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POTENCIAL ELÉCTRICO TEMA III Mgr. Iván Ruiz U.

OPERADORES Un operador, es un símbolo matemático que carece de significado, pero, cuando actúa sobre alguna función matemática, da como resultado una magnitud física medible. Los operadores forman un espacio vectorial. Ejemplos básicos de operadores:

OPERADOR DERIVADA Definida por la expresión:

d D dx Si este operador actúa sobre una función magnitud: Dy

y  f ( x) da la

Esta magnitud es la derivada de la función y(x) , que da la pendiente de la recta tangente a la curva.

I. Ruiz

OPERADORES NABLA Esta definida por la expresión: 

   ux  u y  uz x y z

Este operador es de naturaleza vectorial y es una generalización del operador derivada D. Este operador actúa sobre dos tipos de funciones: i) Función escalar:

w  f ( x, y, z )

Donde las coordenadas (x, y, z) representan un punto del espacio. Esta función define un Campo Escalar, que asocia a cada punto del espacio una magnitud física escalar w. ii) Función vectorial

w  f ( x, y, z )

Donde las coordenadas (x, y, z) representan un punto del espacio. Esta función define un Campo Vectorial, que asocia a cada punto del espacio una magnitud física vectorial w I. Ruiz

GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN Es la magnitud vectorial definida por la expresión: w w w w  ux  uy  uz x y z Donde: w  f ( x, y, z ) El gradiente, es un vector que da la dirección de máximo crecimiento de la función. Por ejemplo:

z  f ( x, y) Representa una superficie, su gradiente es el vector en el Plano XY, dada por: z z z  u x  u y x y I. Ruiz

GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN El campo eléctrico considera la siguiente identidad: 1 (r  r ')   3 r r ' r r ' Demostración: Considera: r  xux  y u y  z uz r '  x ' ux  y ' u y  z ' uz

r  r '  ( x  x ') ux  ( y  y ') u y  ( z  z ') uz 2 1/2

r  r '  ( x  x ')  ( y  y ')  ( z  z ')  Se considera el cambio de variable: 1/2 2 2 2 r  r '  D D  ( x  x ')  ( y  y ')  ( z  z ') 2

2

El gradiente: 1/2 1/2 1/2 1  D  D  D   D 1/2  ux  uy  uz r r ' x y z

I. Ruiz

GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN Derivando cada componente:  D 1/2 1 dD 1 ( x  x ')   D 3/2   D 3/2 2( x  x ')   3 x 2 dx 2 r r '

De la misma manera se obtiene:  D 1/2 ( y  y ')  3 y r r '

Por tanto:

 D 1/2 ( z  z ')  3 z r r '

1 ( x  x ') ( y  y ') ( z  z ')   u  u  u 3 x 3 y 3 z r r ' r r ' r r ' r r '

De la cual se concluye: 

1 (r  r ')  3 r r ' r r ' I. Ruiz

POTENCIAL ELÉCTRICO PARA SISTEMAS DISCRETOS Se considera las formulas de campo eléctrico para sistemas discretos y la identidad: N

EK i 1

q 'i (r  r 'i ) r  r 'i



3

1 (r  r ')  3 r r ' r r '

Las cuales permiten escribir: N

EK i 1

q 'i (r  r 'i ) r  r 'i

3

 N q 'i  1  K  q 'i (1)    K   r  ri ' i 1  i 1 r  ri '  N

Porque, la sumatoria actúa sobre la variable i y el operador nabla sale de la sumatoria. Definición El potencial eléctrico en el punto r , generado por un sistema discreto de cargas, esta definido por la expresión: N

 (r )  K  i 1

q 'i r  ri ' I. Ruiz

POTENCIAL ELÉCTRICO PARA SISTEMAS DISCRETOS El potencial eléctrico: N q 'i  (r )  K  i 1

r  ri '

Es la magnitud física escalar que mide la energía potencial eléctrica por unidad de carga, definida en todos los puntos del espacio, y generado por una distribución de carga. La unidad en el S. I. del potencial eléctrico es el voltio v Por la expresión desarrollara líneas arriba, el campo eléctrico esta relacionado con el potencial eléctrico por la expresión: E   (r )

Esta ecuación permite calcular el Campo Eléctrico a partir del potencial eléctrico. I. Ruiz

POTENCIAL ELÉCTRICO PARA SISTEMAS CONTINUOS De la misma manera, se considera las formulas de campo eléctrico para sistemas continuos y la identidad: 1 (r  r ') dq '(r  r ')   E  K 3 3 r r ' r r ' r r ' Las cuales permiten escribir: E  K

dq '(r  r ') r r '

3

 1 dq '   K  dq '(1)    K   r r ' r r '  

Porque, la integral actúa sobre la variable q’ y el operador nabla sale de la integral. Definición El potencial eléctrico en el punto r , generado por un sistema continuo de cargas, esta definido por la expresión:  (r )  K 

dq ' r r ' I. Ruiz

POTENCIAL ELÉCTRICO PARA SISTEMAS DISCRETOS El potencial eléctrico:  (r )  K 

dq ' r r '

Es la magnitud física escalar que mide la energía potencial eléctrica por unidad de carga, definida en todos los puntos del espacio, y generado por una distribución de carga. La unidad en el S. I. del potencial eléctrico es el voltio v Por la expresión desarrollara líneas arriba, el campo eléctrico esta relacionado con el potencial eléctrico por la expresión: E   (r )

Esta ecuación permite calcular el Campo Eléctrico a partir del potencial eléctrico. I. Ruiz

INTERPRETACIÓN FÍSICA DEL POTENCIAL ELÉCTRICO Se considera una región del espacio donde esta definido un campo eléctrico. Se desea determinar el trabajo mecánico que realiza una fuerza externa sobre una partícula cargada, para moverlo desde el punto inicial A hasta el final B, sin un cambio de su rapidez. Si la rapidez es constante se cumple:

Fext   F

ó

Fext  q E

El trabajo de la fuerza eléctrica esta dada por: B

B

B

A

A

A

W   F  d r   q E  d r  q     d r I. Ruiz

INTERPRETACIÓN FÍSICA DEL POTENCIAL ELÉCTRICO Considerando las expresiones:      ux  uy  uz x

y

Su producto escalar es:

d r  d xux  d y u y  d z uz

z

     d r  dx dy dz x y z

Como el potencial es una función:    ( x, y, z ) , su diferencial es:    d  dx dy dz x

y

z

El trabajo de la fuerza eléctrica esta dada por: B

B

A

A

W   q E  d r  q     d r  [q  ( B )  q  ( A)] El trabajo de la fuerza eléctrica esta dada por:

W  q  ( A)  q  ( B) I. Ruiz

INTERPRETACIÓN FÍSICA DEL POTENCIAL ELÉCTRICO Se observa que esta integral no depende del camino, por tanto la fuerza eléctrica es conservativa. Considerando que:

Fext   F

El trabajo de la fuerza externa esta dada por: B

B

B

A

A

A

Wext   Fext  d r    F  d r  (1)  q     d r  (1)[q  ( A)  q  ( B)] Finalmente, el trabajo de la fuerza externa esta dada por:

Wext  q  ( B)  q  ( A)

I. Ruiz

ENERGÍA ELÉCTRICA Recordando del curso de mecánica: Si una fuerza es conservativa (su trabajo mecánico no depende del camino seguido, solo depende del punto inicial y final), entonces: i) Esta fuerza es derivable de una función escalar, llamada energía potencial. F  EP ii) Su trabajo mecánico es igual a la diferencia de potencial. B

W   F  d r  E p ( A)  E p ( B) A

Como el trabajo de la fuerza eléctrica no depende del camino se puede concluir que: B

B

A

A

W   F  d r   q E  d r  q  ( A)  q  ( B)  E p ( A)  E p ( B) I. Ruiz

ENERGÍA ELÉCTRICA De cuya ecuación se puede concluir:

Definición Si una partícula carga q se halla ubicada en un punto del espacio donde esta definido el potencial eléctrico , la energía eléctrica de esta partícula cargada esta definida por la expresión: EP  q  La unidad de la energía eléctrica en el S.I. es el J = C v Otra unidad es el electrón volt (ev) definida como la energía de un electrón en un punto donde se tiene 1 v, 1 ev = 1.60x10-19 J. El potencia también se puede escribir en la forma: EP  q Por tanto el potencial, es la magnitud escalar que mide la energía eléctrica por unidad de carga. I. Ruiz

ENERGÍA ELÉCTRICA DE UN SISTEMA DISCRETO DE CARGAS Toda distribución discreta de carga tiene asociada una energía potencial eléctrica, por cuanto, para formar esta estructura se debe realizar un trabajo mecánico que venzan las fuerzas eléctricas atractivas o repulsivas que las mismas cargas ejercen en el resto de las cargas. Para calcular esta energía, se utiliza la formula de la energía potencial interna de un sistema N partículas, dada por:

EP 



EP , i j

Pares de particulas

Por ejemplo, si fueran 4 partículas, la energía potencial será:

EP  EP,12  EP,13  EP,14  EP,23  EP,24  EP,34 I. Ruiz

ENERGÍA ELÉCTRICA DE UN SISTEMA DISCRETO DE CARGAS Esta ecuación se puede escribir en la forma: 1  EP ,12  EP,13  EP,14  EP,21  EP,23  EP,24   EP     2  EP ,31  EP,32  EP ,34  EP ,41  EP ,42  EP ,43  Por cuanto: EP, i j  EP, ji La energía potencial de un sistema de partículas se escribe: 1 N N EP   EP , i j   EP , i j 2 i 1 j 1 Pares de j i

particulas

El potencial eléctrico que genera la partícula i sobre la carga j:  ji K

q 'i r ' j  r 'i

La energía eléctrica del par de partículas i j: EP , i j  q ' j  j i  K

q 'i q ' j r ' j  r 'i

I. Ruiz

ENERGÍA ELÉCTRICA DE UN SISTEMA DISCRETO DE CARGAS Por tanto, la energía potencial eléctrica de un sistema discreto de partículas esta dad por la expresión:

EP  K

q 'i q ' j



Pares de carga

r ' j  r 'i

Que también se puede escribir en la forma:

1 N N q 'i q ' j EP  K  2 i 1 j 1 r ' j  r 'i j i

La energía potencial eléctrica de un sistema de partículas, también se interpretar como la energía total eléctrica de todos los puntos del espacio generado por el sistema discreto de partículas.

I. Ruiz

TEOREMA DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA DE UNA PARTÍCULA CARGADA Considerando la relación: B

B

A

A

W   F  d r   q E  d r  q  ( A)  q  ( B ) Por el teorema de conservación del trabajo energía cinética: B

B

A

A

W   F  d r   q E  d r  Ek B  Ek A Igualando ambas ecuaciones: B

B

A

A

W   F  d r   q E  d r  q  ( A)  q  ( B )  Ek B  Ek A Reordenando los términos, el teorema de conservación de la energía de una partícula cargada esta dada por:

Ek A  q  ( A)  Ek B  q  ( B) I. Ruiz

SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES Una superficie equipotencial, es una superficie en el espacio cuyos puntos tienen el mismo potencial. superficie  Constante La energía potencial de una partícula cargada en dos puntos de una superficie equipotencial es el mismo, entonces, su energía cinética en los mismos también es el mismo:

Ek A  q sup  Ek B  q sup Por tanto, se puede concluir que el trabajo mecánico de la fuerza B B eléctrica es nulo: W   F  d r   q E  d r  q sup  q sup  0 A

A

De cual se concluye que: “El campo eléctrico es perpendicular al diferencial de posición, por tanto el campo eléctrico es perpendicular a la superficie equipotencial”

I. Ruiz

PROPIEDADES DE LOS CONDUCTORES EN EQUILIBRIO ELECTROSTÁTICO i) La superficie de un conductor en equilibrio electrostático, es una superficie equipotencial .  A  B Demostración El trabajo mecánico de la fuerza eléctrica: B

B

A

A

W   F  d r  q E  d r El campo eléctrico es normal a la superficie del conductor. E  E n Por tanto, el trabajo mecánico es nulo. B B W  q  E  d r  q  E n  d s uT  0 A A Por otro lado se tiene: B W  q  E  d r  q  A  q B A

Igualando ambos ecuaciones, se concluye: q  A  q B  0  A  B

I. Ruiz

PROPIEDADES DE LOS CONDUCTORES EN EQUILIBRIO ELECTROSTÁTICO ii) La densidad de carga superficial en un conductor en equilibrio electrostático es inversamente proporcional al radio de curvatura. 1  R Demostración Considerando dos esferas conductoras cargadas. Cuando se conectan ambas esferas con un alambre conductor, ambos tienen el mismo potencial eléctrico y las cargas se redistribuyen:  ( R1 )   ( R2 )

Q El potencial eléctrico de una esfera esta dada por:   K R Igualando los potenciales eléctricos de ambas esferas: Q '1 Q '2 K K R1 R2 I. Ruiz

PROPIEDADES DE LOS CONDUCTORES EN EQUILIBRIO ELECTROSTÁTICO La carga en un conductor esférico esta dada por: Q   4  R2 Sustituyendo esta carga en la igualdad del potencial permite escribirse en la forma:  1 4  R12  2 4  R22  R1 R2

Simplificando términos comunes, se obtiene:  1 R1   2 R2 De la cual se puede concluir:

1 R2



2 R1

1  R I. Ruiz

OBSERVACIONES: El calculo del potencial eléctrico se puede realizar desde dos puntos de vista:

i) Si el potencial eléctrico en el infinito se considera nulo, por lo general, el potencial se calcula por la expresión:  (r )  K 

dq ' r r '

ii) Si el potencial eléctrico en cualquier punto tiene un valor especifico y es posible conocer el campo eléctrico de alguna forma sencilla, el potencial eléctrico se calcula resolviendo la ecuación: E   (r )

I. Ruiz