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• MarceloCalderón

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Naturales (ℕ)  Primos: 2, 3, 5… (tiene 2 divisores)  Múltiplos: n, 2n, 3n…  MCM (mínimo común múltiplo): menor N° que contiene a…  MCD (máximo común divisor): mayor N° … Contenido en…  Cardinales ℕ∗ : 0, 1, 2, 3…

II

Enteros ( ℤ ):  a < b  -a > -b a a+c { c 0 SSi a < 0 Decimales: 1  0,1 = 10

Imaginarios y complejos (II y ℂ)  a + bi forma binomica → a parte real (x), b parte imaginaria (y) (a, b) forma par ordenado i0 = 1  Conjugado: z = a + bi y z = a − bi i 1 = i = √−1  Opuesto: a + bi y −a – bi i 2 = −1  Modulo: |z| = √a2 + b 2 i 3 = −i  (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i i4 = 1  (a + bi) · (c + di) = (ac−bd)+(ad + bc)i (a+bi) · (c−di) (ac+bd)+(bc−ad)i a+bi ac+bd bc+ad  c+di = (c+di) · (c−di) = = c2+d2 + c2+d2 i c2 +d2 Factorización:  𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)  (𝑎 ± 𝑏)2 = 𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2  (𝑎 ± 𝑏 ± 𝑐 )2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐 2 ± 2𝑎𝑏 ± 2𝑎𝑐 ± 𝑏𝑐  𝑎3 ± 𝑏3 = (𝑎 ± 𝑏)(a2 ∓ 𝑎𝑏 + 𝑏2 )  (𝑎 ± 𝑏)3 = 𝑎3 ± 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏2 ± 𝑏3  (𝑥 + 𝑝)(𝑥 + 𝑞 ) = 𝑥 2 + 𝑥(𝑝 + 𝑞 ) + 𝑝𝑞  𝑎(𝑎 + 𝑏 + 1) = 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎

 Ecuación de 2do grado: 

𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 0 → 𝑥 =



𝑥1 + 𝑥2 = − 𝐴

  

𝐵

𝑥1 − 𝑥2 =

−𝐵±√𝐵 2 −4𝐴𝐶 𝐶

𝑏𝑝 𝑎𝑝 𝑎𝑞 0



0, 36 = 99 = 11



1,234 =

36

4



𝑎 𝑝

= (𝑏 )



= 𝑎𝑝−𝑞

 

𝑝

𝑜



1 100

√𝑎

𝑝

√𝑏

𝑝

𝑞

𝑝 𝑎

= √𝑏

𝑝

𝑎𝑞

𝑞

√ = ( √𝑎 ) √ √𝑎 = 𝑝𝑞√𝑎 √𝑎2 = |𝑎| 𝑝 𝑞

 0 :∉ℝ Función Cuadrática: 𝑓 (𝑥 ) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐  Si 𝑎 > 0 ● Si 𝑎 < 0 ● si Δ = 0

𝑎 𝑏

0

; 0−𝑛 , ∀𝑛𝜖ℕ 𝑐

< 𝑑 𝑆𝑆𝑖 𝑎𝑑 < 𝑏𝑐

1



𝑎𝑞 = √𝑎𝑝 𝑝 𝑝 𝑝 √𝑎 ⋅ √𝑏 = √𝑎𝑏 𝑞 𝑝𝑞 𝑝𝑞 𝑝 √𝑎 ⋅ √𝑏 = √𝑎𝑞 ⋅ √𝑏𝑝 𝑝

= (𝑑) 𝑆𝑆𝑖 𝑎𝑐 = 𝑏𝑑 𝑏 𝑎𝑐 = 𝑘 𝑆𝑆𝑖 { 𝑏𝑑 = 𝑘

Inversamente proporcional. Cont. Racionales 𝑎  No existe (∀𝑎)

1234−123 900

𝑐 −1

𝑎

𝑜

Raíces:   



—0—a2—a—1—𝑎 — 0 0

log𝐴 log𝑏

● si Δ < 0

2𝐴

𝑥1 ⋅ 𝑥2 = 𝐴

√𝐵 2 −4𝐴𝐶 𝐴

𝑎𝑝

0, 1 = 9

1,234 = 1,234 ⋅

Potencias:  (−𝑎)2 = 𝑎2 1  𝑎−𝑝 = 𝑎𝑝  (𝑎𝑝 )𝑞 = 𝑎𝑝𝑞  𝑎𝑝 𝑏𝑝 = (𝑎𝑏)𝑝  𝑎𝑝 𝑎𝑞 = 𝑎𝑝+𝑞 

1



Racionales (ℚ ): 𝑎 𝑐  𝑏 = 𝑑 → 𝑎𝑑 = 𝑏𝑐 𝑎 = 𝑘𝑐 𝑆𝑆𝑖 { 𝑏 = 𝑘𝑑 Directamente proporcional

Δ > 0: ℝ y ≠ 𝐵2 − 4𝐴𝐶 = Δ {Δ = 0: ℝ e = Δ < 0: ∄ ℝ, ℂ 𝑚𝑒𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 0 → (𝑥 + 𝐷)(𝑥 + 𝐸 ) = 0 𝑥1 = −𝐷; 𝑥2 = −𝐸 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐷 + 𝐸 = 𝐵 ; 𝐷 ⋅ 𝐸 = 𝐶 ; 𝐴 = 1

𝑎0

𝑎0



𝑓 (0 ) = 𝑐



−𝑏± 𝑏 −4𝑎𝑐 ● C = coordenada y en donde la Raíces de la ecuación: 𝑥 = 2𝑎 ∗ 2 positivas y distintas ( ℕ ), corta en dos puntos a X. parábola intersecta al eje y. 1 positiva 2( ℕ∗ ), corta en un punto a X (es tangente) ● determinar 𝑓(𝑥 ) con las raíces de la 𝑓(𝑥 )  se crea un 0 positiva (ℕ∗ ), no intersecta a X 𝑏 𝑏2 −4𝑎𝑐 cuadrado de binomio con x y las vertice y eje de simetria : (− 2𝑎 , − 4𝑎 ) raíces con signo contrario.



Inecuaciones (ℝ)  ∉ ℝ = ∅ (conjunto vacío (sin solución))  al × 𝑜 ÷ con un N°- , a N°- aplicar potencia par o aplicar el inverso multiplicativo, se debe invertir la desigualdad.  ∪ (unión) todas las respuestas de los conjuntos, ∩ (intersección) respuestas en común con todos los conjuntos.  𝑎 < 2𝑥 > 𝑏 → 𝑎 < 2𝑥 ∨ 2𝑥 > 𝑏 , u operar para ambos lados a la vez 𝑎 𝑏 (𝑎 < 2𝑥 > 𝑏 → 2 < 𝑥 > 2).  

∧ significa “y” (esto genera una ∩), ∨ significa “o” (esto genera una ∪) Tipos de Sol. : 𝑥 > 0 𝑥≤𝑎



]0, ∞+ [ {𝑥 ∈ ℝ/ 𝑥 > 0} ]∞− , 𝑎] {𝑥 ∈ ℝ/ 𝑥 ≤ 𝑎} En los sist. De inecu. , cada inecu. Se desarrolla por separado, pero su resultado es la ∩ de ambos.

√ 2

Función lineal y afín:  Forma general: ax + by + c = 0  Forma principal: f(x) = mx + n 𝑦 −𝑦 𝑎  𝑚 = 𝑥2 −𝑥1 o − 𝑏 o 𝑡𝑔 𝛼 

 

2

1

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos 𝑦−𝑦1 𝑦 −𝑦 = 𝑥2−𝑥1 𝑥−𝑥 1

2

1

n : Coeficiente de posición, representa la coordenada y del punto de intersección con el eje Y. m : Pendiente; m > 0: 𝑓 (𝑥 ) creciente, m = 0: 𝑓(𝑥 ) constante (// a X), m < 0: 𝑓 (𝑥 )decreciente.

Punto pendiente 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) Función afín: 𝑓 (𝑥 )=𝑚𝑥 + 𝑛 Distancia de un punto La diferencia se debe por que la lineal a la recta pasar por el punto (0,0) o origen y la |𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐| √𝑎 2 +𝑏2

afín no necesariamente. Por ello la lineal puede quedar definida como 𝑦 = 𝑚𝑥

Fuencion expotencial: 𝑓(𝑥 ) = 𝑎 𝑥  𝑎 = ℝ+

𝑎>1

Función Logarítmica 𝑓 (𝑥 ) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥  𝑎=ℕ≠1  a>1

0