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• Hernan Rham

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PRACTICA VECTORES SUMA Y DIFERENCIA DE VECTORES 1. Considerando los vectores mostrados en la figura adjunta, utilizando el método gráfico encuentra: a) el vector A  B  12 C , b) el vector D que anule al

A B

vector  A  2 B  12 C .

C

2. ¡Encontrando un tesoro! El mapa de un tesoro da las siguientes instrucciones: ”Comience en el único árbol grande que hay en la isla. Camine 90 pasos al este, después 150 pasos a 60º del este al norte, luego 20 pasos al oeste, y finalmente 50 pasos a 30º del norte al oeste“. ¿A qué distancia y en que dirección está el tesoro del árbol grande? 3. Una atleta en su entrenamiento diario, realiza los siguientes desplazamientos: desde su casa corre 2 Km en dirección norte, 3 Km hacia el Oeste, 2 Km al Norte y 4 Km al Este, encuentra la distancia mínima entre su casa hasta en punto final de su recorrido. 4. La velocidad de un bote A relativa al bote B v AB , se define por la por la ecuación vAB  vA  vB ,

donde v A es la velocidad del bote A respecto a tierra y vB es la velocidad relativa del bote B respecto a tierra. Determina la velocidad del bote A relativa a B si: vA  30 km/h hacia el este y vB  40 km/h hacia el norte. N

F

5. La suma de los tres vectores mostrado en la figura adjunta es igual a cero. Determina 30º

las magnitudes de los vectores N y F , considera que W = 10 N 6. Cuatro fuerzas actúan sobre un perno como se indica en la figura adjunta. Determinar la fuerza resultante, magnitud y dirección en posición normal.

W F2  80 N 70º

7. Considera el vector bidimensional en forma polar cuya magnitud es de 10 unidades y dirección = 120º expresa este vector en forma de componentes cartesianos.

F4  110 N

Y

F1  150 N 30º 20º

X

F3  100 N

8. Considerando el vector A  4ux  8u y expresa este vector en forma polar en posición normal. 9. Considera el vector tridimensional en forma polar cuya magnitud es de 10 m y dirección  = - 30º y  = 60º, expresa este vector en forma de componentes cartesianos. 10. Considera el vector tridimensional en forma polar cuya magnitud es de 20 unidades y dirección = 45º y = 30º, expresa este vector en forma de componentes cartesianos. 11. Considerando el vector B  2 ux  10 u y  5 uz expresa este vector en forma polar en posición normal. 12. Considerando el vector C  3 ux  6 u y  12 uz expresa este vector en forma polar en posición normal.

13. Hallar el vector unitario en la dirección de la suma de los vectores: A  3ux  2u y  5uz

B  ux  4u y  6uz 14. Demuestra que la suma de tres fuerzas de igual magnitud, que forman 120 cada una de ellas con sus adyacentes, es nula. 15. Considerando los vectores: A  5ux  2u y  8uz , B  7ux  4u y  3uz y C  8ux  2u y  3uz , encuentra el vector R tal que se cumple 2( A  3B  C  R)  4( A  B  R)  3( A  R  C ) .

PRODUCTO ENTRE VECTORES 16. Los tres vectores que forman un triangulo rectángulo mostrados en la figura adjunta suman cero. Calcular: (a) A  B , (b) A  C , (c) B  C .

 C

5

3

 B

4

 A

17. Considera los vectores ubicados en el plano XY: A de magnitud 10 unidades y dirección =210º, y B de magnitud 20 unidades y dirección =150º, a) Encuentra el producto escalar A  B , b) encuentra el producto vectorial A  B . 18. Considerando los vectores: A de 25 unidades de magnitud y dirección = 30º , =60º , B de 25

unidades de magnitud 15 y dirección =300º , =135º, encuentra: a) su producto escalar A  B , b) encuentra el producto vectorial A  B . 19. Sean los vectores:

A  12u x  5u y  22u z B  4u x  8u y  16u z C  10u x  10u y  20u z a) Encuentra el producto escalar A  B , b) determina el ángulo entre los vectores B y C , c) encuentra la proyección del vector A en la dirección del vector C . 20. Sean los vectores:

A  6 u x  5u y  8u z B  2u x  6 u y  10 u z

3

C  6 u x  10 u y  5 u z a) Encuentra el producto vectorial B  C , b) encuentra un vector unitario en la dirección perpendicular a los A y B c) encuentra la magnitud del área del paralelogramo formado por los vectores C y ( B  2 A) .

21. Sean los vectores:

A  4 u x  6 u y  8 u z B  3 ux  6 u y  3 uz C  5 u x  10 u y  6 u z a) Calcula el volumen del paralelepipoide formado por los vectores A, B, y C , b) evalúa la expresión

A  ( B  5C ) , c) evalúa la expresión ( A  B)C  B  C 22. Sean los vectores: A  ux  2u y  uz y B  au x  u y  u z , determina el valor de la constante a de tal manera que el vector C que va desde la cabeza del vector A hasta la cabeza del vector B es perpendicular al vector D  ux  u y  uz 23. Dados los vectores:

A  5ux  2u y  3uz B  bxux  2u y  bz uz C  3ux  cyu y  uz determina las

componentes bx, bz y cy para que los vectores A , B y C sean mutuamente perpendiculares.

PROBLEMAS VARIOS 24. Dado los vectores:

A  3ux  3u y  2uz

B  5ux  2u y  uz

C  ux  u y

Encuentra los escalares a y b tales que cumpla la ecuación C  a A  b B 25. Halla un vector de módulo 5 unidades que sea perpendicular a los vectores A  2ux  3u y  uz y

B  2ux  3u y . 26. Dados los vectores:

A  4ux  u y  2uz

B  ux  2u y  2uz

Encuentra un vector perpendicular al vector A . 27. Dados los vectores: A  6 ux m B  4 ux  2u y m C  2 ux  2u y  6 uz m Que representan las aristas de un paralelepípedo irregular, a) grafica este paralelogramo irregular, b) determina el volumen de este cuerpo. 28. Si el producto vectorial A  B  3ux  6u y  2uz y las magnitudes de los vectores A  4 y B  7 , encontrar el producto escalar A  B . 29. Dado el vector posición r  x ux  y u y medido respecto del sistema de coordenadas cartesianas X-Y. Demuestre que el mismo vector r ' medido

respecto del sistema de coordenadas cartesianas X’-Y’, que se halla rotado en un ángulo  esta dado por la expresión: r '  ( x cos   y sen ) ux  ( x sen  y cos  ) u y 30. Dados los vectores A  Axux  Ay u y  Az uz y B  Bxux  By u y  Bz uz , demuestra que el producto escalar A  B esta dado en términos de sus componentes cartesianos por la siguiente expresión. A  B  Ax Bx  Ay By  Az Bz 31. Dados los vectores A  Axux  Ay u y  Az uz y B  Bxux  By u y  Bz uz , demuestra que el producto vectorial A  B esta dado en términos de sus componentes cartesianos por la siguiente ecuación      A  B  ( Ay Bz  Az B y )u x  ( Az Bx  Ax Bz )u y  ( Ax B y  Ay Bx )u z

32. Si A y B son vectores de la misma magnitud y forman un ángulo de 60° entre ellos. Si la proyección vectorial de B sobre A es de 5 unidades. Determina los vectores A y B

33. Calcula el ángulo formado por las diagonales de un cubo de lado “a” medido en cm. 34. Demuestra que si dos vectores tienen la misma magnitud R y hacen un ángulo θ, su suma tiene una magnitud 2 R cosθ / 2 y su diferencia 2 R senθ / 2 35. Determina el vector A que es paralelo al vector B  2 ux  u y  3 uz y cuyo producto escalar es A  B  28 . 36. Utilizando el producto vectorial, calcula el área del triángulo mostrado en la figura adjunta .

37. Utilizando el producto vectorial, calcula el área encerrado por el polígono mostrado en la figura adjunta .