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PRACTICA Nro. 4 – ECUACIONES DIFERENCIALES APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Ing. Marco Vallejo 1.- Encontrar la ecuación de una curva, cuya pendiente de la tangente en cada punto (x,y): a) Es igual al triple de la ordenada y pasa por el punto (0,-2). b) Es igual al cubo de su ordenada dividida por el doble de la abscisa y pasa por el punto (1,-4). 2 R.- a) ; y  2e 3 x ; b) y  11616ln x 2.- Hallar la ecuación de una curva cuya pendiente de su tangente en cada punto es igual al doble de su ordenada entre el triple de su abscisa y pasa por el punto P(1,3). R.- y 3  27x 2 3.- Hallar la ecuación de una curva que pasa por el punto (3,4) cuya pendiente de su tangente en cada punto 1 x 1 y R.- x 2  y 2  2 x  2 y  27  0

es igual a:

4.- Hallar la ecuación de una curva que pasa por el punto (1,0) y tiene pendiente de su tangente igual a la diferencia de la ordenada y la abscisa. R.- y  x  1  2e x 1 5.- Una curva tiene su pendiente en cada punto igual al doble de su abscisa menos el triple de su ordenada. 3 x Determine su ecuación si pasa por el punto (0,4). R.- y  23 x  92  38 9 e 6.- Encontrar las ecuaciones de las trayectorias ortogonales a las familias de curvas: a) x 2  2 y 2  C b) x 2  3 y 2  C c) y 2  Cx 3 d) y  Cx 2 R.- a) x 4 y 2  K ; b) y  Kx 3 ; c) 2 x 2  3 y 2  K ; d) x 2  2 y 2  K 7.- Encontrar las ecuaciones de las trayectorias ortogonales a las familias de curvas: a) x 2  y 2  Cx b) x 2  3 y 2  Cy c) y  x  3  Ce 3 x R.- a) x 2  y 2  ky ; b) y 2  x 2  kx 3 ; c) x 

7 3

 y  ke 3 y

8.- Si la aceleración de una partícula está dada por:

a t   3t 2  4t  m s 2 

determine:

a) Su velocidad y posición en función del tiempo, si v o  3 m / s ; xo  0 b) La velocidad y posición de la partícula, en el instante su aceleración sea 0. R.- a) v t 

 t 3  2t 2  3  m s ; x  t4  23 t 3  3t  m ; b) v=1.81 [m/s]; x=3.21 [m] 4

3 9.- La velocidad de un móvil está dada por: v t   4t  6t  5 (m/s) Determine su posición y aceleración cuando t=7[s] sabiendo que su posición inicial es 12[m]. R.- a=582 [m/s2]; x= 2301[m]

10.- Si un objeto de m=0.02[kg] parte del reposo y luego cae y soporta una fuerza de resistencia del aire igual al doble de su velocidad. Determine: a) La velocidad y la aceleración del cuerpo en función del tiempo. R.-



v  t   0.098 1  e 100t

  ; a    9.8e m

s

t

 

100 t m

s2



b) La velocidad y la aceleración del objeto para t=0.05[s]. R.- v  9.7 *10 2  m / s ; a  6.6 *10 2 m / s 2 c) La velocidad terminal (cuando t   ). R.- vt  0.098 m / s 



11.- Un hombre y su embarcación pesan 150 [kg]. Si la fuerza ejercida remando en dirección del movimiento es de 30 [N] y si la resistencia al movimiento es igual al triple de la velocidad, determine la velocidad y aceleración que alcanza 30 [s] después de que se inició el movimiento. R.-

v  4.51  m s ; a  0.11  m s 2 

12.- Una piedra de 2.5[kg] de masa cae al fondo de un acantilado con una velocidad inicial de 50 [m/s]. Si la resistencia del aire es igual a 1/4 de su velocidad determine: a) El instante en el que alcanza una velocidad de 80 [m/s]. R.-9.808 [s] b) La aceleración y la distancia recorrida en ese tiempo. R.- 1.8 m / s 2 ; 661.19  m





13.- Se lanza verticalmente una pelota de m=4[kg] con una velocidad inicial de 50 [m/s]. Si la resistencia del aire es 5 veces su velocidad, determine: a) La velocidad en función del tiempo. b) El tiempo en que alcanza su altura máxima y el valor de dicha altura. R.- a) v  t   7.84  57.84e

 s  ; b) t=1.6[s] h=27.46[m]

1.25 t m

14.- Una masa es arrastrada por el hielo sobre un trineo, incluido el trineo la masa total es de 50[kg]. Suponiendo que la resistencia del hielo es despreciable y que el aire opone una resistencia igual a 4 veces la velocidad del trineo y el trineo parte con una velocidad de 5 [m/s] hállese: a) La fuerza constante que se necesita para obtener una velocidad terminal de 10 [m/s] b) El tiempo en el que alcanza una velocidad de 7 [m/s] c) El desplazamiento y la aceleración en el instante de tiempo hallado en el inciso anterior R.- a) 40 [N]; b) 6.39 [s]; c) 0.24 m / s 2 ; 38.89 m





15.- Un objeto con masa de 100 [kg] se lanza desde una lancha y se deja hundir. Mientras se hunde, una 1 fuerza de flotación de veces su peso lo empuja hacia arriba. Si suponemos que la resistencia del agua 40 ejerce sobre el cuerpo una fuerza de 10 veces la velocidad del cuerpo, determine en qué tiempo alcanzará una velocidad de

70 m s  .

a) Si se lanza desde el reposo.

B) Si se lanza con

v 0  10 m s 

R.-a) 13.19 [s]; b) 12.08 [s] 16.- Un objeto que pesa 64 [lb] parte con una velocidad inicial de 10 [pies/s] desde la parte superior de un plano inclinado 40º. La resistencia del aire es igual a 1/5 de la velocidad y el coeficiente de rozamiento es igual a 0.4. Si g=32[pies/s2] determine: a) El instante en el cual la velocidad del objeto es igual a 60 [pies/s] R.- 7.18 [s] b) La distancia recorrida en ese tiempo. R.- 272.67 [pies] 17.- Un objeto que pesa 40 [lb] parte con una velocidad inicial de 15 [pies/s] desde la parte superior de un plano inclinado 60º de longitud 500 [pies]. La resistencia del aire es igual a la cuarta parte de la velocidad y el coeficiente de rozamiento es igual a 0.3. Si g=32[pies/s2] determine: 0.2 t





 114 .55 pies s a) La velocidad del objeto en función del tiempo. R.- v t   99.55e b) Estimar el instante en que el objeto llega al final del plano y la velocidad en ese instante. R.- 93.61[pies/s]. 2 t 18.- En un circuito R-L: R=40, L=10H, i 0   0.5  A . Si v t   100te V  , determine la corriente del circuito 2 t 2 t 4 t en función del tiempo. R.- i t   5te  2.5e  3e  A

19.- En un circuito R-C, C  150 F q  0   0 v=15[V] R  100   . Determine: a) La carga y la corriente del capacitor en función del tiempo. b) La corriente del circuito en t=2.5[ms] c) El tiempo en el que la corriente decae hasta 0.045 [A] d) La carga final que adquiere el capacitor. (Cuando t   ) 3 66.7 t ; i  t   0.15e 66.7 t ; b) 0.13[A]; c) 18.05 [ms]; d) Q f  2.25 mC  ; R.- a) q  t   2.25 *10 1  e





20.- En un circuito R-C se tiene: R=25[], C=1[mF], q  0   0.7 C  . Determine la carga y la corriente en función del tiempo si: 30 t 40 t V  sen 4t  V  a) v  t   100e b) v  t   50e





30 t  0.3e 40t  C  , i t   12 e 30t  e 40 t  A ; R.-a) q  t   0.4e 40 t cos 4t  1.2e 40 t  C ; i t   2e 40t 10 cos 4t  sen 4t  24   A b) q  t   0.5e

21.- En un circuito R-L se tiene R=1[k], L=200 [H], v  t   400 cos 10t V  ; i 0  

7  A Determine: 25

5t a) La corriente en función del tiempo. R.- i t   252 cos10t  254 sen10t  15 e  A di b) El voltaje en el inductor. (Tomar: v L  L ). R.- v L  t   160 sen10t  320 cos10t  200e 5t V  dt

22.- El crecimiento de la población es proporcional a la cantidad presente de habitantes. Una pequeña ciudad cuenta con 5000 habitantes. Si hace 10 años tenía 3000 habitantes. Estimar su población dentro de 10 años. R.- 8333 habitantes. 23.- Cierta ciudad tenía 30000 habitantes en 1950 y una población de 40000 habitantes en 1970. Estimar la población para el año 2000. R.- 61571 habitantes. 24.- El crecimiento de la población de una pequeña ciudad es proporcional a la cantidad presente de habitantes. Si se sabe que en 50 años la población se duplica, determine a) En cuantos años la población se triplicaría. R.- 79.26 años b) Hace cuantos años la población era el 70% de la actual. R.- 25.73 años 25.- La población de bacterias en un cultivo crece a una tasa proporcional al número de bacterias presentes en el tiempo “t”. Después de 3 horas se observó que están presentes 400 bacterias, después de 10 horas hay 2000 bacterias. Determine: a) ¿Cuál fue la cantidad inicial de bacterias?. R.- 200 bacterias. b) ¿Dentro de cuánto tiempo se tendrán 10000 bacterias?. R.- 17 horas. 26.- El radio se desintegra a una razón proporcional a la cantidad presente. Si tenemos 100 mg de radio y sabemos que al cabo de 100 años solo tenemos una masa de 96mg, encontrar: a) Cuál es la cantidad de radio que queda presente si transcurrieron 3500 años?. R.- 23.96 mg b) En cuanto tiempo se desintegrará una masa de 10 mg de radio?. R.- 258 años 27.- Un isótopo de Carbono 14 obedece a la ley de decrecimiento exponencial. Si se sabe que su vida media es igual a 5600 años, determine en cuantos años la cantidad de carbono presente se reduce a la quinta parte. R.- 13002 años.

28.- Si la vida media de cierto elemento es igual a 1500 años. Determine

a) En cuanto tiempo se desintegra 35% de dicho elemento. R.- 932.23 años b) Qué porcentaje de la cantidad inicial se desintegrará al cabo de 120 años? R.- 5.39% 29.- Se sabe que la vida media de un isótopo de carbono C-14 es de 5600 años. Se encuentra un hueso fosilizado el cual contiene 3 milésimas de concentración de C-14. Estime la edad del fósil. R.- 46931 años. 30.- Al inicio había 200 mg de una sustancia radiactiva. Después de 6 horas la masa había disminuido en 3 %. Si la rapidez de decaimiento es proporcional a la cantidad de la sustancia presente en el tiempo “t”, determine la cantidad que se desintegra dentro de 2 días. R.- 43.25 mg 31.- Si la temperatura del aire es de 25º C y una caldera con agua recién hervida se enfría desde 100º C hasta 60º C en 20 minutos, determine: a) La temperatura en función del tiempo del agua. R.- T  75e 0.03811t  25 º C b) Cuándo será 35º C la temperatura del agua?. R.- Dentro de 52.87[min] c) Que temperatura tendrá el agua después de una hora?. R.- 32.62 °C 32.- Cuando se saca un pastel del horno, se mide su temperatura en 250 ºF. Tres minutos después su temperatura es de 200º F. Si la temperatura ambiente es de 70º F determine en cuanto tiempo alcanzará una temperatura igual a 100 º F. R.- 16.51 [min]. 33.- Se lleva un termómetro de una habitación al exterior, donde la temperatura del aire es de 6 ºF. Después de un minuto el termómetro marca 65 ºF y después de 10 minutos la lectura es de 40 ºF. Determine la temperatura inicial de la habitación. R.- 68.73 ºF 34.- Cuando el termómetro marca inicialmente 40° F se coloca en un horno. Después de 5 minutos marca 90° F y después de 10 minutos marca 120 °F. Determinar la temperatura del horno. R.- 165°F 35.- Un depósito contiene 200 [L] de líquido en el que se disuelven 30[gr] de sal. La salmuera que contiene 1[gr/L] de sal se bombea hacia el depósito a una rapidez de 4 [L/min]. La solución bien mezclada se bombea hacia fuera con la misma rapidez. a) Calcule la cantidad de gramos x(t) que se encuentra en el depósito para un tiempo “t” en minutos. b) En cuanto tiempo se tendría 120[gr] de sal en el depósito?. c) Qué cantidad de sal existirá en el depósito después de mucho tiempo?. 0.02 t  gr  ; b) 37.69 [min]; c) 200 [gr] R.- a) x t   200  170e 36.- En un depósito hay 160[L] de solución acuosa que contiene 15 [kg] de sal . En este depósito entra agua (sin sal) con una velocidad de 4[L/min] y se expulsa la mezcla con velocidad de 3[L/min]. La mezcla se mantiene uniforme mediante un agitador, determine en cuanto tiempo la cantidad de sal en el depósito será igual a 5 [kg]. R.- 70.76 [min]. 37.- En un depósito hay 100[L] de solución acuosa que contiene 10 [kg] de sal . En este depósito entra agua con una velocidad de 3[L/min] y se expulsa la mezcla con velocidad de 2 [L/min]. La mezcla se mantiene uniforme mediante un agitador, determine: a) Cuánta sal habrá en el depósito después de 2 horas. R.- 2.07 [kg] b) En cuanto tiempo la cantidad de sal en el depósito se reducirá a 5 [kg]. R.- 41.42 [min]

38.- Un tanque de 120 [gal] inicialmente contiene 90 [lb] de sal disueltas en 90 [gal] de agua. Hacia el tanque fluye salmuera que contiene 2 [lb/gal] de sal a razón de 4 [gal/min] y la mezcla fluye fuera del tanque a razón de 3[gal/min]. Determine cuánta sal existirá en el tanque cuando este se llena. R.- 202.03 [lb]

39.- Un tanque contiene 80 [L] de solución con 60[gr] de sal en agua. Se introduce en el tanque salmuera a una razón de 2 [L/min] que contiene 3 [gr/L] de sal y la mezcla resultante sale a razón de 4 [L/min]. Determinar el instante en que se tendrá en el tanque la máxima cantidad de sal y cuánto será esta cantidad. . R.- 13.33 [min], 80 [gr] 40.- Un tanque contiene 100 [DL] de salmuera obtenida disolviendo 60[kg] de sal en agua. Se introduce en el tanque agua pura (sin sal) a una razón de 4 [DL/min] y la mezcla resultante sale a la misma velocidad hacia otro tanque que contiene 150 [DL] de salmuera con 40 [kg] de sal disuelta. Se agita la mezcla la cual sale del segundo tanque a la misma velocidad. Determine la cantidad de sal presente en el segundo tanque en función 0.04 t  224.62e 0.027 t  kg  ; 14.73  kg  del tiempo y dentro de una hora y media. R.- y  t   184.62e