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• Wilder PACHECO

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1.

Si se observa que: 1 = 22 − 3 × 1

 3  4  5  4 = 2      2  3  4 

2 = 32 + 4 × 2



3 = 42 − 5× 3

Halla:

4 = 52 + 6 × 4

Halla:



A) 111 D) 110

15

A) 2 D) 1

B) 3

C) 4 E) 5

50 + 60

1 = 2 − 3 ×1 = 1 3 = 42 − 5× 3 = 1

CO Pr E of: PACH

∴

2.

∴

15 = 1

Si se observa que: 1 =2 3 2 =2   2  3  4  3 = 2     2  3 

1 =2

→

1 =2

3 2 =2   2

→

2 =3

 3  4  3 = 2     2  3 

→

3 =4



5 = 62 − 7 × 5 = 1 

C) 113 E) 114

Simplificando se observa

Analizando las expresiones de lugar impar 2

B) 112

50 + 60 = 51 + 61 = 112 +1

3.

+1

+1

Si : 12 = 1 11 2 = 121

1112 = 12 321 11112 = 12 34321 

-1-

Halla 1111111 2 , luego dar como respuesta la suma de las cifras del resultado. A) 49 D) 25

B) 36

Analizando •

C) 81 E) 64

los primeros términos de cada fila F1 → F2 →

→

2

F3 →

Analizando las potencias, tenemos

→

4

F4 →

→

8

→

1 = 12

→

4 = 22

→

9 = 32

21

22 23

A = 2 9 = 512

Luego, para la fila 10

1 cifra

11 2 = 121

20

−1

Suma de cifras

12 = 1

→

1

•

los últimos términos de cada fila

2 cifras

1112 = 12 321

F1 → F2 →

3 cifras

→

3

F3 →



→

1

F4 →

Para el problema Suma de cifras = 9 2 = 81

→ →

5 7

2(1) − 1 2(2) − 1 2(3) − 1 2(4) − 1

B = 2(10) − 1 = 19

Luego, para la fila 10 ∴ A + B = 531

Pr

En general, si se tiene (k ≤ 9) 2 (111 111 ....  ) k cifras

   

CO E of: PACH

Suma de cifras = k 2

4. Completar el siguiente arreglo numérico hasta la fila 10. Halla: A+B Fila 1 Fila 2 Fila 3

5. ¿De cuántas maneras se podrá leer la palabra DIOS? A) 4 B) 6 C) 8 D) 16 E) 32

D I

I O O O S S S S

1 2 3 4 7 5

Fila 4

8 7 7 7

 Fila 10

... ... ... ... ... A ... ... ... ... B

D I O S

A) 529 D) 541 -2-

B) 519

C) 512 E) 531

I O

S

O S

S

Como DIOS tiene 4 letras, entonces

∴ N° de maneras de leer DIOS = 2 4 −1 = 8

Analizando por inducción Suma de cifras

9 × 8 = 72

Para este tipo de distribución triangular N°de maneras de leer " alg o" = 2 n −1

( 333 334 ....  )

2

9 = 9(1)

99 × 88 = 8 712

→

18 = 9(2)

→

27 = 9(3)

2 cifras

999 × 888 = 887 112

6. Calcula la suma de las cifras del siguiente arreglo.

→

1 cifra

3 cifras



Para el problema

20 cifras

∴ Suma de cifras = 9(100) = 900 A) 212 D) 121

B) 122

C) 200 E) 180

8.

Por inducción

Sabiendo que: F1 = 1 × 100 + 50

Suma de cifras

4 2 = 16

→

7 = 6(1)+1

→

13 = 6(2)+1

F2 = 2 × 99 + 49 F3 = 3 × 98 + 48

1 cifra

34 2 = 1 156 2 cifras

334 2 = 111 556

→

Calcula la suma de cifras de “ F20 ”.

CO E of: PACH A) 12 19 = 6(3)+1 Pr

B) 13

C) 14 E) 15

D) 11

3 cifras



Para el problema

Se observa

F1 = 1 × 100 + 50 F2 = 2 × 99 + 49

∴ Suma de cifras = 6(20)+1 = 121

Suman 101

F3 = 3 × 98 + 48

7.

Suman 51

Dar como respuesta la suma de las cifras de: 999...999 × 888...888   100 cifras

A) 800 D) 700

B) 900

100 cifras

C) 1 000 E) 1 200

Entonces

F20 = 20 × 81 + 31 = 1 651

∴ Suma de cifras = 1 + 6 + 5 + 1 = 13

-3-

9.

¿Cuántas esferas habrá en la figura 20? Por inducción

Fig. 1

Fig. 2

A) 40 D) 39

Fig. 3

B) 41

N° de cuadrados

Fig. 1

→

1 =

1(2)(3) 6

Fig. 2

→

5 =

2(3)(5) 6

Fig. 3

→

14 =

3(4)(7) 6

Fig. 4

C) 42 E) 43

Por inducción N° de esferas

Fig. 1

→

3 = 2(1) + 1

Fig. 2

→

5 = 2(2) + 1

Fig. 3

→

7 = 2(3) + 1

Luego, para la figura 20 ∴ N° de esferas = 2(20) + 1 = 41

Pr

Luego, para la figura 8 ∴ N° de cuadrados =

11. ¿Cuántos palitos de fósforos se necesitan para formar la figura 20?

O A)C444 E of: PACH B) 448 C) 452 D) 440 E) 456

10.

8(9)(17) = 204 6

Fig. 1

Fig. 2

¿Cuántos cuadrados hay en la figura 8? Por inducción

Fig. 1

A) 204 B) 206 C) 208 D) 202 E) 210

-4-

Fig. 3

Fig. 2

N° de palitos Fig. 1 →

3 = 22 − 1

Fig. 2 →

8 = 32 − 1

Fig. 3 →

15 = 4 2 − 1

Fig. 3

÷2 ; − 1

+1

Luego, para la figura 20 Por inducción

N° de triángulos

2

∴ N° de palitos = 21 − 1 = 440

12.

¿Cuántas esferas hay en la figura 15?

Fig. 1

A) 133 D) 132

Fig. 2

Fig 1

C) 135 E) 136

→

2× 3 3 = 2

→

6 =

Fig 2

Fig 3

2 por lado

→

6 =2×3

3 por lado

→

12 = 3 × 4

∴ N° de triángulos = 6 × 7 = 42

14.

Si: m =

1 ; a−b

13. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?

1 a+b

 m 2 + n 2  ab    A=  m 2 − n 2  a 2 + b 2   

CA)O1/2 P E 4r× 5 10 = of CH D) 2 2 : PA

16 × 17 = 136 ∴ N° de esferas = 2

n=

Calcula el valor de “A” si:

3× 4 2

Luego, para la figura 15

A) 42 B) 24 C) 34 D) 21 E) 43

2 =1 × 2

Entonces, para 6 cuadraditos por lado

N° de esferas

→

→

Fig. 3

B) 134

Por inducción

1 por lado

B) 1/3

C) 1/4 E) 1/5

Reemplazando   1 2  1 2   +     a − b  a + b   ab  A=    1  2  1  2  a 2 + b 2  −     a+b  a−b  (a + b) 2 + (a − b) 2 A=  (a + b) 2 − (a − b) 2 

 ab   a 2 + b 2 

 2(a 2 + b 2 )  ab  A=   a 2 + b 2 4 ab  

Simplificando

A=

   

   

   

1 2

-5-

15. Calcula el total de intersecciones entre circunferencia y recta que presentará la figura 20.

A) 2 500 D) 6 600

B) 2 750

C) 6 500 E) 7 500

Se observa por cada triángulo hay 3 sectores Fig (1)

A) 760 D) 420

Fig (2)

B) 800

Fig (3)

Sector circular

C) 840 E) 400 Por inducción

Por inducción

N° de intersec.

N° de sectores

→

3 = 3 × 12

→

12 = 3 × 2 2

→

27 = 3 × 3 2

1 2

Fig. 1 →

 1× 2  4 = 4   2 

Fig. 2 →

 2× 3  12 = 4    2 

1 2 3

Fig. 3 →

 3× 4  24 = 4    2 

1 2 3 4

−1

COel problema Para Pr E of: PACH

Luego, para la figura 20

∴ N° de sectores = 3 × 50 2 = 7 500

 20 × 21  ∴ N° de intersecciones = 4   = 840 2  

17. Halla el sombreados.

número

total

de

cuadrados

16. Al unir los centros de las circunferencias se forman sectores circulares. ¿Cuántos de éstos se contarán en total?

1 2 3 4

.... 1 2

-6-

3

49 50 51

A) 441 D) 896

76777879

B) 440

C) 320 E) 625

Luego, para 10 cifras Analizando casos particulares N° de cuadrados sombreados

∴ Suma de cifras = 9(10) = 90

3 = 22 − 1

→ 1 2 3

19. 2

→

8 = 3 −1

Simplifica:

K=

191919 192192 9999 + + 919191 273273 9191

1 2 3 4 5 6 7

15 = 4 2 − 1

→ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011

A) 1 D) 4

B) 2

Por principio de numeral por bloques

÷2 ; +1

Para el problema

∴

N ° de cuadraditos sombreados

2

 79 + 1   =   + 1 − 1 = 440  4  

Halla la suma de cifras del resultado de A. CO P E A = 777...7 × 999...9 rof : PACH      

18.

10 cifras

B) 27

Por inducción 7 × 9 = 63

C) 99 E) 60

K=

19 192 99 + + 91 273 91

K=

19 64 99 + + 91 91 91

K=

182 91

→

K =2

Halla el valor de “M”

M = (2001 − 1)(2000 − 2)(1999 − 3)....( 2 − 2000)(1 − 2001)

A) 2001 D) –2102

B) 2002

C) 0 E) 22000

→

9 = 9(1)

Se observa que M tiene un número impar de factores, siendo el factor central (1001 − 1001)

→

18 = 9(2)

cuyo resultado es cero; y el producto de un número por cero siempre es cero

→

27 = 9(3)

∴ M=0

2 cifras

777 × 999 = 776 223

19 1919 192 192 99 99 + + 91 9191 273 273 91 91

Suma de cifras

1 cifra

77 × 99 = 7 623

K=

10 cifras

20. A) 18 D) 90

C) 3 E) 5

3 cifras



-7-

21.

22.

Calcula la siguiente suma

  1   2   2008 2h  + h  + .....+ h  , 2009 2009      2009  siendo h(t) =

5

, t ∈R

5 + 25t

A) 2001 D) 2102

B) 2007

Por dato h(t) =

C) 2008 E) 22000

2 2 A = ( 666 666 333 ....   ) ; R = ( 333 ....  ) 30 cifras

A) 90 D) 120

Entonces

 Suma de →   = 9(30) = 270  cifras 

2 R = ( 333 333 ....  )

 Suma de  →   = 9(20) = 180  cifras 

30 cifras

20 cifras

5 5 + 251−t

Por lo tanto, la diferencia pedida es 90.

5(25t ) 5(25t ) + 25 25t

… (2)

25t + 5

Pr

Sumando (1) y (2)

h(t) + h(1 − t) =

5 t

5 + 25

+

COEn general, si se tiene E of: PACH 

25t

2 ( 333 333 ....  )

t

k cifras

5 + 25

2 ( 666 666 ....  )

h(t) + h(1 − t) = 1

k cifras

Evaluando, se tiene

2 ( 999 999 ....  ) k cifras

  1   2  2   1   E = 2 h  + h  +.....+ h1−  + h1−   2009  2009   2009  2009

23.

1



1004 veces “1”

E = 2(1004) = 2008

         

Suma de cifras = 9k

Si: m + a + n = a 25

Calcula: man + nam + aaa

1 1

-8-

C) 100 E) 140

2 A = ( 666 666 ....  )

Se observa que los términos equidistantes son simétricos, es decir son de la forma h(t) y h(1 − t)

h(1 − t) =

B) 60

… (1)

5 + 25t

h(1 − t) =

20 cifras

Calcula la diferencia entre la suma de cifras del resultado de A y la suma de cifras del resultado de R.

Identificando cada expresión

5

h(1 − t) =

Si:

A) 1 475 B) 1 575 C) 1 357 D) 1 423 E) 1 565

Para el problema Elevando al cuadrado y evaluando, se tiene

 29 × 30  ∴ N°de palitos = 3   = 1 305 2  

2

(m + a + n) = a 25

15

→

225 ()

25

→

625 () 25.

Se deduce que

∧

a=2

m + a + n = 15

man + nam + aaa

Piden

A) 525 D) 1 600

1

+

ma n

Si se cumple que: f(x+1) = f(x)+2x+1 y f(1) = 1 Halla: f(50) B) 2 500

C) 1875 E) 1 500

n am a a a 1 5 7 5

Por definición

f(x+1) = f(x)+2x+1

f(1) = 1 = 12

Además 24. ¿Cuántos palitos se encuentran en total en la siguiente figura?

(1) + 2(1) + 1 → f(2) = 4 = 2 2 x = 1 → f(2) = f 1

(2) + 2(2) + 1 → f(3) = 9 = 3 2 x = 2 → f(3) = f

A) 435 B) 1 395 C) 465 D) 1 365 E) 1 305

4



∴ f(50) = 50 2 = 2 500 1

2

3

P28r

CO E of: PACH 29

30

26.

Por inducción

1

1

N° de palitos

2

2

→

 1× 2  3 = 3   2 

→

 2× 3  9 = 3   2 

3

Si se cumple que: M(1) = 2 + 1 – 1 M(2) = 4 – 4 + 3 M(3) = 6 × 9 – 5 M(4) = 8 + 16 + 7 Halla: M(19) A) 442 D) 362

→ 2

3

4

C) 526 E) 456

Si k es impar será (–)

−1

1

B) 289

 3× 4  18 = 3    2 

Se observa que

M(k) = 2k

k2

(2k − 1)

Cada 3 filas, los signos se repiten

-9-

Entonces para M(19), los signos serán (+) y (–) 

debido a que 19 = 3 + 1 , es decir

28. Halla el “SABIDURÍA”.

número

total

de

palabras

S A

M(19) = 2(19) + 19 2 − [2(19) − 1] → M(19) = 362

B I D U R I

27.

Efectúa:

K = 2×

2048

A

3× 5×17×(28 +1)(216 +1)....(21024+1) +1

A) 4 D) 2

B) 16

C) 1024 E) 256

A) 512 D) 64

(2n − 1)(2n + 1) = 22n − 1

Expresando cada factor, en uno equivalente 2048

2048

R

U R

I A

I D R

I A

D U

U R

I A

R I

A

B) 128

I A

A

C) 256 E) 258

CO SABIDURIA tiene 9 letras, entonces Como E of: PACH

(2 2 − 1)(2 2 + 1)(24 + 1)(28 + 1)....(21024 + 1) + 1 (2 4 − 1)

K = 2×

Pr

A

D U

I

B I

S A A B B B I I I I D D D D D U U U U U U R R R R R R R I I I I I I I I A A A A A A A A A

En general, si se tiene

K = 2×

U

I A

I D

R

A B

∴ N° de maneras = 2 9 −1 = 256

(24 − 1)(24 + 1)(28 + 1)....(21024 + 1) + 1 (28 − 1)

K = 2×

2048

(28 − 1)(28 + 1)....(21024 + 1) + 1 (216 − 1)

Así sucesivamente hasta obtener

K = 2×

2048

2 2048 − 1 + 1

Simplificando K = 2(2)

→

K=4

29. La figura muestra un triángulo, formado por circunferencias iguales, contándose 570 puntos de contacto. Halla el número total de filas del siguiente arreglo. A) 17 B) 18 C) 20 D) 21 E) 25 ....

- 10 -

Para el problema Por inducción

N° ptos de contacto

∴ N°de triángulos pequeños = 35 2 = 1 225

2 filas

→

 2×1  3 = 3   2 

3 filas

→

 3× 2  9 = 3   2 

4 filas

→

 4×3 18 = 3    2 

31. Determina la suma de todos los valores enteros n, tales que:

25 625 25 625 + −n + − − n sea entero. 2 4 2 4



A) 144 D) 30

Luego, para n filas  n(n − 1)  3  = 570  2 

B) 1447

C) 1008 E) 1232

Restringiendo valores para n

n(n − 1) = 380

→

n(n − 1) = 20(19)

625 −n ≥ 0 4

n = 20

→

n ≤ 156, 25

Luego, efectuando la expresión 30.

¿Cuántos triángulos pequeños hay en total?

A) 996 B) 840 C) 1905 D) 3125 E) 1225

1 2 3

N° de triángulos pequeños

1

→

1 = 12

1 2

→

4 = 22

→

9 = 32

1 2

25

625

25

CEO= 2 + 4 − n + 2 − Pr E of: PACH Reduciendo términos

35

Por inducción

 25 625 25 625  E2 =  + −n + − −n  4 2 4  2    2

2

2

625 6252  25 −n + 2   − +n 4 4  2

E = 50 + 2 n ∈ Z + 0 24

→ →

n=0 n = 144

∴ Suma de valores de n = 144

3

Huánuco, de enero de 2014 - 11 -