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• Nelson Gonzales

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“UNIVERSIDAD NACIONAL “JORGE BASADRE GROHMANN” CENTRO PREUNIVERSITARIO SEGMENTOS - ÁNGULOS

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

CEPU CICLO I-2021

En la antigüedad los matemáticos intentaron definir los términos punto y recta. Pitágoras definió un punto como “una mónada con posición”; Platón, como “el principio de una recta” y Euclides como “aquello que carece de partes”. Algunas primeras definiciones de recta fueron “aquello cuya parte media cubre el final”, “longitud sin acho” o “flujo de un punto”. Actualmente éstos y otros conceptos básicos se consideran como indefinidos, y a partir de ellos se elaboran definiciones de otros términos.



Definición 02: El punto B está ENTRE los puntos A y C  A, B y C son colineales y AB  BC  AC

Definición 03: segmento de recta Sean A y B puntos de una recta L . Llamamos SEGMENTO DE RECTA de extremos A y B, denotado por AB , al conjunto constituido por los puntos A, B y todos aquellos puntos que se encuentran entre ellos.

LINEA RECTA Y SEGMENTOS

Postulado 01: postulado de la recta Dos puntos diferentes determinan una y sólo una recta que pasa por ellos. A

B

La recta que pasa por los puntos A y B se denota por AB . Postulado 02: postulado de la distancia A cada par de puntos diferentes corresponde un número positivo único.

La LONGITUD de AB , denotado por AB, es la distancia entre los puntos A y B

AB Obsérvese que es una figura geométrica, es decir, un conjunto de puntos, mientras que AB es un número que da la medida de la distancia entre los extremos A y B. Definición 05: congruencia de segmentos

AB y CD son

Dos segmentos de recta

d A

Definición 04: longitud de un segmento

CONGRUENTES  AB=CD

B

La distancia entre dos puntos es el número positivo obtenido mediante el postulado de la distancia. Si los puntos son A y B, entonces indicamos la distancia por AB. En la figura, AB=d.

Se escribe AB  CD D

A

B



Definición 01: puntos colineales Tres o más puntos son COLINEALES 

Definición 06: punto medio de un segmento

pertenecen a una misma recta. L A

B

C

En la figura A, B y C son colineales (o están alineados) dado que pertenecen a la recta

L .

C

Un punto M se llama PUNTO MEDIO de un segmento AB  M está entre A y B, y

AM  MB

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Práctica 01

M A

B PUNTO MEDIO DE



AB

P A

ÁNGULOS Y CONGRUENCIA DE ÁNGULOS

Definición 07: ángulo geométrico

O

B

Definición 08: ángulos suplementarios

Sean A, O y B puntos no colineales. Llamamos

Dos ángulos son SUPLEMENTAR IOS  la suma de sus medidas es 180º

ÁNGULO de vértice O, denotado por

Si  es la medida de un ángulo, entonces el

∡AOB, a la unión de los rayos OA y OB En símbolos: ∡AOB = OA

OB

suplemento de  es 180°-  . En símbolos:

S = 180°-  Definición 09: ángulos rectos

A

O

Se llama ÁNGULO RECTO a cada uno de los ángulos de un par lineal que tienen la misma medida B

Los rayos OA y OB son los lados del ∡AOB. Obsérvese que ∡AOB y ∡BOA representan el mismo ángulo.

En estas condiciones, la mediada de un ángulo recto es 90º. Es costumbre denotar un ángulo recto colocando un cuadradito en el vértice tal como se observa en la figura.

Postulado 03: El postulado de la medida de ángulos

C

A cada ángulo ∡AOB le corresponde exactamente un número real entre 0 y 180. A

B D

A

Se dice que dos rectas

 O

son

perpendiculares si ellos forman un ángulo B

El número dado por el postulado de la medida de ángulos se llama la medida del ∡AOB, y se escribe m∡AOB. En la figura, m∡AOB=  . Postulado 04: El postulado de la adición de ángulos Si P está en el interior del ∡AOB, entonces m∡AOB =m∡AOP+ m∡POB

AB y CD

recto, y escribimos AB  CD . Definición 10: ángulos complementarios Dos ángulos son COMPLEMENTAR IOS  la suma de sus medidas es 90º Si  es la medida de un ángulo, entonces el complemento de  es 90°-  . En símbolos:

C = 90°- 

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Práctica 01

Definición 11: ángulos agudo y obtuso Un ángulo es AGUDO si mide menos de 90º. Un ángulo es OBTUSO si su medida es mayor que 90º y menor que 180º.



RECTAS PARALELAS Y SECANTES

Definición 14: rectas paralelas Se escribe Dos rectas LL11y LL22 son PARALELAS si y sólo si están en un mismo plano y no se intersecan L1

90º L2

OBTUSO AGUDO

Postulado 05: El postulado de las paralelas

Definición 12: ángulos adyacentes Dos ángulos ABP y PBC son ADYACENTES si y sólo si BP  int∡ABC

Por un punto exterior a una recta dada pasa una y sólo una paralela a ella. L’

P

P C

L B

A

Definición 15: recta secante

Dos o más ángulos adyacentes se dicen CONSECUTIVOS.

Una recta L es una SECANTE a las rectas L1 y L 2

Teorema 04: de los ángulos opuestos por el vértice

En la figura la recta L es una secante a las

Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

 las corta en dos puntos distintos rectas L1 y L 2 . L L1

Definición 13: bisectriz de un ángulo Diremos que OP es BISECTRÍZ del ∡AOB si y sólo si, P  int∡AOB y ∡AOP  ∡POB

L2

Definición 16: ángulos alternos internos Se llaman ángulos ALTERNOS INTERNOS a dos ángulos internos no adyacentes y ubicados en lados opuestos de una secante

P A

  O

L

B

La bisectriz de un ángulo es un rayo con origen en el vértice y que divide al ángulo en dos ángulos congruentes.

 

L1





L2

En la figura los ángulos de medidas  y  son alternos internos, al igual que  y  .

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Práctica 01

Definición 17: ángulos alternos externos Se llaman ángulos ALTERNOS EXTERNOS a dos ángulos externos no adyacentes y ubicados en lados opuestos de una secante



L1

 

L2

En la figura si L1 L 2    

L



L

L1

Teorema 02: de los ángulos correspondientes 



L2

En la figura los ángulos de medidas  y 

Los ángulos correspondientes formados por dos rectas y una secante son congruentes si y sólo si las rectas son paralelas.

son alternos externos, al igual que  y  .

L



Definición 18: ángulos correspondientes Se llaman ángulos CORRESPONDIENTES a dos ángulos no adyacentes uno interno y el otro externo, y ubicados en el mismo lado de la secante En la figura los ángulos de medidas  y  son correspondientes, al igual que  y  .



 L2

En la figura     L1 L 2 Teorema 03: de los ángulos internos

L



L1



L1



L2

Los ángulos internos formados por dos rectas y una secante, de modo que los ángulos estén del mismo lado de la secante, son suplementarios  las rectas son paralelas.

Postulado 06: postulado de los ángulos alternos internos Si los ángulos alternos internos formados por dos rectas cortadas por una secante son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

L1

  L2

En la figura     180º  L1 L2

L



L

L1

ÁNGULOS ENTRE PARALELAS

 L2

En la figura si     L1 L 2 Teorema 01: de los ángulos alternos internos Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante, entonces los ángulos alternos internos son congruentes.

DOS

RECTAS

En la figura las rectas L1 y L 2 son paralelas.

1  2  ...  n  1  2  ...  m

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Práctica 01 L1

1

1 2

n

m

L2

TEOREMA DE LA ESCALERA En la figura las rectas L1 y L 2 son paralelas.

1  2  ...  n  180º L1

n

3 2 1

L2

PROPIEDAD LADOS

S

DE LOS ÁNGULOS DE

(I) CONGRUENTES



 





(II) SUPLEMENTARIOS

    180º





GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Práctica 01

PROBLEMAS RESUELTOS

M

1.Sean los

puntos colineales y consecutivos A, M, B y C, tal que M es punto medio de AC. Si AB-BC=40.Calcule BM.

A) 10 D) 25

B) 15 E) 30

4.Los

M

x

y

B

C

 2 x  y  y  40

2.En

la figura, x solo puede tomar valores enteros. Calcule la suma dichos valores. B

B) 9 E) 6

 Mayor  162 

12x



17  4 x  0 17  4 x

x  2,...

15x

4,...  x

A) 10º D) 25º

valoresx  3;4 

 valx   7

3.Sean los

puntos colineales y consecutivos A, B, C, D y E tal que C es el punto medio de AE. Calcule

BE  BA AD  ED  . BC CD

B) 1 E) 4

C) 2

RESOLUCIÓN: 12x

15x

540   27 x  20  x y

x C

z-y D

Calcule:

M

C) 20º

 180   360   15 x  12 x

z B

B) 15º E) 30º

360°-15x

RESOLUCIÓN:

A

54  k

C) 8

x  5/ 2

z-x

270   5k

5.En la figura. Calcule “x”

2x  5  0

A) 0 D) 3

360       90 

C

RESOLUCIÓN:



2  3

  3k ;   2k

17 - 4x

A) 10 D) 7

S  S   90 

2    2 ;

 x  20

2x - 5

suplementos de dos ángulos son ángulos complementarios, además si al doble de uno de los ángulos se le resta el otro, resulta el doble de este último. Calcular la medida del mayor ángulo. A) 72º B) 108º C) 162º D) 62º E) 100º RESOLUCIÓN:

2 x  40

A

 M 4

C) 20

RESOLUCIÓN:

x+y

2x 2 y  x y

xzzx z yz y  x y

E

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Práctica 01

PROBLEMAS PROPUESTOS 1.Un

caracol se desplaza verticalmente en línea recta como sigue: parte del punto A y sube 24cm, luego baja 1/6 de lo que subió y finalmente sube 1/4 de lo que bajo, llegando al punto B. calcule AB.

A) 19cm B) 18cm C) 20cm D) 21cm E) 25cm

4.En

una recta se ubican los puntos consecutivos A, M, B, N y C tales que M y N son puntos medios de AB y MC respectivamente. Si BC-AM=18m. Calcule BN

A) 7m B) 8m C) 9m D) 10m E) 11m

5.En

2.En

una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D tal que: AC+BC+2(CD)=46m. si AD=25m. Calcule AB.

una recta se ubican los consecutivos A, B, C y D tal que:

puntos

BC  AB2 CD  11(AB) AB3  6(BC)  CD  6

Calcule el menor valor AB. A) 4m B) 3m C) 1m D) 8m E) 10m

3.En

una recta se ubican los consecutivos P, Q, R y S tal que:

9(PS)  QR  3(PR)  9(QS) QR  9cm

Calcule PQ. A) 5cm B) 6cm C) 7cm D) 9cm E) 12cm

A) 1/2 B) 1 C) 1/3 D) 2 E) 1/4

puntos

6.En

una recta se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D tal que AC=8, BD=10 y

A) 7 B) 8 C) 9 D) 6 E) 8

1 1 2   . Calcule BC AB CD 3

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

7.Se

trazan “n” ángulos consecutivos alrededor de un punto. Si la suma de sus suplementos es 900°. Calcule “n”.

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10

Práctica 01

10.Sean los ángulos consecutivos AOB, BOC,

COD y DOE tal que OB y OC son bisectrices de los ángulos AOD y BOE respectivamente. Si 4m COD  3m DOE y la m AOB es agudo. Calcule el mayor valor entero de la

m COE.

A) 60° B) 62° C) 65° D) 56° E) 66°

11.Si 8.Si

al complemento del suplemento de un ángulo se le agrega 30°, resulta el complemento de otro ángulo; calcule la suma de las medidas de dichos ángulos.

3 m AOB   8 m COD 

Calcule “x”.

A) 30° B) 150° C) 75° D) 60° E) 120° A) 124º D) 126º

B) 128º E) 130º

C) 132º

12.Si AB / /CD , 9.La

diferencia de las medidas de dos ángulos es 38° y el suplemento de la medida del mayor es igual al doble del complemento de la medida del menor. Calcule la suma de las medidas de dichos ángulos.

BC y CD son bisectrices de los ángulos ABP y PDQ, respectivamente. Calcule “x”.

A) 110° B) 111° C) 112° D) 113° E) 114°

A) 12º D) 68º

B) 24º E) 78º

C) 39º

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

13.A partir del gráfico. Calcule “x”.

A) 60º D) 50º

B) 75º E) 45º

Práctica 01

16.En

el gráfico se observa el croquis de algunas avenidas y calles de Lima. La avenida Pedro Miotta y la panamericana sur son paralelas, la calle Carrión y la calle Rebagliatti son paralelas. Calcule   x .

C) 55º

A) 15º D) 30º

B) 53º E) 45º

C) 20º

14.En el grafico mostrado, OC es bisectriz del ángulo BOA y la medida del ángulo DOC es 130°. Calcule “x”.

17.En la figura m n . Calcule x. m 160º x 110º 130º

A) 12º D) 14º

15.Si

B) 15º E) 13º

C) 16º

la diferencia de los cuadrados del suplemento del complemento de un ángulo y el complemento de dicho ángulo es seis veces el cuadrado de la medida de dicho ángulo. Calcule la medida del ángulo.

n

A) 110º D) 120º

B) 130º E) 140º

C) 150º

18.Si m y n son rectas paralelas. calcule “x”

m

n

80º

70º

A) 40° B) 50° C) 60° D) 30° E) 16°

100º

30º

40º 3x x

30º x

4x

A) 22º D) 20º

B) 18º E) 30º

C) 11º

GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

19.Tito

está jugando con Rene en su jardín recolectando ramas secas y juntos forman el siguiente gráfico. Calcule    .

A) 10º D) 15º

B) 20º E) 30º

C) 40º

20.Si las rectas L1 y L2 son paralelas y m  n  q  135 . Calcule   

A) 93º D) 97º

B) 100º E) 107º

C) 108º

Práctica 01