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Practica 4. Constante dieléctrica del papel. Oscar Hurtado González, México, D.F., C.U. Marzo 2013 Resumen. Este experimento consistió en armar dos sistemas de capacitores para poder obtener la constante dieléctrica del papel de un cuaderno escolar común y corriente. El primer sistema consistió en un capacitor cuyas placas paralelas consistían en dos placas de papel aluminio y ser variaba la “cantidad” de material dieléctrico (papel) entre éstas placas. Para este experimento se obtuvo una constante dieléctrica de k = 1.67(0.09) .   El  segundo,  consistió  en  armar  un  sistema  de  capacitores  en  serie,  cada  uno  de  ellos   con  un  poco  de  papel  como  material  dieléctrico.  Para  este  sistema,  se  obtuvo  el  valor   de   k = 1.70(0.02) ,  para  la  constante  dieléctrica  del  papel.  

Introducción. La mayoría de los capacitores tienen un material no conductor o dieléctrico entre sus placas conductoras. Un tipo común de capacitor emplea tiras largas de hojas (láminas) metálicas como placas, separadas por tiras de hojas de materiales plásticos. La colocación de un dieléctrico sólido entre las placas de un capacitor tiene tres funciones. La primera es que resuelve el problema mecánico de mantener dos hojas metálicas grandes con una separación muy pequeña sin que hagan contacto. La segunda función es que un dieléctrico incrementa al máximo posible la diferencia de potencial entre las placas del capacitor. La tercera función es que la capacitancia de un capacitor de dimensiones dadas es mayor cuando entre sus placas hay un material dieléctrico en vez de vacío.

La capacitancia original C0 está dada por

C0 =

Q , (1) V0

y la capacitancia C con el dieléctrico Q presente es C = . La carga Q es la V misma en ambos casos, y V es menor que V0 , de donde se concluye que la capacitancia C con el dieléctrico presente es mayor que C0 . Cuando el espacio entre las placas está lleno por completo por el dieléctrico, la razón de C a C0 (igual a la razón de V0 a V) se denomina constante dieléctrica del material, K: k=

C0  (2).   C

k=

Cd  (3)   ε0 A

⇒  

Cuando la carga es constante,

ε 0 = 8.85 ×10 −12

Q = C0V0 = CV  

F m

Desarrollo experimental.

y C0 V0 = . C V

En este caso, la ecuación (1) se puede expresar de la forma V=

V0 (4)   k

Con el dieléctrico presente, la diferencia de potencial para una carga Q dada se reduce en un factor de k. La constante dieléctrica k es un número puro. Como C siempre es mayor que C0 , k siempre es mayor que la unidad. En esta practica el objetivo será calcular la constante dieléctrica del papel bond realizando dos experimentos diferentes, o dos métodos diferentes; el primero será utilizar un par de placas paralelas formado por dos pedazos de papel aluminio de la misma área e introduciendo varias hojas de papal entre estas placas, y el segundo será utilizar muchas placas de papel aluminio para formar un capacitor en serie con una sola hoja de papel entre cada uno de los capacitores formados por las laminas de papel aluminio. Para este segundo experimento también se utiliza la ecuación

1 1 1 1  (5)   = + +... + Ceq C1 C2 Cn El   valor   tomado   para   la   conste   ε 0 será:

El primer experimento consistió en tomar un par de placas paralelas cuadradas de papel aluminio cuyos lados median 12(0.1) cm. y después se pego un alambre de cobre en cada una de ellas con cinta de aislar, para posteriormente usar este alambre y conectarlos, mediante unos caimanes, a un capacitómetro (marca   Tenma  modelo  72-­‐370).   Como   se   menciono,   el   material   dieléctrico   que   se   tomo   para   colocar   dentro   de   este   capacitor   fueron   varias   hojas  de  papel  de  un  cuaderno.   Entonces,  para  poder  medir  la  distancia   de  separación  entre  las  placas  debido  al   grosor   de   las   hojas   del   papel,   se   midió   éste   con   un   micrómetro,   (marca   Mitutoyo)   en   tres   puntos   diferentes   de   las  hojas  para  poder  obtener  un  grosor   promedio.   Se   midió   este   grosor   para   una   hoja   sola,   luego   para   dos   hojas   juntas,   luego   para   tres   hojas   juntas;   y   así   sucesivamente   hasta   conseguir   medir   el   grosor   de   diez   hojas   de   papel   juntas.   Tomamos  estos  datos  y  los  ordenamos   en   la   tabla   1   (tabla   que   aparece   mas   adelante   en   este   informe   en   la   sección   de  resultados).   Se   prosiguió   a   colocar   las   placas   con   una  hoja  entre  ellas,  procurando  que  no   quedaran   “huecos”   entre   el   papel   y   las   placas   de   papel   aluminio   y   estuvieran   lo  mas  paralelas  posibles.  Esto  se  logro   ejerciendo   un   poco   de   presión   lo   mas   uniformemente   posible   sobre   ambas   superficies   de   las   placas.   La   siguiente   figura   muestra   el   sistema   que   se   logro  

armar:  

de  12(0.1) cm.

  Una   vez   colocado   el   papel   dentro   de   las   placas  y  habiendo  conectado  los  cables   al   multímetro,   se   midió   una   vez   la   capacitancia   de   este   capacitor   con   la   escala  de  resolución  centésimas  de   nF .   Después  se  pusieron  dos  hojas  entre  las   placas,  procurando  nuevamente  que  las   placas   quedaran   lo   mas   paralelas   posibles   y   que   no   hubiera   “huecos”.   Posteriormente   se   midió   la   capacitancia   de   este   nuevo   capacitor   (con  dos  hojas  entre  las  placas).   Se   repitió   este   procedimiento   nuevamente   pero   esta   vez   para   tres   hojas   de   papel;   luego   se   registro   la   capacitancia   medida.   Progresivamente   se  repitió  este  experimento  para  4,5,6…   hasta  10  hojas.     Los   datos   obtenidos   para   las   capacitancias   de   los   diez   capacitores   construidos  se  registraron  el  la  tabla  2   (tabla   que   aparece   mas   adelante   en   este   informe   en   la   sección   de   resultados).   Con   estos   datos   posteriormente   se   calculo   el   valor   de   la   constante   dieléctrica  del  papel.   Para   el   segundo   experimento   se   tomaron  10  placas  cuadradas    de  papel   aluminio  cuya  longitud  en  cada  lado  fue  

En   esta   ocasión   se   utilizó   el   concepto   de   capacitores   en   serie   para   variar   la   capacitancia  de  placas  paralelas.     Primero,  se  coloca  una  de  las  hojas  del   cuaderno   entre   dos   placas   de   aluminio   generando   así   un   capacitor   cuya   capacitancia   se   midió   con   el   capacitómetro   y   se   registro   en   la   tabla   3  (tabla  que,  nuevamente,  aparece  mas   adelante   en   este   informe   en   la   sección   de  resultados).   Después  se  coloca  otra  hoja  de  papel  y   luego   se   coloca   otra   placa   de   papel   aluminio  encima  de  la  segunda  hoja  de   papel   colocada,   generando   así   dos   capacitores  en  serie.  La  siguiente  figura   muestra   el   diseño   del   sistema   para   estas  tres  placas  de  aluminio:    

      Se  midió  la    capacitancias  de  estos  dos   capacitores   en   serie   y   se   registró   en   la   tabla  3.   La   idea   es   construir   un   sistema   de   varios  capacitores  alternando  una  hoja   de   papel,   una   placa   de   aluminio;   utilizando   las   diez   placas   de   papel   aluminio   para   finalmente   obtener   una   cantidad  de  9  capacitores  en  serie.     A   medida   que   se   van   agregando   hojas   de   papel,   y   se   van   obteniendo   2,3,4,…,   hasta   9   capacitores   se   fueron   registrando  respectivamente  el  la  tabla   3.   Las   placas   en   los   extremos   deben   ir   conectadas  al  capacitómetro  utilizando   el  mismo  método  de  pegar,  con  cinta  de  

  aislar,  un  pequeño  alambre  de  cobre  a  estas  dos  placas.   Para  construir  este  sistema  de  capacitores  en  serie  se  toman  las  mismas  precauciones   que  en  el  experimento  uno,  de  que  no  quedaran  “huecos”  y  estuvieran  lo  mas  paralelas   posibles.     Resultados. El grosor promedio de las hojas se registro en la siguiente tabla: TABLA 1 Número de Hojas Grosor promedio [mm] 1 0.09 (1×10 −3 mm) 2 0.18 (1×10 −3 mm) 3

0.27 (1×10 −3 mm)

4

0.36 (1×10 −3 mm)

5

0.44 (1×10 −3 mm)

6

0.53 (1×10 −3 mm)

7

0.62 (1×10 −3 mm)

8

0.71 (1×10 −3 mm)

9

0.80 (1×10 −3 mm)

10

0.89 (1×10 −3 mm)

La incertidumbre asociada es la incertidumbre propagada tomando en cuenta la incertidumbre del micrómetro, la cual era de 1 µ m.   Ya que en el primer experimento se quería medir la capacitancia en función de la distancia la cual quedaba determinada por el numero de hojas entre las placas de papel aluminio y como se menciono en el desarrollo experimental, los datos se expresan en la siguiente tabla: TABLA 2 Número de hojas

Distancia de separación[mm] “d”

Capacitancia [nF]

1/d[mm]

1

0.09 (1×10 −3 mm)

2.48 (5.96 ×10 −2 nF)

11.11 (0.12mm)

2

0.18 (1×10 −3 mm)

1.66 (4.32 ×10 −2 nF)

5.55 (0.03mm)

3

0.27 (1×10 −3 mm)

1.14 (3.28 ×10 −2 nF)

3.70 (0.02mm)

4

0.36 (1×10 −3 mm)

0.84 (2.68 ×10 −2 nF)

2.77 (7.69 ×10 −3 mm)

5

0.44 (1×10 −3 mm)

0.74 (2.48 ×10 −2 nF)

2.27 (5.15 ×10 −3 mm)

6

0.53 (1×10 −3 mm)

0.60 (2.20 ×10 −2 nF)

1.88 (3.55 ×10 −3 mm)

7

0.62 (1×10 −3 mm)

0.56 (2.12 ×10 −2 nF)

1.61 (2.59 ×10 −3 mm)

8

0.71 (1×10 −3 mm)

0.46 (1.92 ×10 −2 nF)

1.40 (1.98 ×10 −3 mm)

9

0.80 (1×10 −3 mm)

0.38 (1.76 ×10 −2 nF)

1.25 (1.56 ×10 −3 mm)

10

0.89 (1×10 −3 mm)

0.36 (1.72 ×10 −2 nF)

1.12 (1.26 ×10 −3 mm)

Las incertidumbre asociadas a la capacitancia son del tipo B, tomando en cuenta el valor para ésta, que el instructivo del capacitómetro indicaba. Una observación es que la ultima columna, titulada “1/d” es utilizada con el fin de poder analizar linealmente los resultados y así poder obtener la constante dieléctrica del papel. La incertidumbre entre paréntesis, es la que se obtiene al propagar la incertidumbre de la distancia “d” al obtener su inverso multiplicativo. Para el segundo experimento, como se narro anteriormente, se obtuvo la siguiente tabla de valores: TABLA 3 Numero de placas de papel Numero de capacitores Capacitancia equivalente aluminio. obtenidos “N” [nF] 2 1 2.48 (6.0 ×10 −2 nF) 3 2 1.15 (3.3×10 −2 nF) 4

3

0.80 (2.6 ×10 −2 nF)

5

4

0.65 (2.3×10 −2 nF)

6

5

0.50 (2.0 ×10 −2 nF)

7

6

0.45 (1.9 ×10 −2 nF)

8

7

0.39 (1.8 ×10 −2 nF)

9

8

0.33 (1.7 ×10 −2 nF)

10

9

0.31 (1.6 ×10 −2 nF)

La incertidumbre, aquí, es nuevamente la incertidumbre de tipo B debida a el capacitómetro. Análisis y discusión. Utilizando los datos de la tabla 2 se obtuvo el siguiente ajuste lineal para la capacitancia en función del inverso multiplicativo de la distancia que separaba las placas de aluminio (1/d).

 Experimento  1   3   y  =  0.2115x  +  0.2179  

Capacitancia  (nF)  

2.5   2   1.5   1   0.5   0   0.00  

2.00  

4.00  

6.00  

8.00  

10.00  

12.00  

1/d(mm)  

En base a esta grafica se necesitan hacer los siguientes comentarios. El primero de ellos es que las barras de incertidumbre son muy pequeñas y por tanto la escala de la grafica no permite que se observen, por lo que vemos que dos de los puntos, correspondientes a los valores cercanos a 4 y 6 unidades en el eje de la distancia, no están “cerca” del ajuste lineal. El segundo cometario es que la ecuación que aparece

capacitor  separado  una  distancia  d  con   un  material  dieléctrico  que  en  este  caso   es  el  papel.   Luego   se   utiliza   la   ecuación   2   pero   debido  a  cómo  se  graficaron  los  puntos   se  obtiene:   C = kC0 = kε 0

A = kε 0 Ad   1 d

Lo  cual  implica  que  el  valor  de  M,   corresponde  a  la  cantidad:    

y=0.2115x+0.2179

M = kε 0 A ,  

es la ecuación del modelo obtenido al realizar el ajuste lineal; el valor 0.2115 es el valor de la pendiente de esta recta y su incertidumbre corresponde a 2.8 ×10 −4 ,   es  decir:  

relación   que   nos   permite   encontrar   fácilmente   el   valor   de   la   constante   dieléctrica   del   papel,   k,   que   se   esta   buscando:  

k=

pendiente = M = 0.2115(2.8 ×10 )nFmm   −4

Ahora,   ¿a   que   corresponde   este   valor?.   La   respuesta   se   obtiene   analizando   la   naturaleza  de  este  primer  experimento.   En  esencia  el  sistema  utilizado  durante   todo   este   primer   experimento   es   un  

M   ε0 A

donde:  

M = 0.2115(2.8 ×10 −4 )nFmm    

ε 0 = 8.85 ×10 −12

F m

y

A = 1.44 ×10 −2 m 2 (2.41×10 −4 )m 2   Por  lo  tanto,  convirtiendo  las  unidades  de  M  a  Faradios  y  metros,  sustituyendo  estos   valores  en  la  ecuación  anterior  y  propagando  incertidumbres  obtenemos  que  k  es:  

k = 1.67(0.09)   La  cual  no  tiene  unidades  debido  a  que  es  la  constante  dieléctrica  del  papel.   Para   el   segundo   experimento   se   hizo   también   un   ajuste   lineal   con   los   datos   obtenidos   en  la  tabla  3.   En   esta   ocasión   no   graficamos   la   capacitancia   en   función   de   la   distancia,   sino   la   capacitancia  en  función  del  numero  de  capacitores  N.   Antes  de  presentar  analizaremos  el  como  se  trabajo  con  la  ecuación  (5)  para  obtener   dicha  grafica.   En   este   segundo   experimento   por   como   se   construyo,   tenemos,   en   total   un   sistema   de   9   capacitores   en   serie,   los   cuales   eran   todos   iguales   pues   entre   ellos   había   una   separación  de  una  hoja  de  papel  y  el  área  de  todas  las  placas  era  la  misma  dentro  del   intervalo   de   incertidumbre   asociado.   Con   esta   consideración,   la   ecuación   (5)   se   convierte  en:   N 1 1 = ∑   Ceq i=1 Ci

Donde   N   es   el   numero   de   capacitores   en   serie.   Por   lo   tanto   tenemos   que   la   capacitancia  equivalente  es:   N

Ceq = ∑ Ci = i=1

C   N

De   esta   manera   la   grafica   de   el   experimento   dos,   esta   dada   por   la   capacitancia   equivalente  en  función  de  1/N:        

C.  equivalente  (nF)  

Experimento  2   3  

y  =  2.4155x  +  0.0252    

2.5   2   1.5   1   0.5   0   0  

0.2  

0.4  

0.6  

0.8  

1  

1.2  

1/N  

  Nuevamente   la   escala   de     las   bararas   de   incertidumbre   es   muy   pequeña,   por   lo   que   aparece  en  la  grafica.   En  esta  grafica  la  pendiente  corresponde  a  la  capacitancia  C,    es  decir:  

M 2 = C = kε 0 A / d   Donde  d  corresponde  al  valor  del  grosor  de  una  hoja  de  papel,  que  es  la  distancia  de   separación  entre  cada  uno  de  los  capacitores  en  serie.   Por  lo  tanto:  

k=

M 2d   ε0 A

Donde:  

M 2 = 2.412 ×10 −9 (5.5 ×10 −12 )F   A = 1.44 ×10 −2 m 2 (2.41×10 −4 )m 2   d = 0.09 ×10 −3 m(1×10 −6 )m     Con  esto  se  obtiene  una  k    de:    

k = 1.70(0.02)   Donde  el  numero  entre  paréntesis  representa  el  valor  de  la  incertidumbre  propagada   para  la  constante  dieléctrica  del  papel.      

Conclusiones. Lo primero que se observa de estos dos resultados, tanto para el primer experimento, como para el segundo, es que la constante dieléctrica del papel de las hojas de cuaderno utilizado, es mayor que la unidad, concordando así con la característica teórica de los materiales dieléctricos.

mas   cuidado   sobre     las   consideraciones   para   el   armado   del   sistema   tal   como   asegurarse   de   que   las   placas   de   papel   aluminio   estuviesen   lo   mas   paralelas   posibles,   y   cuidando   de   que   no   haya   espacios  entre  el  material  dieléctrico,  el   papel;   entre   las   placas   se   pueden   obtener   resultados   todavía   mas   precisos   sobre   la   constante   dieléctrica   del  papel.  

En ambos casos se obtuvieron dos valores muy cercanos

k = 1.67(0.09) k = 1.70(0.02)   Que   analizando   los   posibles   intervalos   de   incertidumbre   ambos   valores   pueden   estar   dentro   de   los   dos   distintos  intervalos  obtenidos,  es  decir,   si  vemos  el  intervalo  numero  un  (1.58,   1.76),  el  segundo  intervalo  (1.68,  1.72)   esta  completamente  contenido  en  el.  El   primer   intervalo   es   un   poco   mas   grande   debido   a   que   se   manejaron   muchos   datos   con   diferentes   incertidumbres   para   poder   obtener   el   ajuste   lineal   de   la   primera   grafica,   obteniendo   una   pendiente   cuya   incertidumbre   iba   a   ser,   por   tanto,   considerablemente  grande.   En   la   segunda   grafica,   al   obtener   la   pendiente   de   la   grafica   se   utilizaron   menos   datos,   lo   cual   significo   un   manejo   de   una   cantidad   de   incertidumbres   menores,   obteniendo   así   una   incertidumbre   para   la   pendiente   de   la   segunda   grafica   un   poco  mas  pequeña.   El   hecho   de   haber   obtenido   estos   resultados   tan   semejantes   nos   indica   que   si   repetimos   el   experimento,   tomando  en  cuenta  y  procurando  tener  

Bibliografía. 1. Física Universitaria, SearsZemansky-Young-Freedman, volumen II. Editorial Pearson, 2009. 2. J. Miranda, Evaluacion de la incertidumbre en Datos Experimentales (instituto de Física, UNAM, México, 2000)