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VIGA APOYADA Reacciones en Apoyos, Momento Flector Máximo, Flechas Máximas y Ángulos de Curvatura Extremos, Diagramas de Esfuerzo Cortante y Momento Flector INTRODUCCIÓN

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Las vigas son elementos estructurales sometidos a cargas laterales, es decir, fuerzas o momentos que tienen sus vectores perpendiculares al eje de la barra. Si todas las cargas en la viga actúan en un mismo plano y si todas las deflexiones (indicadas por las líneas discontinuas) también ocurren en ese plano, entonces nos referimos a éste como el plano de flexión, y consideramos a esa viga como una estructura planar. Por lo general, no sólo necesitamos conocer los valores máximos de las fuerzas cortantes y de los momentos flexionantes, sino también la manera en que varían a lo largo del eje de la viga, para así poder determinar los esfuerzos y deformaciones.

TIPOS DE VIGAS, CARGAS Y REACCIONES

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Las vigas se describen por la manera en que están apoyadas. Una viga con un apoyo articulado en un extremo y un apoyo de rodillo en el otro (figura a) se denomina viga simplemente apoyada o viga simple. La característica esencial de un apoyo articulado es que evita la translación en el extremo de una viga pero no evita su rotación. De esta manera, el extremo A de la viga de la figura a no puede moverse horizontal o verticalmente pero el eje de la viga puede girar en el plano de la figura. En consecuencia, un apoyo articulado es capaz de desarrollar una fuerza de reacción con componentes tanto horizontal como vertical (HA y RA), pero no puede desarrollar una reacción de momento. En el extremo B de la viga (figura a) el apoyo de rodillo evita la translación en la dirección vertical pero no en la dirección horizontal; de aquí que este apoyo puede resistir una fuerza vertical (RB) pero no una fuerza horizontal. Por supuesto, el eje de la viga puede girar en B y en A. Las reacciones verticales en los apoyos de rodillo y en los apoyos articulados pueden actuar hacia arriba o hacia abajo y la reacción horizontal en el apoyo articulado puede actuar hacia la izquierda o hacia la derecha.

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La viga que se muestra en la figura b, que está fija en un extremo y libre en el otro, se denomina viga en voladizo . En el apoyo fijo (o apoyo empotrado) la viga no puede trasladarse ni girar, en tanto que en el extremo libre puede hacer ambas cosas. En consecuencia, en el apoyo empotrado pueden existir tanto reacciones de fuerza como de momento.

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El tercer ejemplo en la figura es una viga con un voladizo (figura c). Esta viga está simplemente apoyada en los puntos A y B (es decir, tiene un apoyo articulado en A y un apoyo de rodillo en B) pero también se proyecta más allá del apoyo en B. El segmento BC en saliente es similar a una viga en voladizo excepto que el eje de la viga puede girar en el punto B.

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TIPOS DE CARGAS Cuando una carga se aplica sobre un área muy pequeña se puede idealizar como una carga concentrada (P1, P2, P3 y P4 en fig a, pag 1), que es una fuerza individual. Cuando una carga se reparte a lo largo del eje de la viga, se representa como una carga distribuida (q en fig b, pag 1), se miden por su intensidad, que se expresa en unidades de fuerza por unidad de distancia (por ejemplo, newtons por metro o libras por pie). Una carga distribuida uniformemente o carga uniforme, tiene una intensidad constante q por unidad de distancia. Una carga variable ( q1-q2 en fig b, pag 1) tiene una intensidad que cambia con la distancia a lo largo del eje de la viga. La carga linealmente variable de la figura (b) tiene una intensidad que varía linealmente de q1 a q2. Otro tipo de carga es un par (momento) (M1 en fig c, pag 1), ilustrado por el par de momento M1 que actúa sobre la viga con saliente.

SÍMBOLOS Y CONSTRUCCIÓN FÍSICA DE LOS APOYOS Al dibujar diagramas de vigas, identificamos los apoyos mediante símbolos convencionales, que indican la forma en que la viga está restringida y muestran la naturaleza de las fuerzas y los momentos reactivos. Sin embargo, los símbolos no representan la construcción física real. ● Por ejemplo, considere los ejemplos que se muestran en la figura 4.3. En la parte (a) de la figura se muestra un viga de patín ancho apoyada sobre un muro de concreto y sujeta por pernos de anclaje que pasan por agujeros ovalados en el patín inferior de la viga. Esta conexión restringe la viga contra un movimiento vertical (hacia arriba o abajo) pero no evita el movimiento horizontal. Además, cualquier restricción contra la rotación del eje longitudinal de la viga es pequeña y por lo general se puede ignorar. En consecuencia, este tipo de apoyo es usual que se represente por un rodillo, como se muestra en la parte (b) de la figura. ● El segundo ejemplo (figura c) es una conexión de viga a columna en donde la primera está conectada al patín de la segunda mediante ángulos con pernos. Este tipo de apoyo usualmente se supone que restringe la viga contra el movimiento horizontal y vertical pero no contra la rotación (la restricción contra la rotación es ligera debido a que tanto los ángulos de conexión, como la columna pueden flexionarse). Por tanto, esta conexión por lo general se representa como un apoyo articulado para la viga (figura d). ● El último ejemplo (figura e) es un poste metálico soldado a una placa base que está anclada a un pilar de concreto empotrado profundo en el suelo. Como la base del poste está completamente restringida contra la traslación y la rotación, se representa como un apoyo fijo (figura f). La tarea de representar una estructura real mediante un modelo idealizado es un aspecto importante del trabajo en ingeniería. El modelo debe ser lo suficientemente simple para facilitar el análisis matemático y, sin embargo, lo suficientemente complejo para representar el comportamiento real de la estructura con una precisión razonable. Por supuesto, cada modelo es una aproximación del estado natural, porque los apoyos reales de una viga nunca son perfectamente rígidos y nunca están completamente libres de fricción. En la mayor parte de los casos, en especial para vigas estáticamente indeterminadas, estas desviaciones de las condiciones idealizadas tienen poco efecto en la acción de la viga y se pueden ignorar con seguridad.

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REACCIONES Determinar las reacciones es el primer paso en el análisis de una viga, luego se pueden determinar las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes. Si una viga está apoyada de una manera estáticamente determinada, todas las reacciones se pueden encontrar a partirde diagramas de cuerpo libre y mediante ecuaciones de equilibrio. En algunos casos, puede ser necesario agregar alivios internos en el modelo de la viga o marco para representar mejor las condiciones reales de construcción que pueden tener un efecto importante en el comportamiento global de la estructura. Por ejemplo, el claro interior de la viga del puente que se muestra en la figura 4.4 está soportado sobre apoyos de rodillo en ambos extremos, los que a su vez descansan sobre caballetes (o marcos) de concreto reforzado, pero se han insertado detalles de construcción en la viga en los dos extremos para asegurar que la fuerza axial y el momento en estas dos ubicaciones sean cero. Este detalle también permite que la calzada del puente se expanda o contraiga ante cambios de temperatura para evitar inducir esfuerzos térmicos grandes en la estructura.

EJEMPLO DE CÁLCULO DE REACCIONES

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TAREA – DEMOSTRACIÓN ANALÍTICA DE LAS REACCIONES PARA CADA CASO

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FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLECTORES Cuando una viga se carga con fuerzas o pares, se desarrollan esfuerzos y deformaciones unitarias en todo su interior. Para determinarlos, primero debemos encontrar las fuerzas internas y los pares internos que actúan sobre secciones transversales de la viga. Las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes, al igual que las fuerzas axiales en barras y los pares de torsión internos en ejes, son las resultantes de esfuerzos distribuidos sobre la sección transversal. Se les conoce colectivamente como resultantes de esfuerzo. Las resultantes de esfuerzo en vigas estáticamente indeterminadas se pueden calcular con ecuaciones de equilibrio. CONVENCIONES DE SIGNOS: En el caso de una viga, una fuerza cortante positiva actúa en el sentido de las manecillas del reloj contra el material y una fuerza cortante negativa actúa en sentido contrario al de las manecillas del reloj contra el material. Además, un momento flexionante positivo comprime la parte superior de la viga y un momento flexionante negativo comprime la parte inferior. Las deformaciones de un elemento causadas tanto por fuerzas cortantes positivas y negativas como por momentos flexionantes están dibujadas en la figura 4.10. Observamos que una fuerza cortante positiva tiende a deformar el elemento causando que la cara derecha se mueva hacia abajo con respecto a la cara izquierda y, como ya se mencionó, un momento flexionante positivo comprime la parte superior de una viga y alarga la parte inferior de la misma. Las convenciones de signos para resultantes de esfuerzos se denominan convenciones de signos por deformación porque se basan en cómo se deforma el material. Entonces, el signo de una fuerza axial depende de cómo deforma el material, no de su dirección en el espacio. En contraste, al escribir ecuaciones de equilibrio usamos convenciones de signos de la estática, en donde las fuerzas son positivas o negativas de acuerdo con sus direcciones a lo largo de los ejes coordenados.

EJEMPLO: CÁLCULO DE REACCIONES, FUERZAS CORTANTES Y MOMENTOS FLECTORES 1) Una viga simple AB soporta dos cargas, una fuerza P y un par M0, que actúan como se muestran en la figura. Encuentre la fuerza cortante V y el momento flexionante M en la viga en secciones transversales ubicadas como se indica: (a) a una distancia pequeña a la izquierda del punto medio de la viga y (b) a una distancia pequeña a la derecha del punto medio de la viga.

Reacciones.

(a) Fuerza cortante y momento flexionante a la izquierda del punto medio

(b) Fuerza cortante y momento flector a la derecha del punto medio.

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2) Una viga en voladizo libre en el extremo A y fija en el extremo B está sometida a una carga distribuida con intensidad linealmente variable q (figura 4.12a). La intensidad máxima de la carga ocurre en el apoyo fijo y es igual a q0. Encuentre la fuerza cortante V y el momento flexionante M a una distancia x del extremo libre de la viga.

3) Una viga simple con una saliente está apoyada en los puntos A y B (figura 4.13a). Una carga uniforme con intensidad q = 200 lb/ft actúa en toda la longitud de la viga y una carga concentrada P = 14 k actúa en un punto a 9 ft del apoyo izquierdo. La longitud del claro de la viga es 24 ft y la longitud del voladizo es 6 ft. Calcule la fuerza cortante V y el momento flexionante M en la sección transversal D ubicada a 15 ft del apoyo izquierdo.

Reacciones

Fuerza cortante y momento flector Fuerza cortante

Diagrama de cuerpo libre de la parte izquierda

Momento flector

Alternativamente, diag. de cuerpo libre parte derecha

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DIAGRAMAS DE ESFUERZO CORTANTE Y MOMENTO FLECTOR

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