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MATEMÁTICA FINANCIERA La matemática financiera estudia y analiza las formas en que se producen cambios cuantitativos en sumas de dinero que, financieramente, reciben el nombre de capitales. Se produce una especie de “juego” entre el sobrante y faltante de dinero: Acreedor o Prestamista

Tiene liquidez excesiva

Presta a un tercero pasando a tener menos liquidez

Por esto, cobra una suma de dinero como compensación (interés)

Deudor

Tiene liquidez financiera

Pide prestado a quien tiene liquidez excesiva, pasando a tener más liquidez que antes

Por esto, paga una suma de dinero como compensación (interés)

En un préstamo realizado directamente entre 2 partes, el costo del deudor es igual al mismo importe que el beneficio para el acreedor. En cambio, si participa un intermediario, no sucede lo anterior. En los bancos, por ejemplo, su beneficio (llamado “Spread”) está dado por la diferencia entre el interés que cobra por los préstamos y los intereses que paga por plazos fijos. Tasa de Interés: Es la ganancia que se obtiene por cada peso colocado durante cada período de tiempo en el que se acreditan intereses. Hay 2 tipos de tasas:  Tasa Activa: Es la que el banco cobra por los préstamos que otorga. Se calcula en base a la cantidad solicitada, tipo de garantías que el deudor ofrece, etc.  Tasa Pasiva: Es la que el banco paga por el dinero depositado a plazos. Se calcula en base al plazo de colocación de capitales, cantidad depositada, etc. Siempre se cumple que  Tasa Activa > Tasa Pasiva OPERACIONES FINANCIERAS Las operaciones financieras se clasifican en:  Simples: Estudian la variación cuantitativa de un solo capital (Capital Único)  Complejas: Estudian la variación cuantitativa de una serie de capitales (Capitales Múltiples) Un capital financiero puede entonces desplazarse de 2 formas en el tiempo:  Hacia el futuro, desde un valor presente (Capital Inicial) para obtener un valor futuro  Hacia el presente o hacia el pasado, partiendo desde un valor futuro para obtener un valor presente o actual (Capital Inicial) Lo que realmente deseamos expresar en términos financieros es que, al hacer una inversión, el inversor traslada hacia el futuro la posibilidad de disponer en este momento de ese capital que invierte. Es por eso que percibe un beneficio financiero que está dado por la aplicación de intereses a la inversión.  Interés Simple Aquí, el importe de los intereses es constante durante todos los periodos que abarque la inversión, ya que el cálculo se realiza siempre sobre el valor original de la inversión (C0).

I S  C0 *

R T *  C0 * i * n 100 ut

donde i = tasa de interés ; n = tiempo de colocación

Importante: ¡Si “i” se expresa en meses, entonces “n” también se expresa en meses! Surge una consideración al calcular intereses: ¿De cuántos días consideramos el año?  Año Comercial  360 días  Año Civil o Exacto  365 días Economía – Práctica – Unidad 2

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Autor: Adrián Botta

El valor final de la inversión estará dado por la suma del capital inicialmente invertido y los intereses producidos por ese capital, es decir: Cn = C0 + IS = C0 + C0 * i * n = C0 (1 + in ) Donde a (1+in) se lo denomina factor de capitalización en un régimen de interés simple En cambio, si dado el Capital Final (Cn), queremos averiguar el capital inicial, la fórmula sería: Cn C0  , donde a (1+in)-1 se lo denomina factor de actualización (1  i * n) El interés puede calcularse de 2 distintas formas: 1. Tasa Vencida (i): Esta tasa es una tasa vencida de interés, que se calcula sobre la suma efectivamente percibida, y a ella se le agrega el importe calculado de intereses para así obtener el valor final por restituir. 2. Tasa Adelantada (d): Se calcula sobre el valor nominal de la operación (valor futuro), y se cobra anticipadamente al pactar la operación, descontándolo de la suma futura pactada por restituir. Aquellos comerciantes que aplican el cálculo de intereses adelantados, restándolos de la suma por entregar (caso 2), están encubriendo una sobretasa en el descuento efectuado. No es correcto pagar una parte de intereses sobre una suma de dinero que no se percibe.  Descuento Simple Tasa de Descuento: Es la deducción que se hace sobre la unidad de capital en la unidad de tiempo. Operaciones de Descuento: Son operaciones financieras en las cuales se recibe en forma inmediata un capital que, para nosotros, sería disponible dentro de un cierto tiempo. Ej: Entregamos a terceros documentos que tenemos por cobrar dentro de un cierto tiempo, recibiendo hoy a cambio una suma menor en concepto del valor actual. La diferencia entre el valor futuro expresado en los documentos (Cn ó N) y el importe que hoy recibimos por su canje (V ó C0), es el interés que abonamos para poder contar con dinero disponible anticipadamente. El interés total pagado se llama descuento (D). D = Cn – V Hay 2 tipos de descuento: 1. Descuento Comercial: Calcula los intereses sobre el valor futuro entregado a descontar. Usa la tasa de descuento “d”. Es, en otras palabras, el interés simple del valor futuro. Cn = Valor futuro sobre el cual se aplica el interés (Valor nominal del documento) DC = Cn * d * n d = Tasa de interés (adelantada) que se aplica sobre Cn DC = Interés simple calculado sobre Cn Llamamos valor actual o de cobro (V) al importe que efectivamente se percibe después de restarle los intereses al valor futuro que se descuenta. VC = Cn – DC = Cn – Cn * d * n = Cn (1 – d n) 2. Descuento Racional: Calcula los intereses sobre el valor efectivamente percibido. Usa la tasa “i”. Es, en otras palabras, el interés simple del valor actual. VR = Valor actual sobre el cual se aplica el interés i = Tasa de interés (vencida) que se aplica sobre VR DR = VR * i * n DR = Interés simple calculado sobre VR El valor actual quedaría como: Cn (VR = C0) VR  (1  i n) Economía – Práctica – Unidad 2

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Autor: Adrián Botta

Relación entre “i” y “d”:

i

d (1  d n)

i (1  i n)

d

  Interés Compuesto (o Acumulativo) Aquí los intereses producidos por la inversión al final de cada período de capitalización al cual se refiere la tasa de interés, se agregan o se acumulan al valor inicial de la inversión para producir así nuevos intereses. En otras palabras, los intereses son variables, ascendentes, y se calculan sobre el monto acumulado al final del periodo anterior al del cálculo. Cn = C0 (1 + i )n , y despejando  n = log (1+i) (Cn / C0)  Descuento Compuesto Es el valor actual de $ Cn que deben pagarse dentro de n periodos a la tasa adelantada d (de descuento) V’ = Cn (1 – d )n Relación entre “i” y “d”:

i

d 1 d

d

i 1 i

SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN Sistema Francés  Cuota constante  Interés Decreciente

i i (1  ) n*m m Cuota  m i (1  ) n*m  1 m V

V = monto total de la deuda i = tasa de interés anual n = Periodo total de cancelación de la deuda (años) m = nº de subperiodos dentro del año

donde:

Pasos a Seguir: 1. Armar una tabla como la que sigue: Periodo (n*m) 1 2 … n*m

Capital Adeudado al inicio

Capital

Cuota Interés

Total

Capital amortizado al cierre

2. Colocar el total del préstamo en la 1º fila de “Capital Adeudado al inicio” 3. Calcular el valor de la cuota, y colocarlo en todas las filas de la columna “Total” 4. Calcular el valor fila J de la columna “Interés”  IJ = (i/m) * Valor de la fila J de “Capital Adeudado al inicio” 5. Calcular el valor de la columna “Capital” = TotalJ – InterésJ 6. Calcular el valor de “Capital Amortizado” = Σ Capital (hasta el momento) 7. Calcular el valor de la siguiente fila de “Capital Adeudado al inicio” (CAIJ+1) CAIJ+1 = CAIJ - Capital Amortizado (hasta el momento) = Cap. Adeudado - Capital Economía – Práctica – Unidad 2

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Autor: Adrián Botta

Sistema Alemán  Cuota decreciente  Valor de capital de la cuota constante

Capital 

V n*m

Pasos a Seguir: 1. Armar una tabla como la del S. Francés 2. Colocar el total del préstamo en la 1º fila de “Capital Adeudado al inicio” 3. * Calcular el valor de capital, y colocarlo en todas las filas de la columna “Capital” 4. Calcular el valor fila J de la columna “Interés”  IJ = (i/m) * Valor de la fila J de “Capital Adeudado al inicio” 5. * Calcular el valor de la columna “Total” = CapitalJ + InterésJ 6. Calcular el valor de “Capital Amortizado” = Σ Capital (hasta el momento) 7. Calcular el valor de la siguiente fila de “Capital Adeudado al inicio” (CAIJ+1) CAIJ+1 = CAIJ - Capital Amortizado (hasta el momento) = Cap. Adeudado - Capital

Ejemplos de Sistemas de Amortización: Se solicita un préstamo de $200.000, a cancelar en 2 años, amortizable semestralmente, a una tasa del 8% anual de interés 

Con sistema Francés Periodo Capital Adeudado (n*m) al inicio 1 200.000 2 152.902 3 103.920,08 4 52.978,84

Cuota Capital Interés 47.098 8.000 48.981,92 6.116,02 50.941,2 4.156,8 52.978,84 2.119,16

Total 55.098 55.098 55.098 55.098

Capital amortizado al cierre 47.098 96.079,92 147.021,12 200.000

Couta Interés 8.000 6.000 4.000 2.000

Total 58.000 56.000 54.000 52.000

Capital amortizado al cierre 50.000 100.000 150.000 200.000

Σ Interés = $ 20.392,04 

Con sistema Alemán Periodo Capital Adeudado (n*m) al inicio 1 200.000 2 150.000 3 100.000 4 50.000

Capital 50.000 50.000 50.000 50.000

Σ Interés = $ 20.000

Economía – Práctica – Unidad 2

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Autor: Adrián Botta