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PLANIFICAR METODOS Y HERRAMIENTAS PARA EL DISEÑO DE FILTROS DIGITALES PASO TRES

WILLIAM CAMILO SALCEDO CODIGO: 1057578237

TUTOR: FREDDY VALDERRAMA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑAL OCTUBRE 2018

Actividades a desarrollar Cada estudiante escogerá una (1) ecuación de diferencias de las expuestas a continuación, luego reportará en el foro su decisión, esto con el fin de que cada estudiante tenga una ecuación diferente.

Ecuaciones de diferencia:

𝑦[𝑛] = 𝑏0 𝑥[𝑛] + 𝑏1 𝑥[𝑛 − 1] − 𝑎1 𝑦[𝑛 − 1] 𝐷𝐼𝐴𝐺𝑅𝐴𝑀𝐴 𝐷𝐸 𝐵𝐿𝑂𝑄𝑈𝐸𝑆



Cada estudiante realizará la transformada Z de la ecuación de diferencias. Esta debe realizarse en el editor de ecuaciones de Word. No se aceptan pantallazos.



𝑦[𝑛] = 𝑏0 𝑥[𝑛] + 𝑏1 𝑥[𝑛 − 1] − 𝑎1 𝑦[𝑛 − 1] ∞

𝑥(𝑧) = ∑ 𝑥(𝑘)𝑧 −𝑘 𝑘=−∞

𝑥(𝑛) = 𝑇𝑧 = 𝑥(𝑧) 𝑥(𝑛 − 𝑘) = 𝑇𝑧 = 𝑥(𝑧)𝑧 −𝑘 

𝑦[𝑍] = 𝑏0 𝑥[𝑍] + 𝑏1 𝑥(𝑍)𝑍 (−1) − 𝑎1 𝑦(𝑍)𝑍 (−1)





Una vez se tenga la transformada Z de la ecuación de diferencia, cada estudiante hallará la función de transferencia del sistema H(Z). Esto también se realizará con el editor de ecuaciones de Word. Recordar que la función de transferencia es:

𝑯(𝒁) = 

𝒀(𝒁) 𝑿(𝒛)

𝑦[𝑍] = 𝑏0 𝑥[𝑍] + 𝑏1 𝑥(𝑍)𝑍 (−1) − 𝑎1 𝑦(𝑍)𝑍 (−1) 𝑦[𝑍] + 𝑎1 𝑦(𝑍)𝑍 (−1) = 𝑏0 𝑥[𝑍] + 𝑏1 𝑥(𝑍)𝑍 (−1)

𝑦[𝑍](1 + 𝑎1 𝑍 −1 ) = 𝑥[𝑍](𝑏0 + 𝑏1 𝑍 −1 ) 𝒀(𝒁) (𝑏0 + 𝑏1 𝑍 −1 ) = (1 + 𝑎1 𝑍 −1 ) 𝑿(𝒛) (𝑏0 + 𝑏1 𝑍 −1 ) 𝑯(𝒁) = (1 + 𝑎1 𝑍 −1 ) 

Una vez se tenga la función de transferencia, se hallará la respuesta en frecuencia del sistema, remplazando:

𝒁 = 𝒆𝒋𝒘 𝑯(𝒘) =



(𝑏0 + 𝑏1 𝒆−𝒋𝒘 ) (1 + 𝑎1 𝒆−𝒋𝒘 )

Una vez se cuente con la respuesta en frecuencia del sistema, se hallará la magnitud de la respuesta en frecuencia, para ello se aplicará la identidad de Euler, que según el caso se podría utilizar cualquiera de las siguientes ecuaciones:

𝒆𝒋𝒘 = 𝐜𝐨 𝐬(𝒘) + 𝒋𝒔𝒊𝒏(𝒘)

𝒆−𝒋𝒘 = 𝐜𝐨 𝐬(𝒘) − 𝒋𝒔𝒊𝒏(𝒘) 𝐻(𝑤) =

𝐻(𝑤) =

𝑏0 + 𝑏1 (co s(𝑤) − 𝑗𝑠𝑖𝑛(𝑤)) 1 + 𝑎1 (co s(𝑤) − 𝑗𝑠𝑖𝑛(𝑤))

𝑏0 + 𝑏1 co s(𝑤) − 𝑗𝑏1 𝑠𝑖𝑛(𝑤) 1 + (𝑎1 co s(𝑤) − 𝑗𝑎1 𝑠𝑖𝑛(𝑤))

Para hallar la función de magnitud, recordar utilizar la siguiente ecuación: ⃓ 𝒂 + 𝒃𝒋 ⃓ = √𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 |𝐻(𝑤)| =

|𝐻(𝑤)| =

|𝑎 + 𝑏𝑗| = √𝑎2 + 𝑏 2 |𝑎 + 𝑏𝑗| = √𝑎2 + 𝑏 2

√[𝑏0 + 𝑏1 co s(𝑤)]2 + [−𝑏1 𝑠𝑖𝑛(𝑤)]2 √[1 + 𝑎1 co s(𝑤)]2 − [𝑎1 𝑠𝑖𝑛(𝑤)]2

Donde a y b son los coeficientes del número imaginario (𝒂 + 𝒃𝒋)



Se hallará la función que represente la respuesta en Fase del sistema, recordar utilizar la siguiente ecuación:

𝒃 Ɵ(𝒂 + 𝒃𝒋) = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ( ) 𝒂

Donde a y b son los coeficientes del número imaginario (𝒂 + 𝒃𝒋) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 =

[𝑎1 𝑠𝑖𝑛(𝑤)] ∗ [−𝑏1 𝑠𝑖𝑛(𝑤)] [𝑏0 + 𝑏1 co s(𝑤)] ∗ [1 + 𝑎1 co s(𝑤)]

NOTA: Para los sistemas recursivos (retrasos en salida) y no recursivos (retrasos en entrada), deben separar los términos reales de los imaginarios, con el fin de hallar las funciones de magnitud y fase. En el caso de los sistemas recursivos, deben multiplicar el numerador y denominador de la función

racional, por el complejo conjugado del denominador. Recordar realizar todas las ecuaciones en el editor de Word (No se aceptan imágenes)



Realizar simulación en Matlab (Simulink), para hallar los siguientes diagramas:



𝑯(𝒁) =

(𝑏0 +𝑏1 𝑍−1 ) (1+𝑎1 𝑍 −1 )

Respuesta a impulso

 Respuesta al impulso del sistema  Diagrama de polos y ceros  Diagrama de Bode