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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA “BENITO JUÁREZ” DE OAXACA

PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS DEL CURSO DE BIOESTADISTICA

PRESENTA. VALDIVIESO MÉNDEZ DAVID IRVIN

LICENCIATURA EN QFB. 3° “B”

OAXACA DE JUÁREZ

DICIEMBRE 2009

CONTENIDO

INTRODUCCION I. PROBLEMAS SOBRE LA MEDIA DE UNA POBLACION. II. LA PRUEBA DE t PARA DOS TRATAMIENTOS. III.- El diseño completamente aleatorizado IV.- El diseño en bloques completos aleatorizados V. REGRESIÓN LINEAL. VI. PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DE FRECUENCIAS IGUALMENTE ESPERADAS VII. PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE: FRECUENCIAS DESIGUALMENTE ESPERADAS VIII. PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE PARA NORMALIDAD IX. ANALISIS DE TABLAS DE CONTINGENCIA X. DEBILIDADES, DEFECTOS, Y ÁREAS A MEJORAR XI. APRECIACIONES DEL PROFESOR XII. REFLEXIONES PERSONALES XIII. BIBLIOGRAFIA

INTRODUCCION

¿Qué es una hipótesis? Enunciado acerca de un parámetro de la población, que se desarrolla con el propósito de realizar pruebas. ¿Qué es la prueba de hipótesis? Procedimiento que se basa en la evidencia de las muestras y en la teoría de la probabilidad para determinar si la hipótesis es un enunciado razonable

PROCEDIMIENTO DE CINCO PASOS PARA COMPROBAR UNA HIPOTESIS

Paso 1: Plantear una hipótesis nula y la hipótesis alternativa. Hipótesis nula (H0).-Una afirmación respecto del valor de un parámetro de una población. Hipótesis alternativa (H1).-Una afirmación que se acepta si los datos de la muestra proporcionan evidencia suficiente de que la hipótesis nula es falsa.

Paso 2: Seleccionar un nivel de significancia (α). Nivel de significancia.-La probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera. Error tipo I.-Rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera. Error tipo II.-Aceptar la hipótesis nula cuando es falsa. Paso3: Calcular el estadístico de prueba. Estadístico de prueba.-Un valor que se calcula con base en la información de la muestra, y se utiliza para determinar si se rechaza la hipótesis nula.

Paso 4: Formular la regla de decisión.

La regla de decisión establece las condiciones cuando se rechaza la hipótesis nula. Valor critico.-Punto de división entre la región en la que se rechaza la hipótesis nula y la región en la que no se rechaza. Región de rechazo.-Define la ubicación de todos aquellos valores que son tan grandes o tan pequeños que la probabilidad de que ocurran bajo una H0 verdadera es bastante remota.

Paso 5: Tomar una decisión. Consiste en tomar una decisión de rechazar o no rechazar la hipótesis nula.

EJERCICIO 1 En cada parte, enuncie la hipótesis nula (H0) y la hipótesis alternativa (Ha): a) La temperatura media en la sierra madre de Oaxaca, durante los meses de enero y febrero no es más fría que 4.4°c H0=µ4.4°c b) La edad media de los alumnos del turno vespertino de nuestra Universidad es de 24años. H0; µ=24 H1; µ≠24 c) La longitud media de los peces conservados por los pescadores en el lago Pátzcuaro, el año pasado fue de 36 cm. a. H0; =36 cm b. H1; ≠36 cm d) La proporción de recién nacidos varones en el Hospital Civil no es mayor que 0.51. H0; p≤0.51 H1; p>0.51 e) El hogar promedio en los suburbios de la ciudad de México no dista más de 8 Km. De la más próxima estación de bomberos.

H0; µ≤8 km H1; µ>8 km I. PROBLEMAS SOBRE LA MEDIA DE UNA POBLACION.

1. El nivel máximo aceptable de exposición a la radiación por microondas en estados, se ha establecido en un promedio de 10 microvatios por cm2. Se teme que un gran transmisor de televisión pueda contaminar el aire del entorno inmediato, elevando el nivel de radiación de microondas por encima del límite de seguridad. a) Construir la hipótesis nula y la hipótesis alternativa necesarias para obtener pruebas que confirmen este supuesto. H0=  ≤ 10 micro vatios Ha= µ > 10 micro vatios

b) La siguiente es una muestra aleatoria de 9 observaciones sobre X, número de micro vatios por cm2, tomadas en lugares próximos al transmisor: 9, 11, 14, 10, 10, 13, 8, 12. ¿Puede rechazarse la hipótesis nula para un nivel de significancia de 10%?

t0=n(X-μ0)s t0=9(1110)1.9364=1.5492 _

X= 11

S²= 3.25

Valor crítico= t(n-1)α= t(9-1)(0.1) = t

S=1.9364 (8)alfa 10

= 1.3968

c) ¿Qué conclusión practica puede extraerse? Debido a que el estadístico de prueba es mayor que el valor crítico (1.5492> 1.3968) entonces se rechaza la hipótesis nula con un alfa de 10%. Por lo tanto, se concluye que sí hay contaminación por radiación.

d) ¿Qué tipo de error puede ser cometido? Error tipo 2. Aceptar la hipótesis nula cuando es falsa. 1. Normalmente las hojas de la mimosa púdica son horizontales. Si se toca ligeramente una de ellas, las hojas se pliegan. Se afirma que el tiempo medio, desde el contacto hasta el cierre completo, es 2.5 segundos. Se realizó un experimento para comprobar este valor. a) Construir las hipótesis apropiadas con dos colas. H0= µ = 2.5 seg. Ha= µ ≠ 2.5 seg.

b) Determinar los puntos críticos para un α= 1 %, del contraste de hipótesis del inciso a) con base a una muestra de tamaño 10. -t(n-1) α/2= -3.2498 t(n-1) α/2= 3.2498

c) Se obtuvieron las siguientes observaciones sobre una variable X, el tiempo transcurrido entre el contacto y el cierre completo: 3.0, 2.4, 2.9, 2.5, 2.8, 2.4, 2.7, 2.6, 2.6, 2.7. ¿Puede rechazarse la hipótesis nula? Media de X= 2.66

S2= 0.0411

S= 0.2027

t0=n(X-μ0)st0=10(2.66-2.5)0.2027=2.4961 d) ¿A qué tipo de error nos arriesgamos? Error tipo I.-Rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera.

1. Los murciélagos al volar localizan un objeto solido emitiendo agudos chillidos y escuchando el eco. Se piensa que el alcance medio efectivo máximo, para este sistema de localización por eco, es de más de 6 metros. Para confirmar esta hipótesis se seleccionó una muestra aleatoria de 16 murciélagos, cada murciélago fue soltado en un área grande y cercada que contenía solo un obstáculo. Se anoto la sustancia del objeto a la que se observo que viraba el murciélago. Se repitió el experimento varias veces para cada murciélago y se determino para cada uno la distancia media del viaje. Se obtuvieron las siguientes observaciones: 6.2, 5.9, 6.8, 6.1, 6.4, 5.7, 6.0, 6.1, 6.3, 6.3, 6.2, 5.8, 5.9, 6.3, 6.1, 6.3. a) Hallar el valor de α para este conjunto de datos. La suma de las distancias 6.2,5.9,6.8,6.1,6.4,5.7,6.0,6.1,6.3,6.3,6.2,5.8,5.9,6.3,6.1,6.3= 98.4/16= 6 H0:μ < 6metros H1μ > 6metros 98.4/2 = 49.2 α estimado=5%

b) ¿Qué conclusión practica puede extraerse de estos datos? t0=√16(6. 115-16)/2658=2.2573 S2=1 15 [ (606.22)-(605.16)]=0.2658 t(15)(0.005)=1.7531 2.2573>1.7531, los datos experimentales con un α de 5% sonido de los murciélagos no es de 6 metros

c) ¿Qué tipo de error se puede estar cometiendo? Error tipo 2, no rechazar la hipótesis nula cuando es falsa.

que el

1. Uno de los efectos de DDT sobre los pájaros, es inhibir la producción de las enzimas anhidraza carbónica. Esta enzima controla el metabolismo del calcio. El resultado final, se piensa, es que las cascaras de los huevos son mucho más finas y débiles de lo normal. Para comprobar que esta teoría se realizo un estudio alimentando a los gavilanes con la mezcla de 3 ppm de dieldrina y 15 ppm de DDT. Se comparo el espesor de las cascaras con el espesor medio conocido para pájaros no afectados por el DDT. Se anoto el porcentaje de disminución de espesor en las cascaras. Una muestra aleatoria de tamaño 16 condujo a una media muestral del porcentaje de decrecimiento del 8 % con una desviación típica muestral del 5 %. a) Utiliza la información del problema para contrastar el siguiente juego de la hipótesis H0: μ ≤0 VS Ha: μ >0. Use α= 1 %. α=0.01

t0=t(15,0.01)= 2.6025

t0=n(X-

μ0)st0=16(0.68-0)0.05=6.4 Se rechaza la Ho con un α=1% porque t0 es mayor que el estadístico de prueba. b) ¿Cuál es el valor estimado de α según el contraste? α  0.0025 c) ¿Cree el lector que la teoría he sido estadísticamente comprobada? Explique su respuesta con base al valor estimado de α. No ha sido corroborada debido a que la hipotesis nula se rechaza

1. La concentración media de CO2 en el aire es de 0.035%. Se piensa que inmediatamente por encima de la superficie del suelo, dicha concentración es mayor. a) Construir H0 y la Ha que se requiere para conseguir un apoyo estadístico para este argumento. Ho: u ≤ 0.035% H1: u > 0.035%

b) Se analizaron 144 muestras de aire, seleccionadas aleatoriamente y tomadas a una distancia de un pie del suelo. Resulto una media muestral de 0.09% y una desviación típica muestral de 0.025%. ¿Cual es el valor del α estimado, según el contraste? El valor del α estimado es de 19.0228 c) ¿Piensa el lector que se ha comprobado estadísticamente el argumento establecido? Sí, porque el â estimado es mayor que el estadístico de prueba.

II. LA PRUEBA DE t PARA DOS TRATAMIENTOS.

1. Suponiendo que la varianza de los pesos de los hombres universitarios es de 400 libras y que la varianza de los pesos de las mujeres es de 144 libras, construya un intervalo de confianza del 90% para estimar la diferencia de los pesos medios. Utilice los datos del primer día: XH= 171.8

nH= 30

XM= 119.5

nM= 20

SP2=n-1Sx2+(m-1)SY2n+m-2=298.66 t0.10230+20-2=t0.0548=1.6772 L=x-y-tα2(n+m-2)Sp21n+1m=43.932 L=x-y+tα2(n+m-2)Sp21n+1m=60.667

Intervalo de confianza al 90%= [43.932,60.667]

2. Con la información del ejercicio anterior, pruebe la hipótesis de que la diferencia entre los pesos medios de los varones y las mujeres en la universidad no excede de 42 libras. Use α= 10% H0: α ≤ 42

Ha: α > 42

t(n+m-2)a= t(48)(0.1) 1.2944 t0 = X-Y-∂sp2(1n+1m)=171.8 – 119.5 - 42298.66 (130 + 120)=2.04466

Como t0 es 2.04466 > 1.2994, la H0 se rechaza

3. Estime en un intervalo de confianza del 95% la diferencia en coeficiente intelectual (CI) entre los miembros mayores y menores (hermanos y hermanas) de una familia, en base a la siguiente muestra aleatoria: MAYORES

145

133

116

128

85

100

105

150

97

110

MENORES

131

119

103

93

108

100

111

130

135

113

Enuncie los supuestos y si es necesario pruébelos.

Las medias: x = 116.9

y = 114.3

La varianza: S2x = Xi2Xin2 S2x=461.87

S2Y = Yi2Yin2 S2y=201.56

S2p=n-1S2x+m-1s2yn+m-2= 331.715 (estimador)

Los límites superior e inferior: L= x- y – tα2n+m-2 S2p 1n+1m =-14.512 L= x - y+ tα2(n+m-2)S2P 1n+1m =19.712 Intervalo de confianza [-14.512, 19.71] P(-14.512 ≤ δ ≤ 19.712)=95 Se concluye que los hermanos mayores tienen un coeficiente más alto

4. Las medias de las alturas de una muestra de 10 niñas de 12 años y de una muestra de 10 niños de 12 años son respectivamente X1= 59.8 pulgada y X2= 58.5 pulgadas. Asumiendo distribuciones normales de altura con σ1= 2 pulgadas y σ2= 3 pulgadas, encontrar: a) El intervalo de confianza del 90% para μ1-μ2

s2p=n-1s2x+(m-1)s2yn+m-2 =10-14+10-1(9)(10+102)=36+8118=11718=6.5 Ļ=Ẋ-Ȳ±s2p1n+1m tα2(n+m-2) Ḹ=59.8-58.5-6.5110+1101.7341=-0.677 Ḹ=59.8-58.5+6.5110+1101.7341=3.277 [-0.677, 3.277 ] b) El intervalo de confianza del 95% para µ1-µ2 Ḹ=59.8-58.5-6.5110+1102.1009=-1.095 Ḹ=59.8-58.5+6.5110+1102.1009=3.695 [-1.095, 3.695]

c) El intervalo de confianza del 99% para µ1-µ2 Ḹ=59.8-58.5-6.5110+1102.8784=-1.981 Ḹ=59.8-58.5+6.5110+1102.8784=4.581 [-1.981,4.581 ]

1. Las medidas de la sección transversal de los corazones de adultos hombre y mujeres dieron los siguientes resultados: Grupo

Tamaño de la muestra

x (cm)

S (cm)

Hombres

12

13.21

1.05

Mujeres

9

11.00

1.01

Asumiendo distribuciones normales con varianzas iguales, construir los intervalos de confianza del 90%, 95% y 99% para μ1-μ2

S2 p= n-1S2x+ m-1 S2 yn+m-2= = 12-11.052+ 9-1 1.012 12+9-2= 12.1275+ 8.160819= 20.288319= 1.0678

Para intervalo de confianza del 90%:

t=19∝2 = 19.102 = 19.05=1.7291(tabla t de student) L= x+y ±tα2 n+m-2s2 p 1n+1m L= 13.21+11.00+1.7291191.0678 112+19=2.99

L= 13.21+11.00-1.7291191.0678 112+19=1.42

Para intervalo de confianza del 95%:

t=19∝2 = 19.052 = 19.025=2.1009 tabla t de student L= x+y ±tα2 n+m-2s2 p 1n+1m L= 13.21+11.00+2.0930191.0678 112+19=3.16 L= 13.21+11.00-2.0930191.0678 112+19=1.25 Para intervalo de confianza del 99%: t=19∝2 = 19.012 = 19.005=2.8609 (tabla t de student) L= x+y ±tα2 n+m-2s2 p 1n+1m L= 13.21+11.00+2.8609191.0678 112+19 =0.90 L= 13.21+11.00-2.8609191.0678 112+19=3.31

2. Se examinaron dos grupos de niños en cuanto a su agudeza visual. El grupo 1 estaba compuesto por 11 niños, quienes habían sido controlados y tratados por médicos particulares, obteniéndose una media de 26 y una desviación estándar de 5. El segundo grupo compuesto por 14 niños habían recibido atención médica por instituciones del gobierno, obteniéndose una media de 21 y una desviación estándar de 6. Asumiendo distribuciones normales con 90%, 95% y 99% para μ1-μ2. Intervalo de confianza para 90% L =(1.379,8.621) Intervalo de confianza para 95% L =(0.6853,9.3147) Intervalo de confianza para 99%

L =(-0.6702,10.6702) 3. Se dividieron 70 pacientes de epilepsia en dos muestras aleatorias iguales. Al grupo A se le dio tratamiento que incluía dosis diarias de vitamina D. Al grupo B se le dio el mismo tratamiento excepto que no recibió vitamina D sino placebo en su lugar. Las medias del número de ataques experimentados durante el tratamiento por los grupos fueron: XA= 15

XB= 24

SA2= 8

SB2= 12

¿Hay suficiente evidencia que indique que la vitamina D reduce el número de ataques epilépticos? Use α= 5% H0= ∂= 0 VS Ha= ∂ ≠ 0 R= Existe evidencia de que la vitamina D reduce el número de ataques epilépticos. tO= -11.90588 t0.02568=5

tO= 4.23388 t0.05 14=2.6245 Regla de decisión: Rechazar H0 si tO≥tαn+m-2 Se rechaza la H0 con un α= 1%.

7. Encontrar el intervalo de confianza del 90% para la diferencia de las medias de los dos analistas del problema anterior, asumiendo que las varianzas son desconocidas pero iguales. R= L =(3.3853,7.529) 8. Dos analistas tomaron medidas de la dureza del agua de la ciudad al mismo tiempo y en el mismo lugar. Determine si un analista tiene tendencia a hacer mediciones más altas que el otro, usando los siguientes datos: Analista X

Analista Y

0.42

0.82

0.62

0.61

0.37

0.89

0.40

0.51

0.44

0.33

0.58

0.48

0.48

0.23

0.53

0.25 0.67 0.88

Sugerencia: pruebe primero si las varianzas son iguales o diferentes para un α= 5%

Sp2=0.03847; rechazar la H0 si ≥-2.1199 [-0.2842; 0.110227] limite de confianza al 95%

9. Pruebe con un α= 5% la hipótesis de que la media de la población A es mayor que la media de la población B, donde muestras aleatorias tomadas de cada población arrojan los siguientes estadígrafos muestrales: A X= 57.5 S= 8.2 n= 50 B

X= 54.4

S= 10.6

n= 60

Sugerencia: enuncie los supuestos y si es necesario pruébelos. t0=1.688944915 No se rechaza la hipótesis nula con un α al 5% [-0.5417; 6.7417] límite de confianza al 95% 10.Se desea comparar dos dietas. Se seleccionaron 80 individuos al azar de una población de músicos excedidos de peso 45 integrantes de este grupo recibieron la dieta A y los otros 35 la dieta B. las pérdidas de peso en libras, durante un periodo de una semana resultaron ser las siguientes: Tamaño muestral Media muestral en Varianza muestral libras Dieta A

45

10.3

7.00

Dieta B

35

7.3

3.25

a) Pruebe la hipótesis de que σA2= σB2 con un α= 10% S2p= 5.3653846 ≤=2.131270; ≤=3.868727 [2.131270;3.868729] límites de intervalo de confianza al 90% t0=5.746668134 S2p= 5.36538 ≤=2.13127088 ≤=3.86872911 b) ¿Permiten estos datos concluir que la pérdida de peso bajo la dieta A es mayor que la pérdida de peso bajo la dieta B? Use 10% de nivel de significancia.

c) Construya un intervalo de confianza del 90% para μ1-μ2. L=2.1312

1.

L=3.8687

Se seleccionaron aleatoriamente 10 automóviles para probar dos nuevas muestras de gasolina son contenido de plomo. Cada automóvil recibió una porción medida de gasolina, y fue conducido, después de lo cual se medió la distancia recorrida. La segunda mezcla se probó inmediatamente de la misma manera. El orden en que se formaron las mezclas X y Y se asigno también aleatoriamente. A continuación aparecen los resultados en Km/ L.

AUTOMÓVIL

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

MEZCLA X

7.9

5.6

9.2

6.7

8.1

7.3

8.1

5.4

6.9

6.1

MEZCLA Y

7.7

6.1

8.9

7.1

7.9

6.7

8.2

5.0

6.2

5.7

Con un α= 10%, pruebe que no hay diferencia entre las dos mezclas en lo que respecta a sus efectos sobre kilometraje. S2x=1.49122 S2y= 1.5072 S2p=1.4992 ≤= -0.76955 ≤=1.129552 [-0.76955;1.129552] límite de intervalo de confianza para 90% t0=0.32872 2. Para revisar dos basculas, se pesaron 8 muestras en cada una de ellas. ¿sugieren los resultados que existe una diferencia significativa entre ambas básculas? Use α=5%. A

10.063

8.051

9.036

9.067

3.056

5.076

5.074

2.006

B

10.063

8.050

9.033

9.062

3.060

5.070

5.070

2.000

S2p=9.98703 ≤=-3.386406 ≤=3.3916466 [-3.386406; 3.3916466] límite de intervalo de confianza al 95%

III.- EL DISEÑO COMPLETAMENTE ALEATORIZADO. 1. En un laboratorio hay muchos termómetros, los cuales se usan indistintamente para medir temperaturas. Realizar un experimento con todos los termómetros resulta costoso, por lo que se tomó una muestra de 4 de ellos para ver si hay diferencia significativa entre los termómetros. Estos fueron colocados en una célula, la cual se tiene a temperatura constante. Los datos son los siguientes en °C y se obtuvieron 3 lecturas de cada uno de ellos. 1

2

TERMÓMETROS 3

4

0.95

0.33

-2.15

1.05

1.06

-1.46

1.70

1.27

1.96

0.20

0.48

-2.05

a) b) c) d) e)

¿Quiénes son los tratamientos? Los termómetros. ¿Cuántas repeticiones tiene cada tratamiento? Tres. ¿Qué se uso como unidad experimental? La célula. ¿Cuál fue la variable respuesta? Las temperaturas. Haga una tabla de análisis de varianza F.V.

S.C.

G.L.

C.M.

F0

Tratamientos

5.21347

3

1.7378

0.8342

Erro

16.6659

8

2.0832375

Total

21.87937

11

f) ¿Son los termómetros homogéneos para un α = 5%? Como la Ho se acepta con un nivel de significancia de 0.05 (α) por lo tanto los termómetros si son homogéneos. 1. Si se sospecha que 4 maquinas llenadoras en una planta están secando productos con diferentes pesos. Se realizo un experimento para comprobarlo y los datos, en onzas, son los siguientes: Maquinas

a)

Pesos Netos

A

12.25

12.27

12.24

12.25

B

12.18

12.25

12.26

C

12.24

12.23

12.23

12.20

D

12.20

12.17

12.19

12.28

12.20

12.26

Pruebe la hipótesis de igualdad de tratamientos. Use α = 5% Ho: T1= T2 = T3 = T4

Ha: Al menos uno de los tratamientos es diferente. F.V

G.L

S.C

C.M

Fo -7.33257

Tratamiento s

3

0.027108

9.036X10-3

Error

13

-0.01602

1.2323X10 -3

Total

16

Rechaza H0 si: f0 ≥ f313(0.05)

0.01108 8

f313(0.05)= >

f0= -7.33257

b) Presente su conclusión en el contexto del problema. Se acepta la Ho. Con un nivel de significancia del 5 %(α) los tratamientos son iguales es testan arrojando pesos iguales en la maquinarias. 1. Se realizo un experimento con germinado de semillas, el cual tenía por objeto determinar el contenido de proteína de diferentes especies. El experimento se realizo con un diseño completamente al azar obteniéndose los siguientes resultados: Lenteja

Trébol

Girasol

Trigo

Maíz

Alegría

2.25

5.13

4.97

1.45

1.29

5.78

2.46

4.17

4.86

1.60

1.69

3.99

3.02

5.67

5.08

2.03

1.49

4.15

2.04

4.25

4.08

1.52

1.62

3.41

2.53

3.89

4.27

1.56

1.34

2.90

1.86

4.01

3.77

1.68

3.29

3.32

a) ¿Existen diferencias en el contenido de proteína en las diferentes especies?. Use un nivel de significancia de 5% H0: T1= T2=T3=T4=T5=T6, los germinados de diferentes semillas contienen la misma cantidad de proteínas. Ha: Al menos uno de los germinados cotntiene diferente cantidad de proteínas. F.V G.L S.C C.M Fo. tratamient o

5

2.7244133 3

0.5448826 7

erro

24

0

0

0

total

29

2.7244133 3

F524, 0.05 = 2.621 Por lo tanto no se rechaza la hipótesis nula con un α =5% a) Identifique los pares de medias, si los hay, que son diferentes entre sí.

No son homogéneos. a)

Identifique los pares de medias, si los hay, que son diferentes entre

sí. T2 = T3 = T6 T1 = T5 = T4

1. Se tratan por irradiación del tumor a 8 ratones con adenocarcinoma mamario, a razón de 667 r, 3 veces por semana. Se toma una biopsia de cada tumor a las 48 horas de cesar la radiación y se hacen recuentos mitósicos de 3 minutos en serie, con los resultados siguientes: Numero de Ratón 4 5 6

1

2

3

7

8

19

73

50

11

1

26

12

47

26

70

59

10

11

15

12

47

12

12

11

9

11 a) ¿Los tratamientos tiene el mismo número de repeticiones? No b) ¿Hay diferencia significativa entre los recuentos mitósicos medios de los distintos ratones?. Use α=5% Si hay diferencia significativa entre los recuentos micositicos en los diferentes ratones Ho: T1= T2 = T3 = T4 Ha: Al menos uno de los tratamientos es diferente F.V

G.L

S.C

C.M

F.o 57.84

Tratamientos

7

9413.5595

1344.7942

Error

13

302.25

23.25

Total

20

91715.80 95

Rechaza H 0 si: f0≥ f713(0.05) f713(0.05)= 2.832 f0= 57.84 es mayor que 2.832 por lo tanto se rechaza la hipótesis nula con un a=5%

c)

¿Parece sostenible la suposición de homogeneidad de varianzas? No porque la repetición de los tratamientos son diferentes

IV.- EL DISEÑO EN BLOQUES COMPLETOS ALEATORIZADOS. 1. Un químico se interesa por determinar los efectos de la temperatura de almacenamiento en la conservación de las manzanas. La respuesta en este estudio es el número de manzanas que se pudren después de un mes de almacenamiento. Decide usar 5 lotes de manzanas como bloques de material experimental. Escoge 120 manzanas de cada lote las divide en 4 porciones de igual tamaño y asignan los tratamientos al azar a las porciones. La variable tratamientos (temperaturas) es fija deliberadamente en los siguientes niveles: 50°F, 55°F, 60°F Y 70°F. Los resultados en números de manzanas podridas, son como sigue: Lote 50°F 55°F 60°F 70°F 1

8

5

7

10

2

14

10

3

5

3

12

8

6

5

4

9

8

5

7

5

12

9

4

8

a) ¿Son significativos los efectos de la temperatura con un α=5%? H0: T1=T2=T3=T4 HI: T1≠T2≠T3≠T4 ANALISIS DE VARIANZA F.V G.L S.C C.M F0 P>F TRATAMIENTOS

4

93.75

31.25

5.9055

0.010

BLOQUES

3

2.50

0.625

0.1181

0.971

ERROR

12

63.50

5.291667

TOTAL

19

159.7 5

C.V= 29.68% F412,0.05: 3.259 Se rechaza la H0 al menos un tratamiento (temperatura) tiene diferente efectos de almacenamiento en la conservación de manzanas b) Identifique los pares de medias, si los hay, que son significativamente entre si. No se hace comparación de medias porque no hay diferencia significativa entre tratamientos Variable: tratamientos Numero de tratamientos: 4 Numero de repeticiones: 5 Cuadrado medio del error: 5.2917 Grados de libertad del error: 12

Nivel de significacia: 0.05 Dms: 3.1702 TABLA DE MEDIAS MEDIA

TRATAMIENTO 1

11.0

2

8.0

3

5.0

4

7.0

1. Se utilizan 4 medicamentos diferentes Aj, para el tratamiento de cierta enfermedad. Estos medicamentos son ensayados en pacientes de tres diferentes hospitales. Los resultados siguientes muestran el número de casos que sean recuperado de la enfermedad por cada 100 personas que han tomado el medicamento. El diseño en bloques aleatorizados ha sido empleado para eliminar los efectos de los diferentes hospitales. Hospitales A₁ A₂ A₃ A₄ B₁

10

11

12

10

B₂

19

9

18

7

B₃

11

8

23

5

¿Son significativos los efectos de los medicamentos para un α= 1%? H0: A1=A2=A3=A4 HI: A1≠A2≠A3≠A4 F.V G.L S.C C.M F0 P>F TRATAMIENTOS

3

188.25

62.75

3.3026

0.099

BLOQUES

2

12.66

6.333313

0.3333

0.732

ERROR

6

114.0

19.0

TOTAL

11

314.916626

C.V: 36.58% F36, 0.01: 9.780 No rechazar la hipótesis nula con un nivel de significancia de 0.01 los a tratamientos, medicamentos tienen el mismo rendimiento. El mismo efecto. TABLA DE MEDIAS TRATAMIENTO

MEDIA

1

13.33

2

9.33

3

17.66

4

7.33

2. Se hizo un estudio parta determinar la cantidad de Piretrina (una sustancia química extraída de una variedad de crisantemos usada en insecticidas). Se usaron cuatro métodos de extracción y las muestras fueron obtenidas de flores conservadas en tres condiciones diferentes: flores frescas, flores secas y conservadas por un año, y flores secas y conservadas por un año pero tratadas con un conservador. Los datos (por ciento de piretrina obtenida) son los siguientes: Condiciones de conservación

A

B

C

D

1

1.35

1.13

1.06

0.98

2

1.40

1.13

1.26

1.22

3

1.49

1.46

1.40

1.35

¿Puede considerarse los métodos de extracción deferentes con un nivel de significancia del 1%? H0: A=B=C=D HI: A≠B≠C≠D ANALISIS DE VARIANZA S.C C.M

F.V

G.L

F0

P>F

TRATAMIENTOS

3

0.089558

0.029853

5.0007

0.046

BLOQUES

2

0.175716

0.087858

14.7174

0.006

ERROR

6

0.035818

0.005970

TOTAL

11

0.301092

C.V= 6.09% F36,0.01: 9.780 No se rechaza la H0, los métodos significancia de 0.01 Variable: cantidad de piretrina Numero de tratamientos: 4 Numero de repeticiones: 3 Cuadrado medio del error: 0.0060 Grados de libertad del error: 6 Nivel de significacia: 0.01 Dms: 0.2339

no son diferentes con un nivel de

TABLA DE MEDIAS MEDIA

TRATAMIENTO 1

1.413333

2

1.24

3

1.24

4

1.83333

4.- La rapidez con que sale la gasolina en tres tipos de llaves de mangueras de las gasolineras fue objeto de estudio. se seleccionaron 5 operadores de un grupo de 25 para operar las llaves. Los datos obtenidos fueron en cm3/seg los siguientes TIPO DE LLAVE OPERADORES A B C 1

96.5

96.5

97.1

2

97.4

96.1

96.4

3

96.0

97.9

95.6

4

97.8

96.3

953.7

5

97.2

96.8

97.3

a) ¿Existen diferencia significativa entre los tipos de llaves para un ∝:1%? TIPO DE LLAVE H0: A=B=C HI: A≠B≠C ANALISIS DE VARIANZA F.V G.L S.C C.M F0 P>F TRATAMIENTOS

2

0.781250

0.390625

0.5305

0.612

BLOQUES

4

0.640625

0.160156

0.2175

0.92

ERROR

8

5.890625

0.736328

TOTAL

14

7.3125

C.V= 0.89% F28,0.01: 8.649 No se rechaza la H0 las 3 variedades de las llaves tienen el mismo rendimiento. b) identifique los pares de medias, si los hay que son significativamente diferentes entre si TABLA DE MEDIAS TRATAMIENTO

MEDIA

1

96.980003

2

96.719994

3

96.4199998

No se hace comparación de medias porque no hay diferencia significativa entre tratamientos. 5.- Se desea determinar de qué manera la solubilidad del metronidazol se ve afectada por los parabenos (conservadores) y las macromoléculas no iónicas, para lo cual se realiza el siguiente experimento: se preparan 4 soluciones de macromoléculas no iónicas diferentes y se coloca cada una en tres conservadores; luego se determinan las solubilidades de cada una de las macromoléculas, obteniéndose los siguientes resultados: Macromoléculas No Iónica Myrj52 Pluronic F-68 Tween 80

Conservadores

Peg 4000

Metilparabeno

146

107

158

107

Etilparabeno

199

114

310

104

Propilparabeno

364

115

781

108

Haga una tabla de análisis de varianza y determine si existe diferencia significativamente entre los conservadores con ∝:5% H0: metilparabeno= etilparabeno= propilparabeno Hi: metilparabeno ≠ etilparabeno ≠ propilparabeno Analisis de varianza S.C C.M

F.V

G.L

F0

P>F

Tratamientos

3

98088.50

4404.25

2.1195

0.201

Bloques

2

190132.25

63377.41796 9

2.7390

0.130

Error

6

138835.50

23139.25

Total

11

427056.25

C.V= 69.86% F36,0.05: 4.757 No se rechaza la hipotesis nula, no hay diferencia entre los conservadores con un nivel de significancia de 0.05. TRATAMIENTO

Tabla De Medias MEDIA

1

129.5

2

181.75

3

342.00

6.- Un analista de un laboratorio farmacéutico necesita decidir si es necesario agregar o no conservador a una solución de acacia al 25%. Ella sabe que si no cambia el pH de la solución después de agregar el conservador, no es necesario agregar mas de este; por lo que se decide realiza el siguiente experimento: prepara una solución de acacia al 25% y la divide en 4 porciones. Cada porción estará en almacenamiento durante un tiempo definido; después de ese tiempo se tomaran 6 muestras; a cada una de ella se le agregara un conservador excepto a una. Luego se mide el pH de la muestra, obteniéndose los siguientes resultados. Tiempo de almacenamiento 0 días 1 semana 2 semanas

Conservador

6 semanas

Ninguno

4.80

4.78

4.60

4.30

Acido benzoico

4.72

4.70

4.48

4.47

Propilparabeno

4.79

4.60

4.65

4.35

Metilparabeno

4.79

4.70

4.70

4.25

Clorobutanol

4.80

4.78

4.62

4.34

Cloruro de benzalconio

4.79

4.75

4.70

4.30

La química de este laboratorio farmacéutico no sabe como analizar los resultados, ¿De qué manera le ayudaría usted? Se podría utilizar la tabla del análisis de varianza de diseño en bloques, y de esta manera saber si es necesario agregar o no algún conservador. Para esto, realizaremos lo siguiente. ANALISIS DE VARIANZA F.V

G.L

S.C

C.M

F0

P>F

Tratamientos

5

0.007538

0.001508

0.2793

0.917

Bloques

3

0.690643

0.230214

42.6517

0.000

Error

15

0.080963

0.005398

Total

23

0.779144

C.V. = Tratamiento 1

1.59% TABLA DE Media

MEDIAS

4.620000

2

4.592500

3

4.597500

4

4.610000

5

4.635000

6

4.640000

La hipótesis se acepta por que el α estimado=0.2793 es menor al valor critico de F=3.576 por lo tanto si se necesita agregar algún conservador.

7. Considérese el estudio siguiente para comparar tres vitaminas. Se reunieron para el estudio de 7 conjuntos de trillizos de 1 año de edad. Cada niño de una familia dada recibió al azar uno de los tres regímenes vitamínicos por un periodo de dos años. Se pensó que un indicador del efecto global de las vitaminas era el crecimiento. Supóngase que los siguientes datos son pesos ganados en libras: Vitamina Familia

A

B

C

1

11.2

9.3

10.4

2

9.7

12.0

11.5

3

8.2

9.4

8.9

4

9.1

10.1

7.9

5

11.0

10.3

10.8

6

7.3

9.1

8.4

7

8.2

8.3

10.1

Contrastar para ver si las vitaminas producen la misma media de ganancia de peso. Use α= 5%. F.V

ANALISIS DE VARIANZA S.C C.M

G.L

F0

P>F

Tratamientos

6

21.218750

3.536458

3.9021

0.021

Bloques

2

1.217773

0.608887

0.6718

0.533

Error

12

10.875610

0.906301

Total

20

33.312134

C.V. = Tratamiento

9.94% TABLA DE MEDIAS Media

1

10.300000

2

11.066667

3

8.833333

4

9.033334

5

10.700000

6

8.266667

7

8.866667

NIVEL DE SIGNIFICANCIA 1. Nivel de significancia = 0.05 2. Nivel de significancia = 0.01

8.- Tres métodos clínicos para determinar el contenido de hemoglobina fueron ensayados para saber si había diferencia significativa entre los resultados. Se emplearon 6 sujetos, constituyendo cada sujeto al bloque. Analizar los datos de la tabla siguiente, en la cual las cifras representan gr/100 ml. Use un α= 5%. Métodos 1

Bloques (individuos) B C D

A 14

E

F

12

12

15

10

11

2

18

16

17

19

12

13

3

15

14

12

14

12

9

9.- Se probaron dietas de hámster en busca de diferencias significativas en peso final medio después de un largo periodo de tiempo específico. Los sujetos fueron agrupados en bloques de dos, basándose los bloques en una predicción del peso final. Los pesos se expresan en gramos. Establezca si hay diferencia significativa entre las dietas con un α= 10% Bloques Dieta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A

105

101

103

108

106

109

105

106

104

103

B

110

108

106

112

110

112

110

106

108

108

V. REGRESIÓN LINEAL.

1.- Se usa un reactivo químico para obtener un precipitado de una sustancia en una solución dada. Los datos son los siguientes: Reactivo

Precipitado

Reactivo

precipitado

7.2

8.4

6.0

8.4

4.8

5.4

6.7

9.5

5.2

6.3

7.0

10.4

4.9

6.8

8.0

12.7

5.4

8.0

7.3

10.3

6.4

11.1

4.6

7.0

6.8

12.3

4.2

5.1

8.0

13.3

a) Haga un diagrama de dispersión.

b) Determine la ecuación de la recta por el método de mínimos cuadrados y represéntela en el diagrama. y= β0 + β1 x β= y-β1 x → yi= β0+β1 xi

ANÁLISIS DE LA VARIANZA F. V.

G. L.

S. C.

C. M.

F0

Tratamientos

1

78.8855

78.8855

55.3895

Error

13

18.5145

1.4242

Total

14

97.4000

SPXX=21.85 SPXY=41.52 SPYY=97.4

ERROR: 18.51 Yi=β0+ β1Xi Yi=-2.723+ 1.90Xi c) ¿Cuál es la cantidad de precipitado estimada si se usa 7.1 de reactivo? Yi=-2.723+ 1.90Xi Yi=-2.723+ 1.90(7.1) Yi=10.767 d) Determine el intervalo de confianza del 95 % para la cantidad de precipitado estimada cuando la cantidad de reactivo usada es 7.1 e) Pruebe la hipótesis de que B= 2 para un α = 1 %.

JUEGO DE HIPÓTESIS

Rechazar H0 si

H 0: B = 2

F0 ≥ F’n-2, α

H 1: B ≠ 2

F0 = 55.3895

α=0.01 REGLA DE DECISIÓN F’0.01 (13) = 9.074 55.3895 >9.074 Se rechaza la hipótesis nula f) Determine el intervalo de confianza del 95 % para la cantidad media de precipitado esperada cuando la cantidad de reactivo es de 7.1.

2.-Se realizó una prueba para determinar la relación entre el contenido de fósforo en una solución y la temperatura de cristalización. Los datos son los siguientes: Cantidad de P (g/l)

Temperatura de cristalización (°C)

1.1

- 1.7

2.3

- 0.4

3.2

0.2

4.3

1.1

5.4

2.3

6.6

3.1

7.8

4.2

8.8

5.3

a.) Haga un diagrama de dispersión.

b.) Estime la relación por el método de mínimos cuadrados. ANÁLISIS DE LA VARIANZA F. V.

G. L.

S. C.

C. M.

F0

Tratamientos

1

39.9770

39.9770

2356.5828

Error

6

0.1018

0.0170

Total

7

40.0788 SPXX=51.2 SPXY=45.24 SPYY=40.08 ERROR: 0.1 Yi=β0+ β1Xi Yi=-2.6+0.88Xi

c) Pruebe la hipótesis de que B=0 al 5% de nivel de significación.

JUEGO DE HIPÓTESIS

F0 ≥ F’n-2, α

H 0: B = 0

F0 = 2356.5828

H 1: B ≠ 0

F’0.05 (6) = 5.987

α=0.05

2356.5828 2356.5829> 5.987 Se rechaza la hipótesis nula

REGLA DE DECISIÓN Rechazar H0 si

d) Determine el intervalo de confianza del 95% para la temperatura de cristalización de predicción cuando la cantidad de fósforo es de 5g/l. Yi=-2.6+0.88Xi Yi=-2.6+0.88(5) Yi=1.8 e) Determine el coeficiente de determinación e interprete su resultado. RESULTADOS DEL PROGRAMA STUDENT Modelo de Temperatura de cristalización (°C) con Cantidad de P (g/l) Número de Casos: 8 Modelo: Lineal Ecuación: Temperatura de cristalización (°C) = -2.6005 + 0.8836 * Cantidad de P (g/l) Coef.

E.E.

t-valor

p-valor

Ordenada

-2.6005 0.1010 -25.7509 0.0001

Pendiente

0.8836

0.0182 48.5446

0.0001

R (coeficiente de correlación) 0.9987 R2 (coeficiente de determinación) 99.75 % Coeficiente de correlación intraclase 0.5594 F-valor 228.6289 p-valor 0.0001E-3 De acuerdo al Coeficiente de determinación R2, podemos decir que el comportamiento de 99.75% de la temperatura de cristalización puede ser explicada por la cantidad de P (g/l).

3.-El Comité Mexicano de Sustancias Farmacéuticas de referencia desarrolló un método analítico para el benzoilmetronidazol y desean saber si existe linealidad en el método. Se agrega una cantidad conocida de benzoilmetronidazol y se determina la cantidad de activo con el método analítico desarrollado. Se obtienen los siguientes resultados: BENZOILMETRONIDAZOL (mg)

ACTIVO (mg)

0.5

0.510

0.7

0.687

1.0

1.000

1.3

1.330

1.5

1.510

a.) Haga un diagrama de dispersión.

b.) Encuentre la mejor curva de ajuste. ANÁLISIS DE LA VARIANZA F. V.

G. L.

S. C.

C. M.

F0

Tratamientos

1

0.7060

0.7060

2822.3748

Error

3

0.0008

0.0003

Total

4

0.7068

SPXX=0.68 SPXY=0.69 SPYY=0.71 ERROR: 0.0 Yi=β0+ β1Xi Yi=-0.01+1.02Xi c.) Pruebe la hipótesis nula: B=0 con α= 0.05.

JUEGO DE HIPÓTESIS

F0 ≥ F’n-2, α

H0: B = 0

F0 = 2822.3748

H1: B ≠ 0

F’0.05 (3) = 10.128

α=0.05

2822.3748 2822.3749> 10.128 Se rechaza la hipótesis nula

REGLA DE DECISIÓN Rechazar H0 si d.) Calcule el coeficiente de correlación.

STUDENT Modelo de ACTIVO (mg) con BENZOILMETRONIDAZOL (mg) Número de Casos: 5

Modelo: Lineal Ecuación: ACTIVO (mg) = -0.0116 + 1.0190 * BENZOILMETRONIDAZOL (mg) Coef. Ordenada

t-valor

p-valor

-0.0116 0.0204 -0.5660

0.6110

Pendiente 1.0190

E.E.

0.0192 53.1260

0.0001

R (coeficiente de correlación) 0.9995 R2 (coeficiente de determinación) 99.89 % Desviación Típica de los Residuos

0.0158

Coeficiente de correlación intraclase 0.9993 F-valor 2785.9678 p-valor 0.0004E-3 De acuerdo al valor del coeficiente de correlación, podemos afirmar que la variable X (Benzoilmetronidazol (en mg)) se encuentra asociada en forma directa de una manera muy fuerte con la variable dependiente (Activo (mg)), en un 99.95%. e.) Calcule el intervalo de confianza del 95% para la cantidad de activo encontrada cuando se agrega 1.2 mg de benzoilmetronidazol. Yi=-0.01+1.02Xi Yi=-0.01+1.02(1.2) Yi=1.214

4.-Un estudiante obtuvo los siguientes datos sobre la cantidad de Bromuro de potasio que se puede disolver en 100 gr. de agua, a distintas temperaturas: °C

g.

0

52

10

60

20

64

30

73

40

76

50

81

a) Calcular los coeficientes de la recta de regresión.

ANÁLISIS DE LA VARIANZA F. V.

G. L.

S. C.

C. M.

F0

Tratamientos

1

582.9143

582.9143

223.7879

Error

4

10.4190

2.6048

Total

5

593.3333 SPXX=1750.0 SPXY=1010.0 SPYY=593.33 ERROR: 10.42 Yi=β0+ β1Xi Yi=53.24+0.58Xi

b) Probar H0: B=0.5 a un nivel de significación de 0.05.

JUEGO DE HIPÓTESIS

Rechazar H0 si

H0: B = 0.5

F0 ≥ F’n-2, α

H1: B ≠ 0.5

F0 = 223.7879

α=0.05

F’0.05 (4) = 7.709

REGLA DE DECISIÓN

223.7879 > 7.709 Se rechaza la hipótesis nula

c) Calcular el coeficiente de determinación e interpretar su resultado. RESULTADOS DEL PROGRAMA G-STAT STUDENT Modelo de Gramos de Bromuro de potasio con °C Número de Casos: 6 Modelo: Lineal Ecuación: Gramos de Bromuro de potasio = 53.2381 + 0.5771 * °C Coef. Ordenada

E.E.

t-valor

53.2381 1.1681 45.5776

Pendiente 0.5771

0.0386 14.9595

p-valor 0.0001 0.0001

R de Pearson (coeficiente de correlación) 0.9912 R2 (coeficiente de determinación) 98.24 % Desviación Típica de los Residuos

1.6139

Coeficiente de correlación intraclase 0.1773 F-valor 13.4948 p-valor 0.0063 De acuerdo al Coeficiente de determinación R2, podemos decir que la temperatura en °C contribuye en un 98.24% a explicar el comportamiento de la cantidad de Bromuro de potasio que se puede disolver en 100 g. de agua.

5.- Los siguientes datos representan el efecto del tiempo en la pérdida de hidrógeno en muestras de acero almacenadas a una temperatura de 20 °C. TIEMPO t (h)

CONTENIDO DE H PERDIDO (ppm)

1

8.1

2

7.8

6

6.5

17

5.5

30

4.4

a.)Dibuje un diagrama de dispersión para los datos anteriores.

b.)Determine la ecuación de la recta de regresión lineal y dibújela en el diagrama. ANÁLISIS DE LA VARIANZA F. V.

G. L.

S. C.

C. M.

F0

Tratamientos

1

8.9766

8.9766

39.8702

Error

3

0.6754

0.2251

Total

4

9.6520

SPXX=602.8 SPXY= -73.56 SPYY= 9.65 ERROR: 0.68 Yi=β0+ β1Xi Yi=7.83+(-0.12)Xi

c.) Determine el intervalo de confianza del 95% para el contenido de Hidrógeno perdido en 20 horas. Yi=7.83+(-0.12)Xi

Yi=7.83+-0.12(20) Yi=5.43

VI. PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE DE FRECUENCIAS IGUALMENTE ESPERADAS

1.- En una prueba de bondad de ajuste con ji-cuadrada. Hay cuatro categorías y 200 observaciones. Use un nivel de significancia 0.05. a) ¿Cuantos grados de libertad hay? 3 b) ¿Cuál es el valor critico de ji-cuadrada? X²(0.05) (3)= 7.8147 2.-En una prueba de bondad de ajuste con ji-cuadrada hay seis categorías y 500 observaciones. Use el nivel de significancia de 0.01. a) ¿Cuántos grados de libertad hay? 5 b) ¿Cuántos es el valor critico de ji-cuadrada? X²(5) (0.05)=15.0863

3.- La hipótesis nula y la hipótesis alternativa son: H0: Las categorías son iguales. H1: Las categorías no son iguales. Con la siguiente tabla: Categoría

f₀

A

10

B

20

C

30

a) Establezca la regla de decisión usando el nivel de significancia de 5%. Rechazar la H₀ si el estadístico de prueba es mayor que el valor critico. X2 = Σ [(f0 – fe) 2/fe] (10+ 20 + 30)/3=20

fe = 20

X²=10 > X²(2) (0.05)=5.9915 b) Calcule en valor de ji-cuadrada.

X²(2) (0.05)=5.9915 c) ¿Cuál es la decisión respecto a la hipótesis nula? Se rechaza la hipótesis nula con un α=5%, se concluye que las categorías no son iguales. 4.- La hipótesis nula y la hipótesis alternativa son: H0: Las categorías son iguales. H1: Las categorías no son iguales. Con la siguiente tabla: Categoría

f₀

A

10

B

20

C

30

D

20

a) Establezca la regla de decisión usando α= 5%. Rechazar la H₀ si el estadístico de prueba es mayor que el valor critico. X2 = Σ [(f0 – fe) 2/fe] fe = 20

X²= 10

10 > 7.8147 b) Calcule el valor de ji-cuadrada. X²(3) (0.05)= 7.8147 c) ¿Cuál es su decisión respecto a la hipótesis nula? Se rechaza la hipótesis nula con α= 5%.

5.- Un dado de seis caras se tira 30 veces. En la siguiente distribución de frecuencias se muestra el número de veces que cayó cada uno de los números 1 a 6. ¿Se puede concluir, empleando el nivel de significancia 0.10 que el dado es legal? No, ya que los resultados del experimento muestran que el dado no es legal. resultado

frecuencia

Resultado

Frecuencia

1

3

4

3

2

6

5

9

3

2

6

7

H₀: El dado es igual. H₁: El dado no es legal. X2 = Σ [(f0 – fe) 2/fe] = 7.6

X² = (3) (0.10) = 0.0243

Rechazar la H₀ si el estadístico de prueba es mayor que el valor critico. 7.6 > 0.0243 Rechazamos la hipótesis nula con α=10%. 6.- La gerente personal obtiene los siguientes datos de ausentismo de cada uno de los días de la semana. ¿Se puede concluir, con un nivel de significancia de 0.05, que hay diferencias en las tasa de ausencias de los diferentes días de la semana? No, los resultados muestran que no hay diferencia s de los diferentes días de la semana. Día

Frecuencia

Lunes

124

Martes

74

Miércoles

104

Jueves

98

Viernes

120

H₀: hay diferencia en la tasa de ausencias de los diferentes días de la semana. H₁: no hay diferencia en la tasa de ausencias de los diferentes días de la semana. X2 = Σ [(f0 – fe) 2/fe] = 15.306

X2 = (4)(0.05)=9.4877

Rechazar la H₀ si el estadístico de prueba es mayor que el valor critico. Se rechaza la hipótesis nula con α= 5% ya que: 15.306 > 9.4877.

7.- Un grupo de clientes de tiendas de departamentos vieron una nueva línea de vestidos y dieron sus opiniones acerca de ellos. Estas fueron: Opinión

Número de clientes

Opinión

Número de clientes

Excepcional

47

Buena

39

Excelente

45

Regular

35

Muy buena

40

Indeseable

34

Como el número mayor (47) indicaba la nueva línea era excepcional, el jefe de diseño pensó que esto indicaba claramente que debía pasar a la producción de los vestidos. El jefe de barrenderos no creyó que la indicación fuera tan clara, para él las opiniones están distribuidas uniformemente en las seis categorías, y las ligeras variaciones eran más bien causales. Pruebe la hipótesis nula de que no hay diferencias significativas entre las opiniones de los compradores con un nivel de 1% de riesgo. H₀: no hay deferencias significativas entre las opiniones de los compradores con un nivel de 1% de riesgo. H₁: hay deferencias significativas entre las opiniones de los compradores con un nivel de 1% de riesgo.

X2 = Σ [(f0 – fe) 2/fe] =3.4

X2 = (5) (0.01) =15.0863

Rechazar la H₀ si el estadístico de prueba es mayor que el valor critico. 3.4 < 15.0863 No se rechaza la hipótesis nula con un α=1%. Con esto se prueba que no hay deferencias significativas entre las opiniones de los compradores con un nivel de 1% de riesgo.

8.- El director de seguridad de Honda USA tomo una muestra aleatoria de la lista de accidentes menores y los clasifico de acuerdo con la que ocurrieron: Hora

Número de accidentes

Hora

Número de accidentes

8 a 9 a.m.

6

1 a 2 p.m.

7

9 a 10 a.m.

6

2 a 3 p.m.

8

10 a 11 a.m.

20

3 a 4 p.m.

19

11 a 12 a.m.

8

4 a 5 p.m.

6

Usando la prueba de bondad de ajuste y el nivel de significancia 0.01, determine si los accidentes están distribuidos regularmente a lo largo del día. Escriba una breva explicación de su conclusión. H₀: Los accidentes están distribuidos regularmente a lo largo del día. H₁: Los accidentes no están distribuidos regularmente a lo largo del día. X2 = Σ [(f0 – fe) 2/fe] =24.6 X²= (7)(0.01)= 18.4753 Rechazar la H₀ si el estadístico de prueba es mayor que el valor critico. 24.6 > 18.4753 Se rechaza la hipótesis nula con α= 1%, concluyendo en que los accidentesno están distribuidos regularmente a lo largo del día. Se concluye de esa manera por que el estadístico de prueba es mayor que el valor critico y se rechazo nuestra hipótesis nula.

VII. PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE: FRECUENCIAS DESIGUALMENTE ESPERADAS 1.- Se dan las siguientes hipótesis. H0: Cuarenta por ciento de la población está en la categoría A, 40 por ciento en la B, y 20 por ciento en la C. H1: La población no es como se describe en la hipótesis nula. Tomamos una muestra de 60 y obtuvimos los siguientes resultados: Categoría

f₀

A

30

B

20

C

10

a) Establezca la regla de decisión usando α= 0.01. Rechazar la H₀ si el estadístico de prueba es mayor que el valor critico. Categoría

f₀

fe

X2 = Σ [(f0 – fe) 2/fe]

A

30

24

1.5

B

20

24

0.66

C

10

12

0.33

total

60

2.49

No se rechaza la hipótesis nula con α=1% ya que 2.49 < 9.2103. b) Calcule el valor de ji-cuadrada. X²= (2) (0.01)=9.2103 c) ¿Cuál es su decisión respecto a la hipótesis nula? No se rechaza la hipótesis nula con α=1% ya que 2.49 < 9.2103.

2.- Al jefe de seguridad de un gran centro comercial se le pidió que estudiara el problema de las mercancías faltantes. El selecciono una muestra de 100 cajas con faltantes y determino que en 60 de las cajas, los pantalones, zapatos, etc., faltantes eran atribuidos al hurto en las tiendas.

En otras 30 de las cajas los empleados habían robado las mercancías, y en las 10 restantes encontró que se había hecho un mal control de inventario. ¿Puede decir, en su reporte al gerente del centro comercial, que es doblemente más probable que el hurto en las tiendas, comparado con el robo por los empleados y con un inventario inadecuado, sea la causa de los faltantes? Use un nivel de significancia 0.02. H₀: es doblemente más probable que el hurto en las tiendas, comparado con el robo por los empleados y con un inventario inadecuado, sea la causa de los faltantes. H₁: no es doblemente más probable que el hurto en las tiendas, comparado con el robo por los empleados y con un inventario inadecuado, sea la causa de los faltantes. X2 = Σ [(f0 – fe) 2/fe]= 37.99

X2 (2) (0.02)=7.3378

Rechazar la H₀ si el estadístico de prueba es mayor que el valor critico. 37.99 > 7.3378 No puede decir eso en su reporte al gerente. Los resultados de la prueba muestran que (α=2%) no es doblemente más probable que el hurto en las tiendas, comparado con el robo por los empleados y con un inventario inadecuado, sea la causa de los faltantes.

3.- El departamento de crédito del Carolina Bank sabe por experiencia que el 5% de los tarjeta habientes han hecho algunos estudios de High shool, 15 por ciento han determinado High school, 25 por ciento han hecho algunos estudios de Collage, y 55 por ciento han terminado el Collage. De los 500 tarjeta habientes cuyas tarjetas han sido retenidas por falta de pago este mes: 50 han hecho algunos estudios de High school, 100 han terminado High School, 190 han hecho algunos estudios de Collage, y 160 han terminado el Collage. ¿Podemos concluir que la distribución de los tarjeta habientes que no pagan sus tarjetas es diferente de las de los otros? H₀: La distribución de los tarjeta habientes que no pagan sus tarjetas es diferente de las de los otros. H₁: La distribución de los tarjeta habientes que no pagan sus tarjetas no es diferente de las de los otros. X2 = Σ [(f0 – fe) 2/fe]=115.22

X²(3) (0.05)=7.8147

Rechazar la H₀ si el estadístico de prueba es mayor que el valor critico. 115.22 > 7.8147 Rechazamos la hipótesis nula con un α=5%. No podemos concluir que la distribución de los tarjetahabientes que no pagan sus tarjetas es diferente de las de los otros porque los resultados muestran que la distribución de los tarjeta habientes que no pagan sus tarjetas no es diferente de las de los otros.

4.- Un ejecutivo de televisión toma como pauta que en una noche entre semana 30 por ciento de la audiencia ve cada una de las cadenas principales (ABC, NBC, CBS) y 10 por ciento ve otras cadenas y estaciones de cable. En una muestra aleatoria de 500 televidentes, tomada el lunes pasado en Tampa-St. Petersburg, Florida, se encontró que 165 de los hogares sintonizaban algunas de las estaciones de la ABC, 140 alguna de las de CBS, 125 alguna de la NBC y los restantes están viendo alguna estación de cable. ¿Podemos concluir con el nivel de significancia de 0.05, que la pauta usada es razonable? H₀: la pauta es razonable H₁: la pauta no es razonable. X2 = Σ [(f0 – fe) 2/fe]= 14.32

X2 (3) (0.05)=7.8147

Rechazar la H₀ si el estadístico de prueba es mayor que el valor critico. 14.32 > 7.8147 se rechaza la hipótesis nula con α= 5%. No se puede concluir de esta manera ya que los resultados muestran evidencia de que la pauta no es razonable.

VIII. PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE PARA NORMALIDAD 1.- Los fabricantes de una terminal de computadora reportan en su publicidad que la vida de su terminal es de 6 años, con una desviación estándar de 1.4 años. En una muestra de 90 terminales vendidas hace 10años se encontraron los siguientes tiempos de vida: Tiempo de vida (en años)

Frecuencia

Hasta 4

7

4 hasta 5

14

5 hasta 6

25

6 hasta 7

22

7 hasta 8

16

8 hasta mas

6

¿Puede concluir el fabricante, con un nivel de significancia de 0.05, que la vida de las terminales tiene una distribución normal? Tiempo de vida (en años)

f₀

Area

fe

(f0 – fe) 2/fe

Hasta 4

7

0.0778

7.002

5.71 x 10⁻⁷

4 hasta 5

14

0.1611

14.499

0.0171

5 hasta 6

25

0.2611

23.499

0.0958

6 hasta 7

22

0.2611

23.499

0.1664

7 hasta 8

16

0.1611

14.499

0.1553

6

0.0778

7.002

0.1433

8 hasta mas

H0: la vida de las terminales tiene una distribución normal H1: la vida de las terminales no tiene una distribución normal.

H0 se rechaza si x2 > 11.0705, gl=5, α=5% El fabricante si puede concluir con un α= 5% que la vida de las terminales tiene una distribución normal porque no se rechaza la H₀ ya que 0.5779 < 11.0705.

2.- Se soporta que las comisiones por vender coches nuevos son, en promedio, de $ 1,500 mensuales con una desviación estándar de $300. En una muestra de 500 representantes del noroeste se encontró la siguiente distribución de comisiones: Comisión

Frecuencia

Menos de 900

9

900 hasta 1200

63

1200 hasta 1500

165

1500 hasta 1800

180

1800 hasta 2100

71

2100 o mas

12

¿Podemos concluir, con un nivel de significancia de 0.01, que la población tiene una distribución normal con una media de $1500 y una desviación estándar de $300? Si Comisión

f₀

Area

fe

(f0 – fe) 2/fe

Menos de 900

9

0.0228

11.4

0.5052

63

0.1359

67.95

0.3605

1200 hasta 1500

165

0.3413

170.65

0.1870

1500 hasta 1800

180

0.3413

170.65

0.5122

1800 hasta 2100

71

0.1359

67.95

0.1369

2100 o mas

12

0.0228

11.4

0.0315

900 hasta 1200

H0: la población tiene una distribución normal con una media de $1500 y una desviación estándar de $300. H1: la población no tiene una distribución normal con una media de $1500 y una desviación estándar de $300. H0 se rechaza si x2 > 15.0863 gl=5, α=1 % Si, podemos concluir que la población tiene una distribución normal con una media de $1500 y una desviación estándar de $300. Ya que no se rechaza la H₀ con α=1% por que 1.7333 < 15.0863.

IX. ANALISIS DE TABLAS DE CONTINGENCIA

1.- El director de marketing de un diario metropolitano estudia la relación entre el tipo de comunidad en la que viven los lectores y la sección del periodo que leen primero. De una muestra de lectores se obtuvo la siguiente información: Comunidad

Noticias nacionales

Deportes

Caricaturas

Urbano

170

124

90

Rural

120

112

100

Granjeros

130

90

88

¿Podemos concluir con α=5% que hay relación entre el tipo de comunidad en la que vive la persona y la sección del periódico que lee primero? Comunidad

Noticias nacionales

Deportes

Caricaturas

Total

Urbano

170

124

90

384

Rural

120

112

100

332

Granjeros

130

90

88

308

Total

420

326

278

1024

H₀: no hay relación entre el tipo de comunidad en la que vive la persona y la sección del periódico que lee primero. H₁: hay relación entre el tipo de comunidad en la que vive la persona y la sección del periódico que lee primero. X² = (f0 – fe) 2/fe = 7.337 X² (0.05)(4)= 9.4877 H₀ se rechaza si X² > 9.4877 rechaza H₀.

7.337 < 9.4877 no se

No se puede concluir con α=5% que hay relación entre el tipo de comunidad en la que vive la persona y la sección del periódico que lee

primero ya que en los resultados del experimento se acepta la hipótesis nula concluyendo que no hay relación entre el tipo de comunidad en la que vive la persona y la sección del periódico que lee primero.

2.- En una fábrica se está escogiendo, de entre 4 marcas de focas eléctricos, cuales usar. El director de compras pidió una muestra de 100 focos de cada marca. Abajo se da el número de aceptables e inaceptables de cada marca:

Fabricante Estado del foco

A

B

C

D

Inaceptable

12

8

5

11

Aceptable

88

92

95

89

¿Hay diferencia en la calidad de los focos? Use α=5%. Estado del foco

A

B

C

D

Total

Inaceptable

12

8

5

11

36

Aceptable

88

92

95

89

364

100

100

100

100

400

Total

H₀: No hay diferencia en la calidad de los focos. H₁: Hay diferencia en la calidad de los focos.

X² = (f0 – fe) 2/fe = 5.638 X² (0.05) (3)= 7.8147 H₀ se rechaza si X² > 7.8147 rechaza H₀.

5.638 < 7.8147 no se

No hay diferencia en la calidad de los focos con α=5% ya que los resultados no rechazan la hipótesis nula.

3.- El departamento de control de calidad de Food Town, Inc., una cadena de tiendas de alimentos en el interior de Nueva York, realiza una comparación mensual de los precios con códigos de barras con los precios con precio marcado. La tabla de abajo resume los resultados obtenidos el mes pasado en una muestra de 500 artículos. Al gerente de la empresa le gustaría saber si hay alguna relación entre la tasa de errores en los artículos con precios regulares y los artículos con un precio especial. Use α =1 %. Precio normal

Precio especial

de promoción Precio menor

20

10

Precio mayor

15

30

200

225

Precio correcto

Precio normal

Precio especial de promoción

Total

Precio menor

20

10

30

Precio mayor

15

30

45

Precio correcto

200

225

425

Total

235

265

500

H₀: no hay alguna relación entre la tasa de errores en los artículos con precios regulares y los artículos con un precio especial. H₁: hay alguna relación entre la tasa de errores en los artículos con precios regulares y los artículos con un precio especial. X² = (f0 – fe) 2/fe = 8.0305 X² (0.01) (2)= 9.2103 H₀ se rechaza si X² > 9.2103

8.0305 < 9.2103 no se rechaza H₀.

No hay alguna relación entre la tasa de errores en los artículos con precios regulares y los artículos con un precio especial con α =1 %. Por que aceptamos la hipótesis nula a partir de los resultados obtenidos.

4.- El número de teléfonos celulares en los automóviles ha aumentado drásticamente en los últimos años. A los expertos de tráfico y a los productores de teléfonos celulares les interesa el efecto de estos en la tasa de accidentes de tráfico. ¿Es más probable que tenga un accidente de tráfico alguien que esté usando un teléfono celular? No ¿Cuál es su conclusión a partir de la siguiente información muestral? Use α=5%. Tuvo un accidente el año pasado

No tuvo un accidente el año pasado

Usando celular

un

teléfono

25

300

No usando un teléfono celular

50

400

Tuvo un accidente el año pasado Usando celular

Total

teléfono

25

300

325

No usando un teléfono celular

50

400

450

700

775

Total

un

No tuvo un accidente el año pasado

75

H₀: No es más probable que tenga un accidente de tráfico alguien que esté usando un teléfono celular. H₁: Es más probable que tenga un accidente de tráfico alguien que esté usando un teléfono celular. X² = (f0 – fe) 2/fe = 2.524 X² (0.05) (1)= 3.8415 H₀ se rechaza si X² > 3.8415 rechaza H₀.

2.534 < 3.8415 no se

Se concluye que no es más probable que tenga un accidente de tráfico alguien que esté usando un teléfono celular con α=5% como lo indican los resultados.

X. DEBILIDADES, DEFECTOS, Y ÁREAS A MEJORAR Las debilidades del curso fueron que hubo algunos periodos de interrupciones que nos hicieron perder valioso tiempo de trabajo, además la continuidad del curso se rompió en varias ocasiones, por lo que tuvimos que abarcar los contenidos de una manera rápida, y quizá sin ahondar demasiado en los temas. Una debilidad personal fue que no realicé los ejercicios a tiempo, y tuve que andar apresurado con las fechas de entrega. La regularidad y la constancia son dos aspectos a mejorar para mi.

XI. APRECIACIONES DEL PROFESOR El profesor siempre pareció dominar los temas, resolviendo dudas cuando fue necesario hacerlo. En particular al final del curso, fomentó mucho el trabajo en equipo y nos ayudó a comprender algunos métodos estadísticos con base en exposiciones, creo que eso fue muy interesante.

XII. REFLEXIONES PERSONALES La realización de los problemas fue un gran reto, y me ayudó a analizar cuidadosamente los procedimientos a seguir, las hipótesis a plantear, requirió de un gran esfuerzo y siento que fue un gran reto y toda una experiencia.

XIII. BIBLIOGRAFIA 1. Un enfoque interdisciplinario, Trillas, México, 1984, 643 pp. 2. Kuehl, Robert O. Diseños de experimentos. Principios estadísticos para el diseño y análisis de investigaciones, tr. Del inglés por Marcia González osuna 2° Edición, Thomson Learning, México, 2001, 666 pp. 3. Marques de Cantú, María de José. Probabilidad y Estadística para Ciencias Química biológicas McGraw-Hill, México 1991, 657 pp. 4. Webster, L. Alien. Estadística aplicada a los negocios y la economía, tr. del inglés por Yelka María García, 3 a. Edición, McGraw-Hill, Santa Fe de Bogotá, Colombia, 2000, págs. 465 -476. 5. . Ross, Sheldon M.Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias, tr. a del inglés por Ma. del Carmen Hano Roa, . Edición, 2 McGraw-Hiíl, México, 2001, págs. 453 - 472. 6. Miller, Irwin y John E. Freund. Probabilidad v Estadística para Ingenieros, tr. del inglés por Francisco Javier Sánchez Bernabé, 3a. Edición, Prentice-Hall Hispanoamericana,México, 1986, págs. 281 - 297.