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• Hashigue D' Fire

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Preguntas: 1- O Sí o no: ¿Cada una de las siguientes cantidades es un vector? a) fuerza. = si b) temperatura. = no c) el volumen de agua en una lata. = no d) las calificaciones de un programa de televisión. = no e) la altura de un edificio. = no f) la velocidad de un automóvil deportivo. = si g) la edad del Universo. = no 4- O La herramienta de corte en un torno está dada por dos desplazamientos, uno de 4 cm de magnitud y otro de 3 cm de magnitud, en cada una de las cinco situaciones de la a) a la e), diagramadas en la figura P3.4. Ordene estas situaciones de acuerdo con la magnitud del desplazamiento total de la herramienta, poniendo primero la situación con la mayor magnitud resultante. Si el desplazamiento total es del mismo tamaño en dos situaciones, dé a dichas letras igual disposición.

Las magnitudes de los vectores que se suman son constantes y estamos considerando solo la magnitud, no la dirección, de la resultante. Por lo tanto, solo necesitamos mirar el ángulo entre los vectores que se agregan en cada caso. Cuanto menor sea este ángulo, mayor será la magnitud resultante. Por tanto, la clasificación es c = e> a> d> b.

5- O Sea A la representación de un vector velocidad que apunta desde el origen en el segundo cuadrante: a) ¿Su componente x es positiva, negativa o cero? b) ¿Su componente y es positiva, negativa o cero? Sea B la representación de un vector velocidad que apunta desde el origen en el cuarto cuadrante. c)¿Su componente x es positiva, negativa o cero? d) ¿Su componente y es positiva, negativa o cero? e) Considere el vector A + B . ¿Qué concluye acerca de los cuadrantes en los que puede o no estar? f ) Ahora considere el vector B - A . ¿Qué concluye acerca de los cuadrantes en los que puede o

no estar?

a) hacia la izquierda: negativo. (b) hacia arriba: positivo (c) hacia la derecha: positivo (d) hacia abajo: negativo (e) Dependiendo de los signos y ángulos de A y B, la suma podría estar en cualquier cuadrante. (f) Ahora −A estará en el cuarto cuadrante, entonces -A + B estará en el cuarto cuadrante. 6. I) ¿Cuál es la magnitud del vector (10ˆi - 10ˆk) m/s)? a). 0, b) 10 m/s, c) -10 m/s, d) 10, e) -10, f) 14.1 m/s, g) indefinido. II) ¿Cuál es la componente y de Este vector? (Elija de entre las mismas respuestas.) I) La magnitud es √102 + 102 𝑚/𝑠 respuesta (f). (II) No tener un componente y significa la respuesta (a). 7. O Un submarino se sumerge desde la superficie del agua en un ángulo de 30° bajo la horizontal, siguiendo una trayectoria recta de 50 m de largo. ¿Por tanto, a qué distancia está el submarino de la superficie del agua? a) 50 m b) sen 30° c) cos 30° d) tan 30° e) (50 m)/sen 30° f) (50 m)/cos 30° g) (50 m)/tan 30° h) (50 m) sen 30° i) (50 m)cos 30° j) (50 m)tan 30° k) (sen 30°)/50 m, l) (cos 30°)/50 m, m) (tan 30°)/50 m n) 30 m, o) 0 p) ninguna de estas respuestas.

La componente vertical es opuesta al ángulo de 30 °, por lo que sen 30 ° = (componente vertical) / 50 m y la respuesta es (h)

8. O I) ¿Cuál es la componente x del vector que se muestra en la figura P3?8? a) 1 cm b) 2 cm c) 3 cm d) 4 cm e) 6 cm f) -1 cm g) -2 cm h) -3 cm i) -4 cm j) -6 cm k) ninguna de estas respuestas. II) ¿Cuál es la componente y de este vector? (Elija de entre las mismas respuestas.) Calcula la diferencia de las coordenadas de los extremos del vector. El final primero significa el final del cabeza primero. (I) −4-2 = −6 cm, respuesta (j) (ii) 1 - (−2) = 3 cm, respuesta (c 9. O El vector A S se encuentra en el plano xy. I) ¿Sus dos componentes serán negativas si se encuentra en cuál(es) cuadrante(s)? elija todo lo que aplique. a) el primer cuadrante b) el segundo cuadrante c) el tercer cuadrante, d) el cuarto cuadrante. II) ¿Hacia qué orientación sus componentes tendrán signos opuestos? Elija de entre las mismas posibilidades. I) Si el ángulo de dirección de A está entre 180 grados y 270 grados, sus componentes son negativos: respuesta (c). Si un vector está en el segundo cuadrante o el cuarto cuadrante, sus componentes tienen signos opuestos: respuesta (b) o (d) 10. Si el componente del vector A a lo largo de la dirección del vector B es cero, ¿qué puede concluir acerca de los dos vectores? Los vectores A y B son perpendiculares entre sí.

11. ¿La magnitud de un vector puede tener un valor negativo? Explique. No, la magnitud de un vector siempre es positiva. Un signo menos en un vector solo indica dirección, no magnitud 12. ¿Es posible sumar una cantidad vectorial a una cantidad escalar? Explique. La suma de un vector a un escalar no está definida. Piense en el número de manzanas y nubes.

Problemas: 1. Las coordenadas polares de un punto son r = 5.50 m y V = 240°. ¿Cuáles son las coordenadas cartesianas de este punto? 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 = (5.50𝑚)𝑜𝑠240° = (5.50𝑚)(−0.59) = −2.75𝑚 𝑥 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 = (5.50𝑚)𝑖𝑛240° = (5.50𝑚)(−0.866) = −4.76𝑚 2. Dos puntos en un plano tienen coordenadas polares (2.50 m, 30.0°) y (3.80 m, 120.0°). Determine a) las coordenadas cartesianas de estos puntos y b) la distancia entre ellos. a) 𝑥 = (2.50𝑚)𝑜𝑠30.0°, 𝑦1 = (2.50𝑚) sin 120° , (𝑥1 , 𝑦1) = (2.17,1.20)𝑚 𝑥2 = (3.80)𝑜𝑠120°, 𝑦2 = (3.80𝑚)𝑠𝑖𝑛120°, (𝑥2, 𝑦2) = (−1.90,3.29)𝑚 b) 𝑑 = √(∆𝑥)2 + (∆𝑦)2 = √4.072 + 2.042𝑚 = 4.55𝑚 4. Las coordenadas rectangulares de un punto están dadas por (2, y), y sus coordenadas polares son (r, 30°). Determine y y r.

𝑟 = 2.00/𝑐𝑜𝑠30.0° = 2.31 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛30.0° = 2.31𝑠𝑖𝑛30.0° = 1.15 5. Sean (r, V) las coordenadas polares del punto (x, y). Determine las coordenadas polares para los puntos a) (-x, y), b) (-2x, -2y) y c) (3x, -3y). a) El radio de este nuevo punto es: √(𝑥)2 + 𝑦2 = √𝑦2 + 𝑦2=r

Y su angulo es 𝑡𝑎𝑛−1 ( 𝑦/−𝑥) = 180° − 𝜃. b) √(−2𝑥)2 + (−2𝑦)2 = 2𝑟 su punto está en el tercer cuadrante si xy, () está en el primer cuadrante en el cuarto cuadrante si xy, () está en el segundo cuadrante. Está en un ángulo de 180° + 𝜃 c) √(3𝑥)2 + (−3𝑦)2 = 3𝑟 Este punto está en el cuarto cuadrante si xy, () está en el primer cuadrante o en el tercer cuadrante si xy, () está en el segundo cuadrante. Está en un ángulo de−𝜃 7. Una topógrafa mide la distancia a través de un río recto con el siguiente método: partiendo directamente a través de un árbol en la orilla opuesta, camina 100 m a lo largo del margen del río para establecer una línea base. Luego observa hacia el árbol. El ángulo de su línea base al árbol es de 35.0°. ¿Qué tan ancho es el río? 𝑡𝑎𝑛35.0 = 𝑥 /100𝑚

𝑥 = (100𝑚)𝑎𝑛35.0° = 70.0𝑚

8. Una fuerza F1 de 6.00 unidades de magnitud actúa sobre un objeto en el origen en una dirección 30.0° sobre el eje x positivo. Una segunda fuerza F2 de 5.00 unidades de magnitud actúa sobre el objeto en la dirección del eje y positivo. Encuentre gráficamente la magnitud y la dirección de la fuerza resultante F 1 + F 2. Encuentre la resultante F1+ F2 gráficamente colocando la cola de F2 en la cabeza de F1. El vector de fuerza resultante F1 + F2 es de magnitud 95.N y forma un ángulo de 57 ° por encima del eje x. 11. Cada uno de los vectores desplazamientos A y B que se muestran en la figura P3.11 tiene una magnitud de 3.00 m. Encuentre gráficamente a) A + B b) A - B S c) B - A y d) A - 2B . Reporte todos los ángulos en sentido contrario de las manecillas del reloj desde el eje x positivo. Para encontrar estas expresiones vectoriales gráficamente, se dibuja cada conjunto de vectores. Las mediciones de los resultados se toman con una regla y un transportador. (Escala: a) A+B=5.2m a 60° b) A-B=3.0m a 330° c) B-A=3.0m a 150° d) A-2B=5.2m a 300°

15. Un vector tiene una componente x de -25.0 unidades y otra componente y de 40.0 unidades. Encuentre la magnitud y dirección de este vector. Ax= -25.0 Ay= 40.0 𝐴= √𝐴x2 + 𝐴y2 = √(−25.0)2 + (40.0)2 = 47.2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 19. Obtenga expresiones en forma de componentes para los vectores de posición que tienen las siguientes coordenadas polares: a) 12.8 m,150° b) 3.30 cm, 60.0° c)22.0 pulg, 215° A) 𝑥 = 12.8 cos 150°, 𝑦 = 12.88 sin 150°, 𝑦 (𝑥, 𝑦) = (−11.1𝑖 + 6.40𝑗) B) 𝑥 = 3.30𝑐𝑜𝑠60.0°, 𝑦 = 3.30 𝑠𝑖𝑛60.0°, 𝑦 (𝑥, 𝑦) = (−1.65𝑖 + 2.86𝑗)𝑚 C) 𝑥 = 22.0𝑐𝑜𝑠215°, 𝑦 = 22.0 𝑠𝑖𝑛215°, 𝑦 (𝑥, 𝑦) = (−18.0𝑖 − 12.6𝑗)𝑛 24. Dados los vectores A = 2.00ˆi + 6.00ˆj y B =3.00ˆi - 2.00ˆj, a) dibuje la suma vectorial C=A = B y la diferencia vectorial D = A - B . b) Calcule C y D , primero en términos de vectores unitarios y luego en términos de coordenadas polares, con ángulos medidos respecto del eje +x. 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 = 2.00𝑖 + 6.00𝑗 + 3.00𝑖 − 2.00𝑗 = 5.00𝑖 + 4.00𝑗 𝐶 =√25.0 + 16.0 𝑌 tan−1 (4/5) = 6.40𝑦 38.7° 𝐷 = 𝐴 − 𝐵 = 2.00𝑖 + 6.00𝑗 − 3.00𝑖 + 2.00𝑗 = −1.00𝑖 + 8.00𝑗 𝐷 = √(−100)2 + (8.00)2 𝑌 𝑡𝑎𝑛−1( 8.00 /−1.00) 𝐷 = 8.06 𝑦 (180° − 82.9°) = 8.06 𝑦 97.2°

31. La vista desde el helicóptero en la figura P3.31 muestra a dos personas jalando una mula terca. Encuentre: a. la fuerza única que es equivalente a las dos fuerzas que se muestran y b) la fuerza que una tercera persona tendría que ejercer sobre la mula para hacer la fuerza resultante igual a cero. Las fuerzas se miden en unidades de newtons (representada por N). 𝐹 = 𝐹1 + 𝐹2 𝐹 = 120 cos(60.0°) 𝑖 + 120 sin(60.0°) 𝑗 − 80.0 cos(75.0°) 𝑖 + 80.0 sin(75.0°) 𝑗 𝐹 = 60.0𝑖 + 104𝑗 − 20.7𝑖 + 77.3𝑗 = (39.3𝑖 + 181𝑗)

|𝐹| = √39.32 + 1812 = 185𝑁 𝜃 = tan−1( 181/ 39.3) = 77.8° 𝐹3 = −𝐹 = (−39.3𝑖 − 181𝑗) 35. Dados los vectores desplazamiento A = (3 ˆi -4 ˆj + 4ˆk) m y B = (2 ˆi + 3 ˆj - 7 ˆk) m, encuentre las magnitudes de los vectores a) C = A + B y b) D =2A -B , y también exprese cada uno en términos de sus componentes rectangulares. a. 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 = (5.00𝑖 − 1.00𝑗 − 3.00𝑘) |𝐶| = √(5.00)2 + (1.00)2 + (3.00)2𝑚 = 5.92𝑚 b. 𝐷 = 2𝐴 + 𝐵 = (4.00𝑖 − 11.00𝑗 − 15.00𝑘) |𝐷| = √(4.00)2 + (11.00)2 + (15.00)2𝑚 = 19.0𝑚 43. En la figura P3.43 se muestran tres vectores desplazamiento de una pelota de croquet, donde A = 20.0 unidades, B = 40.0 unidades y C = 30.0 unidades. Encuentre a) el resultante en notación de vectores unitarios y b) la magnitud y dirección del desplazamiento resultante. a. 𝑅𝑥 = 40.0𝑐𝑜𝑠45.0° + 30.0𝑐𝑜𝑠45.0° = 49.5 𝑅𝑦 = 40.0𝑠𝑖𝑛45.0° − 30.0𝑠𝑖𝑛45.0° + 20.0 = 27.7 𝑅 = 49.5𝑖 + 27.1𝑗 b. |𝑅| = √(49.5)2 + (27.1)2 = 56.4 𝜃 = tan−1(27.1/ 49.5) = 28.7° 57. Una persona que sale a caminar sigue la trayectoria que se muestra en la figura P3.57. El viaje total consiste en cuatro trayectorias en línea recta. Al final de la caminata, ¿cuál es el desplazamiento resultante de la persona, medido desde el punto de partida? D1=100i D2=-300j 𝑑3 = −150 cos(30.0°) 𝑖 − 150 sin(−30.0𝑖)°𝑗 = 130𝑖 − 75.0𝑗) 𝑑4 = −200 cos(60.0°) 𝑖 − 200 sin(60.0°) 𝑗 = −100𝑖 + 173𝑗 𝑅 = 𝑑1 + 𝑑2 + 𝑑3 + 𝑑4 = (−130𝑖 − 202𝑗) |𝑅|√(−130)2 + (−202)2 = 240𝑚 ∅ = tan−1(202/ 130) = 57.2° 𝜃 = 180 + ∅ = 237°