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Laboratorio de Física

Electricidad y magnetismo

UCSM

ANÁLISIS GRÁFICO A. COMPETENCIA: Muestra dominio en la interpretación de datos experimentales empleando la elaboración de gráficas, para establecer relaciones entre variables físicas, mostrando una actitud crítica frente a los resultados.

B. MARCO TEORICO: En la experimentación, cuando se tiene gran cantidad de datos, éstos con frecuencia se organizan para presentarse en forma de una gráfica, entendiéndose por grafica un diagrama que usa líneas, círculos, barras o alguna otra forma geométrica para representar datos tabulados. Es pertinente aclarar que tanto las gráficas como las tablas presentan mucha información en poco espacio, pero el que se prefieran las gráficas a las tablas, a pesar de que para construir una gráfica se requiere primero una tabla, se debe a que ofrecen las siguientes ventajas: 

Mediante una gráfica es más fácil conseguir la atención, pues al igual que un dibujo vale más que mil palabras, una gráfica vale más que mil números.



Es más fácil comparar una gráfica con otra que comparar una tabla con otra.



Las gráficas revelan, en forma más rápida, ciertos rasgos que mediante una inspección de la tabla no se podrían obtener fácilmente, entre otras: a) Valor máximo b) Valor mínimo c) Periodicidad d) Variaciones de la pendiente.

En la ciencia y en la ingeniería las gráficas tienen tres aplicaciones principales. En primer lugar, mediante una gráfica es muy rápido y sencillo determinar algunas características del fenómeno físico. Por ejemplo, por interpolación se puede encontrar el valor de una de las variables si se da el de la otra. En segundo lugar, se utilizan como ayuda visual; por ejemplo, al comparar los resultados experimentales con una curva teórica en una misma gráfica, es muy fácil determinar por simple inspección si existe discrepancia entre las predicciones teóricas y los resultados experimentales. Por último, en el trabajo experimental las gráficas permiten encontrar la relación existente entre dos y tres variables. La elaboración de graficas es una tarea sencilla; sin embargo, por el desconocimiento de algunas normas el experimentador se puede encontrar con ciertas dificultades para 2

realizarlas e interpretarlas. Para evitar eso se recomienda tomar en cuenta lo siguiente: 1. Elección del papel adecuado 2. Elección de la escala apropiada 3. Trazo de los puntos experimentales 4. Ajuste de la curva por los puntos experimentales 5. Título de la grafica

GRAFICAS LINEALES: Siempre que sea posible el experimentador procura seleccionar el papel gráfico y las variables de las coordenadas de modo que la representación de la gráfica se acerque lo más a una línea recta. La curva más sencilla es la línea recta, por que presenta muchas ventajas, como el que se pueden descubrir errores con un mínimo de cálculos, el que se reduzcan las complicaciones graficas en cuanto a la representación y trazado de una curva suave. Cuando los datos experimentales se representan con una línea recta es fácil obtener la relación analítica entre las variables; pero cuando los datos se representan con otro tipo de relación funcional se presentan dificultades. Esto es entendible porque una línea recta es reconocible a simple vista en el papel gráfico, mientras que la reacción funcional de una curva arbitraria no se identifica fácilmente. Por ejemplo, las funciones polinomiales, exponencial o logarítmicas se pueden representar con graficas que presentan aproximadamente la misma apariencia. De esta manera lo más conveniente es tratar de graficar los datos en tal manera que se obtenga una línea recta para ciertos tipos de relaciones funcionales. La ecuación de una recta es de la forma: 𝑦=𝑦𝑦+𝑦

(1)

donde: “𝑦” es la variable dependiente, “𝑥” es la variable independiente, “𝑚” es la pendiente de la recta, y “𝑏” es la ordenada al origen (Intercepto). Desde un punto de visto sencillo, la pendiente de una línea recta se define como el cociente entre la elevación y el avance entre dos puntos cualesquiera sobre la recta. Es decir:

𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 =

𝒆𝒍𝒆𝒗𝒂𝒄𝒊ó𝒏

(2)

𝒂𝒗𝒂𝒏𝒄𝒆

de modo que, en función de dos puntos de la gráfica,

𝒎=

𝒚𝟐−𝒚𝟏 𝒙𝟐−𝒙𝟏

(3)

donde (x1, y1) son las coordenadas del punto P1, y (x2, y2) son las coordenadas del punto P2. La ordenada al origen de una línea recta, representa por b, es el valor de la variable dependiente en donde la línea recta cruza al eje vertical, es decir, donde la variable independiente tiene un valor de cero.

REGRESION LINEAL En la búsqueda del conocimiento científico se realizan experimentos en el que se trata de encontrar la relación, si es que existe, entre las variables involucradas en el experimento o fenómeno físico. Para un conjunto de datos la recta más probable se calcula mediante el método de regresión lineal. De acuerdo con este método la ecuación de la recta se escribe como: (4)

𝒚 = 𝑩𝒙 + 𝑨

siendo “𝐵” es la pendiente de la recta, y “𝐴” es la ordenada al origen (Intercepto). Estos calores pueden encontrarse usando las ecuaciones: 𝑨=

∑ 𝒙𝟐 ∑ 𝒚 − ∑ 𝒙 ∑ 𝒙𝒚

𝑩= siendo

∆ 𝑵 ∑ 𝒙𝒚 − ∑ 𝒙 ∑ 𝒚 ∆ 𝟐

∆ = 𝑵 ∑ 𝒙𝟐 − (∑ 𝒙) N = Número de datos

C. ESQUEMA:

D. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL Y ANÁLISIS DE DATOS EXPERIMENTALES: 1. En el esquema se muestra un circuito simple conformado por un resistor y fuente de poder (batería) en donde se establecen las mediciones de la intensidad de corriente (I) y la diferencia de potencial (V) medidos por un amperímetro y voltímetro respectivamente. TABLA Nº 01 Lectu ra

Voltaje (V)

Intensidad (A)

1

1.5

0.014

2

2.0

0.020

3

2.5

0.024

4

3.0

0.030

5

3.5

0.036

6

4.0

0.042

7

4.5

0.046

8

5.0

0.052

9

5.5

0.056

10

6.0

0.058

11

6.5

0.064

12

7.0

0.072

13

7.5

0.076

14

8.0

0.078

2. Elabore una GRAFICA Nº 01en papel milimetrado de la intensidad (I) en función de la diferencia de potencial (V) de la TABLA Nº 01, teniendo en consideración las recomendaciones del marco teórico. I =f(V) GRÁFICA DE LA INTENSIDAD(I) EN FUNCIÓN DE LA DIFERENCIA DE POTENCIAL(V)

I(A) 0.09 𝑰 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟗𝟖 𝑽 − 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟒

0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0

1

2

3

4

5

6

7

3. Calcule la pendiente de la GRAFICA Nº 01 m 𝒆𝒍𝒆𝒗𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑷𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 = 𝒂𝒗𝒂𝒏𝒄𝒆 𝒎=

𝑚=

𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

0.078 − 0.014 8.0 − 1.5

𝑚 = 9.846 ∗ 10−3 𝑚 = 0.0098

8

9

V(V)

4. Calcule el valor del intercepto b

𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 0.078 = 0.0098(8.0) + 𝑏 −4 ∗ 10−4 = 𝑏

−0.0004 = 𝑏 5. Establezca la ecuación de la recta

𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 𝑦 = 0.0098𝑥 − 0.0004 𝐼 = 0.0098 𝑉 − 0.0004

REGRESION LINEAL 1. Complete la TABLA Nº 02

V

I

V.I

(V ) 1. 5

(A)

2.25

0.00000144

2. 0 2. 5 3. 0 3. 5 4. 0

0.0 20 0.0 24 0.0 30 0.0 36 0.0 42

(V.A ) 0.02 1 0.04

4

0.00000004

0.06

6.25

0.00000144

0.09

9

0.00000004

12.2 5 16

0.00000064

7

4. 5

0.0 46

5. 0 5. 5

0.0 52 0.0 56

20.2 5 25

0.00000064

8

0.12 6 0.16 8 0.20 7 0.26

6. 0

0.0 58

30.2 5 36

0.00000064

10 11

6. 5

0.0 64

7.

0.0

42.2 5 49

0.00000144

12

0.30 8 0.34 8 0.41 6 0.50

Lectu ra 1 2 3 4 5 6

9

0.0 14

V2 (V)2

(𝑰 − 𝑩 ∗ 𝑽 − 𝑨)𝟐

0.00000324

0.00000324

0.00000484

0.00000324

13 14 Suma

0

72

7. 5 8. 0

0.0 76 0.0 78

66 .5

0.6 68

4 0.57 0.62 4 3.74 2

56.2 5 64

0.00000064

372. 75

0.00002636

0.00000484

2. Utilizando la TABLA Nº 02. Calcule el valor de Δ 𝟐

∆ = 𝑵 ∑ 𝑽𝟐 − (∑ 𝑽) ∆ = 14(372.75) − (66.5)2 ∆ = 5218.5 − 4422.25 ∆ = 796.25 3. Utilizando la tabla Nº 02. Calcule el valor de la pendiente m. 𝑵 ∑ 𝑽. 𝑰 − ∑ 𝑽 ∑ 𝑰 𝑩=

∆ 14(3.742) − (66.5)(0.668) 𝐵= 796.25 𝐵=

7.966 796.25

𝐵 = 0.01000439 𝐵 = 0.01 4. Utilizando la TABLA Nº 02. Calcule el valor del intercepto b. ∑ 𝑽𝟐 ∑ 𝑰 − ∑ 𝑽 ∑ 𝑽. 𝑰 𝑨= 𝐴=

∆

(372.75)(0.668) − (66.5)(3.742) 796.25 𝐴=

0.154 796.25

𝐴 = 1.934 ∗ 10−4 𝐴 = 0.0002 5. Establezca la ecuación de la recta más probable, de la intensidad de corriente (I) en función de la diferencia de potencial (V). I =f(V) 𝒚 = 𝑩𝒙 + 𝑨 𝑦 = 0.01𝑥 + 0.0002 𝐼 = 0.01𝑉 + 0.0002

6. Gráfica la intensidad de corriente (I) en función de la diferencia de potencial (V). I =f(V) GRAFICA DE LA INTENSIDAD DE CORRIENTE EN FUNCION DE LA DIFERENCIA DE POTENCIAL

𝑰 = 𝟎. 𝟎𝟏𝑽 + 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟐

E. CONCLUSIONES:  Para analizar los datos obtenidos en un experimento, siempre conviene graficarlos.  La incertidumbre experimental se ha calculado teniendo en cuenta el número de medidas de cada parámetro.  Cuando se ha logrado que estén sobre una recta, ya sea usando papel con escalas lineales, el paso siguiente es calcular las incertidumbres asociadas a la pendiente.

 Es de gran utilidad el análisis grafico cuando se aplica a datos experimentales que se ajustan visualmente a una línea recta usando escalas lineales o escalas logarítmicas.

F. BIBLIOGRAFÍA: Foundation, C. (2020). Welcome to CK-12 Foundation | CK-12 Foundation. Retrieved 1 August 2020, from https://www.ck12.org/section/ecuacioneslineales-en-la-forma-pendiente-intercepto/ Bevington Philip R., Robinson D. Keith, Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences, McGraw-Hill, Inc. B. Oda Noda. introducción al análisis grafico de datos experimentales, 3a. edición. Facultad de Ciencias, UNAM, México, 2005. Lineal, I., & Guevara, J. (2020). Incertidumbre de la regresión lineal. Retrieved 1 August 2020, from http://insertidumbre-reglin.blogspot.com/2008/04/incertidumbre-de-la-regresin-lineal-1_16.html?m=1

G. CUESTIONARIO FINAL: 1. ¿Se puede establecer la incertidumbre de la pendiente de la GRAFICA Nº 01? ¿Explique cómo y cuál es su valor? Emplearemos un método simple (tipo B) para determinar las componentes ∆p y ∆q de la incertidumbre ∆m. Para ello se observa cuál de los puntos experimentales está más alejado de la recta trazada. Las distancias vertical y horizontal de dicho punto a la recta se consideran, respectivamente, estimados de las incertidumbres ∆p y ∆q. Para el presente estos valores son ∆p =0.014A y ∆q = 1,5 V. Reemplazando en la expresión para la incertidumbre relativa de m

𝑦 = (𝑚 ± ∆𝑚)𝑥 + (𝑏 ± ∆𝑏) 𝑚𝑚𝑎𝑥 − 𝑚𝑚𝑖𝑛 ∆𝑚 =

:

2

Primero Hallamos el pendiente de la recta 𝑷𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 =

𝒆𝒍𝒆𝒗𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒂𝒗𝒂𝒏𝒄𝒆

𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 𝒎 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 𝑚=

0.078 − 0.014 8.0 − 1.5

𝒎 = 𝟗. 𝟖𝟒𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟑

Luego: 𝒚 = (𝒎 ± ∆𝒎)𝒙 + (𝒃 ± ∆𝒃) ∆𝑚 ∆𝑝 ∆𝑞 =+ + 𝑞 𝑚 𝑝 ∆𝑚 0.014 1.5 =+ + = 0.3669 𝑚 0.078 8 ∆𝑚 = (0.3669 ∗ 9.846 ∗ 10−3) = 3,612 ∗ 10−3 ∆𝒎 ± 𝒎 = (𝟗. 𝟖𝟓 ± 𝟑. 𝟔𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑) Se aconseja utilizar números significativos para hallar la incertidumbre 2.

De la regresión lineal. ¿Se puede calcular el valor de la incertidumbre de la pendiente? Si se puede calcular de la siguiente manera:

𝑆𝑦 = √

∑𝑁 (𝐼 − 𝐵𝑉 − 𝐴)2 𝑖=1

𝑁−2

0.00002636 𝑆𝑦 = √ 14 − 2

0.00002636 𝑆𝑦 = √

𝑆𝑚 = 0.001482√

𝑆𝑚

𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟒𝟖𝟐

=

12

14 2 ( 14 372.75) − (66.5) 14

= 0.001482√

5218.5 − 4422.25

𝑆𝑚 = 0.001482√

14 796.25

= 0.0001965

𝑺𝒎 = 𝟐. 𝟎 × 𝟏𝟎−𝟒

3.

De la regresión lineal. ¿Se puede calcular el valor de la incertidumbre del interceptó? Si se puede: 𝑆𝑏 = 𝑆𝑦√

∑N 𝑖=1 𝑉2 14 2 2 𝑁 𝑖=1 𝑉 − 𝑖=1 𝑉) (∑14

𝑆𝑏 = 0.001482√

√ 𝑆𝑏 = 0.001482

372.75 2 14(372.75) − (66.5)

372.75 5218.5 − 4422.25

= 0.001482√

𝑆𝑏 = (0.001482) ∗ (0.684202) = 0.001014 𝑺𝒃 = 𝟏. 𝟎 × 𝟏𝟎−𝟑

372.75 796.25

4.

¿Qué representa la pendiente de las GRAFICAS Nº 01 y 02? Explique. La pendiente de la gráfica 1 y grafica 2 representa la diferencia de potencial de como varia la intensidad de corriente dependiendo del voltaje. Para esto nos damos cuenta de cómo estos valores varían a medida que aumentamos el voltaje o este disminuye.

5. Desde su punto de vista ¿Cuál de las interpretaciones de las GRAFICAS Nº 01 y 02 es la más adecuada? Justifique su respuesta. La más adecuada es la segunda grafica puesto que al tratarse de una regresión final uniforme, sin ninguna desviación, prueba que los datos tomados en cuenta son correctos y que la relación intensidad-voltaje está bien tomada.