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• EduardoLópez

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C A P Í T U L O III

POTENCIAL Y DIFERENCIA DE POTENCIAL

El campo eléctrico alrededor de un objeto cargador, puede describirse también por una cantidad escalar que está relacionada con él, la cual se denomina potencial eléctrico. Existe una situación dentro de un Campo Gravitacional, en la que un objeto es desplazado verticalmente cierta altura sobre la superficie de la tierra, por lo que se realiza trabajo contra el peso y en el sistema tierra-objeto queda almacenada una energía de tipo potencial (Energía Potencial Gravitacional o Gravitatoria). Hay un análogo relacionado con el Campo Eléctrico, en el que una carga de prueba q0 se desplaza entre dos puntos A y B dentro de un Campo Eléctrico (producido por un plano, línea de carga u otra distribución), como muestra la figura.

 E

q0 A

B

Un agente externo realiza trabajo contra el sistema para sostener la partícula y esta no se acelere entre los puntos A y B, quedando en el sistema almacenada una energía de tipo potencial, denominada Energía Potencial Eléctrica, el cambio de energía potencial es igual a menos (-) el trabajo realizado:

  B  B  U  W AB    F AB .dl    E AB .q 0 .dl A

A

Se define la diferencia de potencial eléctrico a la relación entre el cambio de energía y la carga V B  V A  por lo que: V B  V A  



B

A

  E AB .dl

U q0

La unidad correspondiente para la diferencia de potencial es: Joul / Coul la cual se denomina voltio. La diferencia de potencial puede ser: + (positiva) si VB > VA - (negativa) si VB < VA 0 (cero) si VB = VA Si A esta en el infinito y a VA se le da el valor arbitrario de cero (0), entonces el potencial eléctrico en un punto debido a una carga o distribución de carga, será:

 B  V B    E AB .dl 

En la práctica usualmente se considera más la definición de diferencia de potencial eléctrico que la de potencial eléctrico, esto debido a que el potencial eléctrico depende de la escogencia arbitraria del nivel cero en la posición de referencia (A en infinito), el cual pudo haberse escogido como –ln 3 v en otra posición de referencia distinta a infinito. En los problemas de circuitos por lo general se considera como posición de referencia a la tierra, con un potencial asignado igual a cero. 1

Fuerzas conservativas Considérese dos trayectorias 1 (recta entre A y B) y 2(curva entre A y B) para trasladar una carga q0 cerca de una carga puntual q+, entre dos puntos A y B. La trayectoria 2 se puede considerar quebrada, puesto que cada tramo puede hacerse tan pequeña como se quiera, de esta forma la trayectoria real (arco), se hace igual a la quebrada. El agente externo solo hace trabajo a lo largo de los tramos radiales, ya que en los tramos perpendiculares, la fuerza y el q desplazamiento son perpendiculares y el trabajo es nulo. Sumando el trabajo a lo largo de los tramos radiales que constituye el tramo 2, es equivalente al trabajo realizado a lo largo del tramo 1, como el tramo 2 es arbitrario implica que WAB es independiente de la trayectoria.

 E

q0

A

B

1 2

También se tiene que el trabajo de ida y vuelta entre los puntos A y B para trasladar la carga q0, es nulo. Esto es, W AB   F dl  0 . Las afirmaciones anteriores con respecto al trabajo realizado por un agente externo, para trasladar una carga a través de un campo eléctrico, está relacionada con la definición de fuerzas conservativas, ya que sólo estas son las que realizan este tipo de trabajo. De lo anterior se tiene que las fuerzas electrostáticas son conservativas. Superficies equipotenciales Lugar geométrico de todos los puntos que tienen el mismo potencial. Son superficies geométricas hipotéticas. Características: -

Las líneas de campo eléctrico siempre son perpendiculares a la superficie equipotencial. La diferencia de potencial entre dos puntos que se encuentran sobre la misma superficie equipotencial es nulo. El trabajo realizado para mover una carga entre dos puntos que pertenecen a la misma superficie equipotencial es nulo, esto debido a que el trabajo es independiente de la trayectoria escogida.

Por simetría las superficies equipotenciales de una carga esférica (ver figura), son una familia de esferas concéntricas a las cargas, para un campo uniforme son planos perpendiculares al campo. Superficies Equipotenciales

2

Energía potencial eléctrica

Consideres dos cargas q1 y q2: q1

q2

r12

Si se aumenta la separación entre ellas, un agente externo debe realizar trabajo (será + si q1 y q2 son de diferentes signos ya que se aplica fuerza contra el sistema, y – si son de igual signo, ya que se aplica fuerza a favor del sistema) La energía relacionada con este trabajo queda almacenada en el sistema como energía potencial. Considere que q2 se aleja al infinito y se deja en reposo, el potencial eléctrico en la posición original de

V 

q2 es:

1 q1 4. .e 0 r12

si q2 de nuevo se lleva a su posición original, la energía potencial viene dada por: U = V. q2 U

1 q1 q2 4e 0 r12

y w será menos (-) esta energía. Se tiene que: W  

1 q1 q2 4e 0 r12

Si se trata de una distribución de carga, esta se divide en elementos infinitesimales dq y estos se tratan como cargas puntuales U T   U ij

Determinación del Campo Eléctrico a partir del Potencial Eléctrico.



 

Consideremos la relación V   E .dl ello implica que:  (

 dV ˆ dV ˆ dV ˆ i j k )  E , ello porque dx dy dz

     ˆ  ˆ j k  por dl  dx .iˆ  dy . ˆj  dz .kˆ esta expresión se expresa utilizando un operador    iˆ  y z   x al aplicarlo sobre el potencial eléctrico se obtiene la siguiente expresión     ˆ  ˆ  ˆ E    V    i j k  .V ( x , y , z ) denominada el gradiente de V, entonces el campo eléctrico es y z   x igual a menos (-) el gradiente del potencial eléctrico. De lo anterior se desprende que, el campo eléctrico es más grande cerca de puntos que tienen pequeños radios de curvatura convexos y alcanza valores muy altos en puntos afilados.

3

Potencial dentro de una Esfera Sólida Conductora En el Capítulo anterior, se estableció que el campo dentro de un conductor sólido es nulo, de esto se tiene que    E  V  V  0 , lo que nos indica que el potencial debe ser constante e igual al que hay en al superficie

Como ejemplo de lo expuesto tenemos que el potencial eléctrico dentro de una esfera conductora cargada es constante e igual al que hay en la superficie. -

R

V

kQ R

kQ r | r

E

kQ | r2

R

r

Electrón – Voltio Es la energía que debe poseer o tiene un electrón, para poderse desplazar entre dos puntos que se encuentran a una diferencia de potencial de 1 Voltio. Su equivalente en Joules es: 1 ev = 1,6 x 10-19 J

4

PREGUNTAS : 1.- El potencial eléctrico dentro de una esfera conductora con carga Q (en régimen electrostático) es distinto de cero porque, el campo eléctrico es: ___ Nulo ___ Mayor que cero ___ Menor que cero ___ Depende de la distancia al centro 2.- La energía potencial eléctrica entre dos cargas puntuales negativas es, siempre. ___ Menor que cero ___ Nulo

___ Mayor o igual a cero ___ Mayor que cero

3.- La variación de energía potencial eléctrica por unidad de carga se denomina. ___ Diferencia de potencial eléctrico ___ Densidad volumétrica de energía potencial eléctrica ___ Campo Eléctrico ___ Flujo de campo eléctrico 4.- El potencial eléctrico sobre la superficie de un conductor en equilibrio electrostático es: ___ Constante y mayor que cero ___ Constante y menor que cero ___ Constante ___ Variable 5.- El campo eléctrico es. ___ Paralelo a las superficies equipotenciales ___ Diagonal a las superficies equipotenciales ___ Perpendicular a las superficies equipotenciales ___ T.A 6.- Una esfera maciza conductora tiene una carga total + Q. Entonces, en el centro de la esfera. ___ El campo y el potencial son nulos. ___ Sólo el campo eléctrico es nulo. ___ Sólo el potencial eléctrico es nulo. ___ NA 7.- Si el campo eléctrico en un punto es cero: ___ La diferencia de potencial en torno a ese punto es cero. ___ El potencial eléctrico en ese punto es cero. ___ No hay cargas eléctricas en ese punto. ___ NA 5

8.- Si el potencial eléctrico a lo largo de una curva es N voltios: ___ El campo eléctrico es distinto de cero en cada punto de la curva. ___ El campo eléctrico es cero en toda la curva. ___ La diferencia de potencial es de N voltios entre dos puntos de la curva. ___ NA 9.- De la figura: ___ VAB = 0V ___ VCA = -2V

___ VCB = 2V ___ NA

A

2V

B

-2 V

C

4V

10.- Se ubica una carga positiva en una superficie equipotencial de 15v la cual se encuentra a una distancia “d” de otra equipotencial de 5v. La carga positiva: ___ Se moverá a lo largo de la equipotencial de 15v ___ Permanece en reposo ___ Se moverá hacia la equipotencial de 5v ___ Se aleja de la equipotencial de 5v 11.- En la figura se indica tres posibles trayectorias mediante las cuales se lleva una carga Q desde el punto A hasta el punto B, siendo W1, W2 y W3 los trabajos realizados por una fuerza eléctrica, para mover la carga entre los dos puntos a lo largo de cada una de las trayectorias. Se puede afirmar que: 2

___ W1 < W2 < W3 ___ W2 = W1 = W3 ___ W1 > W2 > W3 ___ W1 > W2 = W3

1 Q

A

B 3

12.- Se tiene tres cargas puntuales de igual magnitud, dos positivas y una negativa, ubicadas en las cuatro configuraciones mostradas. En qué configuración, el trabajo realizado por un agenteQ -externo para ensamblarla Q+ Q-es cero. ___( a ) ___( b ) ___( c ) ___( d )

Q+ r

Q- r

+

Q

r

r Q+

r

Q+

Q+

r

r

2r

Q-

Q+

r

Q+

a) (b)

(c)

13.- En la figura se muestra una proyección en el plano de la hoja de papel de una serie de superficies equipotenciales correspondientes a una carga positiva. En qué posición de las mostradas: A,B,C,D debe colocarse un electrón para que experimente una fuerza dirigida hacia la parte inferior de la página. ___ A ___ C

2r

___ B ___ D

(d)

A D

B

4v

6v

8v

10v C

6

14.- Sean dos esferas metálicas huecas y concéntricas, la interna tiene un radio “a” y la externa un radio “b”. Inicialmente la esfera externa no tiene carga neta mientras que la interna tiene carga y está a un potencial V0. Si conectamos las dos esferas mediante un alambre metálico fino. ¿Cuál será el nuevo potencial? ___ V0 ___ V0 (a/(a+b))

___ 0 ___ V0 (b/(a+b))

15.- Los electrones tienden a ir a regiones donde el potencial eléctrico es. ___ Más elevado ___ Constante

___ Menos elevado ___ Indiferente

16.- Se tiene un sistema formado por dos dipolos. El punto B no es equidistante del centro de ambos dipolos. Los puntos A y D están ubicados en el centro de dipolo. Cuál de las siguientes afirmaciones, es la correcta, considerando que V(∞) = 0

+Q d A

- 2Q B

D d

___VA = VB = VD = 0 ___ Sólo VB = 0 ___ VA = -VD ___ N.A

-Q

+2Q

17.- El trabajo realizado para mover una carga, a lo largo de una superficie equipotencial, siempre es: ___ Constante y positivo ___ Variable ___ Constante y negativo ___ Constante y nulo 18.- Al justificar la siguiente afirmación “La diferencia de potencial entre dos puntos que forman parte de la misma superficie equipotencial, es nula”, una de las alternativas es incorrecta, porque. ___ Todos los puntos que conforman la superficie equipotencial, tienen el mismo potencial ___ Las líneas de campo eléctrico, son perpendiculares a la superficie equipotencial ___ El trabajo realizado para desplazar una carga a lo largo de la equipotencial, es constante y distinto de cero ___ N.A 19.- Lo que depende, de la escogencia del nivel cero, es: ___ La diferencia de potencial eléctrico ___ El potencial eléctrico ___ El campo eléctrico ___ N.A 20.- Una carga en el vacío, se encuentra a cierta distancia “d” de un punto. Si se duplica la distancia entre la carga y el punto, y se duplica el valor de la carga. El potencial en dicho punto, se: ___ Reduce a la mitad ___ Cuadruplica

___ Duplica ___ N.A 7

21.- Se traslada una carga de prueba, en la dirección y sentido de un campo eléctrico. Se puede afirmar, que la energía potencial de la carga: ___ Aumentara ___ Disminuirá ___ Se mantiene constante ___ Va a depender del signo de la distribución de carga o carga, que genera el campo eléctrico 22.- En un material conductor macizo de forma irregular, y en equilibrio electrostático, se cumple que: ___ El potencial es el mismo, para todos los puntos que conforman el material ___ La densidad superficial de carga, es menor en los puntos de menor curvatura ___ El potencial es mayor en los puntos de mayor curvatura ___ La densidad superficial de carga, es mayor en los puntos de mayor curvatura 23.- En una región del espacio, hay dos esferas conductoras de diferentes radios. Éstas se encuentran conectadas por un hilo conductor, y se encuentran en equilibrio electrostático. Se cumple que: ___ La carga de cada esfera es la misma ___ Se encuentran, ambas al mismo potencial ___ Una de las esferas, tiene carga positiva, y la otra negativa ___ El campo eléctrico creado en cualquier punto del espacio, por el conjunto, es nulo 24.- En los vértices de un cuadrado, se colocan cargas de igual magnitud y polaridad. Se puede afirmar, que el campo eléctrico en el centro del cuadrado: ___ Es nulo y el potencial eléctrico también ___ No es nulo, pero el potencial eléctrico si es nulo ___ Es nulo y el potencial eléctrico es distinto de cero ___ No es nulo y el potencial eléctrico es distinto de cero 25.- En el interior de un cilindro macizo conductor, el campo eléctrico: ___ Es nulo y el potencial eléctrico también es nulo ___ No es nulo y el potencial eléctrico tampoco es nulo ___ Es nulo y el potencial eléctrico es distinto de cero ___ No es nulo, pero el potencial eléctrico si es nulo 26.- Si nos desplazamos, en la dirección y sentido de un campo eléctrico. Se puede afirmar: ___ Nos acercamos a una carga positiva ___ El potencial disminuye en la dirección del movimiento ___ El potencial aumenta en la dirección del movimiento ___ La energía potencial electrostática, aumenta en la dirección del desplazamiento 27.- Se tiene un anillo cargado. Si se duplica el radio “R” del anillo y la distancia al centro del anillo “x”, el potencial eléctrico se: ___ Cuadruplic ___ Duplica

___ Reduce en un cuarto ___ Reduce en la mitad 8

28.- En la gráfica se muestra el voltaje V en función de la distancia X en una cierta región del espacio. ¿En cuál región es más intenso el campo? ___ A ___ C

___ B ___ C

V X

A

B

D

C

29.- Un globo de radio R lleva carga Q uniformemente distribuida en su superficie. El globo se infla hasta que su volumen es ocho veces el volumen inicial, sin que varíe su carga. Luego de esto, el potencial en el centro del globo: ___ Se reduce a la mitad ___ No varía ___ Aumenta ocho veces ___ Se reduce a la cuarta parte Con respecto a las superficies equipotenciales, se puede afirmar que: ___ El campo en ellas siempre tiene un mismo valor, en módulo ___ Son tangentes al vector E ___ Siempre son cerradas ___ Todo lo anterior es falso

EJERCICIOS RESUELTOS: 1.- Se tienen tres cargas puntuales colocadas de la siguiente forma: Q1  4nC en (-2,0) cm; Q 2  1nC en (1,0) cm; Q 3  6 nC en (0,-2) cm. Calcule: a) La energía potencial total UT para la configuraron del sistema, explicando el significado del signo correspondiente. b) El potencial eléctrico V que las tres cargas producen ene. origen del -Q1 sistema de coordenadas. c) El vector campo eléctrico E que las tres cargas producen en el origen. d) La energía potencial U0 que tendría una cuarta carga Q0  2nC colocada en el origen. e) El vector F0 que experimentaría la cuarta carga Q0 colocada en el origen. 1 Ke   9 x10 9 Nm 2 / C 2 4 0

Y X -Q2

+Q3

 ( 4)( 1) ( 4)6 ( 1)6  10 18 U   Ke  9 x10     8,852 x10  6 J  ATRACTIVA   2 rij 3 2 2 5  10  9 q   4  1 6  10 V   K e i  9 x10 9     2  0 ri 1 2  10  2  q   4 1  ˆ 6 ˆ  10 9 E   K e i2 rˆi  9 x10 9    i  j   4  1,35 x10 5 ˆj N / C 4 1 4  10 ri  U 0  q0V  0   F  q E   2 x10 9 1,35 x10 5 ˆj  2,7 x10 4 ˆj N qi q j

0

0



9





9

2.- En un tubo de rayos catódicos un electrón (e=1.6x10-19C; m=9,11x10-31 kg), inicialmente en reposo en un cátodo con potencial VC=0 es acelerado hacia un ánodo perforado con potencial VA=300V ubicado a 3cm del cátodo. El electrón atraviesa la perforación y entra en una región donde consigue un campo eléctrico uniforme de 10000N/C (10000V/m) orientado en la misma dirección del movimiento del electrón. Determine: a) b) c) d) e)

El vector campo eléctrico entre el cátodo y el ánodo. El vector aceleración que tiene el electrón entre el cátodo y el ánodo. La energía cinética (en eV y J) con que el electrón llega al ánodo. El vector aceleración que experimenta el electrón en la segunda región. La distancia recorrida dentro de la segunda región hasta el punto donde se detiene el electrón. Considere el vector unitario iˆ en dirección del cátodo al ánodo.

  V  ˆ  300  ˆ E    i  10000iˆV / m i    X 0 , 03      19  qE  1,6 x10  10000 iˆ a   1,758 x10 15 iˆm / seg 2  31 m 9,11 x10







K  300eV  4,8 x10 17 J     Como E 2   E entonces a 2   a  1,758 x1015 iˆm / seg 2 Luego d 2  d 1  0,03m por ser U F  U CATODO  0

Alternativamente: Como U F  0  d 2 

U ANODO 2 2a 2



1,027 x10   0,03m 21,758 x10  7 2 15

3.- Se tiene un disco hueco y una varilla de longitud infinita colocadas tal como se muestra en la figura. El disco y la varilla tienen densidades de carga uniforme “σ” y “-λ” respectivamente. a) Calcule la diferencia de potencial debido a esta configuración a lo largo del eje Z de la figura, desde el punto intermedio entre la varilla y el disco, hasta el centro del disco. b) Si se coloca una carga puntual “+Q0” en el punto intermedio entre el centro del disco y la varilla. Calcule el trabajo que tiene que hacer un agente externo para mover la carga desde el punto en que fue colocada hasta el centro del disco. Z

-λ

Para la varilla: 2d

VB  V A    d

2K e   2d  dr  V B  V A  2 K e  ln   2 K e  ln 2  r  d 

A

2d

Para el disco: Utilizando la relación obtenida del potencial para un disco R

B

2R

10

VA 

1 1    2 2 2 2 2 2     d  4 R  d  d  R  d  2 0  

 VA  VB 

1 1   2 2 2 2 2 2     d  4 R  d  R C 2 0  

 2 R  R   R  C 2 0 2 0

 VB  V A 

Para ambos: a) V B  V A 

 2 0

 2 2 R  d  R 



  d 1 2

2

 4R 2



1 2

  

1 1  ln2    2 2 2 2 2 2      R  d  R  d  4 R  2 0 2 0  

b) W AB  V B  V A Q 0 W AB 

  2 2  ln 2     R  d  R 2 0  



1

  d 1 2

2

 4R 2



1 2

   .Q 0 

4.- Se disponen de dos segmentos de líneas semicirculares de radios R1 y R2, las cuales están orientadas según el eje X e Y como se indica en la figura. Los segmentos poseen cargas Q1 y Q2 homogéneamente distribuida con densidad lineales de carga  1 y  2 respectivamente. Asuma que  J es de la forma  J  0 J Cos J para Q todo J  1,2 donde  0 J  J tal que L es la longitud de cada segmento. Determine: L a) La magnitud del campo eléctrico en el origen del sistema de coordenadas b) La magnitud de la fuerza que ejerce las distribuciones de carga, sobre una carga de prueba ubicada en el origen del sistema de coordenadas c) La energía potencial eléctrica del sistema de cargas.

 1   01 Cos  1   2   02 Cos  2 

Z Y

QJ L Utilizando la misma metodología, del ejemplo resuelto “7” del capítulo II ( carga, fuerza eléctrica, y campo eléctrico )

0J 

R1

λ 

R2

0

λ

X

1

2

 2K e 0 2 dq ds d dE  2 K e 2  2 K e  2  2 K e  0 Cos  R 2  Cos  d R 0 R R R  2K e 0  E  R  ER 

2 K e Q1 2 K e Q2   2K e 0    Sen 2   Sen0   R  E 1  R L  E 2  R L     1 2

donde ds=Rdθ

2 K e  Q1 Q 2     L  R1 R2 

11

 Q1 Q 2  ˆ   K  R1 R2     K .q b) FR  E .q 0  FR   e 0 L

a) E R  

2K e L

 Q1 Q 2      R1 R2 

c) R1

K e Q1

W    U   U   Q 0 . V   V1   Q 0 

r  2



  V1 

dr  V1 

K e Q1 Q 0  1 1      R1  

K e Q1 Q 0 K e Q1 Q 0 K QQ   V 2  e 2 0 R1 L1 L2

U T  U 1  U 2 

K e Q2 Q0 L2

 Q 2 Q1      L2 L1 

5.- un disco cargado hueco de radios a y b se encuentra frente a una línea infinita de carga (Ver figura). El disco tiene densidad de carga uniforme   0 . La línea infinita de carga, que se encuentra perpendicular al eje de simetría +σ d1 +λ principal del disco, tiene una densidad de carga lineal   . Calcular la diferencia de potencial eléctrica entre el punto P y P 0 el centro del disco producido por: b a

d2

a) El disco hueco. b) La línea infinita de carga. c) El trabajo que debe realizar un agente externo para desplazar una carga puntual +Q desde P hasta 0. Suponga conocidos: a ; b  6  2 a ; d 1  3  2 b ; d 2  3  2 a ;   ;   1

1

1

Utilizando la metodología, para determinar el campo eléctrico en un pto del eje de simetría axial de un disco K e dQ K . .2 .r .dr X dE  Cos    e . 2 2 r2  X 2

r

r2  X 2

b

E  K e . .2 . X  a



r

r

2

X



X



3 2 2

X  dr  E   2 0 

1



b X 2



1 2 2

1



a

2

 X2



  1  2 

Como b  a 6 ; d 1  b 3  a 3 6  3a 2 ; d 2  a 3  0 0     XdX  V 0  V P    E .dr     2  0 a 3 d2 a2  X 2 



0



1 2



 a 3

XdX

b

2

 X2



1 2

   

0

 V0  V P 

1 1   2 2 2 2 2 2     a  X  b  X  2 0  a

 V0  V P 

 2   a  b    a  3a 2 0  

 V0  V P 

1      2 2 2        a  3 a 2  2 a  18 a  3 a a  3a 2  2a  a 21   2 0     2 0





  b

1 2 2

2

3

 3a 2



1 2

  



 12

a) V0  V P    0,33a 0

b) E

2K e r

Para la línea infinita de carga    E .dr  

d1

 V0  V P  

d1  d 2 

 V0  V P  

d1



  lnr dd dr  E   2  r 2  0 0 

1

d1  d 2

1 d2



 d  d2    3  ln  1 ln 1     V0  V P   2 0  d 1  2 0  3 2

c)

W  V 0  V P Q   W  V 0  V P   V 0  V P  Q    0,33a   3   W    ln 1   Q 0 2 0  3 2   

6.- Se tiene una esfera no conductora, con una carga Q0 distribuida volumétricamente, con una densidad de carga uniforme ρ0 y radio a, ella está rodeada de un cascaron metálico de espesor a, como se muestra en la figura. Suponiendo que el potencial en el infinito es cero, se pide:

Cascarón metálico

Esfera no conductora

a) El campo eléctrico para: 0  r  a y a  r  2a . b) El potencial en los puntos indicados en la pregunta anterior. c) Los gráficos V(r) y E(r).

a

a

a) Se consideran superficies Gaussianas esféricas de radios “r” Para 0  r  a  

 E .ds 

Q ENC

0





 E 4r 2 

Q ENC

0

Q0 Q Q r3  ENC  Q ENC  0 3 4 3 4 3 a a a 3 3 3 Q r Q0 r  0 3  E r    0a 4 0 a 3

 0   ENC 



 E 4r 2



Para a  r  2a nos encontramos dentro del cascaron esférico conductor, por lo tanto E (r )  0 b) V(r) para a  r  2a 2a   Q V 2 a  V     E .dr como V  0  V 2 a  K e 0 2a  2a 2a     K Q Entonces V r  V 2 a    E .dr como  E .dr  0  V r  V 2 a  V r  e 0 2a r r Para 0  r  a 13

r

r    Q0 r 2  Q0 r Q0 V r  Va    E .dr    dr  V r  Va     r2  a2 3 3  3 8 0 a  8 0 a  a a a 4 0 a Para determinar Va El Va=V2a porque el potencial dentro de un conductor es constante r

Vr   Vr 

Q0 8 0 a

3

r

2

a

2

  8 a  V Q0

r



0

 Q0 r2  1   2a 2  r 2  2  3 4 0 a  2a  8 0 a



Q0

Q0 r 2 8 0 a

3



Q0 8 0 a







Q0 8 0 a



c)

V(r)

E(r)

Q0 4 0 a 2

Q0 4 0 a 2

Q0 80a

r a

2a

r a

2a

7.- Dos líneas de carga infinitamente largas y paralelas tienen densidades de carga lineal λ+ y λrespectivamente. La expresión para el potencial en el punto entre las líneas, ubicado en su plano común, 2 K ln a  x  respecto al punto medio “0”, viene dada por V P  V0  y a  x  λλ Para λ+ + a x a x   2K e  x P V P  V0     E .dx    dx  2 K e  ln a   ln a  x  ● x x a a a a O Para λa x  V P  V0     2 K e  dx  2 K e  lna   lna  x  x a

·

V P  V 0  V P  V 0   V P  V 0   2 K e  ln a   ln a  x   ln a   ln a  x  



a x V P  V 0  2 K e  ln  a x

14

8.- El cilindro dieléctrico de la figura de radio a y longitud L, tiene una densidad volumétrica de carga constante ρ y está rodeado por un cascaron cilíndrico conductor de radio interno b y externo c con carga agregada –Q. Calcule: a) El potencial para cualquier punto del espacio. Tome como referencia 0 de potencial r =a. b) La diferencia de potencial entre el eje de los cilindros y su borde más externo. Para a  r  b    a Q ENC La 2   E . d A  2  LE . dr   E 2  Lr   0 0 0

E

a c

b

a 2 a 2  2 0 r 2 0 r

Para b  r  c    Q ENC E E0  .dA 

0

Para r  c    Q ENC La 2  Q La 2  Q   E . d A   E 2  Lr   E   0 0 2 0 Lr V  a  r  b  b b   a2 a2  a  Vb  Va    E .dr  Vb    dr  Vb  ln  2 0 r 2 0  b  a a V  b  r  c  c   c   Como   E.dr  0 entonces Vc  Vb Vc  Vb    E .dr b b

V  r  b 

  a 2 L   Q  a 2 L  Q  r  V r  V c    E .dr    dr  V r  V c  ln  2  L  r 2  L  c 0 0 c r r

c

Q  a 2 L  r  a 2   a  Vr  ln   ln  2L 0  c  2 0  b 

9.- Una carga positiva está distribuida uniformemente con densidad λ (C/cm), sobre el borde del cuadrado de lado “L” mostrado en la figura. Suponiendo que el potencial es cero en el infinito, demuestre que el potencial en el centro del cuadrado es: VC  8 K ln 1  2





y

2

 L r     y2 2

dq   .dy

V  Ke 

dq r

P L

x

15

L

V  2K e 

L

2

 0

2    2 dy L   2   2 K e   ln y     y    2   2  L 2   0    y 2

2 2   L  L  L    V  2 K e  ln       2 2 2  



    ln L    2 K   ln L  L 2   ln L         e    2  2 2   2    



L    1 2    2 K e  ln 1  2  V  2 K e  ln 2 L     2  





Para las cuatro líneas de carga de densidad λ el VP será:



V P  4V  8 K e  ln 1  2

 Vista de canto del plano infinito

10.- Un plano conductor infinito tiene una carga distribuida Q uniformemente con una densidad de carga    o2 y frente a él a R una distancia 3R , se encuentra una esfera de radio R , no uniforme Q que tiene una carga distribuida según   o3 1   r  . Una carga R Qo , de masa M logra desprenderse de la esfera y es atraída hacia el plano de forma que al llegar al mismo tiene una rapidez vo . Encuentre:

R

3R

a) Cuál es la carga de la esfera b) cuál es el valor de la constante  (desprecie los efectos gravitacionales) Solución: El campo eléctrico debido al plano infinito es: Perpendicular al plano y su módulo es E plano no conductor uniforme 



 2 o

El Campo eléctrico debido a una esfera con densidad de carga distribuida uniformemente a la distancia radial fuera de la esfera es: Eesfera 

ke QT r2

siendo r la distancia al centro de la esfera, este campo es radial.

Las dos relaciones anteriores se pueden encontrar fácilmente por la forma integral de la Ley de Gauss. En el espacio entre la esfera y el plano, en la dirección radial perpendicular al plano infinito hay dos contribuciones y el la diferencia de potencial se puede calcular como: Para el plano:

Qo  dr  3 R 2 2 o R 2 o

V plano   

0



0

3R

dr  

Qo 3Qo 3R   2 2 o R 2 o R

La diferencia de potencial debida a la esfera es idéntica a la que se encuentra debido a una carga puntual.

16

3k Q 3Q 1  1 1 Aquí QT es la carga total de la esfera Vesfera  keQT    e T  T 4R 4 R 4 o  4R R  La diferencia de potencial debida a ambos actuando simultáneamente es:

V 

3Qo 3QT 1  2 o R 4 R 4 o

Como la fuerza eléctrica es conservativa y es la única que actúa se conserva la energía mecánica: Ui  Eci  U F  EcF Donde U es la energía potencial y Ec la cinética

QoVI  Eci  QoVF 

1 1 Mvo2  Qo VI  VF   Mvo2 2 2

1 Mvo2 2  3Qo 3QT 1 Qo V  Qo    2 o R 4 R 4 o Qo V 

 1 2   Mvo   2

 1 Mvo2 3Qo  4 o 4 R   QT   2 o R  3  2 Qo r R RQ QT    dV '   o3 1   r  4 r 2 dr  r 0 0 R dV '

QT 

 R3 Qo R4  4      R3 4   3

 1 Mvo2 3Qo  4 o 4 R Qo  R3 R4    4        2 o R  3 R3 4   3  2 Qo 4  R 3  1 Mvo2 3Qo   o 4 R R 3       R 4  3  2 Qo 2 o R  3 Qo 



4  7 R 3 2 M  o vo2 R 4     R4  3 3Qo2 

11.- Una esfera de radio “R” lleva carga en todo su volumen distribuida como 3

r    o   , siendo r la distancia de cualquier punto del espacio al centro de la  R esfera y  o una constante positiva. Determine: a) El flujo eléctrico a través de una superficie esférica de radio R

R R/2

2

concéntrica con la esfera de carga b) La energía electrostática almacenada en la distribución c) El potencial eléctrico en el centro de la esfera a)

 E .ds 

  r dv o

17

2   R  1 E 4. .     2    o 

E

R

4.  o

 o .R R

5

R

2



2

5  r dr

0

 o .r 3 R3

E

0

 r3    0 3 .4 .r 2 dr 0 oR 2

.4. .r 2 .dr

2.  o  R 6    3 o . R 3  64 



4. .  0

 0 .R 3

R

E

2

5  r .dr

 o .R 96 o 

0

2. .  0  R 6    3. 0 . R 3  64 

 . 0 . R 3  96. 0 b) U 

1  r V r dv donde dv  4. .r 2 dr 2

para r > R

Q

V R 

Q 4. . 0 . R

 0 .4.  R 6 

Q

   6 

R3

Q

y

  r dv 

R

 0

2. . 0 . R 3 3

V R  

 0 .r 3 R

3

4. .r 2 dr

 0 .R 2 6. 0

r

Para

r>R

V ( r )  V ( R )    R .d r R

 E .d s 

 r    0 dv





E 4. .r 2 

4. .  0 r 6  0 .R 3 6

 0 .r 4 0 V (r )  V ( R)    dr  3 6 0 . R . R 6 0 . R r

E

 0 .r4 6. 0 . R 3

 R5 r 5     5  5

v(r ) 

0  0 .R 2  0 .R 2  0 .R 2  0 .r 5 5 5   R  r     6. 0 30. 0 6. 0 30. 0 . R 3 30. 0 . R 3

v(r ) 

 0 .R 2  0 .r 5  5. 0 30. 0 . R 3

U

R   1  0 .r 5 .4.  0  3 20 R  5. 0

U

2 R 10  2. .  0  R 5 5 r R . r dr  dr   6  6 5. 0 R  0 0 

 2 r5  R  6. R 3 

   dr 

18

2. .  0  5 R 6 R 11  2. .  0 U  R .  6 66  5. 0 R 6 5. 0 R 6  2

2. .  0

2

 10. R 11  U   30. 0 . R 6  11 

 11 R 11  R   11  

2. .  0 . R 5 U  33. 0

2

2

c) V r   V  R   V 0  V r   V 0  V  R  de b) V  R  

 0 .R 2 6. 0

0

V 0   V  R     E .d r Donde E entre 0 y r para r < R ( por la pregunta b ) R

 0 .R 6. 0 . R 3 4

E

V 0   V  R  

V 0  

0r 4  0 .R 2 dr  0 6 0 . R 3 30. 0 R

V 0  

 0 .R 2  0 .R 2  0 .R 2   30. 0 6. 0 5. 0

 0 .R 2 5. 0

12.- Dos muy pequeñas esferas conductoras de idéntica naturaleza y dimensión, se encuentran separadas por una distancia H, y están dentro de un tubo vertical no conductor sin roce, la esferita superior (1) esta inicialmente descargada y la otra (2) tiene una carga total  Qo y está fija al fondo del tubo (ver figura); al dejarse caer (1) desde el reposo ésta entra en contacto con (2) y se adhiere a ésta por un tiempo después del cual la repulsión entre las esferas es máxima y logran separarse, impulsándose la primera esfera hacia arriba y logra detenerse momentáneamente a una distancia H/2 de la superficie de la primera; encuentre cual es el valor de la rapidez con la que (1) comienza a subir después de su choque con (2). Datos: Q o  1 x10 16 C R  0,05m m  1 x10 3 Kg H  1m

Esfera 1 Esfera 1 H

H/2 Esfera 2

Esfera 2 Situación Inicial (B)

Q1  Q 2 

QA 2

Situación Final (A)

En el sistema se conserva la energía mecánica E MA  E MB

U g  U C A  K B  U CB

19

2

U CB

 Qo    Ke 1 2   2 2R

2

H U g  mg   2

U CA

2

 Qo    Ke 1  2   2 H  2R   2  

2

 Qo   Qo      Ke  2  1  H  Ke  2  2 mg     m .V B 2  2 2R 2 H  2   2R   2  

VB

2

VB

2

2    Qo  Ke    2 1  2  2      mg . H   2 R  R   2 R   . m 2     



 9 x10 9 1 x10  16 3  1 x10 .10.1  8 

V B  4,47 m



2

2  1 1  2   20 m 2  0,1  1 0,1   3 s    1 x10

s

EJERCICIOS PROPUESTOS :

1.- Desde el vértice A de la pirámide de base cuadrada, mostrada en la figura, se suelta un electrón a partir del reposo. Con la información geométrica y demás datos que allí aparecen, con Q > q, determine: a) La velocidad con la que el electrón pasa por el punto situado entre las



 



4ek e q 2 2 Q 2 2 ) a .m b) El trabajo realizado por el sistema. (Tome carga del electrón = e y masa del mismo = me)

cuatro cargas. (Resp. V 

2.- Una carga puntual Q1 = 6e está fija en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares, otra carga Q2 = -10e está fija en la coordenada (9,60 ; 0) m. El lugar geométrico de todos los puntos en el plano “xy” cuyo potencial es igual a cero, es un círculo centrado en el eje “x”, como se muestra en la fig. Halle: a) La ubicación XC del centro del circulo (Resp. -5,4 ηm) b) El radio del circulo (Resp. 9 ηm)

y

V=0 R

F



XC

XF 

Q1

P

 XP 

Q2

x

20

3.- En el diagrama se presentan varias superficies equipotenciales en una cierta región. Se lanza un protón en la dirección indicada de modo que cuando pasa por el punto A lleva una energía cinética de 10 eV. Cuando el electrón alcanza el punto B ¿Qué energía cinética posee la partícula?

A

B

6v 4v 2v 0v -2v -4v

4.- Se tiene un sistema de dos cargas puntuales que conforman un dipolo eléctrico 2 Ke qa a) El potencial en el punto P es: a x2  a2 b) Partiendo del potencial obtenido anteriormente, encuentre al -q campo eléctrico para puntos x muy alejados, es decir cuando x >> a q 5.- Determinar la energía necesaria para configurar las cargas en el arreglo que muestra la figura, sabiendo que: a = 0, 20m, b = 0,40m y q = 6,00 c (Resp. – 3,97 J).

a

P +q

x

-2q

a

b

2q

3q

q

6.- Una carga puntual q1 = 2,40 μC, se encuentra en reposo en el origen de un marco de referencia. Luego, una segunda carga puntual de -4,30 μC se desplaza de la posición PA: (0,15; 0) m a PB: (0,25; 0,25). Hallar el trabajo realizado por la fuerza eléctrica sobre q2. (Resp. - 0,36 J). 7.- En el origen de un marco de referencia se mantiene en reposo una carga puntual Q1 = 4,60 μC. Posteriormente se ubica una segunda carga Q2 = 1,20 μC de masa 2,80x10-4 kg en la posición P:(0,25; 0) m, manteniéndose en reposo. Determinar: a) La energía potencial del sistema (Resp. 0,20 J) b) La rapidez de la Q2 cuando se encuentra a una distancia del origen sobre el eje “X” de: 0,50 m; 50,00 m (Resp. 26,6 m/s y 2,66 m/s) σ+

8.- Un péndulo simple se ubica entre dos placas de material no conductor. La masa del péndulo es de 1,50 g posee una carga de 8,90x10-6 C. Las placas + tiene densidad de carga superficial σ y σ . Encontrar la densidad superficial de carga de una de ellas, para que el péndulo forme 30° con la vertical y la diferencia de potencial entre las placas. (Resp. – 24,22 V, 8,66x10-9 C/m2)

σ30°

5,00 cm

9.- En una región del espacio actúa un campo eléctrico uniforme. Al trasladar una carga de 0,5 C desde el punto hasta el punto , la fuerza eléctrica realiza un trabajo de -250 J. Si al punto A se le asigna un potencial eléctrico de 40 V, calcula el potencial del punto B y la componente del campo eléctrico en la dirección del eje X. 10.- Un electrón que tiene una energía cinética de 250 eV. Recorre sin desviarse de su trayectoria dentro un campo eléctrico uniforme, una distancia de 15 cm. Si la velocidad del electrón a la salida del campo eléctrico es igual a la mitad de la velocidad con la que accede al campo, Calcula: la velocidad inicial del electrón, la variación que experimenta su energía cinética expresada en eV y la expresión vectorial del campo eléctrico atravesado. 21

11.- Hallar la rapidez de un electrón y un protón que inicialmente se encuentran en reposo y son acelerados cuando se someten a una diferencia de potencial de 120 v. (Resp. 6,49x106 m/s, 1,52x105 m/s) 12.- Se tienen dos esferas muy alejadas, de R1=1,0 cm y R2= 2,0 cm. Antes de conectar las esferas con un alambre delgado, se comunicó a la esfera R1 una carga de 2,0x10-1 C, permaneciendo la esfera de R2 descargada. Calcúlese: a) La carga de cada una de las esferas después de conectarse. (Resp.- q1= 2 x10-1 C y q2= 4 x10-1 C) 3 3 b) La densidad superficial de cada una. (Resp. σ1 = 53,04 C/m2 y σ2 = 26,52 C/m2) c) El potencial de cada esfera. (Resp. V1 = 6x1010 voltios y V2 = 6x1010 voltios) rC

13.- Un contador Geiger tiene un cilindro metálico de 1x10-2 m de radio, a lo largo de cuyo eje se extiende un alambre de 0.65x10-6 m de radio. Si se aplican 850v entre ellos, determine el campo eléctrico en la superficie de:

λ+ rA

a) El alambre. (Resp. E1= 1.36x108 N/C) b) El cilindro (Resp. E2= 8.82x103 N/C)

λ-

14.- Calcule la rapidez de un protón y un electrón que se aceleran desde el reposo a través de una diferencia de potencial de 120 V. (Resp. 1,52x105 m/s y 6,65x106 m/s)

15.- Considere tres cascarones esféricos, delgados y concéntricos de radio R1, R2, R3 y cargas Q1, Q2, Q3 respectivamente. Determine el campo y el potencial eléctrico en cada una de las cuatro regiones I, II, III y IV, delimitadas por las esferas.

R3 R1

(Resp. Zona I: E = 0 N/C, V = Ke(Q1/R1 + Q2/R2 + Q3/R3)

I

R2

II 2

III

Zona II: Para R1 < r < R2 E = Ke Q1/ r , V = Ke(Q1/r + Q2/R2 + Q3/R3) IV

Zona III: Para R2 < r < R3E = Ke (Q1+ Q2)/ r2, V = Ke ((Q1+ Q2) /r)+ KQ3/R3 Zona IV: Para r > R3 E = Ke (Q1+ Q2+ Q3)/ r2, V = Ke/ r (Q1+ Q2 +Q3)

·

·

·

·

q+

16.- Obtenga una expresión para la energía potencial eléctrica para la configuración de las cuatro cargas mostradas en la figura. Cada lado del Ke q2 cuadrado tiene longitud “a” (Resp. 24 ) a





-

q

q

q+

17.- En un acelerador nuclear, una partícula  (2e+) se mueve desde un terminal de potencial VA= 6.25x106 V, a otro de potencial VB = 0 V. a) ¿Cuál es el cambio correspondiente a la energía potencial del sistema? (Resp. U = -2.08x10-12 J) 22

b) Suponiendo que los terminales y sus cargas no se mueven y que ninguna fuerza externa actúa sobre el sistema. ¿Cuál es el cambio en la energía cinética de las partículas? (Resp. Ec = 2.08x10-12 J) 18.- Una esfera metálica cargado de radio 16.2m, tiene una carga negativa de 31.5 ηC a) Hallar el potencial eléctrico en la superficie esférica (Resp. V = 1750 V) b) ¿A qué distancia de la superficie de la esfera ha decrecido el potencial en 550 V (Resp. R =7.43 cm) 19.- Determine la diferencia de potencial entre dos cascarones esféricos metálicos delgados concéntricos con cargas Q, q y radios R y r, respectivamente. (Resp. VR – Vr = 1/4πє0 [(Q/R) – (q/r)]) 20.- Dos esferas conductoras de radios R1 y R2 se cargan individualmente, de tal manera que su potencial es V0. Luego estas esferas se conectan mediante un alambre conductor.¿ Qué carga final adquiere la esfera de radio R2 ? (Resp. q 2  V 0 . R 2 )

R1

R 2

Ke

-Q

21.- Las cargas puntuales de la figura están ubicadas en las vértices de un triangula equilátero de lado L.  ke Q 2 a) Calcular la energía de ésta configuración (Resp. U  ) L b) Calcular el trabajo necesario para llevar la carga puntual (-Q) hasta el  k e .Q 2 centro del triángulo (Resp. W  32 ) L



-2Q



22.- Las cargas puntuales de la figura están ubicadas en los vértices de un triangulo equilátero de lado L. a) Calcular la energía de esta configuración. b) Calcular el trabajo necesario para llevar la carga puntual (-Q) Hasta el 3.ke .Q 2 centro del triangulo. ( Resp. W  . 3 1 ) L



Q



B

-Q

L

L -Q 30°

A a

L

2

p c d

2a

23.- Dos conductores esféricos de radios R1=0,15 cm y R2=0,23 cm están separados por una distancia suficientemente grande para ser despreciables los efectos de inducción. Las esferas están conectadas por un alambre conductor delgado y se llevan al mismo potencial de 900 V relativo a v=0 en r=. a) Si la carga total inicial la tenía la esfera de radio R1 y la otra esfera estaba eléctricamente neutra, antes de unirse ambas por medio del hilo conductor. ¿A qué potencial estaba sometida la esfera de radio R1 inicialmente?(Resp. 2.280 v) b) ¿Cuál es la proporción de la carga Q1 / Q2? (Resp. 0.652) 24.- Una esfera metálica de radio 80cm, tiene un potencial eléctrico de 6000 V y se va a conectar mediante un largo alambre de cobre (muy fino) a otra esfera también conductora, que tiene un radio de 2mm y está a un potencial de 12000v. Calcule la densidad de carga superficial de cada esfera una vez que se conectan. (Resp. σa ≈ 6,96 x 10 -9 c/m2 ; σb ≈ 5,57 x 10 -9 c/m2) 23

-Q

25.- Cuatro cargas positivas “+Q” y cuatro cargas negativas “-Q”, se disponen alternadamenmte en las esquinas de un cubo de lado “d”, como se muestra en la figura. +Q La energía potencial eléctrica de este arreglo es: ( Resp.-

+Q -Q

+Q

)

-Q

-Q

26.- Se muestran dos cargas puntuales (q), idénticas, positivas, cada una de 20ηC. Un cuerpo cargado con 1C, se coloca (en reposo) en el punto A, dentro de un tubo vertical muy largo y estrecho. Entonces se observa que el cuerpo pasa por el punto B con una energía cinética de 25J. Se quiere determinar si las paredes del tubo ejercen fuerza de roce sobre el cuerpo cargado, y de ser así cuál es su valor del trabajo realizado por ésta fuerza. Razone su respuesta. Datos: Distancia q – O: 5m, distancia O – A: 1m, distancia O – B: 7m. (Resp. Las paredes del tubo, si ejercen fricción. - 3,8 joul)

q

5m

+Q

q

5m

O 1m A

7m

7m

B

27.- Un cascarón esférico aislado, delgado y conductor, se carga uniformemente. Determine el trabajo que debe realizarse para trasladar una carga puntual de 6 C entre los puntos A y B. Sabiendo que: Radio de la esfera = 20cm. Distancia OB = 40 cm. Distancia OA = 25 cm. σ (densidad de carga) = 120 µC/mm2 11 (Resp.- W AB ≈ -1,36 x 10 J)

.

y(m) 4

28.- Considere el campo eléctrico E(r) = 2(x + y) i + 2(x – y) j. Encuentre: el potencial eléctrico V en el punto P = (3,3) siguiendo la trayectoria indicada en la figura. Tomando V = 0 en el punto O = (0,0). Verifique que el resultado es el mismo para cualquier otro camino que siga para pasar de O a P (Resp. -18v)

P

3 2 1

x(m) 2

1

3

4

5

29.- Un triángulo equilátero de lado a tiene tres cargas puntuales q > 0 ubicadas en reposo en cada uno de sus vértices. Determine la energía cinética final de cada una de ellas si se las libera: a) Una a una, esperando cada vez que la carga precedente se haya alejado mucho.(Resp. KC=2KB y KA=0) b) Todas juntas.(Resp. K= 1/3 U) z 30.- Considere el campo eléctrico E(r) = є0 / L (x i + y j). Encuentre el potencial eléctrico V en el punto P (L, L, L) siguiendo la trayectoria indicada en la figura, tomando V = 0 en el punto O = (0, 0, 0). Verifique que el resultado es el mismo para cualquier otro camino que siga para pasar de O a P. (Resp. -є0L) -19

-27

L

●P O

y

L y(m)

x

31.- Un protón de carga e = 1,6x10 C y masa m = 1,67x10 Kg. pasa por un punto P con velocidad de 6 m/s, dirigiéndose hacia el punto O equidistante de otros dos puntos fijos en los puntos A y B. Siendo la distancia OA = OB = 5 cm., y la distancia OP = 1m, calcular: a) La velocidad del primer protón al pasar por el punto O. (Resp.  5,07 ˆjm / s )

L

P

A

O

x(cm) B

24

b) La posición en la cual el primer protón sufre máxima desaceleración. (Resp. 3,54 ˆj m) 32.- En una región del espacio está definido un potencial eléctrico dado por la función: V(Z) = V0– [Ke 60] Z3 , siendo Ke una constante y 0 la permitividad eléctrica del vació. a) Determine el campo eléctrico en ese región del espacio.(Resp.

 KeZ 2 ˆ k) 2 0

L L

L

b) ¿Cuánta carga hay encerrada en el cubo del lado L que se muestra en la figura? (Resp.

K e L4 ) 2

33.- Sobre cierta región del espacio, el potencial eléctrico es V = 5x - 3x2y + 2yz2. Encuentre: a) Las expresiones para las componentes x, y y z del campo eléctrico sobre esa región. (Resp. 6 xy  5iˆ  3 x 2  2 z 2  ˆj  4 yzkˆ ) b) La magnitud del campo en el punto P, el cual tiene coordenadas (1, 0, -2) m. (Resp. 7,07 V/m)





34.- Cuando una esfera conductora descargada de radio a se coloca en el origen de un sistema de coordenadas xyz que está en un campo eléctrico inicialmente uniforme E = E0 kˆ , el potencial eléctrico resultante es V(x, y, z) = E 0 z 

E0a 3 z

x

2

 y2  z2



3

para los puntos afuera de la esfera, donde V0 es el potencial eléctrico (constante)

2

en el conductor. Utilice esta ecuación para determinar las componentes x, y y z del campo eléctrico resultante. 35.- En una región del espacio, el potencial eléctrico se describe por la función;

. El

vector campo eléctrico en esa misma región es: 36.- En una región del espacio, el potencial eléctrico se describe por la función; Donde R;  y 0 son constantes. El campo eléctrico en esa misma región es: 37.- Una carga q se distribuye uniformemente en un volumen esférico no conductor de radio R. a) Demuestre que el potencial a una distancia r del centro, siendo r < R , está dado por la siguiente expresión: Vr = q (3R2 – r2) 8π ɛ0 R3

b) ¿Es razonable que, de acuerdo con esta expresión, V no sea cero en el centro de la esfera? +

38.- Sean dos discos de radio R, cuyos ejes coinciden y están separados por una distancia a. Los anillos tienen cargas iguales y opuestas Q. ¿Cuál es la diferencia de potencial entre los centros de los anillos? (Resp. VA – VB = 2 Ke Q (1 – (1/ 1+(a/R)2)1/2) R

-

Q

Q

R

R

A

B

a

25

39- Exprese el valor del potencial electrostático en la superficie exterior de una corteza cilíndrica de longitud infinita y de radios “a” y “2a” que lleva una carga eléctrica distribuida según la relación: ρ(r) = 2ρo( 1- a/r), donde r es la distancia al eje de la corteza. Tome V = ln2 en el eje de la corteza. (Resp. V 2 a  ln 2 

 0a 2 0

 ln 2  

1 ) 2 

40.-Dos hilos de longitud “L” y carga “Q” están ubicados ortogonalmente entre sí, como se muestra en la figura. Determine en el punto “P” señalado en el diagrama: a) El vector campo eléctrico y el potencial eléctrico. b) Si se trae desde el infinito una carga “-q” y se coloca en el punto “P”. ¿Cuál es la variación de la energía potencial respecto al infinito?.

P L/2

L

Suponga que el cero de potencial se escoge en el infinito.  kQ 5 k Q  1 5  (Resp.- a) E RP  e 2 2iˆ  5 ˆj ; V P  e ln ( 2  5 ).( ) 2L  2 10 L  k Qq  7  3 5  b) U  e ln   2L 2  





41.- Una esfera dieléctrica maciza de radio “R” y carga “-2Q0”, está rodeada por un cascarón metálico, de radio interior “R” y radio exterior “2R”. El cascarón metálico tiene una carga neta de “Q0”. La densidad de carga volumétrica de la esfera maciza está dada por la expresión:

Donde “” es una constante. Determine: a) La constante “” en función de “R” y “Q0”. b) La magnitud del campo eléctrico en todo el espacio c) El potencial eléctrico en todo el espacio, tomando el cero del potencial en el centro de la esfera maciza, es decir, en r = 0 d) Las densidades de carga en la superficie interna y la externa del conductor. e)  2Q 0 (Resp.- a)   ; R 4 Q0 Q 0 .r 2 N b) para r ˂ R E  ; para R ˂ r ˂ 2R E  0 ; para r ˃ 2R E  4 C 2 0 . R 4 0 .r 2 Q0 Q0 Q0 6 R  r  c) parar ˂ R V R  ; para R ˂ r ˂ 2R V2 R  ; para r ˃ 2R V R  6 0 . R 6 0 . R 24 0 . R.r Q0  Q0 d)  int  ;  ext  2 2R 16R 2 26

42.- Un disco de espesor despreciable y radio b presenta un hueco concéntrico de radio a. Una carga Q se encuentra distribuida uniformemente en toda su superficie. Calcule: a) El campo eléctrico que el disco genera en un punto p de su eje de simetría.  K .  1 1  ) (Resp. E p  e   2 0  ( y 2  a 2 ) 1 2 ( y 2  b 2 ) 1 2   

y

b) La velocidad y la aceleración que experimenta una partícula, de carga q y masa m, cuando se coloca en un punto “y” de “p”.     K e .  1 1 1 1 2     g ; v  6 x10   (Resp. a   1 1 1  2 0 m  ( y 2  a 2 ) 2 ( y 2  b 2 ) 2   2 0 m ( y 2  a 2 ) 2 ( y 2  b 2 ) 1 2    

43.- Sean tres planos paralelos cargados y dispuestos como se ilustra en la figura. Siendo las distancias a = 0,5m y b = 0,3m. Por otro   E a  300 i N , lado se tiene que C   E b  200 i N y el plano C está conectado a C tierra y su potencial es cero. ¿Cuál es la diferencia de potencial, en cada uno de los casos?

A

 g )  

C

B

a

   

b Conexión a tierra

a) Va - Vb ( Resp. 50 v) b) Vc – Vb ( Resp. - 400 v) 44.- Una delgada hoja de papel tiene una carga “Q” distribuida uniformemente sobre su superficie. La hoja está cortada en forma de arandela circular como se muestra en la figura (radio interior “R” y radio exterior “2R”). Calcule: a) El vector campo eléctrico y el potencial eléctrico en los puntos A y P, que están sobre su eje y separados una distancia “x” como se muestra en la figura.

2R

R

A x

P

b) La diferencia de potencial del punto P respecto el punto A. 1  2   2 2 2  x  4 R 2    x  R    1      2 EP  x  x  R 2 2   x 2  4 R 2 2 0   1    2 2 2      x 2 x  4 R b) V P  V A   2 0   

Resp.- a) V P 

 2 0

  .R   ; V A  2 0  1    N 2  x   ˆ ; E P  0 C xˆ  1    R 2 2   R   























1 2



27

45.- Considere un disco de radio b, con espesor despreciable que posee una carga q, uniformemente distribuida, se requiere que usted: a) Demuestre que el potencial eléctrico en un punto P, sobre el eje perpendicular a la cara del disco es dado por:

b) En base a su resultado obtenido en (a), demuestre que el campo eléctrico cuando z >> R, puede expresarse de la forma: 46.- Dos hilos de longitud “2L” y carga “Q” están ubicados ortogonalmente entre sí, como se muestra en la figura. Determine en el punto “P” señalado en el diagrama:

en un punto z, sobre el eje,

L

.

2  1 5   Ke . Q a) El potencial eléctrico. (Resp.  )  Ln  2  5 *  2L 2      



P

L

Q1



2L

b) Si se trae desde el infinito una carga “-q” y se coloca en el punto “P” ¿Cuál es la variación de la energía potencial 7  3 5  Ke .Q .q x Ln  respecto al infinito? (Resp. ) 2L 2  

Q2

47.- Una esfera de radio R tiene densidad volumétrica de carga

r  . Calcular la energía acumulada en esta configuración.  R

r   R

  o 

  o 

Las cargas puntuales de la figura están ubicadas en los vértices de un

 . o . R 5 ) 7. o 2

triangulo (Resp. U 

Sup. Gaussiana

48.- Una corteza esférica (esfera hueca) de radios “a” y “2a” lleva carga eléctrica distribuida como  r    0

a2 . Donde  0 es una constante positiva y r es la distancia de cualquier r2

2a

a

punto al centro de la corteza. Determinar la expresión para el potencial eléctrico en el centro

 0a 2 ln 2 ) de la corteza. ( Resp.- V  0 49.- Un disco de espesor despreciable y radio “b” presenta un hueco concéntrico de radio “a”. una carga Q se encuentra distribuida uniformemente en toda su superficie. Calcule a) El potencial eléctrico que el disco genera en un punto “p” de su eje de simetría. b) La velocidad con que debería lanzarse una partícula, de carga “q” y masa “m”, desde el infinito para que llegue con velocidad nula al centro del disco.(Resp. V 

q . .b  a  ) m . 0

d

z

z

p

y x

a

b r

dy

28