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• Adrian Alex Contreras

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MATEMÁTICA - Nro.4.

CEPRUNSA 2018 - FASE II

MATRICES. OPERACIONES CON MATRICES. MATRIZ INVERSA. 1.-Si M es la suma de los elementos de la matriz A y N es la traza de la matriz B. Construye las matrices A y B y calcula 2M + 3N 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )2×3 /𝑎𝑖𝑗 = 2𝑖 − 𝑗 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 )3×3 /𝑏𝑖𝑗 = 𝑖 2 + 𝑗 3 A) 162 B) 163 C) 164 D) 165

6.- Sean las matrices cuadradas A, B y K es un escalar ¿Cuántas de las siguientes propiedades son incorrectas? I. 𝑇𝑟𝑎𝑧(𝐴 ± 𝐵) = 𝑇𝑟𝑎𝑧(𝐴) ± 𝑇𝑟𝑎𝑧(𝐵) II. 𝑇𝑟𝑎𝑧(𝐾 × 𝐴) = 𝑇𝑟𝑎𝑧(𝐴) III. 𝑇𝑟𝑎𝑧(𝐴𝐵) = 𝑇𝑟𝑎𝑧(𝐵𝐴) IV. 𝑇𝑟𝑎𝑧(𝐴𝑇 ) = −𝑇𝑟𝑎𝑧(𝐴) A) 3 B)4 C) 2 D) Ninguna E) Todas

E) 166

2.-Sea la matriz 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗 )3×3 definida de la siguiente 𝑖−𝑗 ; 𝑖 𝑗 Calcula: 𝑇𝑟𝑎𝑧 𝐶 + 𝑐13 + 𝑐32 A) 17 B) 16 C) 15 D) 14 E) 13

2 3 ) 3 2 Si 𝑃(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥 − 5; Entonces podemos afirmar que 𝑃(𝑀) es una matriz: A) Nula B) Antisimétrica C) Simétrica D) Es triangular superior E) Idempotente 7.-Sea 𝑀 = (

3-Si si 𝐴 = 𝐵:

8.- Sea 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑛𝑥𝑛 . De las siguientes afirmaciones ¿Cuántas son verdaderas? A) 𝑆𝑖, 𝑎𝑖𝑗 = 0 ; ∀𝑖, 𝑗; es una matriz nula. B) 𝑆𝑖, 𝑎𝑖𝑗 = 0 para 𝑖 < 𝑗; es una matriz triangular superior. C) 𝑆𝑖, 𝑎𝑖𝑗 = 0 ; ∀𝑖 ≠ 𝑗; es una matriz diagonal. D) 𝑆𝑖, 𝑎𝑖𝑗 = 0 para 𝑖 > 𝑗; es una matriz triangular inferior. A) 3 B)4 C) 2 D) Ninguna E) Todas

𝑖 + 3𝑗 𝑠𝑖 𝑖 ≤ 𝑗 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )2×2 ; 𝑎𝑖𝑗 = { 4𝑖 − 𝑗 𝑠𝑖 𝑖 > 𝑗 4𝑥 𝑥 2 + 3𝑦 𝐵=[ ] 7 6𝑦−4𝑥 2 Calcular √2𝑥 + 𝑥𝑦 A) -3 B) 2 C) 3 D) 1 E) -1 4.- Si A es una matriz cuadrada, relaciona con la clase de matriz correspondiente: A) Simétrica B) Unitaria C) Antisimétrica D) Escalar

𝑘; 𝑖 = 𝑗 ; 0; 𝑖 ≠ 𝑗 𝑆𝑖 𝑘 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 1; 𝑖 = 𝑗 II. [𝑎𝑖𝑗 ]𝑛𝑥𝑛 = { 0; 𝑖 ≠ 𝑗 𝑡 III. 𝐴 = 𝐴 ; 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 ; ∀𝑖, 𝑗 IV. 𝐴 = −𝐴𝑡 ; 𝑎𝑖𝑗 = −𝑎𝑗𝑖 ; ∀𝑖, 𝑗; (𝐷𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠)

9.-Sea 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )3 una matriz que satisface la condición: A + 3B = 2A𝑇 + 4𝐼, donde B es una matriz antisimétrica de orden 3. Determine: Traz(A) A)- 12 B) -3 C)- 4 D) 5 E) 10

I. 𝑎𝑖𝑗 = {

10.-Si A, B y C son matrices cuadradas donde se cumple que: A = BC y A + B = 𝐼2 , sea la matriz 1 −2 𝐴=( ); Determine la matriz: X = AC − C 1 5 −1 2 −1 2 0 2 A) ( ) B) ( ) C) ( ) −1 5 −1 −5 −1 −4 1 1 5 1 D) ( ) E) ( ) −2 5 3 2

Las relaciones correctas son: A) A − III; B − II; D − IV; C − I B) B − III; A − II; C − I; D − VI C) B − III; A − I; D − IV; C − II D) A − III; C − II; D − IV; B − I E) A − III; B − II; C − IV; D − I

11.- Teniendo en cuenta que las matrices: A es Triangular inferior; B es simétrica; C es antisimétrica. −5 16 − 2𝑝 3𝑞 + 12 2𝑝 12𝑚 ] ; 𝐴 = [ 7𝑝 + 2 5 𝑚+8 √𝑞 + 7 3𝑥 3𝑥 + 2𝑦 11 2𝑦 3𝑥 + 5𝑧] ; 𝐵 = [ 10 2𝑦 + 7𝑧 23 𝑧 𝑎−𝑏 𝑑 𝑐 𝐶=[ 𝑎 𝑏+2 6 ]; 𝑒 −6 𝑐−3 (𝑚+𝑝+𝑞)𝑧 Calcular: + 𝑇𝑟𝑎𝑧𝑎(𝐵)

−3 −6 2 5.- Sea la matriz: 𝐴 = [ 2 4 −1]; dar el valor de 2 3 0 verdad las siguientes proposiciones: I. 𝐴2 es involutiva. II. 𝐴2 es nilpotente. III. 𝐴2 es idempotente. A) VFV B) FVV C) VFF D) VVV E) FFF

𝑎+𝑏+𝑐+𝑑+𝑒

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A) 7

B) 6

C) 8

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D) 4

E) 3

o la toma de fármacos hipoglucemiantes por vía oral.

12.-Sean:

0 1 2 3 𝐴=( ); 𝐵 = ( ); donde “x” e 3 2 0 −1 “y” dos matrices de orden 2 tal que: 𝑥 + 2𝑦 = 𝐴 … . (1) { 𝑥 − 𝑦 = 𝐵 … (2) Encontrar la matriz “x” 3/2 5/2 4/3 7/3 A) ( ) B) ( ) 2 −1/2 1 0 3 −9/2 4 7 C) ( ) D) ( ) 4/3 −7 3 0 9/4 7/2 E) ( ) 3/4 −1

I.-Según la lectura, podemos afirmar que: A) Actualmente más de la mitad de la población de Arequipa mayor de 25 años tiene sobrepeso. B) Lima ocupa el segundo lugar de personas diabéticas después de Arequipa. C) Para el 2017, en el país uno de tres personas tendrá la enfermedad de la diabetes. D) La diabetes se trata principalmente con el ejercicio físico adecuado, dieta y medicación con insulina. E) La diabetes tipo 1 se produce debido al sedentarismo y la mala alimentación.

13.-Si A y B son matrices conmutables, calcular x-y 𝑥 1 2 −1 donde; 𝐴 = ( )y𝐵=( ) 𝑦 5 3 1 A) -1 B) 1 C) 2 D) 5 E) 7

II.- En la clínica “La Salud” se internan 4 pacientes diabéticos, a los que debe de inyectarse 2 tipos de insulina: retardada y normal, siendo las dosis diarias (en mg) la siguiente: PACIENTE 1 2 3 4 Insulina retardada 15 20 0 10 Insulina normal 30 20 50 30 Los pacientes permanecerán en el hospital 7; 16, 13 y 26 días respectivamente. Determina, mediante un producto de matrices, que cantidad de insulina de cada tipo se precisará para tratarlos. A) I. retardada = 1960 mg; I normal = 505 mg B) I. retardada = 685 mg; I. normal = 1960 mg C) I. retardada = 6OO mg; I. normal = 1870 mg D) I. retardada = 1870 mg; I. normal = 600 mg E) I. retardada = 680 mg; I. normal = 2190 mg

14.-Dadas las matrices 𝑃 𝑦 𝑄; tal que: 5 −3 5 −11 𝑃 + 2𝑄 = ( ) ; 2𝑃 − 𝑄 = ( ) 0 −3 −5 4 Halla el doble de la suma de los elementos de 𝑃2 A) 5 B) 4 C) 2 D) 8 E) 0 3 1 ); halla dos números 3 2 reales m y n tales que A + mA + nI = 0 A) 𝑚 = −1; 𝑛 = 0 B) 𝑚 = 1; 𝑛 = 1 C) 𝑚 = 2; 𝑛 = −2 D) 𝑚 = 0; 𝑛 = 1 E) 𝑚 = −1; 𝑛 = 1 15.-Dada la matriz A = (

III.- Si por indicaciones médicas se les pide a los pacientes que se queden 4 días más internados, cada uno. Mediante el producto matricial ¿Cuánto de insulina de cada tipo se tendrá que aumentar para tratarlos? A) I. retardada = 190 mg; I normal = 520 mg B) I. retardada = 250 mg; I. normal = 630 mg C) I. retardada = 180 mg; I. normal = 520 mg D) I. retardada = 120 mg; I. normal = 400 mg E) I. retardada = 170 mg; I. normal = 400 mg

16.-Para qué valor de k; la matriz (𝐵 − 𝑘𝐼)2 sea la 0 −1 −2 matriz nula, siendo 𝐵 = (−1 0 −2) 1 1 3 A) 𝐾 = 1 B) 𝐾 = 2 C) 𝐾 = 3 D) 𝐾 = 4 E) 𝐾 = 5 17.-La diabetes es una enfermedad crónica que se origina porque el páncreas no sintetiza la cantidad de insulina que el cuerpo humano necesita, la elabora de una calidad inferior o no es capaz de utilizarla con eficacia. El investigador y decano del Colegio Médico de Arequipa, Wilfredo Pino Chávez, indicó que en el 2017 uno de tres arequipeños tendrá este mal; en los últimos años las cifras de arequipeños con este mal se han elevado, al punto de poner a Arequipa en el segundo lugar de personas diabéticas, después de Lima. Actualmente el 40,5% de la población de Arequipa mayor de 25 años tiene sobrepeso, el 18,5% es obesa y el 7% tiene diabetes tipo 2 (se produce debido al sedentarismo y la mala alimentación). Su tratamiento se basa en tres pilares: dieta, ejercicio físico adecuado y medicación, terapia sustitutiva con insulina

18.-Andrés, un administrador de empresas, invierte y apertura tiendas de artefactos en los distritos de Cayma, Paucarpata y Hunter. Se pretende vender en 6 meses una cantidad de artefactos, según la matriz: Cayma Paucarpata Hunter 𝐶𝑜𝑐𝑖𝑛𝑎𝑠 80 20 60 𝐿𝑎𝑣𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎𝑠 [ 50 40 50 ] 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑐ℎ𝑎𝑠 60 30 20 Los costos unitarios (en cientos de soles) son dados en

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8 𝐶𝑜𝑐𝑖𝑛𝑎𝑠 𝐿𝑎𝑣𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎𝑠 [ 9 ] 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑐ℎ𝑎𝑠 2,5 Se establece el precio de venta ganando el 15% del precio de costo. ¿Cuánto se aspira ganar en estos 6 meses por la venta de todos los artefactos en Hunter? A) S/. 14150 B) S/. 14250 C) S/. 14700 D) S/. 13200 E) S/. 14800 la matriz:

25.- Sean las matrices: 𝑥 4 𝑥 −𝑥 ] ; 𝑁 = [0 1 0 ] 𝑥+6 0 0 3𝑥 + 2 Si se cumple: |𝑀| = |𝑁|. Halla el valor de 𝑥, luego calcula: 𝑥2 + 𝑥 + 4 𝑥 + 12 A) 47 B) 49 C) 40 D) 41 E) 42 5 𝑀=[ 3𝑥

DETERMINANTE. PROPIEDADES. MATRIZ INVERSA 19.- Sean las matrices: 2 3 15 2 3 6 2𝑇 𝐵1 = 2 [ ] ; 𝐵2 = 3 [ ] ; 𝐵3 = [ ] 1 4 1 1 9 24 Calcula el valor de: 𝐷𝑒𝑡(𝐵1 + 𝐵2 ) 𝐷𝑒𝑡(𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐵3 ) A) 4 B) 9 C) 0 D) 1 E) 2

26.- La edad de Leónidas en años se obtiene de resolver: −2 1 −4 −2 0 0 𝑥 1 2 | 3 −9 3 | − | 0 −5 0| = |3 𝑥 −2| −4 1 −3 0 0 3 𝑥 −2 3 ¿Cuántos años le faltarían a Leónidas para cumplir 20 años? A) 5 años B) 1 año C) 3 años D) 8 años E) 2 años

20.-Dada la matriz la 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 ) de orden 2 que se define de la siguiente forma: (3𝑖 + 2𝑗 )𝑥 ; 𝑖 + 𝑗 < 3 𝑏𝑖𝑗 = { 𝑥𝑖 − 𝑗 ; 𝑖 + 𝑗 ≥ 3 Halla el producto de raíces de la ecuación |𝐵| = 0 15 8 12 1 1 A) − 8 B) − 15 C) − 7 D) − 4 E) 4

27.- Si A es una matriz no singular 3 5 1 𝐴 = ( 2 −1 0) −1 3 1 y C es igual a la inversa de A. Determina: 8(𝑐11 + 𝑐32 + 𝑐23 ) A) 18 B) 19 C) 17 D) 11

21.- Calcula la det(𝑥). 2 −1 −1 2 Si: 𝐴 = [ ]; 𝐵 = [ ] en la ecuación 3 0 1 1 (𝐴𝑇 + 𝐵 𝑇 )𝑇 + (3𝐵)𝑇 − (𝐴𝑇 )𝑇 + 𝑥 + 𝐼 𝑇 = 0, A) −45 B) −1/7 C) −3 D) −50 E) 4/7

E) 12

28.- ¿Cuál es la suma entre el menor y mayor valor entero positivo de x? Si x satisface la inecuación: 𝑥 3 10 |0 𝑥 1 |