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• Julio Aguilar Chanini

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Pórticos espaciales J. T. Celigüeta

Pórtico espacial. Definición Q Q Q

Q Q

Estructura reticular. Barras rectas de sección despreciable. Cualquier orientación en el espacio. Barras unidas rígidamente en ambos extremos. X Se transmiten 3 fuerzas y 3 momentos entre el nudo y la barra X Puede haber articulaciones Cargas exteriores en cualquier dirección Deformaciones: 3 desplazamientos y 3 giros 2 kN/m

5 kN-m

10 kN 4m 2m

4m 1

4m

Condiciones de estabilidad Incógnitas= 12 b + r

Ecuaciones estática: 6n + 6b + c

A

12 b+r < 6n+6b+c

B

Isostático

Æ

12 b+r = 6n+6b+c

C

Hiperestático Æ

12 b+r > 6n+6b+c

Æ

Inestable

Además de cumplirse B o C, la disposición de las barras debe evitar toda inestabilidad local. Es posible cumplir B, y ser a la vez inestable e hiperestático Habitualmente son hiperestáticos con h muy alto

2

Ejemplos (I) a)

b)

b=8 n=8 r=24 c=0 h=24

b=7 n=8 r=17 c=1 h=10 3

Ejemplos (II) c)

d)

b=8 n=8 r=24 c=24 h=g=4

b=8 n=8 r=24 c=12 h=12 4

Barra en el espacio Y

Deformaciones de la fibra neutra:

v Y

axial u, laterales v, w, giros según X, Y, Z

uP u Z

Deformaciones de un punto P fuera de la fibra neutra:

dv dw z u P = u − θZ y + θY z = u − y − dx dx

5

Z

X

w

X

Barra en el espacio Deformación unitaria axial debida a la flexión y axial:

∂uP du d 2v d 2w εX = = − 2y− 2 z ∂x dx dx dx Y

Y

v

x

Y X

V’’

u Z

Z

6

w

du/dx

W’’ Z

X

Barra en el espacio Distribución de temperatura lineal: T = Tm + yTgy + zTgz Ecuación constitutiva lineal:

ζX = E(εX − αT ) ζX = E(u ′ − v ′ y − w ′ z − αT )

Y

Y

xy

xy

x

x x xz

Z

7

X

xz

X

Z

Barra en el espacio: esfuerzos (I) qa

N ≡ ∫ ζdA = EAu ′ − EAαTm

N

M Z ≡ −∫ ζydA = EI Z v ′′ + EI Z αTgy

MY ≡ −∫ ζzdA = EIY w ′′ + EIY αTgz

N

Y

qY

QY

MZ

MZ

QY

Z Y

QZ

MY 8

Z

QZ

X MY

qZ

Barra en el espacio: esfuerzos (II) Cortantes

QY = ∫ ηxydA

QZ = ∫ η dA xz

Momento torsor

(

Y

)

MT = ∫ ηxz y − ηxy z dA 9

Z

MT

MT

Barra a flexión en el espacio. Ecs. Equilibrio (I) a

Fuerza axial:

2 d qa = EA u dx 2

Propiedades uniformes 10

Barra a flexión en el espacio. Ecs. Equilibrio (II)

dM Z dx

Momentos s/ Z

QY = −

Fuerzas s/ Y

d 4v qY = −EI Z 4 dx

Propiedades uniformes 11

Barra a flexión en el espacio. Ecs. Equilibrio (III) Z

Z

Y Y

Z

dMY =− dx

Momentos s/ Y

Q

Fuerzas s/ Z

d 4w qZ = −EIY dx 4

Z

Propiedades uniformes 12

z

Y

Barra en el espacio: tensiones Flexión y esfuerzo axial:

N M Z y MY z ζX = − − A IZ IY

Esfuerzos cortantes:

η XY =

QY AZ I ZbZ

η XZ =

QZ AY IY bY

Torsión: según la teoría de torsión. Contribuye a las 2 tensiones cortantes τ 13

Barra en el espacio: energía Energía acumulada en toda la barra (sin energía de cortante ni torsión):

N2 dx + ∫ N αTmdx 2EA

U =∫ * b

M2

∫

∫ 2EI +

Z

Z

gy

M αT dx

dx −

Z

M2

∫ 2EI 14

∫

Y

gz

Barra en el espacio: + dxenergía − M αT dx Y

Y

15

Barra en el espacio. Torsión

M IX M JX

GJ = (ϕIX − ϕJX ) L = −M IX

UTb = ∫ 16

MT2 dx 2GJ

Rigidez a la torsión: G J / L G: módulo de elasticidad en cortadura Sección circular: J = momento de inercia polar Otras secciones: J según la teoría de la torsión

Barra en el espacio: grados de libertad ⎧⎪ δJX ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ δJY ⎪ ⎪ ⎪ δJZ ⎪ ⎪ δJ = ⎨ ⎬ ⎪ϕJX ⎪ ⎪ϕJY ⎪ ⎪ϕ ⎪ ⎩⎪ JZ ⎭⎪

⎧⎪ δIX ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ δIY ⎪ ⎪ ⎪ δIZ ⎪ ⎪ δI = ⎨ ⎬ ⎪ϕIX ⎪ ⎪ϕIY ⎪ ⎪ϕ ⎪ ⎪⎩ IZ ⎪⎭

3 desplazamientos y 3 giros en cada nudo Y

JY IY

v

IY

IZ

16

Z

u

IX

IZ

IX

JY

Y

Z

w

JX JZ

X

JX

JZ

Barra en el espacio: fuerzas en los nudos PJY MJYL P JX

PJZ MJZL PIY MIZL PIZ

MIYL PIX MIXL

⎧ P IX ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ PIY ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ PIZ ⎪ PI = ⎨⎪ ⎬⎪ ⎪⎪M IXL ⎪⎪ M ⎪ ⎪

⎧ PJX ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ PJY ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ PJZ ⎪ ⎪ ⎪⎬ PJ = ⎨ ⎪⎪M JXL ⎪⎪ ⎪M ⎪

⎪

⎪

⎪ ⎪M ⎪ ⎪⎩ IZL ⎪⎭ IYL

17

MJXL

⎪ JYL

⎪M ⎪ ⎪⎩ JZL ⎪⎭

3 fuerzas y 3 momentos en cada nudo

18

Barra en el espacio: rigidez en el sistema local ⎧⎪PIX ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎡ PIY ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪PIZ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪M IXL ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪M IYL ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ M IZL ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬=⎪ ⎪PJX ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪PJY ⎪ ⎪ ⎪P ⎪ ⎪ ⎪⎪ JZ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪M JXL ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪M JYL ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎪⎪⎩M JZL ⎪⎭

K LII

KLJI

KLIJ

KLJJ

⎤ ⎧⎪δIX ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪δIY ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪δIZ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ϕ ⎪ ⎪ ⎪⎪ IX ⎪⎪ ⎪ ⎪ϕ ⎪ ⎪ IY ⎪ ⎪⎪ϕ ⎪⎪ ⎪ ⎪ IZ ⎪ ⎪⎨ ⎬ ⎪ ⎪δJX ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪δ ⎪ ⎪ ⎪ JY ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪δJZ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ϕJX ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ϕ ⎪ ⎪⎪ ⎪ JY ⎪ ⎥ ⎪⎩⎪ϕJZ ⎪⎭

Matriz de 12 x 12. 4 submatrices de 6 x 6 4 efectos desacoplados: 2 flexiones (XY, XZ) axial (X) torsión

Se obtiene ensamblando las matrices de: - viga plana en XY (4 gdl), - viga plana en XZ (4 gdl), - barra axial (2 gdl) y - barra a torsión (2 gdl)

19

Barra en el espacio: rigidez en el sistema local ⎡ EA

⎤ 0

KLII

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎣

0

0

0

L 0

12EI z L3

0

0

0

0

0

0

0

6EI z L2

0 12EI y 3

L

0 −

6EIy L2 0

0 0

0 −

6EI y L2

Barra bi articulada

0

6EI z L2 0

GJ L

0

0

0

4EI y L

0

0

0

4EI z L

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥

Viga a flexión en plano XY Viga a flexión en plano XZ Barra a torsión pura

4 efectos desacoplados: 2 flexiones (XY, XZ) 19

axial (X)

Barra en el espacio: rigidez en el sistema torsión (Girolocal X)

20

Barra en el espacio. Ubicación en 3D (I) Sistema local de la barra conocido: Eje X local: nudo I al nudo J. Ejes Y, Z locales : ejes principales de inercia de la sección Ubicar los ejes locales respecto de los generales.

21

Barra en el espacio. Ubicación en 3D (II) Ubicar los ejes locales : tres rotaciones sucesivas α, β y ψ

YG Y YL

Z

ZL

Barra en el espacio. Ubicación en 3D (II) 21

Barra en el espacio. Ubicación en 3D (3 Método del punto auxiliar: En lugar del ángulo ψ se definen las coordenadas de un punto P cualquiera situado en el plano XL, YL. A partir de ellas es fácil determinar ψ

22

Barra en el espacio. Ubicación en 3D (4 Ángulos α, β: pueden ser calculados en función de los tres cosenos directores del eje X local (λ, μ, ν) Ángulo auxiliar ψ : su valor debe ser definido como dato por el usuario para completar la definición del sistema local ⎡ λ ⎪ ⎪ ⎪ −λμ cos ψ − ν sin ψ ⎪ T= ⎪ D ⎪ ⎪ λμ sin ψ − ν cos ψ ⎪ ⎪⎣ D

−

⎤ ⎪ ⎪ ⎪

μν cos ψ + λ sin ψ ⎪ D μν sin ψ + λ cos ψ D

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥

μ D cos ψ

−D sin ψ

ν

D = λ2 + ν 2

Nota: se produce una indeterminación si la barra es paralela al eje Y general, con lo que D=0. Se adopta un valor de ψ de 90º o 270º.

Barra en el espacio. Ubicación en 3D (5 23

Rigidez en coordenadas generales Fuerzas y momentos

Grados de libertad

{

ΔIY

ΔIZ

{

ΔJY

ΔJZ

ΔI = ΔIX ΔJ = ΔJX

θIX θJX

θIY θJY

θIZ

{

}

θJZ

FI = FIX

T

}

T

{

FJ = FJX

}

T

FIY

FIZ

M IX

M IY

M IZ

}

T

FJY

FJZ

M JX

M JY

MJZ

FJY MJY

JY JY

MJZ FJX

JZ JX

FJZ

JZ

YG

FIY

T = T KG 4 KL T4

IY

MJX

YG

JX

MIY

IY

IX

IZ

XG

ZG

IX IZ

24

MIZ

12 x 12 llena ZG

FIZ

FIX MIX

XG

Barras en el espacio con articulaciones Q

Varias situaciones: 1, 2 ó 3 momentos nulos, en 1 ó 2 nudos YL

JY IY IY

MZL=0

JY

IX IX

XL

JX JZ

IZ

ZL

Van apareciendo en la matriz de rigidez filas y columnas nulas, correspondientes a los esfuerzos anulados, hasta llegar a la barra biarticulada (sólo N). 25

JZ

JX

Barras en el espacio con articulaciones Situaciones muy complejas: El eje de la articulación no coincide con un eje principal de inercia (eje local)

Emplear un sistema local distinto en cada nudo, de tal forma que en el nudo I sea fácil definir la condición M=0. Sistema de grados de libertad “mixto” 26

Ejemplos

27

Ejemplos

28

Ejemplos

29

Ejemplos

Velódromo (Korea)

30

Ejemplos

Estadio Chunju (Corea) Torre spinnaker (Portsmouth, UK)

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