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PASO 1 ACTIVIDAD DE RECONOCIMIENTO

Estudiante: EDER ANTONIO FERNÁNDEZ DAVID CÓD. 1017178370

Curso: TEORIA DE NUMEROS

Grupo: 551120_6

Tutor: LAURA MARCELA ELLES

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD. ESCUELA CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN (ECEDU)

TIERRALTA CORDOBA

FEBRERO 2019

ACTIVIDAD DE RECONOCIMIENTO

1. El siguiente ejercicio está relacionado con la isla de los caballeros y villanos inventada por Smullyan, donde los caballeros siempre dicen la verdad y los villanos siempre mienten. Una persona se encuentra a dos personas, A y B:  A dice “Al menos uno de nosotros es un villano” y B no dice nada.  A dice “Los dos somos caballeros” y B dice “A es un villano”.  Tanto A como B dicen “Yo soy un caballero”.

Determine si es posible, qué son A y B en cada caso. Si no puede determinar qué son, ¿puedes deducir alguna conclusión?

SOLUSIÓN:  A dice “Al menos uno de nosotros es un villano” y B no dice nada. Suponiendo que A sea un villano entonces el enunciado “Al menos uno de nosotros es un villano” seria falso (Los villanos siempre mienten) lo que concluiría que los dos son caballeros. Si A es escudero no puede ser caballero también, lo cual sería imposible.

Entonces el enunciado tiene que ser verdadero, por lo tanto, A es un caballero y B es un villano  A dice “Los dos somos caballeros” y B dice “A es un villano”. Si A es un caballero, el enunciado “Los dos somos caballeros” tendrá que ser cierto. Por lo tanto, B también es un caballero. Así que sí. B dice “A es un villano” tendría que ser cierto por lo que es imposible ya que A no puede ser caballero y villano al mismo tiempo Entonces en este caso A es un villano y B sería un caballero  Tanto A como B dicen “Yo soy un caballero”. En este caso podría suceder que:

 A y B sean caballeros y el enunciado sea cierto. (Los caballeros siempre dicen la verdad)  A y B sean villanos y el enunciado sea falso. (Los villanos siempre mienten)  Que uno sea caballero y el otro sea villano. Es decir que uno dice la verdad y otro miente.  Determine si es posible, qué son A y B en cada caso. Si no puede determinar qué son, ¿puedes deducir alguna conclusión?

2. Si p y r son proposiciones verdaderas y q es falsa, determine el valor de verdad de: a) [(𝒑 ∧∼ 𝒒) ∨∼ 𝒓] ⇒ 𝒒 b) [(∼ 𝒓 ∨ 𝒒) ∧ (𝒓 ∨∼ 𝒑)] ⟺∼ 𝒓 SOLUSIÓN A) [(𝒑 ∧∼ 𝒒) ∨∼ 𝒓] ⇒ 𝒒

Entonces P = v

r=v

q=f

por consecuente ∼ q = v

∼ r= f

por consecuente ∼ q = v

∼ r= f

[(p ^ ~ q) v ~ r] >>> q = f

B)

P= v

r=v

q=f

Entonces tenemos: [(~r v q ) ^ ( r v ~ p)] >>>>> ~ r = v

3. Demuestre que la conclusión es consecuencia lógica de las premisas dadas: Si se suben los precios o los salarios, habrá inflación. Si hay inflación, entonces el congreso debe regularla, o el pueblo sufrirá. Si el pueblo sufre, los congresistas se harán

impopulares. El congreso no regulará la inflación y los congresistas no se volverán impopulares. En consecuencia, no subirán los salarios.

SOLUCIÓN

q: Subida de salarios.

p: Habrá inflación.

r: El congreso regula la inflación.

s: El pueblo sufrirá.

t: Congresistas son impopulares.

Si se suben los precios o los salarios, habrá inflación. Si hay inflación, entonces el congreso debe regularla, o el pueblo sufrirá. Si el pueblo sufre, los congresistas se harán impopulares. El congreso no regulará la inflación y los congresistas no se volverán impopulares. En consecuencia, no subirán los salarios.

Traducido tenemos:

q-> p

p-> r v s

s -> t

¬r ^ ¬t ---> ¬q

4. Armando, Basilio, Carlos y Dionisio fueron, con sus mujeres, a comer. En el restaurante, se sentaron en una mesa redonda, de forma que:  Ninguna mujer se sentaba al lado de su marido.  Enfrente de Dionisio se sentaba Basilio.  No había dos mujeres juntas.  A la derecha de la mujer de Basilio se sentaba Carlos. ¿Quién se sentaba entre Basilio y Armando?

SOLUCIÓN.

armando

Dionisio

mesa

Basilio

Carlos

Por consecuente entre Basilio y armando se sentaba la mujer de Dionisio

5. Considere los conjuntos dibujados en el gráfico y además sabiendo que: #(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝟐𝟖, #(𝑨 − 𝑪) = 𝟏𝟓, #(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝟏𝟑, #(𝑩 − 𝑪) = 𝟏𝟒, #(𝑨 − 𝑩) = 𝟓

Teniendo en cuenta que # es la cardinalidad del conjunto. Determine la cardinalidad de los conjunto A, B, C.

SOLUSIÓN

# A=18

# B = 23

#C=9

B

A C 5

10

3

6 4

6. Demuestre si 𝑨′ ∩ 𝑩′ = (𝑨 ∪ 𝑩)′ es verdadero y de un ejemplo.

SOLUSIÓN.

𝑈= {1,2,3,4,5,6,7,8,9} 𝐴′= {1,3,5,7,9}

𝐴= {2,4,6,8}

𝐵= {1,2,3,4,5}

𝐵′= {6,7,8,9}

𝐴′∩𝐵′ = {7,9}

(𝐴𝑈𝐵)′={7,9}

𝐴′∩𝐵′=(𝐴∪𝐵)′

7. De un total de 100 alumnos de un colegio: 30 estudian francés solamente, 12 estudian francés e inglés pero alemán; 28 estudian alemán solamente; 10 estudian francés y alemán, pero no inglés; 7 estudian inglés es solamente y 13 estudian inglés y alemán, pero no francés:

a) ¿Cuántos no estudian ningún idioma? b) ¿Cuántos estudian alemán? c) ¿Cuántos estudian francés? d) ¿Cuántos estudian los tres idiomas? SOLUSIÓN.

Francés

30

Ingles

12

7

13

10

28

Alemán

Como podemos ver en la solución ningún estudiante estudia los tres idiomas

8. Una máquina costó inicialmente 20588 dólares. Al cabo de unos años se vendió a la mitad de su precio. Pasados unos años, volvió a venderse por la mitad, y así sucesivamente. a) ¿Cuánto le costó la máquina al sexto propietario? b) Si el total de propietarios ha sido 8. c) ¿cuál es la suma total pagada por esa máquina?

SOLUSIÓN Sabemos que

𝑎𝑛 = 𝑎1 𝑟 𝑛−1

entonces

𝑎1 = 20588 𝑟

1 2

1 5

a. 𝑎6 ∗ 𝑟 5 = 20588 ∗ ( 2) = 643.375. La máquina le costó al sexto propietario 643.375. dólares

1 7

1 7

b. 𝑎8 = 𝑎1 ∗ ( 2) = 20588 ∗ ( 2) = 160.843

c. 𝑆8 =

1 2

𝑎8 ∗ 𝑎1 𝑟−1

=

168.843−20588 1 −1 2

41015.156

𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠

𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠

la totalidad de la suma pagada por esa máquina fue de 41015.156

dólares

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS.

Sominskii, I. (1961). El método de inducción matemática. Recuperado de http://www.miscelaneamatematica.org/Misc3/301.pdf

Perez Aguila, R. (2013). Una Introducción a las Matemáticas Discretas y Teoría de Grafos. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2051/login.aspx?direct=true&db=edsebk&AN=862412&lang =es&site=eds-live

María Camila, G. (17,12, 2017). Inducción Matemática [Archivo de video]. Recuperado de http://repository.unad.edu.co/handle/10596/14137

Ivorra, C. (2011). Teoría de Números. Recuperado de https://openlibra.com/es/book/teoria-de-numeros