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FACULTAD ESCUELA ASIGNATURA FECHA

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA INGENIERÍA DE MINAS, GEOLOGÍA Y CIVIL INGENIERÍA CIVIL DINÁMICA (IC-244) Abril - 2008 RESPONSABLE: ING. CRISTIAN CASTRO P.

Examen Parcial de Dinámica - IC244 (Adaptados al programa de la Asignatura de Dinámica (IC-244) de la Escuela Profesional de Ingeniería Civil x)

PREGUNTA N° 01

[5.0 p]

Las componentes intrínsecas de la aceleración del movimiento de un punto están dadas por sus expresiones vectoriales:









 t  3t  2  i  5t  1  j  2  k

t en sg.





 n  2t   i  t

t en sg. , γ en m/sg2

Si la velocidad inicial es de 6 m/sg y el móvil parte del punto (2, 3,1). Determinar la aceleración total, el radio de curvatura de la trayectoria, el espacio recorrido y las coordenadas del móvil en el instante t= 4 sg. PREGUNTA N° 02

[5.0 p]

Un punto se mueve alrededor de un punto fijo “O”, de modo que su aceleración siempre es normal a “ρ” y el radio polar “ρ” gira alrededor de “O” con una velocidad angular constante ω = 1 rad/sg. Hallar la ecuación de la trayectoria y el valor de la aceleración, en el instante inicial:



0  4

  V 0  0

 0 Y

M

Vo 0

o=4

X

Mo

PREGUNTA N° 02

[5.0 p]

Una barra ingrávida de 5 m de longitud está apoyada contra una pendiente como se muestra en la figura adjunta. Si el punto (a) se mueve 10 mm al lado derecho como se indica, a qué distancia se moverá el punto (b) en la pendiente mostrada. y

L=

b

5m

b

45º 30º a

x

10 mm

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PREGUNTA N° 03

[5.0 p]

Un pequeño anillo se mueve en un arco circular de radio R=8 m. Una varilla OA pasa a través del anillo y gira alrededor del punto O con una velocidad angular constante Ø = 4 rad/seg.. Encontrar la aceleración del anillo en el instante en que Ø = π/4 A B

RO = r Ø

C

O R

R/2

R/2

PREGUNTA N° 04

[5.0 p]

Una partícula P de agua se está moviendo hacia fuera, a lo largo del aspa impulsora de una bomba centrífuga de agua con una velocidad de 100 m/seg. y una aceleración tangencial de 50 m/seg2 con respecto al extremo del aspa. La geometría del impulsor se indica en la figura. El impulsor gira en el sentido de las manecillas del reloj con una velocidad constante de 300 rpm. Determinar la velocidad y la aceleración de la partícula de agua en el instante en que abandona el aspa. Y

y T

N 3’’

45º O’

X, x

12’

w

FECHA: DURACIÓN: NOTA: 

17 de mayo de 2008-05-17 03:00 Horas Sin libros ni apuntes

Según mi experiencia – respondió – el hombre llega mucho más lejos para evitar lo que teme que para alcanzar lo que desea … “EL CODIGO DA VINCI “ [Pág. 330] DAN BROWN.

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2do. Examen Parcial de Dinámica - IC244 (Adaptados al programa de la Asignatura de Dinámica (IC-244) de la Escuela Profesional de Ingeniería Civil x)

PREGUNTA N° 01

[6.0 p]

Un cuerpo de masa total “m” se mueve a lo largo de un plano horizontal bajo la acción de una fuerza F, como se muestra en la figura adjunta. El coeficiente de fricción cinética entre el cuerpo y la superficie es “μ”. Encontrar la aceleración del cuerpo en función de la fuerza F y determinar las reacciones ejercidas por la superficie sobre el cuerpo en A y B.

F

L/2

L/2

a

mg

h

A

B

PREGUNTA N° 02

[7.0 p]

La escalera de la figura se mantiene fija mediante un bloque de sujeción. Repentinamente, este bloque se rompe. Asuma que el cuerpo siempre se mantiene vertical. Determine: a) ¿Cuál es la aceleración del G de la escalera al comenzar ésta a deslizar?. b) ¿Cuál es la aceleración angular?

A

µd = 0.1 m=80 Kg.

G

4.0 m

B

m=12 Kg.

µd = 0.1 3.0 m PREGUNTA N° 03 A.

[7.0 p]

Una barra de largo 2L y masa M está articulada en un extremo a un punto fijo O, inicialmente en reposo y horizontal. Si ella se suelta, comienza a rotar respecto a la articulación bajo el efecto del peso de la barra. Determine la reacción en la articulación y la velocidad angular de la barra en función del ángulo que ella ha girado.

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Una barra de longitud 2L y masa M se coloca verticalmente sobre un plano horizontal liso, en reposo. Si ella es perturbada levemente comienza a caer. Determine la velocidad del centro de masa de la barra justo cuando ella se coloca horizontal.

PREGUNTA N° 04 [7.0 p] El disco “O”, indicado en la figura tiene un rodamiento perfect, siendo “ w ” su velocidad angular “ w  ” su aceleración angular. El extremo “A” de la barra “AB” está ligado a la superficie del disco y el extremo “B” se mueve sobre el piso. Hallar la velocidad y aceleración de “B” para la posición indicada.

α ω

A

r

z

L

x

O

θ

B

y FECHA: DURACIÓN: NOTA:

07 de junio de 2008 02 h:30 m Sin libros ni apuntes



Y también se dijo:¿no serán todas las esperanzas de los hombres tan groseras como éstas? Ya que, dada la índole del mundo, tenemos esperanzas en acontecimientos que, de producirse, sólo proporcionarían frustración y amargura; motivo por el cual los pesimistas se reclutan entre los ex esperanzados, puesto que para tener una visión negra del mundo hay que haber creído antes en él y en sus posibilidades. Y todavía resulta más curioso y paradojal que los pesimistas, una vez que resultaron desilusionados, no son constantes y sistemáticamente desesperanzados, sino que, en cierto modo, parecen dispuestos a renovar su esperanza a cada instante, aunque lo disimulen debajo de su negra envoltura de amargados universales, en virtud de su suerte de pudor metafísico; como si el pesimismo, para mantenerse fuerte y siempre vigoroso, necesitase de vez en cuando un nuevo impulso producido por una nueva y brutal desilusión. [Pág. 28] … SOBRE HÉROES Y TUMBAS – E. SABATO



El juego me interesa muchísimo – pero no puedo exponer al azar lo indispensable con la esperanza de adquirir lo superfluo. A.PUSHKIN [Pag.3], [Pag. 13]



... Me paso el día imponiéndome límites que luego cruzo todo el tiempo. [Pag. 72] EL GUARDIAN ENTRE EL CENTENO – J.D. SALINGER

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Práctica Calificada de Dinámica - IC244 (Adaptados al programa de la Asignatura de Dinámica (IC-244) de la Escuela Profesional de Ingeniería Civil x)

PREGUNTA N° 01

[5.0 p] En una viga articulada en dos puntos, de masa por unidad de longitud y módulo de rigidez a flexión constante, determinar las ecuaciones del movimiento, las tres frecuencias más bajas y los tres modos de vibración asociados a ellas concentrando la masa en tres puntos. (Puede utilizar los coeficientes de influencia para determinar las ecuaciones diferenciales de movimiento).

L/2

L/2

L/2

L/2 2L

PREGUNTA N° 02

[5.0 p]

Determinar la ecuación del movimiento forzado de la masa de la figura adjunta

F=F0sen t L/2

L/2

EI m K c

PREGUNTA N° 03

[5.0 p] Se considera un sistema resorte-masa mostrado en la figura adjunta. El sistema consta de dos masas 2m y m, que están conectados a un marco fijo y entre sí por resortes lineales de rigidez 2k y k como se muestra. El sistema tiene cuatro grados de libertad porque los movimientos en el plano de cada masa se pueden describir en términos de dos direcciones ortogonales. Estas direcciones de coordenadas se denotan por x1, x2, x3, x4. Se considerarán pequeñas vibraciones, de modo que la rotación de los resortes es insignificante. Así, para los desplazamientos xi en las cuatro direcciones de coordenadas, las fuerzas del resorte son tensiones iguales a k veces la extensión del resorte o compresiones iguales a k veces la compresión del resorte.



2

Si ai denota la aceleración d x i dt

2

 en cada dirección x , entonces a partir de la Segunda Ley de i

Newton, obtener las ecuaciones de movimiento. Una frecuencia natural ω para el sistema de la figura, es aquella para la que cada desplazamiento x i se puede escribir como:

xi  Ai C cost   

Donde AiC es una amplitud, t es el tiempo y Φ es un ángulo de fase. Entonces, se observa que las aceleraciones ai son iguales a (-ω2xi). Se pide: • Expresar las ecuaciones de movimiento en forma matricial. • Obtener una solución no trivial para las componentes xi. • Proporcionar las frecuencias naturales del sistema. DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA DE MINAS Y CIVIL

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x4

x1

x3

m

2m

k

2k

2k 2k

k

PREGUNTA N° 04

m

2

[5.0 p] Dado el siguiente sistema: a) Encuentre la matriz de rigidez [K] del sistema mostrado en la figura. b) Encontrar los 4 peridos de vibrar, suponiendo que se tienen k1 = k2 = k3 = 3000 Kg/cm y k4 = k5 = k6 = 6000 Kg/cm. W1 = W2 = W3 = W4 = 4000 Kg.

k3 k2

m1 k1

m3 k4

k5

m4 k6

PREGUNTA N° 05

[5.0 p] El desplazamiento x(m) de una masa que experimenta una oscilación amortiguada varía con el tiempo t(s) según el modelo:

    x  0.1e  t cos  t     sin   t     

Donde β y ω tienen unidades en s-1.

Al realizar mediciones se obtiene un desplazamiento x1 de 0.0162 m en un instante t1 de 0.41 s, y un desplazamiento en x2 de -0.0026 m en un instante t2 de 0.83 s. Los valores de x1 y x2 están próximos a los desplazamientos máximos y mínimo, respectivamente. Usando éstos valores en el modelo para x, determinar β y ω. Las estimaciones iniciales para β y ω se pueden encontrar a partir de la cercanía de x1 y x2 a los extremos del desplazamiento. Estas estimaciones son:

ln  x 2    x1   t 2  t1 





t 2  t1 

Según mi experiencia – respondió – el hombre llega mucho más lejos para evitar lo que teme que para alcanzar lo que desea … DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA DE MINAS Y CIVIL

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Examen Final de Dinámica - IC244 (Adaptados al programa de la Asignatura de Dinámica (IC-244) de la Escuela Profesional de Ingeniería Civil x)

Pregunta Nº 01

[5.0 p]

Encontrar la matriz de rigidez [K] del sistema mostrado en la figura. Determinar los periodos sistema dinámico. Encontrar los eigenvalores y los eigenvectores del sistema dinámico para los siguientes datos: W1 = 5000 Kg W2 = 7000 Kg K1 = 4000 Kg/cm K2 = 4000 Kg/cm K3 = 4000 Kg/cm VIGA: I = 6481 cm4 E = 2039000 Kg/cm2 L = 4.0 m EI

EI

m1 K1

L/2

L/2 K2 m2 K3

Pregunta Nº 02

[5.0 p]

Tres masas iguales M se deslizan sin fricción sobre un plano horizontal. Se encuentran unidas conjuntamente por medio de tres resortes iguales de constante de resorte K, como se muestra en la figura. Determinar las formas de modo del sistema que tenga las frecuencias naturales de vibración más bajas en conjunto para el siguiente caso:

K

K M

Pregunta Nº 03

K M

M

[5.0 p]

Considerar el esquema mostrado en la figura, se modela el efecto de un terremoto sobre un edificio de varios pisos. Supondremos que el i-ésimo piso de un edificio tiene masa mi, y que los adyacentes están unidos por un conector elástico, cuya acción se parece a la de un resorte. Cada unión suministra una fuerza de restitución cuando los pisos se desplazan entre sí. Suponiendo que es válida la Ley de Hooke, cuando la constante de proporcionalidad es Ki, entre los pisos i-ésimo e (i+1)-ésimo. Resolver según lo explicado el caso de un edificio de 3 pisos. Se pide obtener las matrices de masa y rigidez, la ecuación dinámica del sistema, el polinomio característico, los valores propios, las frecuencias y periodos correspondientes. Calcular los modos de vibración y el sistema homogéneo de ecuaciones. Asimismo, graficar las formas de los modos de vibrar. Ki = Rigidez del entrepiso “i” en Ton/cm DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA DE MINAS Y CIVIL

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Wi = Peso del piso “i”, en Ton. P3

q3 EI W3

3.0 m

K3

P2 q2 W2

3.0 m

P1

P1

K2 q1 W1

3.5 m

K1

5.0 m DATOS:

NOTA:

5.0 m

5.0 m

q1=5000 Kg/m q2=5000 Kg/m P1=10000 Kg P2=8000 Kg Ivigas = ∞ I1=10000 cm4 I2=8000 cm4 2 E = 2039000 Kg/cm Considerar K = 12EI/L3 para cada columna

q3=3000 Kg/m P3=5000 Kg I3=5000 cm4

Pregunta Nº 04

[5.0 p]

La varilla de masa despreciable está en reposo tal como se muestra en la figura y a una distancia “d” tiene fija una pequeña esfera de masa “m”. Si ligeramente comprimimos al resorte y lo abandonamos, determine el periodo de las pequeñas oscilaciones del sistema. L

EI

m

EI

g

K d

FECHA: DURACIÓN:

07 de junio de 2008 02 h:30 m

NOTA: Sin libros ni apuntes

GEMINIS Es extraña nuestra canción. Es demasiado triste y antiguo lo que cantamos. Nuestra canción no nos pertenece. Y si se nos oye en las noches, en las ferias, es porque no somos ajenos al cansancio y la gloria, porque la paz que encontramos alcanzará a cubrir por un día el deseo … Y en nuestro corazón, que jamás fue duro, es poniente ahora. Porque pese a que fuimos simples e inalcanzables, hemos sobrevivido al hermano. Lo hemos dejado, ciego y amargo, en sus viajes no emprendidos: sólo trazos de los dedos silenciosos sobre el mapa. [LUIS HERNÁNDEZ]

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Examen de Aplazados de Dinámica - IC244 (Adaptados al programa de la Asignatura de Dinámica (IC-244) de la Escuela Profesional de Ingeniería Civil x)

Pregunta Nº 01

[5.0 p]

El mecanismo de un pistón conectado mediante una varilla a una manivela es un problema cásico utilizado frecuentemente en aplicaciones de ingeniería. En el mecanismo que se muestra en la figura adjunta, la manivela tiene una velocidad constante de rotación de 500 rpm.

250 mm

120 mm

θ

Calcular y representar gráficamente la posición, velocidad y aceleración del pistón para una de las revoluciones de la manivela. Representar tres gráficos distintos, considerando que θ = 0º en el instante t = 0.

Pregunta Nº 02

[5.0 p]

Una partícula parte del reposo descendiendo sobre un plano inclinado empujada por su propio peso. El ángulo que forma el plano inclinado con la horizontal θ cambia con el tiempo con una velocidad constante ω, siendo θ = 0º en el instante inicial. La partícula se encuentra en dicho instante sobre el eje de giro del plano. Para el problema, considerar g = 10 m/s2. Se supone que en un segundo la partícula ha recorrido 0.50 m. Se pide calcular el valor de ω correspondiente a ese desplazamiento.

r

θ

Pregunta Nº 03

[5.0 p]

Modelar el sistema mostrado en la figura adjunta considerando los principios de vibraciones mecánicas y encontrar la matriz de rigidez [K] del sistema. Asimismo, Determinar los periodos sistema dinámico. Para resolver el problema deberá obtener los eigenvalores y los eigenvectores del sistema dinámico para los siguientes datos: W1 = 7000 Kg W2 = 10000 Kg K1 = 3500 Kg/cm K2 = 3500 Kg/cm K3 = 4000 Kg/cm VIGA “A”: IA = 3671 cm4 EA = 2039000 Kg/cm2 LA = 3.0 m VIGA “B”: IB = 9923 cm4 EB = 2039000 Kg/cm2 LB = 6.0 m Las vigas solo están apoyadas y se unen a las masas y resortes al centro de sus claros DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA DE MINAS Y CIVIL

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VIGA “B” VIGA “A”

K1 W1

K2 VIGA “B”

W2

Pregunta Nº 04

[5.0 p]

Una edificación de un piso se idealiza como una viga rígida soportada por columnas sin peso, como se muestra en la figura. Para evaluar las propiedades dinámicas de la estructura, se ejecuta una prueba de vibración libre, en la cual el techo del sistema (viga rígida) se desplaza lateralmente por acción de un gato hidráulico y luego se suelta. Durante la operación del gato hidráulico se observa que se requiere una fuerza de 20 Kips para desplazar la viga rígida en 0.20 pulgadas. Después de este desplazamiento inicial, el desplazamiento máximo en el retorno es de 0.16 pulgadas y el periodo de este ciclo de desplazamiento es T = 1.40 segundos. Encontrar: a) El peso efectivo de la viga rígida b) Las frecuencias de vibración f, ω c) Las propiedades de amortiguamiento δ, β, c, ω D d) La amplitud de la vibración después de seis ciclos. NOTA.- De requerirse asumir los valores que crea pertinentes para la solución del problema. W = Mg

(x)

p

C

K = Rigidez total p = fuerza en el gato hidráulico

Pregunta Nº05

[5.0 p]

Considere una partícula de masa m que se coloca en el punto más alto de un hemisferio liso de radio R y masa M que puede deslizar sobre un plano horizontal liso, de acuerdo a la figura adjunta. Estando el sistema en reposo se perturba levemente. Discuta sobre la posibilidad de que la partícula abandone el contacto con el hemisferio. “… El día había transcurrido del modo como suelen transcurrir estos días; lo había consumido suavemente con mi manera primitiva y extraña de vivir … no había sido precisamente un día radiante, de placer y ventura, sino simplemente uno de estos días como tienen que ser, por lo visto, para mí desde hace mucho tiempo los corrientes y normales; los días mesuradamente agradables, absolutamente llevaderos, pasables y tibios …” [Hermann Hesse – El Lobo Estepario] DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA DE MINAS Y CIVIL

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