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Corporación Educativa “Caballeros de la Ley”. EDUCACIÓN DE CALIDAD AL SERVICIO DE LA COMUNIDAD TEMA: INTRO A LA TEO. DE CONJUNTOS 2: APLICACIONES

ARITMETICA

PROF.: GUILLERMO E. ALEMAN

Representación gráfica de los conjuntos 1. Diagrama de Venn – Euler Es una forma ilustrativa y muy práctica para comprender intuitivamente las relaciones entre conjuntos. Ejemplos: A = {2; 3; 5; 7} B = {2; 3; 4; 5; 6} Leyenda: V: Conjunto de los varones. M: Conjunto de las mujeres. P: Conjunto de los que postulan. A: Conjunto de los alumnos con 15 años. B: Conjunto de los alumnos con 16 años. C: Conjunto de los alumnos con 17 años. D: Conjunto de los alumnos con otra edad.

U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}

I. UNIÓN O REUNIÓN DE CONJUNTOS Dados dos conjuntos “A” y “B”, se llama reunión de éstos a otro conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto “A” o al conjunto “B” o a ambos. 2. Diagrama de Carroll Se usa generalmente disjuntos.

para

representar

conjuntos

Así, por ejemplo; para: A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5}, diremos que el conjunto formado por {1; 2; 3; 4; 5} donde están todos los elementos de “A” y de “B”, se llama reunión de “A” con “B” y se simboliza: A ∪ B, y se lee “A unión B”. Notación: A ∪ B = {x/x ∈ A ó x ∈ B}

Ejemplo: Para 2 conjuntos cualesquiera: Representación Gráfica

A → Puede representar a las mujeres B → Puede representar a los hombres 0 A → Puede representar capitalinos B → Puede representar provincianos Aplicación: En un salón de clases se observa a 60 alumnos entre varones y mujeres; con las siguientes características: * Algunos tienen 15 años. * 18 tienen 16 años. * 12 tienen 17 años. * 40 postulan este año a la Universidad.

Ejemplo: Dados los conjuntos: A = {x ∈ N / x ≤ 5} B = {x ∈ N / 4 < x ≤ 9}; x es par

_______________________________________________________________________ CENTRAL BREÑA: Jr. Jorge Chávez Nº 130 – Lima Telfs. 7641381 / RPC - 944575946 ANEXO SJL: Jr. Condebamba Nº 423 – B – Urbanización Canto Rey –- 3424536 / RPC - 980538400 PUENTE PIEDRA: Asoc. Casa Huertas San Pedro Mz B lote 08 – 5054800 / RPC – 982030565

1

Hallar A ∪ B a) {0; 2; 4; 6} b) {0; 1; 2; 3; 6; 8} c) {0; 1; 2; 3; 4; 5} d) {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8}

Observamos que el elemento 1 está en el conjunto “A” pero no está en el conjunto “B”. Al conjunto formado por 1, se llama diferencia de “A” con “B”.

e) { }

Solución: Para A: x ≤ 5 ⇒ A = {5, 4, 3, 2, 1, 0} Para B: Los valores que toma x son 9, 8, 7, 6, 5 de estos números solo tomamos los números pares. ⇒ B = {8; 6} ⇒ En consecuencia A ∪ B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8}

Notación: A – B = {x/x ∈ A y x ∉ B} Representación gráfica

II. INTERSECCIÓN ENTRE CONJUNTOS La intersección de dos conjuntos cualesquiera “A” y “B” es otro conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a “A” y “B”, es decir, está formado por todos los elementos comunes a “A” y “B”. Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5}, observamos que los elementos 2 y 3 son comunes a ambos conjuntos. El conjunto formado por estos elementos, se escribe:

Ejemplo: Dados los conjuntos: Q = {2; 4; 6} R = {3; 5}, hallar Q – R a) {2; 4}

b) {4; 6} c) {0; 2; 4}

d) {2; 6; 8} e) {2; 4; 6}

A ∩ B y se lee: “A intersección B”. Notación: A ∩ B = {x/x ∈ A y x∈ B} Representación gráfica

Solución: Como ambos conjuntos no tienen elementos comunes. Luego: Q – R = Q ⇒ Q – R = {2; 4; 6} Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} B = {2; 3; 5} Hallar: A – B a) {1; 4; 6} b) {2; 4; 6} c) {4; 5; 6} d) {3; 5; 6} e) {2; 4; 5} Solución: Quitando a A lo que aparece en B tendremos: A – B = {1; 4; 6} IV. DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS

Entre la Reunión y la Intersección de dos conjuntos “A” y “B”, se pueden establecer las siguientes relaciones: Propiedad Distributiva: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Propiedad Absorción: A ∪ (A ∩ B) = A, puesto que: (A ∩ B) ⊂ A A ∩ (A ∪ B) = A, puesto que: A ⊂ (A ∪ B)

Se denomina diferencia simétrica de “A” y “B” al conjunto formado por la unión de “A - B” con “B - A”. Entonces, en A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5}, se observa que el elemento 1 pertenece al conjunto “A” pero no pertenece a “B” y los elementos 4 y 5 pertenecen al conjunto “B”; pero no pertenecen al conjunto “A”, entonces, al conjunto formado por 1; 4 y 5 se le llama diferencia simétrica de “A” y “B” y se denota por: A Δ B. Notación: A Δ B = {x/x ∈ (A – B) ∪ (B – A)}

III. DIFERENCIA DE CONJUNTOS La diferencia de los conjuntos “A” y “B” es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a “A”, pero que no pertenecen a “B”. Se denota por: A – B, que se lee: “A menos B”, ó también “A diferencia B” Así, por ejemplo, sean los conjuntos: A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5}

_______________________________________________________________________ CENTRAL: Jr. Washington Nº 896 – Lima Telfs. 7641381 / RPC - 944575946 ANEXO SJL: Jr. Condebamba Nº 423 – B – Urbanización Canto Rey –- 3424536 / RPC - 980538400 PUENTE PIEDRA: Asoc. Casa Huertas San Pedro Mz B lote 08 – 5054800 / RPC - 982030565

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Representación gráfica Ejemplo: A = {2; 3; 5} B = {5; 8} A×B = {(2;5); (2;8); (3;5); (3,8); (5;5); (5;8)} Representación gráfica Diagrama sagital

V. COMPLEMENTO ENTRE CONJUNTOS Sean los conjuntos A = {a, b, c, d, e} y el conjunto B = {a, c, e}, se observa que “B” es subconjunto de “A” y los elementos “b” y “d”, pertenecen al conjunto “A” y no pertenecen al conjunto “B”. Al conjunto formado por estos elementos: {b, d} se le llama complemento de “B” con respecto a “A” y se denota por: B’. Luego, si “B” está incluido en “A”, la diferencia: “A – B” se llama complemento de “B” respecto a “A”

Ejemplo: A = {1; 4; 5} B = {8; 11} A x B = {(1;8); (1;11); (4;8); (4;11); (5;8); (5;11)} Propiedades: • n(A×B) = n(A). n(B) • n(A×B) = n(B×A) •A×B=B×A↔A=B Ejercicios

Observación: OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Si el complemento es respecto al conjunto universal y además se tiene:

1.

B ⊂ U, entonces: B' = U - B= CB = {x/x ∈ U y x ∉ B} = {x / x ∈ (U – B)} Notación: B' = {x/x ∈ A y x ∉ B} ó B' = {x/x ∉ B} Representación gráfica

¿Cuál es la suma de los elementos de (B – A)? 2. Determinar: E = (A – B) ∩ (B – C)

Dar como respuesta: n(E) 3. IMPORTANTE Conjuntos Disjuntos: Cuando no tienen elementos comunes: 4. Para dos conjuntos "A" y "B" se tiene que:

VII. PRODUCTO CARTESIANO

Hallar la suma de los elementos de "B". 5. Dados los conjuntos 𝐴 y 𝐵  5x  1  A / x  Z  3  x  7  2 

A y B son conjuntos no vacíos

_______________________________________________________________________ CENTRAL: Jr. Washington Nº 896 – Lima Telfs. 7641381 / RPC - 944575946 ANEXO SJL: Jr. Condebamba Nº 423 – B – Urbanización Canto Rey –- 3424536 / RPC - 980538400 PUENTE PIEDRA: Asoc. Casa Huertas San Pedro Mz B lote 08 – 5054800 / RPC - 982030565

3

 5 x  1   B     Z / 3  x  7  2   Calcule n ( A  B)

a) 12 b) 8 c) 13 d) 10

helados de coco durante 49 mañanas. ¿Cuántas mañanas tomó helado de los dos sabores? a) 9

e) 11

6. Si: A = {x ∈ Z / x5 - 5x3 = 36x} ∧ B = {x ∈ Z / x - 3 ∈ A} Halle: (A ∪ B) - (A ∩ B)

b) 10

c) 11

d) 12

e) 15

14. Diana realiza un viaje mensual durante todo el año a Ica o Tacna. Si 8 viajes fueron a Ica y 11 viajes a Tacna, ¿cuántos meses visitó los dos lugares? a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

7. Si: entonces el número de elementos de A ∩ B es?

15. En una peña criolla trabajan 32 artistas. De éstos, 16 bailan, 25 cantan y 12 cantan y bailan. El número de artistas que no cantan ni bailan es:

8. Si:

a) 4

b) 5

c) 2

d) 1

e) 3

16. En un salón de 50 alumnos a 20 de ellos le gusta aritmética y a 33 de ellos le gusta el álgebra. Si hay 5 alumnos que no le gusta ninguno de estos 2 cursos. ¿A cuántos les gusta ambos cursos? a) 5 Hallar: n (A ∩ B ∩ C) a) 15

b) 16

c) 17

d) 18

e) 4

9. Dados los conjuntos:

a) 380

b) 400

c) 342

d) 800

e) 760

APLICACIONES

a) 6

b) 7

c) 8

d) 5

e) 4

11. Jaimito come en el desayuno pan con huevo o queso cada mañana durante el mes de enero. Si come queso 25 mañanas y huevos 18 mañanas, ¿cuántas mañanas come queso y huevos? a) 10

b) 11

c) 12

d) 13

e) 14

d) 8

e) 10

b) 48

c) 36

d) 30

e) NA

18. De un grupo de 100 estudiantes, 49 no llevan el curso de Matemática y 53 no siguen el curso de Administración. Si 27 alumnos no siguen Matemática ni Administración, ¿cuántos alumnos llevan exactamente uno de tales cursos? a) 10

10. De un grupo de 30 personas, 20 van al teatro, 5 sólo van al cine, 18 van al cine o al teatro; pero no a ambos sitios. ¿Cuántos van a ambos sitios?

c) 7

17. En un grupo de 90 alumnos: * 36 no llevan el curso de matemática. * 24 no llevan el curso de lenguaje y, * 18 no llevan matemática ni lenguaje. ¿Cuántos alumnos llevan exactamente un solo curso? a) 24

¿ ¿Cuántos elementos tiene A x B?

b) 6

b) 40

c) 60

d) 48

e) 50

19. En una ciudad se determinó que el 46% de la población no lee la revista A, 60% no lee la revista B y el 58% lee A ó B, pero no ambas. ¿Cuántas personas hay en la población si 63000 personas leen A y B? a) 420000

b) 840000

c) 350000 d) 700000 e) 630000

20. En una encuesta se obtuvo el siguiente resultado: - El 75% fuman Hamilton

- El 65% fuman Premier

- El 50% fuman Hamilton o Premier, pero no ambos.

12. Carlos debe almorzar pollo o pescado (o ambos) en su almuerzo de cada día del mes de marzo. Si en su almuerzo durante 20 días hubo pollo y durante 25 días hubo pescado, entonces, el número de días que almorzó pollo y pescado es:

- 300 no fuman ninguna de estas marcas.

a) 18

21. En una encuesta a 198 estudiantes sobre la profesión a seguir, se tiene la siguiente información:

b) 16

c) 15

d) 14

e) 13

13. Jésica tomó helados de fresa o coco durante todas las mañanas en los meses de verano (enero, febrero y marzo) del 2004. Si tomó helados de fresa 53 mañanas y tomó

¿Cuántas personas fueron encuestadas? a) 2000

b) 3000

c) 4000

d) 6000

e) 5000

I. Los que sólo desean Sistemas son tantos como los que desean Medicina.

_______________________________________________________________________ CENTRAL: Jr. Washington Nº 896 – Lima Telfs. 7641381 / RPC - 944575946 ANEXO SJL: Jr. Condebamba Nº 423 – B – Urbanización Canto Rey –- 3424536 / RPC - 980538400 PUENTE PIEDRA: Asoc. Casa Huertas San Pedro Mz B lote 08 – 5054800 / RPC - 982030565

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II. Los que desean Sistemas y Medicina es la quinta parte de los que desean Sistemas o Medicina. III. Los que no desean Sistemas ni Medicina son la tercera parte de los que sólo desean Medicina.

peruanos son el doble de los niños peruanos y los ancianos extranjeros son el triple de los ancianos peruanos. Si son todos los asistentes, ¿cuántos fueron? a) 1200

b) 1300

c) 1400

d) 1100

e) 1500

Determina cuántos desean sólo Medicina. a) 12

b) 18

c) 36

d) 42

e) 54

22. En un salón de 45 alumnos, el número de los que estudian aritmética es el doble del número de los que estudian aritmética y álgebra y el número de los que estudian álgebra es el séxtuple del número de los que estudian aritmética y álgebra. Si hay 10 que no estudian estos cursos. ¿Cuántos estudian ambos cursos? a) 4

b) 5

c) 6

d) 8

e) NA

23. En una fiesta donde había 90 personas, 20 eran varones que no les gustaba el rock, 40 eran mujeres que gustaban de esta música. Si el número de varones que gusta del rock es la cuarta parte del número de mujeres que no gustan del rock. ¿A cuántos les gusta el rock? a) 40

b) 46

c) 42

d) 52

e) 36

29. De un grupo de deportistas se sabe que todos los que practican tenis practican fútbol; pero no todos los que practican básket practican fútbol. Solamente fútbol practica 20; tenis y fútbol, pero no básket son 10; 30 tenis y básket; 10 básket y fútbol, pero no tenis; 40 sólo básket y 50 otros deportes, pero no los mencionados. ¿Cuántos son los componentes de dicho grupo? a) 170

b) 180

c) 200

d) 160

e) 190

30. En un aula de la academia donde estudian 60 alumnos, entre varones y mujeres, se observó lo siguiente: • Ocho mujeres tienen 15 años. • Veinte mujeres no tienen 15 años. • Diecinueve mujeres no tienen 16 años. • Seis varones no tienen ni 15 ni 16 años. ¿Cuántos varones tienen 15 o 16 años?

24. En una bajada de reyes, se observa que el número de varones que no están bailando es el triple del número de mujeres que están bailando y excede en 16 al número de varones que están bailando. Si se observó que asistieron 22 mujeres. Calcula cuántas personas no están bailando en dicho momento.

a) 24

a) 26

• 1/3 de los productos poseen el defecto "A" • 1/4 de los productos poseen el defecto "B" • 1/5 de los productos poseen el defecto "C" • 1/15 de los productos poseen exactamente dos defectos • 10 productos poseen exactamente tres defectos • 105 productos no poseen defecto alguno ¿Cuántos productos poseen solo un defecto?

b) 30

c) 34

d) 38

e) 42

25. De un grupo de 45 cachimbos, se sabe que 14 alumnos no tienen 17 años, 20 alumnos no tienen 16 años, 8 alumnos y 3 alumnas no tienen 16 ni 17 años. ¿Cuántas alumnas tienen 16 ó 17 años? a) 6

b) 16

c) 27

d) 12

b) 38

c) 26

d) 32

e) 34

31. En un departamento de control de calidad de un producto se consideran tres defectos "A", "B" y "C" como los más importantes. Se analizaron "M" productos con el siguiente resultado:

e) 3 a) 195

b) 185

c) 165

d) 155

e) 145

26. En una competencia olímpica participaron 100 atletas, se realizaron 10 pruebas atléticas y en la premiación se nota que: - 3 ganaron medallas de oro, plata y bronce. - 5 ganaron medallas de oro y plata. - 6 ganaron medallas de oro y bronce. - 4 ganaron medallas de plata y bronce. ¿Cuántos atletas no ganaron medallas? a) 96

b) 78

c) 80

d) 82

e) 84

27. De un grupo de 60 estudiantes, 26 hablan francés y 12 solamente francés, 30 hablan inglés y 8 solamente inglés, 28 había alemán y 10 solamente alemán; también 4 hablan los tres idiomas mencionados. ¿Cuántos hablan inglés y alemán, pero no francés? a) 10

b) 11

c) 12

d) 13

e) 14

28. En el primer día de visita a la muñeca gigante “Camila” asistieron 200 niños peruanos; 150 adultos extranjeros; 250 niños extranjeros; 100 ancianos peruanos; los adultos

_______________________________________________________________________ CENTRAL: Jr. Washington Nº 896 – Lima Telfs. 7641381 / RPC - 944575946 ANEXO SJL: Jr. Condebamba Nº 423 – B – Urbanización Canto Rey –- 3424536 / RPC - 980538400 PUENTE PIEDRA: Asoc. Casa Huertas San Pedro Mz B lote 08 – 5054800 / RPC - 982030565

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