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UMSA – FACULTAD DE TECNOLOGIA

ECUACIONES DIFERENCIALES

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS

FACULTAD DE TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE MATERIAS BÁSICAS ÁREA: MATEMÁTICA - ECUACIONES DIFERENCIALES AUXILIAR DOCENTE: GROVER NUÑEZ CHINCHERO LA PAZ, SEPTIEMBRE DE 2018

I.

ECUACIONES DIFERENCIALES (GENERALIDADES).

En los siguientes problemas indique el grado y orden de la ecuación diferencial:

1.

1  x  y  4 xy  5 y  cos x

2.

 y   x  2 y 4

2

x0

d2y  9 y  tan y  100 3. dx 2 3

 d 2 y  dy d3y 4.  2   y  x  2  dx3  dx  dx

5.

 d2y  dy 5  cos x   2  dx  dx 

2

1

| Aux.

Doc. Grover Nuñez Chinchero

UMSA – FACULTAD DE TECNOLOGIA

ECUACIONES DIFERENCIALES

En los siguientes problemas, hallar la ecuación diferencial que tiene por solución:

6.

y

x c  2x

7.

y



x c

Rpta. xy  y 1  2 y 



2

Rpta. y 

x0

;

Rpta. 2 xydx   x 2  2 y  dy  0

8. x 2 y  y 2  c 9. c  x  y   xe 2

10. y 

II.

y x

y x

Rpta.

c  2 x3 5 x

x

2

 y 2  dx   x 2  xy  dy  0

Rpta. xy  5 y  16 x3

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: 11. 1  x 2  y 2  x2 y 2  dy  y 2 dx

Rpta. y  y 1  arctan  x   c

dx  y  1  12. y ln  x     dy  x 

Rpta.

2

13.

cos x dy cos2 x tan y   sen 2 x  1 cos y dx cos y

14.

y

15.

 seny  ysenx  dx   cos x  x cos y  y  dy  0



Rpta. 1  cos y  ce senx cos y Rpta. y  x 2  y 2  c

x 2  y 2 dx  xdy

16. 2 x 2 ydx   3x3  y 3  dy

y2 x3 x3  2 y  ln  y   ln  x    c 2 3 9

y 2  1

Rpta. xseny  y cos x 

Rpta. | Aux.

x

3

y2 c 2

 y 3   81y 9 2

Doc. Grover Nuñez Chinchero

2

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 1  17.   cos x  2 xy  y  y  y  senx , 2  1 y  18. y 

19.

20.

 ye

n n y  e x  x  1 , x 1

y

 xseny  xy cos y 

" n "

ECUACIONES DIFERENCIALES y1  0

es ctte.

dy  yseny dx

y  3 y  x  1

21. cos x

dy  senx  1  y , dx

22. xy  4 y  x

2

y 0  



Rpta. y   x  1 e x  c n



Rpta. xyseny  1  y  e y  c Rpta. y  ce3 x 

x 2  3 9

Rpta. y   x   

cos x 1  senx

 x2  Rpta. y   ln x  cx 2   2 

y

23. 2senxy  y cos x  y 3  x cos x  senx  24. x cot y  x 4 sen2 y  3

Rpta. y cos x  xy 2  arctan y  0

dx dy

Rpta. y 2 

2

1 x  csenx

Rpta. 3seny  x3  cos3 y  3cos y  c 

25. 1  tan  xy  dx  sec  xy  tan  xy   x sec2  xy   xdy  ydx   0 Rpta. x 1  tan  xy   sec  xy   c

III.

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.

26. Una población decrece a una velocidad proporcional a la cantidad presente al tiempo t. Si al inicio del año 2010 habían 10000 habitantes y al cabo de 2 años la población total fue de 8000 habitantes, calcule la población al finalizar el año 2020. 27. Una taza de café se enfría de 75ºC a 45ºC en 10 minutos a una temperatura ambiente de 15ºC. 3

(a) Plantee la ecuación diferencial y resuélvala. (b) ¿Cuál es la temperatura de la taza a los 20 minutos? (c) ¿En cuánto tiempo la temperatura llega a 20ºC ? | Aux.

Doc. Grover Nuñez Chinchero

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ECUACIONES DIFERENCIALES

28. Un circuito serie conecta una inductancia de 2 (henrio) con una resistencia de 10 (ohmios) a una fuente de 12 (voltios). (a) Escriba la ecuación diferencial asociada. (b) Resuelva para

i(t ).

(c) Calcule e interprete:

lim i(t ) t 

29. El PB – 209, isótopo radiactivo del plomo, se desintegra con una razón proporcional a la cantidad presente en cualquier momento y tiene un periodo medio de vida de 3.3 horas. Si al principio había un gramo de plomo ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que se desintegre el 90%? 30. Se tienen dos recipientes con soluciones a temperaturas constantes, la primera a 30º C y la segunda a 25ºC, un termómetro que marca la temperatura de la primera solución es llevado rápidamente a la segunda solución, cuatro minutos después marca 27ºC. Más adelante el termómetro es puesto nuevamente en contacto con la primera solución, 10 minutos después del comienzo del experimento, el termómetro indica 28ºC ¿Cuál es el tiempo que transcurrió hasta cuando fue llevado el termómetro del segundo al primer recipiente? RETO. La policía descubre el cuerpo de un docente de Ecuaciones Diferenciales un día después de dar el examen del primer parcial. Para resolver el crimen es necesario determinar cuándo se cometió el homicidio. Ese mismo día el forense llega a las 15:30 y observa que la temperatura del cuerpo es 25ºC, espera 30 minutos y observa que la temperatura del cuerpo ha disminuido a 22ºC. Asimismo observa que la temperatura del ambiente es de 20ºC. Suponiendo que la víctima estaba normal y con una temperatura de 36ºC antes de su fallecimiento. Determine la hora en la que se cometió el crimen.

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| Aux.

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