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Capítulo 19/Procesos de deformación volumétrica en el trabajo de metales

PROBLEMAS DE LAMINADO 19.1. Una placa de 42 mm de espesor fabricada de acero al bajo carbono se reduce a 34.0 mm en un paso de laminado. A medida que el espesor se reduce, la placa se engruesa 4%. El esfuerzo de luencia de la placa de acero es de 174 MPa y la resistencia de tensión es de 290 MPa. La velocidad de entrada de la placa es de 15.0 m/min. El radio del carrete es de 325 mm y la velocidad de rotación es de 49.0 rev/min. Determine a) el coeiciente de fricción mínimo requerido que haría esta operación de laminado posible, b) la velocidad de salida de la placa y c) el deslizamiento hacia delante. SOLUCIÓN a) ∆hmax = µ2 R 42 – 34 = µ2 (325) => µ = 0.157 b) wf = 1.04w0 t0 w0 v0 = tf wf vf 42 x w0 x 15 = 34 x (1.04 w0) x vf => vf = 17.817 c) vr = π r2 N vr = π (325)2 (49) = 16.26 m/min S=

Vf −Vr Vr

=

17.8−16.26 16.26

= 0.0947

19.2. Una plancha de 2.0 in de grueso tiene 10 in de ancho y 12.0 ft de longitud. El espesor se reduce en tres pasos de laminación en caliente. Cada paso reduce la plancha 75% de su grueso anterior. Para este metal y esta reducción se espera un ensanchamiento de 3% en cada paso. Si la velocidad de entrada de la plancha en el primer paso es de 40 ft/min, y la velocidad de los rodillos es la misma para los tres pasos, determine a) la longitud y b) la velocidad de salida de la plancha después de la reducción inal. SOLUCIÓN a) tf = (0.75)(0.75)(0.75)(2.0) = 0.844 in wf = (1.03)(1.03)(1.03)(10.0) = 10.927 in to wo Lo = tf wf Lf (2 in)(10 in)(12 ft) = (0.844 in)(10.927 in)L f => Lf = 26.025 ft

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Capítulo 19/Procesos de deformación volumétrica en el trabajo de metales b) to wo vo = tf wf vf

1ra pasada: (2 in)(10 in)(40 ft/min) = (0.75 x 2 in)(1.03 x 10 in) v f

=>

vf = 51.78 ft/min

2da pasada: (0.75 x 2.0)(1.03 x 10.0)(40 ft/min) = (0.75 2 x 2 in)(1.032 x 10 in) vf 51.78 ft/min

=>

vf

=

vf

=

3ra pasada: (0.752 x 2.0)(1.032 x 10.0)(40 ft/min) = (0.753 x 2 in)(1.033 x 10 in) vf = > 51.78 ft/min

19.3. Se usa una serie de operaciones de laminado en frío para reducir el espesor de una placa de 50 a 25 mm en un molino reversible de 2 rodillos. El diámetro del rodillo es de 700 mm y el coeiciente de fricción entre los rodillos y el trabajo es de 0.15. La especiicación es que el draft sea igual en cada paso. Determine a) el número mínimo de pases requerido y b) el draft para cada paso. SOLUCIÓN a) ∆hmax = µ2 R = (0.15)2 (350) = 7.875 mm Mín. número de pasos requeridos = (t o - tf)/ ∆hmax = (50 - 25)/7.875 = 3.17 → 4 pasadas b) Draft para cada paso = (50 - 25)/4 = 6.25 mm 19.4. En el problema 19.3, suponga que está especiicada una reducción porcentual igual en cada paso en lugar del draft: a) ¿cuál es el número mínimo de pases requerido? b) ¿cuál es el draft para cada paso? SOLUCIÓN a) ∆hmax = µ2 R = (0.15)2 (350) = 7.875 mm Convertimos a una reducción máxima posible x = 7.875/50 = 0.1575 Sea x = fracción de reducción por pasada, y n = número de pasadas. El número de pasadas debe ser entero. Para reducir de t o = 50 mm a tf = 25 mm en n pasadas, se debe cumplir la siguiente relación: 50(1 - x) n = 25

=>

(1 - x) = 0.51/n

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Capítulo 19/Procesos de deformación volumétrica en el trabajo de metales Para n = 4: (1 - x) = (0.5)1/4

=>

x = 1 - 0.8409 = 0.1591

El cual excede la máxima reducción posible de 0.1575 Para n = 5: (1 - x) = (0.5)1/5

=>

x = 1 - 0.87055 = 0.12945,

El cual se encuentra dentro de la máxima reducción posible de 0.1575 b) Pasada 1:

∆h = 50 (0.12945) = 6.47 mm, tf = 50 - 6.47 = 43.53 mm

Pasada 2:

∆h = 43.53 (0.12945) = 5.63 mm,

tf = 43.53 - 5.63 = 37.89 mm

Pasada 3:

∆h = 37.89 (0.12945) = 4.91 mm,

tf = 37.89 - 4.91 = 32.98 mm

Pasada 4:

∆h = 32.98 (0.12945) = 4.27 mm,

tf = 32.98 - 4.27 = 28.71 mm

Pasada 5:

∆h = 28.71 (0.12945) = 3.71 mm,

tf = 28.71 - 3.71 = 25.00 mm

19.5. Un molino laminador continuo en caliente tiene dos bastidores. El grueso de la placa inicial es de 25 mm y el ancho es de 300 mm. El espesor inal será de 13 mm y el radio de cada bastidor de 250 mm. La velocidad de rotación del primer bastidor es de 20 rev/min. En cada bastidor se producirán drafts iguales de 6 mm. La placa es lo suicientemente ancha en relación con su espesor para que no ocurra un incremento en la anchura. Bajo la suposición de que el deslizamiento hacia delante es igual en cada bastidor, determine a) la velocidad v r en cada bastidor y b) el deslizamiento hacia delante s, c) determine también la velocidad de salida en cada bastidor de rodillos si la velocidad de entrada al primer bastidor es de 26 m/min. SOLUCIÓN a) Dejar to = espesor de la placa batidor 1. to = 25 mm. Dejar t1 = espesor de salida de bastidor 1 y espesor de entrada al bastidor 2. t1 = 25 - 6 = 19 mm. Dejar t2 = espesor de salida de la placa del bastidor 2. t 2 = 19 - 6 = 13 mm. Dejar vo = Velocidad de entrada en el bastidor 1. Dejar v1 = Velocidad de salida de la placa del batidor 1 y velocidad de entrada al bastidor 2. Dejar v2 = Velocidad de salida de la placa del batidor 2. Dejar vr1 = Velocidad del rodillo del bastidor 1. vr1 = π DNr = π (2 x 250)(10-3)(20) = 31.42 m/min Dejar vr2 = Velocidad del rodillo del batidor 2. vr2 = ?

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Capítulo 19/Procesos de deformación volumétrica en el trabajo de metales Deslizamiento s = (vf - vr)/vr s vr = vf - v r (1 + s)vr = vf En el bastidor 1, (1 + s) vr1 = v1………………….Eq. 1 En el bastidor 2, (1 + s) vr2 = v2……………….…Eq. 2 Por volumen constante, to wo vo = t1 w1 v1 = t2 w2 v2 Debido a que no hay cambio en el ancho, wo = w1 = w2 Por lo tanto, to vo = t1 v1 = t2 v2 1.0vo = 0.75v1 = 0.50v2 v2 = 1.5v1………………………Eq. 3 Combinando (Eqs. 2 y 3), (1 + s) vr2 = v2 = 1.5v1 Sustituyendo (Eq. 1), (1 + s) vr2 = 1.5 (1 + s) vr1, así vr2 = 1.5vr1 vr2 = 1.5 (31.42) = 47.1 m/min b) 25vo = 19v1 v1 = 25(26)/19 = 34.2 m/min (Eq. 1): (1 + s)vr1 = v1 (1 + s)(31.4) = 34.2 (1 + s) = 34.2/31.4 = 1.089 s = 0.089 c) v1 = 34.2 m/min, previously calculated in (b) v2 = 1.5v1 = 1.5(34.2) = 51.3 m/min 19.6. Un molino de laminación en caliente tiene ocho bastidores. Las dimensiones de la plancha inicial son: espesor de 3.0 in, ancho de 15.0 in y longitud de 10.0 ft. El espesor inal será de 0.3 in, el diámetro del rodillo en cada bastidor de 36 in y la velocidad de rotación en el bastidor número 1 de 30 rev/min. Se ha observado que la velocidad de la plancha que entra al bastidor número 1 es de 240 ft/min. Suponga que no ocurre ensanchamiento de la plancha durante la secuencia de laminado. La reducción porcentual del espesor es igual en cada bastidor y se supone que el deslizamiento hacia delante será igual en cada bastidor. Determine a) la reducción porcentual en cada bastidor, b) la velocidad de rotación de los rodillos en los bastidores del dos al ocho, c) el deslizamiento hacia delante, d) ¿cuál es el draft en los bastidores uno y ocho y e) ¿cuál es la longitud y velocidad de salida de la tira inal que sale del bastidor ocho? SOLUCIÓN

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Capítulo 19/Procesos de deformación volumétrica en el trabajo de metales a) To reduce from to = 3.0 in to tf = 0.3 in over 8 stands, 3(1 - x) 8 = 0.3 (1 - x)8 = 0.3/3.0 = 0.10 (1 - x) = (0.10)1/8 = 0.74989 x = 1 - 0.74989 = r = 0.2501 = 25.01% at each stand. b) Forward slip s = (vf - vr)/vr svr = vf - vr (1 + s)vr = vf At stand 1: (1 + s)vr1 = v1 , where vr1 = roll speed, v1 = exit speed of slab. At stand 2: (1 + s)vr2 = v2 , where vr2 = roll speed, v2 = exit speed of slab. Etc. At stand 8: (1 + s)vr8 = v8, where vr8 = roll speed, v8 = exit speed of slab. By constant volume, to wo vo = t1 w1 v1 = t2 w2 v2 =. . . = t8 w8 v8 Since there is no change in width, wo = w1 = w2 =. . . w8 Therefore, tovo = t1v1 = t2v2 = . . . = t8v8 to = 3.0, 3vo = 3(1 - r)v1 = 3(1 - r)2v2 = . . . 3(1 - r)8v8 , where r = 0.2501 as determined in part (a). Since s is a constant, vr1 : vr2 : . . . : vr8 = v1 : v2 : . . . : v8 Given that Nr1 = 30 rev/min, vr1 = πDNr1 = (2 π x 18/12)(30) = 282.78 ft/min En general Nr = (30/282.78) = 0.10609vr Nr2 = 0.10609 x 282.78/(1-r) = 0.10609 x 282.78/(1-0.2501) = 40 rev/min Nr3 = 0.10609 x 282.78/(1-r)2 = 53.3 rev/min Nr4 = 0.10609 x 282.78/(1-r)3 = 71.1 rev/min Nr5 = 0.10609 x 282.78/(1-r)4 = 94.9 rev/min Nr6 = 0.10609 x 282.78/(1-r)5 = 126.9.3 rev/min Nr7 = 0.10609 x 282.78/(1-r)6 = 168.5 rev/min Nr8 = 0.10609 x 282.78/(1-r)7 = 224.9 rev/min c)

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Capítulo 19/Procesos de deformación volumétrica en el trabajo de metales Given vo = 240 ft/min v1 = 240/(1-r) = 240/0.74989 = 320 ft/min v2 = 320/0.74989 = 426.8 ft/min From equations for forward slip, (1 + s)v r1 = v1 (1 + s)(282.78) = 320 (1 + s) = 320/282.78 = 1.132

=>

s = 0.132

Check with stand 2: given v2 = 426.8 ft/min from above Nr2 = 0.10609vr2 Rearranging, vr2 = Nr2/0.10609 = 9.426Nr2 = 0.426(40) = 377.04 ft/min (1 + s)(377.04) = 426.8 (1 + s) = 426.8/377.14 = 1.132 =>

s = 0.132, as before

d) Draft at stand 1 d1 = 3.0(0.2501) = 0.7503 in Draft at stand 8 d8 = 3.0(1 - 0.2501)7(0.2501) = 0.10006 in e) Length of inal strip Lf = L8 towoLo = t8w8L8 Given that wo = w8, toLo = t8L8 3.0(10 ft) = 0.3L8 =>

L8 = 100 ft

towovo = t8w8v8 tovo = t8v8 v8 = 240(3/0.3) = 2400 ft/min 19.7. Una placa de 250 mm de ancho y 25 mm de espesor se reduce en un solo paso en un molino de dos rodillos a un espesor de 20 mm. El rodillo tiene un radio de 500 mm y su velocidad es de 30 m/min. El material de trabajo tiene un coeiciente de resistencia de 240 MPa y un exponente de endurecimiento por deformación de 0.2. Determine a) la fuerza de laminación, b) el momento de torsión de laminación y c) la potencia requerida para realizar esta operación. SOLUCIÓN a) ∆h = 25 - 20 = 5 mm, Longitud de contacto L=

√R h

= (500 x 5)0.5 = 50 mm

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Capítulo 19/Procesos de deformación volumétrica en el trabajo de metales True strain ε = ln(25/20) = ln 1.25 = 0.223 Ȳf = 240(0.223)0.20/1.20 = 148.1 MPa Rolling force F = 148.1 (250) (50) = 1851829 N b) Torque T = 0.5 (1,85 x 1,829) (50 x 10-3) = 46296 N-m c) N = (30 m/min) / (2π x 0.500) = 9.55 rev/min = 0.159 rev/s Power P = 2 π (0.159) (1851829) (50 x 10-3) = 92,591 N-m/s = 92,591 W 19.8. Resuelva el problema 19.7 utilizando un radio de rodillo de 250 mm. SOLUCIÓN a) ∆h = 25 - 20 = 5 mm, Contact length L = (250 x 5)0.5 = 35.35 mm True strain ε = ln(25/20) = ln 1.25 = 0.223 Ȳf = 240(0.223)0.20/1.20 = 148.1 MPa Rolling force F = 148.1 (250) (35.35) = 1311095 N b) Torque T = 0.5 (1311095) (35.35 x 10-3) = 23,174 N-m c) N = (30 m/min) / (2π x 0.250) = 19.1 rev/min = 0.318 rev/s Power P = 2 π (0.318) (1311095) (35.35 x 10-3) = 92,604 N-m/s = 92,604 W Note that the force and torque are reduced as roll radius is reduced, but that the power remains the same (within calculation error) as in the previous problem. 19.9. Resuelva el problema 19.7 suponiendo un molino de rodillos en conjunto cuyos rodillos de trabajo tienen un radio de 50 mm. Compare los resultados con los dos problemas anteriores y note el importante efecto del radio de los rodillos sobre la fuerza, el momento de torsión y la potencia. SOLUCIÓN a) ∆h = 25 - 20 = 5 mm, Contact length L = (50 x 5)0.5 = 15.81 mm True strain ε = ln(25/20) = ln 1.25 = 0.223

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Capítulo 19/Procesos de deformación volumétrica en el trabajo de metales Ȳf = 240(0.223)0.20/1.20 = 148.1 MPa Rolling force F = 148.1 (250) (15.81) = 585417 N b) Torque T = 0.5(585417)(15.81 x 10-3) = 4628 N-m c) N = (30 m/min)/ (2π x 0.050) = 95.5 rev/min = 1.592 rev/s Power P = 2π (1.592) (585,417) (15.81 x 10-3) = 92,554 N-m/s = 92,554 W Note that this is the same power value (within calculation error) as in Problems 19.7 and 19.8. In fact, power would probably increase because of lower mechanical eiciency in the cluster type rolling mill. 19.10. Una plancha de 4.50 in de grueso que tiene 9 in de ancho y 24 in de largo se reducirá en un solo paso en un molino de dos rodillos a un espesor de 3.87 in. El rodillo gira a una velocidad de 5.50 rev/min y tiene un radio de 17.0 in. El material de trabajo tiene un coeiciente de resistencia igual a 30 000 lb/in2 y un exponente de endurecimiento por deformación de 0.15. Determine a) la fuerza del laminado, b) el momento de torsión del laminado y c) la potencia requerida para realizar esta operación. SOLUCIÓN a) ∆h = 4.50 – 3.87 = 0.63 in, Contact length L = (17.0 x 0.63)0.5 = 3.27 in True strain ε = ln(4.5/3.87) = ln 1.16 = 0.1508 Ȳf = 30,000(0.1508)0.15/1.15 = 19,642 lb/in2 Rolling force F = Ȳf wL = 16,414(9.0) (3.27) = 483,000 lb b) Torque T = 0.5FL = 0.5 (483000) (3.27) = 789,700 in-lb. c) N = 5.50 rev/min Power P = 2π (5.50) (483000) (3.27) = 54580500 in-lb/min HP = (54580500 in-lb/min)/(396,000) = 138 hp

19.11. Una operación de laminado de un solo paso reduce una placa de 20 mm de grueso a 18 mm. La placa inicial tiene un ancho de 200 mm. El radio del rodillo es de 250 mm y la velocidad de rotación es de 12 rev/min. El material de trabajo tiene un

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Capítulo 19/Procesos de deformación volumétrica en el trabajo de metales coeiciente de resistencia de 600 MPa y un exponente de endurecimiento por deformación de 0.22. Determine a) la fuerza de laminación, b) el momento de torsión de laminación y c) la potencia requerida para esta operación. SOLUCIÓN a) ∆h = 20 - 18 = 2.0 mm, Contact length L = (250 x 2)0.5 = 11.18 mm = 0.0112 m True strain ε = ln(20/18) = ln 1.111 = 0.1054 Ȳf = 600(0.1054)0.22/1.22 = 300 MPa Rolling force F = 300 (0.0112) (0.2) = 0.672 MN = 672,000 N b) Torque T = 0.5 (672,000) (0.0112) = 3,720 N-m c) Given that N = 12 rev/min Power P = 2π (12/60) (672,000) (0.0112) = 37,697 W

19.12. Un molino de laminación en caliente tiene rodillos cuyo diámetro es de 24 in. Puede ejercer una fuerza máxima de 40 000 libras. El molino tiene una potencia máxima de 100 hp. Se desea reducir una placa de 1.5 in de grueso al draft máximo posible en un paso. La placa inicial tiene 10 in de ancho. El material caliente tiene un coeiciente de resistencia de 20 000 lb/in 2 y un exponente de endurecimiento por deformación de 0. Determine a) el draft máximo posible, b) la deformación real asociada y c) la velocidad máxima de los rodillos para esta operación. SOLUCIÓN a) Assumption: maximum possible draft is determined by the force capability of the rolling mill and not by coeicient of friction between the rolls and the work. ∆h = 1.5 - tf Contact length L = (12∆h)

0.5

Ȳf = 20,000(ε)0/1.0 = 20000 lb/in2 Force F = 20000(10) (12d) (12∆h)

0.5

0.5

= 400,000 (the limiting force of the rolling mill)

= 400000/200000 = 2

12 ∆h = 22 = 4

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Capítulo 19/Procesos de deformación volumétrica en el trabajo de metales ∆h = 4/12 = 0.333 in b) True strain ε = ln(1.5/tf) tf = to - ∆h = 1.5 - 0.333 = 1.167 in ε = ln(1.5/1.167) = ln 1.285 = 0.251 c) Given maximum possible power HP = 100hp x 396000 (in-lb/min)/hp = 39600000 inlb/min Contact length L = (12 x 0.333)0.5 = 2.0 in P = 2πN (400000) (2) = 5026548N in-lb/min 5026548 N = 39600000 N = 7.88 rev/min vr = 2πRN = 2π(12)(7.88) = 594.14 in/min 19.13. Resuelva el problema 19.12, excepto porque la operación es laminado en caliente encima de la temperatura de cristalización y el exponente de endurecimiento por deformación es de 0.18. Suponga que el coeiciente de resistencia permanece en un valor de 20 000 lb/in2. SOLUCIÓN a) Assumption (same as in previous problem): maximum possible draft is determined by the force capability of the rolling mill and not by coeicient of friction between the rolls and the work. ∆h = 1.5 - tf Contact length L = (12∆h) 0.5 ε = ln(1.5/tf) Ȳf = 20000(ε)

0.18

/1.18 = 16949ε0.18

F = Ȳf (10) (12∆h) Ȳf (∆h)

0.5

0.5

= 34.641Ȳf (∆h) 0.5 = 400000 (as given)

= 400000/34.641 = 11547

Now use trial-and-error to values of Ȳf and d that it this equation.  Try ∆h = 0.3 in, tf = 1.5 - 0.3 = 1.2 in ε = ln(1.5/1.2) = ln 1.25 = 0.223 Ȳf = 16,949(0.223)0.18 = 13,134 lb/in2.

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Capítulo 19/Procesos de deformación volumétrica en el trabajo de metales ∆h

0.5

= 11547/13134 = 0.8791 => ∆h = 0.773,

which does not equal the initial trial value of ∆h = 0.3  Try ∆h = 0.5 in, tf = 1.5 - 0.5 = 1 in ε = ln(1.5/1.0) = ln 1.50 = 0.4055 Ȳf = 16,949(0.4055)0.18 = 14,538 lb/in2. ∆h

0.5

= 11,547/14,538 = 0.7942 => ∆h = 0.631,

which does not equal the trial value of ∆h = 0.5  Try ∆h = 0.6 in, tf = 1.5 - 0.6= 0.9 in ε = ln(1.5/0.9) = 0.5108 Ȳf = 16,949(0.5108)0.18 = 15,120 lb/in2. ∆h

0.5

= 11,547/15,120 = 0.7637 => ∆h = 0.583,

which is too much compared to ∆h = 0.6  Try ∆h = 0.58 in, tf = 1.5 - 0.58 = 0.92 in ε = ln(1.5/0.92) = ln 1.579 = 0.489 Ȳf = 16,949(0.489)0.18 = 15,007 lb/in2. ∆h

0.5

= 11,547/15,007 = 0.769 => ∆h = 0.592,

which is close but still above the trial value of ∆h = 0.55  Try ∆h = 0.585 in, tf = 1.50 - 0.585 = 0.915 in ε = ln(1.5/0.915) = 0.494 Ȳf = 16,949(0.494)0.18 = 15,036 lb/in2. ∆h

0.5

= 11,547/15,036 = 0.768 => ∆h = 0.590,

which is close but still above the trial value of ∆h = 0.585.  Try ∆h = 0.588 in, tf = 1.50 - 0.588 = 0.912 in ε = ln(1.5/0.912) = 0.498 Ȳf = 16,949(0.498)0.18 = 15,053 lb/in2. ∆h

0.5

= 11,547/15,053 = 0.767 => ∆h = 0.588,

which is almost the same as the trial value of ∆h = 0.588. b) True strain ε = ln(1.5/0.912) = 0.498

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Capítulo 19/Procesos de deformación volumétrica en el trabajo de metales c) Given maximum possible power HP = 100hp = 100hp x 396000 (in-lb/min)/hp = 39600000 in-lb/min Contact length L = (12 x 0.588)0.5 = 2.66 in P = 2πN (400,000)(2.66) = 6685000N in-lb/min 6486000 x N = 39600000 N = 5.92 rev/min vr = 2πRN = 2π(12/12)(5.92) = 37.2 ft/min