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• Juan Jose Vaquera Vargas

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PÁCTICA 3 (1/2017). Modelos De Colas Realizar: En cada de los problemas asignados se tiene que analizar el contexto, identificar características de los 5 elementos de sistema de colas, definir el modelo apropiado y realizar el cálculo de las medidas de rendimiento necesarias para obtener las respuestas a las cuestiones que se formulan en el problema. Entrega de la Practica 3: miércoles, 31 de mayo del 2017, en la clase. Distribución de los problemas: Nº Grupo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Problema1 (40) Problema 2 (60) 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2

12 11 10 9 8 7 6 5 10 11 12 12 11 10 9 8 7 6 5 10 11 12 12 11 10 9 8 7 6 5 12

32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

1 4 3 2 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2

11 10 9 8 7 6 5 10 11 12 6 7 8 9 10 5 6 7 9

PROBLEMAS 1. Debido a un reciente incremento en el negocio, una secretaria de una cierta empresa legal tiene que mecanografiar 25 cartas por día en promedio (asuma una distribución de Poisson). A ella le toma aproximadamente 15 minutos mecanografiar cada carta (asuma una distribución exponencial). Suponiendo que la secretada trabaja ocho horas al día: a) ¿Cuál es la tasa de utilización de la secretada? b) ¿Cuál es el tiempo promedio de espera antes de que la secretaria mecanografíe una carta? c) ¿Cuál es el número promedio de cartas que esperan ser mecanografiadas? d) ¿Cuál es la probabilidad de que la secretada tenga más de cinco cartas que mecanografiar? 2. Sam el veterinario maneja una clínica de vacunación antirrábica para perros, en la preparatoria local. Sam puede vacunar un perro cada cinco minutos. Se estima que los perros llegarán independiente y aleatoriamente en el transcurso del día, en un rango de un perro cada 6 minutos, de acuerdo con una distribución de Poisson. También suponga que los tiempos de vacunación de Sam están distribuidos exponencialmente. Encuentre: a) la probabilidad de que Sam esté ocioso b) la proporción de tiempo en que Sam está ocupado c) el número promedio de perros que están siendo vacunados y que esperan a ser vacunados d) el número promedio de perros que esperan a ser vacunados e) el tiempo promedio que espera un perro antes de ser vacunado

f) la cantidad promedio de tiempo que un perro pasa esperando en la línea y vacunándose. 3. Montgomery, Alabama. Cada uno de los cuatro auditorios proyecta una película diferente; el programa se estableció de tal forma que las horas de las funciones se encuentran escalonadas para evitar las multitudes que ocurrirían si los cuatro cines comenzaran a la misma hora. El cine tiene 3 cajas (un cajero que puede mantener una tasa promedio de servicio de 50 clientes por hora). Se supone que los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial. Las llegadas en un día de actividad normal son distribuciones Poisson y promedian 120 por hora. Con el fin de determinar la eficiencia de su operación de boletos, se desea examinar varias características de operación de las colas. a) Encontrar el número promedio de cinéfilos esperando en línea para adquirir un boleto. b) ¿Qué porcentaje del tiempo está ocupado el cajero? c) ¿Cuál es el tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema? d) ¿Cuál es el tiempo promedio que pasa esperando en línea para llegar a la taquilla? e) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de dos personas en el sistema? ¿Más de personas? ¿Más de cuatro? 4. El Barry’s Car Wash está abierto seis días a la semana, pero el día de negocio más pesado es siempre el sábado. A partir de datos históricos, Barry estima que los coches sucios llegan a tasa de 40 por hora, todo el día sábado. Hay dos equipos trabajando en el lavado a mano, él calcula que los automóviles se pueden limpiar a una tasa de uno cada dos minutos. En este ejemplo de una línea de espera de canal sencillo, los automóviles se lavan de uno en uno Suponiendo llegadas Poisson y tiempos exponenciales de servicio, encontrar: a) el número promedio de automóviles en la línea b) el tiempo promedio que un automóvil espera antes de ser lavado c) el tiempo promedio que un automóvil pasa en el sistema de servicio d) la tasa de utilización del lavado de automóviles e) la probabilidad de que no haya automóviles en el sistema 5. Kamal’s Department Store en Dubuque, Iowa, mantiene satisfactoriamente un departamento de ventas por catálogo en el cual un empleado toma órdenes por teléfono. Si el empleado está ocupado en una línea, las llamadas telefónicas que entran al departamento de catálogo son contestadas automáticamente por una grabadora y solicita esperar. Tan pronto como el empleado está libre, se comunica con el cliente que ha esperado más. Las llamadas llegan a una tasa de aproximadamente 10 por hora. El empleado es capaz de tomar una orden en un promedio de cuatro minutos. Las llamadas tienden a seguir una distribución Poisson y los tiempos de servicio tienden a ser exponenciales. Al empleado se le pagan 5 dólares por hora, pero debido a la buena voluntad perdida y a las ventas, Kamal’s pierde aproximadamente 25 dólares por hora de tiempo que el cliente pasa esperando para que el empleado tome la orden.

a) ¿Cuál es el tiempo promedio que los clientes de catálogo deben esperar, antes de que sus llamadas sean transferidas al empleado que recibe las órdenes? b) ¿Cuál es el número promedio de llamadores que esperan para colocar una orden? c) Kamal´s está considerando añadir un segundo empleado para tomar llamadas. La tienda le puede pagar a esa persona los mismos 5 dólares por hora. ¿Debe contratar otro empleado? Explíquese. 6. La peluquería de Jack McCanna es una popular peluquería y salón de estilista cerca del campo de la Universidad de New Haven. Cuatro peluqueros trabajan tiempo completo y pasan un promedio de 20 minutos con cada cliente. Los clientes llegan durante todo el día a una tasa promedio de 10 por hora. Las llegadas tienden a seguir la distribución de Poisson y los tiempos de servicio están exponencialmente distribuidos. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la peluquería se encuentre vacía? b) ¿Cuál es el número promedio de clientes en la peluquería? c) ¿Cuál es el tiempo promedio que se pasa en la peluquería? d) ¿Cuál es el tiempo promedio que espera un cliente para ser llamado al sillón del peluquero? e) ¿Cuál es el número promedio que espera a ser servido? f) ¿Cuál es el factor de utilización de la peluquería? g) Jack está pensando en añadir un quinto peluquero. ¿Cómo afectará esto la tasa de utilización? 7. La Kahn Department Store tiene aproximadamente 500 clientes comprando en su tienda entre las 9A.M. y las 5 P.M. los sábados. Para decidir cuántos cajeros mantener abiertos cada sábado, Renee Kalm, la dueña, considera dos factores: el tiempo de espera del cliente (y el costo asociado de esperar) y los costos del servicio al emplear cajeros adicionales. Los empleados cajeros son pagados a un promedio de 5 dólares por hora. Cuando sólo uno está de guardia, el tiempo de espera por cliente es de aproximadamente 12 minutos (o 1/5 de una hora); cuando dos empleados están en servicio, el tiempo promedio registrado es de 8 minutos por persona; 6 minutos cuando tres empleados están trabajando; y 3 minutos cuando 4 empleados se encuentran de guardia. La Srita. Kahn ha conducido encuestas de satisfacción del cliente y ha sido capaz de estimar que la tienda sufre aproximadamente 3 dólares en ventas y confianza perdidas por cada hora de tiempo que el cliente pasa esperando en las líneas de salida. Uti1izando la información anterior, determine el número óptimo de cajeros que se deben tener en servicio cada sábado, con el fin de minimizar el costo esperado total de la tienda. 8. Todos los pasajeros y su equipaje deben ser revisados para investigar si no llevan armas. Suponga que 10 pasajeros por minuto, en promedio, llegan al aeropuerto (los tiempos entre llegadas son exponenciales). Para investigar si los pasajeros tienen armas, el aeropuerto debe contar con un punto de revisión que consta de un detector de metales y un aparato de rayos X. Se requieren dos empleados siempre que el punto de revisión está en operación. Un punto de revisión puede verificar un promedio de 12 pasajeros por minuto (el tiempo para revisar los pasajeros es exponencial). Si se supone que el aeropuerto tiene un solo punto de revisión, conteste las preguntas siguientes:

a) b) c) d)

¿Cuál es la probabilidad de que un pasajero tenga que esperar antes de ser revisado? ¿Cuántos pasajeros, en promedio, hacen fila para pasar el punto de revisión? ¿Cuánto tiempo, en promedio, pasará el pasajero en el punto de revisión? Suponga que la compañía aérea desea determinar cuántos puntos de revisión operar para minimizar los costos de operación y costos por demora de pasajeros en un período de 10 años. Suponga que el costo por retrasar a un pasajero una hora es de $20 y que el aeropuerto está abierto todos los días durante 16 horas. Cuesta un millón de dólares comprar un detector de metales y un aparato de rayos X, contratar el personal que lo opere y el mantenimiento durante 10 años.

9. El Departamento de Ciencias de Decisión quiere determinar si renta una copiadora lenta o una rápida. El departamento opina que el tiempo de un empleado vale 15 dólares por hora. La renta de la copiadora lenta es de $4 por hora, y un empleado requiere en promedio 10 minutos para completar el copiado (tiempo con distribución exponencial). La renta de la copiadora rápida es de $5 por hora, y un empleado requiere en promedio 6 minutos para completar el copiado. Un promedio de 4 empleados por hora necesita usar la copiadora (los tiempos entre las llegadas son exponenciales). ¿Cuál copiadora debe rentar el departamento?

10. Se estudia un pequeño lavado de autos para ver si se pueden reducir los costos. Los clientes llegan de acuerdo a un proceso de Poisson con la tasa media de 15 por hora y sólo se puede lavar un carro a la vez. El tiempo actual requerido para lavar un auto es exponencial con tasa media de 4 min. Se ha observado que los clientes que llegan cuando hay cuatro autos esperando (incluyendo que está en el lavado) se van a otro lado. La pérdida de ganancia por cliente que se va es de $6. Se tienen dos propuestas. La propuesta 1 es agregar cierto equipo, a un costo capitalizado de $7 por hora, que reducirá el tiempo esperado de lavado a 3 min. Además, se dará una garantía al cliente de que si espera más de ½ hora (dado por boleto marcado en un reloj al llegar) para recoger su auto, tendrá derecho a un lavado gratuito (a un costo marginal de $4 para la compañía). Se piensa que con la garantía publicada en un letrero no se perderán clientes. La propuesta 2 obtiene el equipo más avanzado que existe, a un costo incremental de $20 por hora, donde cada vehículo pasa por dos ciclos sucesivos. El tiempo requerido para pasar por estos ciclos tiene distribución exponencial con media de 2 min. Se cree que el aumento en velocidad y eficiencia hará que, en esencia, ningún cliente se vaya. El dueño piensa que el análisis de alternativas debe incluir la perdida de buena voluntad del cliente que viene y se va (y la pérdida del cliente en el futuro) cuando los clientes tienen que esperar antes de que inicie el lavado de su auto, con un costo de $0.20 por cada minuto de espera. Evalúe el costo total esperado por hora del estado actual y de las propuestas 1 y 2 para determinar cuál debe elegirse. 11. Una compañía tiene un almacén en el sur de California para el inventario de bienes antes de que las mueblerías del área los necesiten. Una cuadrilla de 4 personas carga y descarga los camiones que llegan. El gerente está despidiendo personal para disminuir

los costos y debe decidir el tamaño futuro de la cuadrilla. Los camiones llegan de acuerdo a la distribución de Poisson, con tasa media de 2 por hora. El tiempo que requiere la cuadrilla para cargar y/o descargar un camión tiene distribución exponencial (independiente del tamaño de la cuadrilla). El tiempo esperado con 4 hombres es 15 minutos. Si cambia el tamaño de la cuadrilla se estima que la tasa media de servicio (ahora es de μ=4 clientes /h) será proporcional a su tamaño. Costo por cada miembro de la cuadrilla es de $20/h. El costo atribuible a la espera de un camión (es decir, de un camión parado en el muelle) se estima en $40/h. a) Identifique los clientes y servidores de este sistema. ¿Cuántos servidores se tienen por ahora? b) Calcule las medidas de rendimiento para la cuadrilla de cuatro. c) Calcule las medidas de rendimiento para la cuadrilla de tres. d) Calcule las medidas de rendimiento para la cuadrilla de dos. e) ¿Debe considerar una cuadrilla de una persona? Explique. f) Dados los resultados, ¿Cuál cuadrilla debe escoger el gerente? g) Con las cifras de costo determine el tamaño de la cuadrilla que minimiza el costo total por horade desempeño de este sistema. 12. Greg plantea abrir un restaurante de comida rápida. Estima que los clientes llegaran en forma aleatoria (proceso Poisson) con tasa media de 150 por hora en las horas pico. Planea tener tres empleados en el servicio directo a los clientes y debe decidir cómo organizarlos. La opción 1 es tener tres cajas con un empleado en cada uno para tomar órdenes y despachar comidas y bebidas. En este caso, se estima que el tiempo promedio para servir a un cliente será un minuto y se supone que la distribución de estos tiempos es exponencial. La opción 2 es tener una sola caja con tres empleados trabajando en ella para servir a los clientes (uno toma el orden, otro reúne la comida y tercero la bebidas). Greg estima que esto reducirá el tiempo promedio para servir a un cliente a 30 segundos, con la misma suposición de tiempos de servicio exponenciales. Greg desea elegir la opción que proporcione el mejor servicio; pero como opción 1 tiene tres cajas, ambas opciones servirían a los clientes a una tasa media de 3 por minuto, cuando todos están ocupados, por lo que no está claro que opción es mejor. a) Use las medidas de desempeño L, Lq, W, Wq para comparar las dos opciones. b) ¿Qué medida de desempeño será la más importante para los clientes de Greg? ¿Por qué? ¿Qué opción es mejor respecto a esta medida?