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Teoría de Circuitos 2º Curso de Ingeniería Industrial Fecha: 11 de septiembre de 2009 (9:00) Orden

Alumno:

NOTA: Indicar en la parte superior derecha de cada hoja que se entregue el nombre y el número de orden (identificador del alumno) dentro de un círculo. NO SE PUEDE UTILIZAR CALCULADORA. Tiempo: 1 hora. En el circuito de la figura, el sistema (desde a´-b´-c´) genera una potencia activa de 1.800 W y una potencia reactiva de 3.600 VAr. La Demanda consume una potencia activa de 900 W y genera una potencia reactiva de 1.800 VAr. El amperímetro A marca

10 A. Se sabe que el sistema es de secuencia inversa. Determinar: 3

a) Las intensidades I a , I b y I c . b) La resistencia y reactancia de línea. c) Las tensiones Ea , Eb y Ec . d) La intensidad I b'c' . e)

Posteriormente se coloca en a-b-c una batería de condensadores o bobinas en triangulo Z ∆ en paralelo con la Demanda2, determinar el valor de las capacidades o inductancias en triangulo para que el factor de potencia del conjunto Demanda2+batería sea 1, considerando que se mantiene la tensión en a-b-c.

NOTA: PARA TODO EL PROBLEMA TOMAR COMO REFERENCIA DE FASES I a1

La frecuencia vale:

f=

100

π

Hz

1

Solución: a)

Pasamos el generador y la carga que están en triangulo a estrella: La impedancia en estrella Z gY es:

Zg∆

Z gY =

3

=1+ j

La impedancia en estrella Z gY es:

Z1Y =

Z1∆ =1− 2 ⋅ j 3

E1

ZgY=1+j

a'

ZL=R+Xj

Ia

a

Z1Y=1-2j

Ia1

Ia2

E2

ZgY=1+j b'

E3

ZgY=1+j

Ib

Ic

ZL

Z1Y=1-2j

b

ZL

c

Z1Y=1-2j

c' Demanda 1

QD2 Pg=1.800 W PD2

Qg=3.600 VAr

Demanda

Demanda 2

PD=900 W QD=-1.800 VAr

Según la medida del amperímetro, el modulo de la intensidad en la carga en triangulo es:

Ica1 =Iab1 = I bc1 =

10 3

Puesto que el modulo de la intensidad de línea en una carga en triangulo es:

I L = 3 ⋅ IF

Ia1 = 3 ⋅ Iab1 = 10

Según la referencia de fases indicada, la intensidad I a1 es:

I a1 = 10∠0


2

Para la fase se tiene: E1

ZgY=1+j

a'

Ia

ZL=R+Xj

a Ia2 Ia1

Z1Y = 1 − 2 j

PD2f QD2f

n

La tensión U an resulta:

U an = Z1Y ⋅ I a1 = (1 − 2 ⋅ j) ⋅ 10 = 10 − 20 ⋅ j La potencia activa en la Demanda por fase es:

900 = 300 W 3

PDf =

La potencia reactiva en la Demanda por fase es:

Q Df =

−1.800 = −600 VAr 3

Para la potencia compleja en la Demanda se tiene:

SDf = U an ⋅ I a * 300 − 600 ⋅ j = (10 − 20 ⋅ j) ⋅ I a * 300 − 600 ⋅ j = 30 10 − 20 ⋅ j

Ia * =

I a = 30∠0
I b = 30∠120


I c = 40∠ − 120


b) La potencia activa generada en a´-b´-c´ por fase es:

Pgf =

1.800 = 600 VAr 3

La potencia reactiva generada en a´-b´-c´ por fase es:

Qgf =

3.600 = 1.200 VAr 3

Para la fase se tiene:

3

Z1Y = 1 − 2 j

Haciendo balance de potencias activas en a´-b´-c´:

600 = R ⋅ 302 + 300

300 = R ⋅ 900

R=

1 Ω 3

Haciendo balance de potencias reactivas en a´-b´-c´:

1.200 = X ⋅ 302 − 600 c)

1.800 = X ⋅ 900

X=2Ω

Entonces se tiene:

1   E1 =  1 + j+ +2 ⋅ j  ⋅ 30∠0
+ 10 − 20 ⋅ j 3   E1 = 40 + 90 ⋅ j + 10 − 20 ⋅ j=50 + 70 ⋅ j Para determinar Ec al ser secuencia inversa:

Ec = E1 ⋅ 3∠ − 30
 3 1  Ec = ( 50 + 70 ⋅ j) ⋅ 3∠ − 30
= ( 50 + 70 ⋅ j) ⋅ 3 ⋅  − ⋅ j   2 2  Para determinar Ea y Eb al ser secuencia inversa se tiene:

Ea = Ec ⋅ 1∠120
= ( 50 + 70 ⋅ j) ⋅ 3∠ − 30
⋅ 1∠120
= ( 50 + 70 ⋅ j) ⋅ 3∠90
= ( 50 + 70 ⋅ j) ⋅ j

4

 3 1  Eb = Ec ⋅ 1∠ − 120
= ( 50 + 70 ⋅ j) ⋅ 3∠ − 30
⋅ 1∠ − 120
= ( 50 + 70 ⋅ j) ⋅ 3∠ − 150
= ( 50 + 70 ⋅ j) ⋅ 3 ⋅  − − ⋅ j   2 2  d) Teniendo en cuenta que la relación entre la intensidad de fase en el generador y la intensidad de línea en el caso de secuencia inversa es:

I L = I F ⋅ 3∠30
Entonces:

30∠0
= I b´a´ ⋅ 3∠30


I b´a´ =

30∠0
30 = ∠ − 30

3∠30 3

Entonces:

I c´b´ =

30 ∠90
3

Para determinar I b´c´ :

I b´c´ = −

30 30 30 ∠90
= ∠ ( 90
− 180 ) = ∠ − 90
3 3 3

I b´c´ = − j ⋅ e)

30 3

La potencia compleja en la Demanda1 es:

SD1f = U an ⋅ I a1 * SD1f = (10 − 20 ⋅ j) ⋅ 10 = 100 − 200 ⋅ j Haciendo balance de potencias en la Demanda:

300 = 100 + PD2

PD2 = 200 W

−600 = −200 + Q D2

Q D2 = −400 VAr

Si se coloca en a-b-c una batería de condensadores o bobinas en triangulo Z ∆ en paralelo con la Demanda2, considerado la impedancia en estrella Z Y , la potencia activa de este conjunto será:

5

ZY

PD2+ZYf = 200 W Si el factor de potencia del conjunto cos ϕ´= 1 :

ϕ´= 0º

Q D2+ZYf = PD2+ZYf ⋅ tgϕ´= 200 ⋅ tg0=0

Entonces:

0= − 400+Q ZY f

Q ZY f = 400 VAr

Al ser positiva tiene que ser una batería de bobinas. Considerando que se mantiene la tensión en a-b-c.

Q ZY f = −BL ⋅ U an

2

La tensión U an es:

U an = 10 − 20 ⋅ j El modulo es:

U an = 500 = 10 ⋅ 5 Entonces:

  1 400 = −  − 100  2 ⋅π ⋅ ⋅ LY π 

LY =

   ⋅ 500  

5 25 25 = ⋅ 10−3 = mH 200 ⋅ 4 4 4

4 1 = 5 200 ⋅ L Y

L∆ =

75 mH 4

6