variable MF, que será el mayor en toda la longitud de la viga AB, y tiene el valor: Mmax = PL/4 = 0,25PL

empotramiento introduce un momento negativo en el extremoB, que será mayor (en valor absoluto) que el momento en el centro de la luz. Sin embargo, la diferencia entre los dos valores (absolutos) de MF Al comparar con el mayor valor absoluto de del Caso 1, es evidente que el mayor valor absoluto del Caso 2, es una fracción de este: [MF1] = PL/4 = 0,25 [MF2] = 3PL/16 = 0,1875 Donde: [MF1] es el máximo valor absoluto del momento en elCaso1, y [MF2] es el máximo valor absoluto del momento en elCaso2 De manera que: [MF2] = 0,75[MF Esto significa que el momento flector máximo absoluto en elCaso 2 es un 25% menor que el momento flector máximo absoluto en el Caso 1. La conclusión inmediata de esta comparación es que:

La inclusión de apoyos con mayores restricciones, disminuye en momento flector máximo de una viga.

Caso 3: Viga bi empotrada (Hiperestática de Grado TABLA 1:COMPARATIVA DE LOS MÁXIMOS 2) con carga puntual en el centro de la luz. VALORES ABSOLUTOS DE MF PARA LOS CASOS 1, 2 Y3 Casos

[MFN]

Caso 1

0,25PL

Caso 2

0,1875PL

Caso 3

0,125PL

En la TABLA 1 se presentan los valores máximos absolutos de Momento Flector para cada uno de los casos, y en la columna de la extrema derecha, la relación normalizada de los momentos flectores con respecto al máximo valor absoluto del Caso 1. Queda claro entonces, que los tipos de apoyo juegan un papel importante en la variación del momento flector a lo largo de una viga. Así mismo, la inclusión de apoyos tipo empotramiento reducen considerablemente los máximos valores absolutos de momento flector en una viga. Podemos ver entonces cómo el máximo valor absoluto de MF 75% de aquel del Caso 1: [MF2]/[MF1] = 0,75 Al tener en ambos extremos el mismo tipo de apoyo, la simetría vuelve a la distribución de las y el del Caso 3 un 50%: reacciones y a los diagramas de FC y MF. Nótese cómo las reacciones verticales son idénticas [MF3]/[MF1] = 0,5 a las delCaso 1. Así mismo, en los empotramiento en A y B, existen sendos momentos reaccionantes de igual magnitud. El diagrama de FC será idéntico al del Caso 1. Por otro lado, el diagrama de MF es algo distinto, pues aunque mantiene la misma forma, es decir, idénticas pendientes para cada tramo, con punto de discontinuidad en x = L/2, el diagrama se ha desplazado sobre el eje de M = 0 (hacia arriba), una distancia igual a la magnitud del momento en los extremos, es decir,PL/8. Si comparamos estos valores con aquellos del Caso 2, es notable que los valores máximos (absolutos) del momento son menores. Aplicando relaciones similares a las del Caso2, tenemos: [MF2] = 3PL/16 = 0,1875PL [MF3] = PL/8 = 0,125PL Donde: [MF2] es el máximo valor absoluto del momento en elCaso2, y [MF3] es el máximo valor absoluto del momento en elCaso3 De manera que: [MF3] = 0,6667[MF2]

Esto significa que el momento flector máximo absoluto en elCaso 3 es una tercera parte menor que el momento flector máximo absoluto en el Caso 2. La conclusión inmediata de esta comparación es nuevamente:

La inclusión de apoyos con mayores restricciones, disminuye en momento flector máximo de una viga.

Caso 4: Viga simplemente apoyada con carga uniformemente distribuida.

Caso 5: Viga con empotramiento y rodillo con carga uniformemente distribuida.

Las reacciones verticales no serán idénticas puesto que el empotramiento tiene la capacidad de tomar más carga que En este caso, al igual que en el Caso 1 las el rodillo, se verifica entonces como el apoyo reacciones, así como los diagramas en B reacciona tomando 62,5% de la carga total sobre la de FC y MF presentan simetrías, es decir, las viga, mientras el apoyo en A toma un 37,5%. Al comparar reacciones verticales son idénticas en A y en B (ya con las reacciones del Caso 4, es notable como la reacción que los apoyos reaccionan de igual manera, es decir, en B es mayor que la de su homóloga y la reacción en absorbiendo cargas verticales), en el diagrama menor. Además se debe tener en cuenta que por el de FC se verifica una simetría central respecto de empotramiento en B se genera una reacción en forma de un punto en el centro de la luz de la viga, y en el momento. de MF una simetría respecto de un eje vertical por Vemos nuevamente (similar al Caso 2) cómo la el centro de la luz de la viga. introducción de un empotramieno (en el extremo viga) induce asimetría en los diagramas de Las funciones de FC y MF son, respectivamente, Los máximos valores absolutos de FC lineal (de primer grado) y cuadrática (de segundo en el extremo B (empotramiento),

grado). Dichas funciones tienen la forma: V(x) = qL/2 - qx (Fuerza Cortante) M(x) = qLx/2 - qx /2 (Momento Flector) 2

Es importante hacer notar que la FC tiene dos máximos absolutos: en A y en B, mientras que el MF sólo tiene un máximo en el centro de la luz. Caso 6: Viga biempotrada con carga uniformemente distribuida.

Al tener en ambos extremos el mismo tipo de apoyo, la simetría vuelve a la distribución de las reacciones y a los diagramas de FC y MF. Nótese cómo las reacciones verticales son idénticas a las delCaso 4. Así mismo, en los empotramiento en A y B, existen sendos momentos reaccionantes de igual magnitud. El diagrama de FC será idéntico al del Caso 4. Por otro lado, el diagrama de MF es algo distinto, pues aunque mantiene la misma forma, el diagrama se ha desplazado sobre el eje de M= 0 (hacia arriba), una distancia igual a la magnitud del momento en los extremos, es decir, QL/12. Si comparamos estos valores con aquellos de los Casos 4 y 5, es notable que los valores máximos (absolutos) del momento (en esta viga: Caso 6) son menores. Aplicando relaciones similares a las del Caso 5, tenemos: [MF5] = qL/8 = 0,125qL

[MF6] = qL/12 = 0,0833qL Donde: [MF5] es el máximo valor absoluto del momento en el Caso 5, y [MF6] es el máximo valor absoluto del momento en el Caso 6 De manera que: [MF6] = 0,6667[MF5] Esto significa que el momento flector máximo absoluto en elCaso 6 es una tercera parte menor que el momento flector máximo absoluto en el Caso 5. La conclusión inmediata de esta comparación es nuevamente:

La inclusión de apoyos con mayores restricciones, disminuye en momento flector máximo de una viga.