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Prof. Miguel Angel Caira P.

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Completar la siguiente tabla : II.

V. OPERACIONES BINARIAS 1.

 1 2 3

CONCEPTO

Son operadores matemáticos definidos en tablas de doble entrada. Operador binario x 

y

y = x

- y

x

Forma del resultado 2da componente 1ra componente

2

x=2

1 1 = ............... = .............. 1 2 = ............... = .............. 1 3 = ............... = .............. 2 1 = ............... = .............. 2 2 = ............... = .............. 2 3 = ............... = .............. 3 1 = ............... = .............. 3 2 = ............... = .............. 3 3 = ............... = ..............

Componente 

Fila de entrada

1

Resultados ó elementos del Al conjunto de elementos que forman la 1ra y conjunto de 2da componente se llama : “Conjunto de llegada partida” (cuerpo) y - yx operador Sea : A = {a, b, c} conx su matemático() y su tabla respectiva : Fila de entrada

Columna de entrada

 a b c

a a b c

b b c a

c c a b

Elemento de  Columna

Elemento de Fila

Ejemplo : Si : m  n = m2 + n

=

Intersección en la tabla.

IV.

En 4 m = 3

 1 2 3 4

1 2 3 4 1

2 3 4 1 2

3 4 1 2 3

I.

a d a b c

b a b c d

c b c d a

d c d a b



2

 3

1

83

1 2 3 4

2 3 4 5

Regla practica para verificar la Conmutatividad. 1. Se traza la diagonal principal (desde el vértice del operador) 2. Se verifica que ambos lados de la diagonal y en forma simétrica queden elementos iguales (espejo) 3. Si en todos los casos los elementos son iguales se dirá que la operación es conmutativa. 4. Si al menos un elemento es diferente, entonces la operación no es conmutativa.  1 2 3

1)

La operación es cerrada; todos los elementos del cuerpo pertenecen al conjunto de partida.  1 2 3

32

= N

La sustracción en N no es conmutativa 5–3 3–5

II).-

Calcula :

+ N

7

PROPIEDADES

 a b c d 

N

=

La adición en N es conmutativa 4+3= 3+4

I).-

4 1 2 3 4

4

“x” en : x  x = x x = .......

a) CERRADA (clausura) Si los elementos del conjunto de llegada (cuerpo) pertenecen al conjunto de partida, de lo contrario será abierta.

Se define :

+

 a, b  M  a * b = b * a

M = {a; b; c; c; d} El conjunto de partida con su operador “”

1. En el conjunto ; = {1;2;3;4}

3

b).- CONMUTATIVA El orden de los elementos en la operación binaria no altera el resultado. En general :

Sea el conjunto :

Ejemplo aplicativo

Cuerpo de la tabla

Para operar de forma básica se realiza:

4  (2  1) = ...

2.

Luego : Conjunto de partida : ........................ Conjunto de llegada : .........................

2 componente : y

III.

V.

La adición en N, es cerrada.

2

Halla m = ....



da



4



 a, b  M  a * b  M

En general :

3

Coloca los resultados en la tabla :

ra

Columna de entrada

Expresado por medio de una tabla

        

1

“x” en x  4 = 2

3 4 5 6

2 1 2 3

3 2 3 1

La operación es conmutativa, dado que lo que está sobre la diagonal es el reflejo de o que está debajo. (espejo) 2)

La operación es abierta; el cuerpo de la tabla contiene elementos que no pertenecen al conjunto de partida.

1 3 1 2

 a b c d

Academia Grupo JOULMER

a a b c e

b b c d a

c c d a b

d d e b c

Prof. Miguel Angel Caira P.

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Verifica la siguiente igualdad

La operación no es conmutativa, porque : a e e d c).- ELEMENTO NEUTRO (e) Se dice que “e” es el elemento neutro o elemento de identidad con respecto a “*” si:  e M/ a  M  a * e = e *a = a

En la adición el elemento neutro es el cero, dado que : a+0 = 0 +a=a e=0 Ejemplo : Halla el elemento neutro en: ab=a- b+1 Solución : Sea “e” elemento neutro, se sabe que : ae=a Para el problema ab =a –b+1 a =a –e+1 a

Se verifica que la operación sea conmutativa. b) En el cuerpo de la tabla se busca una fila y una columna igual a la fila y columna de entrada respectivamente. Donde se intersecten se encontrará el elemento neutro. a)

b d a b c

c a b c d

Inverso aditivo

a + ( -a ) = 0

Ejemplo :

El elemento neutro es “c”

1  (2  3) = (1  2)  3

3 2 3 1

1  5 e=2

1 =3

2-1  2 = 2

 1 3 7 1 7 3 1 (3θ 3)θ (33θ 7 ) E3 1 (77θ 3 71)θ7(3θ1)

 2-1 = 2

3-1  3 = 2

Se verifica que la operación sea conmutativa 2. se busca el elemento neutro (e) 3. Se aplica lo indicado para el elemento inverso.

 3-1 = ........ Solución:

.... e).- ASOCIATIVA Cuando se presenta mas de dos elementos que pertenecen al conjunto de partida y se agrupa de diferentes maneras el resultado no cambia.

 a, b, c  M  a  (b  c) = (a  b)  c)

Ejemplo : 1. La adición en N es asociativa dado que : (5 + 4) + 3 = 5 + (4 + 3)

Ejemplo :

2. Dada la siguiente tabla :

Calcula :

 1 2 3 4

-1

1 3 1 2

2 1 2 3

 1 3 7

1 7 1 3

3 3 7 1

En general :

1.

 1 2 3

6 = 6 La operación es asociativa .

2

ELEMENTO INVERSO EN TABLAS

-1

3  3

1.- Dada: Halla:

-1

3

Solución : 1. Calculamos “e” Como : a  e = a a + e –5 = a e=5

=

PROBLEMAS RESUELTOS

1 1=2

1 ; 2 y 3 en :

igual

2 1 2 3

-1

Si se define: a  b = a + b – 5

-1

1 3 1 2

1-1  1 = e

Elemento neutro

* Calcula : 3-1

1.

d b c d a

 1 2 3 Luego :

3-1 = 7

ELEMENTO NEUTRO EN TABLAS

a c d a b

e : Elemento neutro  En la adición

1  (2  3) = (1  2)  3 Solución :

Solución : Hallando “e”

 a  M ,  a-1  M / a  a-1 = a-1  a = e

2. Por elemento inverso se sabe a  a-1 = e 3  3-1 = 5 3 + 3-1 – 5 = 5

=a–e+1 e=1

 a b c d

d).- ELEMENTO INVERSO (a-1) Se dice que a-1 es el elemento inverso o simétrico de “a”, con respecto a “” si :

3 2 3 1

84

1 2 3 4 5

2 3 4 5 6

3 4 5 6 7

Luego: E =

7 1 3 7

33=7 3  7 =3 7  7 =7 3  1 =1



b

a

Rpta

( 7 )θ (3) 1 E  (7 )θ (1) 3

Ojo: Se toma el número de la columna y se opera con otro número de la fila y la respuesta será la intersección en el cuerpo de la tabla. 2.- Se tiene el conjunto M = {2; 4; 6; 8}

4 5 6 7 8

 2 2 4 4 8 6 2 8 6

4 6 4 8 2

6 2 6 4 8

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8 Halla “x” 8 2 (x2)(68)=(82) (64) 6 4

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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 3

Solución: ¡No lo olvide! Columna (operador) fila, su respuesta está en la intersección. (x2)  6 =

6

(x2)  6 =



8

a) 2

6

qué número operado con 6 da 6 (¡Mire la tabla!)

qué número operado con 2 da 4

1 9 1 14

4 4 9 9

2

2

3

(3  2)  ( 4  1)

b) 4

c) 5

d) 3

1

2

3

4

2

2

3

4

5

3

3

4

5

6

4

5

6

e) 19

3).- Dado: A = {xN/x 20} Se define la operación @ en la tabla

Halla: 14 949  44 419

1

2

3

4

Solución: Ubicamos la operación verticalmente

1

5

7

9

11

2

8

10

12

14

3

11

13

15

17

4

14

16

18

20

99 = 1 41 = 1 94 = 9 44 = 91 (llevo 9) ¡Mire bien! Se llevaba: 9 Ahora: 1  4 = 4 9

Rpta: 91 911

a) 2

b) 4

c) 1

d) 5







t









t







t

t









0

1

2

4

6

6

8

0

2

4

2 Calcula:

M = [(2-16-1)-1 (68-1)-1] 4-1 a) 6 b) 7 c) 4 d) 8 e) 0 8).- Consideramos la operación  definida en el conjunto; A = {a; e; i; o}, mediante la siguiente tabla: 

a

e

i

o

es

e

o

a

e

i

El elemento neutro es

o

e

i

o

a

a

i

o

a

e

i

a

e

i

o

La

operación

La

operación

es

La

operación

es

6).- Dada la siguiente tabla: 

2

a

b

c

a

c

a

b

b

a

b

c

c

b

c

a

I. II.

¿Es cerrada la operación? ¿La operación dada es conmutativa? III. Halla, si es que existe, el elemento neutro. a) Si; no; no existe b) Si, no, i c) Si, si, i d) Si, si, e e) Faltan datos 9).- En: A = {1; 3; 5; 7; 9}, se define la operación $ mediante la siguiente tabla:

3

5

7

9

9

1

3

5

7

3

E = (a  c)-1  b

5

7

9

1

3

5

a) c

3

5

7

9

1

3

1

3

5

7

9

1

2

2

0

3

1

3

3

2

1

0

1





0

1

2

4





8

7

0

3



4

9

3

2

t

t

8

a-1 elemento inverso de “a”. Halla:

1

2



0

6

9

1

4



8

4

7

1).- Dada la tabla:

3



6

2

5

3

2



4

0

3

2

1



2

6

1

1

1

t

8

$

0

4



e) 6

0

3



(5 @ 3)  4 R= (7 @ 2)

%

2



Halla:

PROBLEMAS PROPUESTOS

1



De estas afirmaciones son correctas a) Sólo I b) Sólo IV c) II y III d) I; III y IV e) Todas

4).- Se define la tabla (%)





Se afirma que: I. conmutativa. II. “”. III. cerrada. IV. asociativa.

7

@

14949 44419 91911

a) 1 b) 0 c) 2 d) 3 e) 4 5).- Con los elementos del conjunto A = {; ; ; ; t} se define la operación:

e) 1

1

Halla: R = (47) (63) a) 17 b) 18 c) 8 d) 10

9 19 4 1

(1 % x) % (3 % 0) = (2 % 2) % 1

(1  3)  ( 2  4)

4

De la tabla se deduce que: x = 2  1 4 9

1

2).- Se define la operación ab según la tabla.  1 2 3 4

Se deduce que: (x2)=4

3.- Dada:

4

4 4 1 Halla el resultado de: R=

(x2)(68) = (82) (64)

3

b) a

c) 0

d) 1

e) b

7).- En el conjunto A = {0; 2; 4; 6; 8}, definimos la operación, representada por , mediante la siguiente tabla:

Halla “x” de:

85



0

2

4

6

8

0

4

6

8

0

2

Es(son) cierta(s) I. La operación es conmutativa. II. El elemento neutro es 9. III. (3-1$7-1)$9-1 = 7.

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a) I y II c) Sólo I e) Sólo II

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

b) Sólo III d) Todas

10).- Se define la operación matemática representada por & de la siguiente manera: a & b = 4

(a  b ) ( a  b ) ( a 2  b 2 )  ( b 4 )

Siendo: a>0; b>0

afirmamos:

I.

La operación & elemento neutro. II.  a>0, a & a = a III. 3&(-3)=0 a) Todas c) I y II

b) Sólo I d) Sólo II

no

posee

e) Sólo III

13).- En los reales se define las operaciones binarias siguientes: ab = a + b + 15 xy =x + 1/2.y – 1 obtener el valor de las proposiciones siguientes: ( ) 5 es el neutro de la operación . ( ) –15 es el elemento identidad de la operación . ( ) El elemento inverso de 18 es –48 en (). ( ) Si (11m) – (2m17) = -12  m = 6

a) VVFF c) FFVV

e) FFFV

2

4

1

2

d

d

c

b

a

3

1

1

4

2

4

1

2

2

4 

a

b

c

d

a

a

a

a

a

b

a

b

c

d

c

a

c

d

b

d

a

d

b

c

b) 1

c) 4

d) 2

e) 5

R = {1; 2; 3; 4} definida el operador de la tabla.

©

1

2

3

4

1

4

3

2

1

2

1

4

a

e

i

o

u

a

3

2

1

4

3

4

1

4

3

2

u

a

e

t

p

q

r

s

t

i

o

u

a

e

i

s

t

p

q

r

s

o

u

a

e

i

o

r

s

t

p

q

r

u

a

e

i

o

u

q

r

s

t

p

q

p

q

r

s

t

p

b) VVF d) FFV

2

3

o

a) VFF c) VFV

b

2

i

I. II. III. IV.

Calcula: A=

12).- Se define en los reales ab = a + b + 1. de acuerdo a ello se puede afirmar que: * 9 2 = 6 * El elemento neutro es cero. * La operación es conmutativa.

c

d

u

e

e) Sólo II

a

a

o

t

b) Sólo III d) Todas

d

c

i

s

a) I y II c) Sólo I

b

c

e

r

a) 3

b

1

a

q

La operación es conmutativa. El elemento neutro es “t”. (q-1s-1) t-1 = s.

4

1



p

I. II. III.

3

1

16).- Sea los elementos del conjunto :





Es(son) cierta(s) :

2

1

(xx) (31) = (43)  (41)

14).- Dado el conjunto: A = {a; e; i; o; u} se define una operación matemática con operador mediante la tabla.

11).- En: A = {p; q; r; s; t} se define la operación  mediante la siguiente tabla

1

1

Halla “x” en:

a) 3

b) FVVV d) VVVF



e b) 2

1

c) 6

o

a) No es posible calcularlo. b) d c) a d) b e) c

La operación es conmutativa. El elemento neutro es uno. La operación es cerrada. La operación es asociativa.

a) VVVV c) VFVV

(u  a 1 )  (a  e 1 )  (i 1  e )

b) VFVF d) FFFF

e) FVVV

1

d) 1

e) 4

elemento inverso de “a”, el 2-1 para dicha

15).- En el conjunto A = {0; 1; 2; 3; 4}. Se definen: 

0

1

2

3

0

2

3

0

1

1

2

3

0

1

2

0

1

1

1

3

3

2

1

0

4 -1 ;a = 3

17).- Se define en R : ab = a +b -

operación es de la forma

n n , donde m m

es una fracción irreductible. Entonces “nm” es igual a: a) 6

b) 5

c) 2

d) 4

e) 3

18).- En el conjunto A = {a; b; c; d} se define las operaciones binarias siguientes:

e) VVV

86

#

a

b

c

d

a

a

b

c

d

Si x = b # c, determina el valor de: (c#x)  (b#a)

19).- Dada las afirmaciones: I. La multiplicación es abierta en N. II. La adición es cerrada en N. III. En la sustracción y en la división no se cumple la propiedad conmutativa. IV. El elemento neutro de la división es el “1”. Son verdaderas: a) II y III d) Todas

b) I y II e) I y III

c) I; II y III

20).- En A = {1; 2; 3; 4}, se define:

*

1

2

3

4

1

1

2

3

4

2

2

1

1

1

3

3

1

1

4

4

4

2

3

4

Halla el valor de verdad de: 1) x*2 = 1; tiene solución única. 2)  x, y  A  x*y = y*x 3) (2*3)*[3*(4*1)] = 4

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Prof. Miguel Angel Caira P. a) VFF c) VVV

B = 3(14) = 42

b) FFF d) FVF

e) FFV

CLAVES DE RESPUESTAS 1) b 6) e 11) d 16) c

2) a 7) a 12) c 17) a

3) c 8) c 13) b 18) e

4) b 9) d 14) a 19) a

5) d 10) c 15) b 20) e

VI. PLANTEO DE ECUACIONES 1.

CONCEPTO

Plantear una ecuación es representar en forma matemática (forma simbólica) lo expresado en un lenguaje común (verbal)

2.

COMO PLANTEAR UNA ECUACIÓN

Se parte de: Lenguaje Común. (enunciado)

3.

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

Luego se: - Lee - Interpreta - Simboliza

Para finalmente: -Transformar al lenguaje matemático -Solucionar la ecuación.

ECUACIONES DIOFANTICAS Son ecuaciones cuyas incógnitas aceptan únicamente solución entera y se resuelve tomando divisibilidad respecto a cualquier coeficiente pero también en forma práctica se resuelve tanteando valores enteros para las incógnitas.

Luego: 5(x + 1) = 75 5x + 5 = 75 x = 14 veces subió y bajó

4.- Si el perímetro de un cuadrado se reduce en 40 m entonces su área se hace igual a

9 del 16

Sólo avanzó 14 escalones y como subió una vez más avanzó 5 escalones más. Finalmente: 14 + 5 = 19 escalones

Incorrectas = 30 – 4(7) = 2

1.- Una persona sube una escalera con el curioso método de subir 5 escalones y bajar 4, si en total subió 75 escalones. ¿Cuántos escalones tiene la escalera? Solución: Veces que baja x Veces que sube  (x+1)

1)

el

4)

5)

5.- Una persona compró con S/.148 aretes sortijas. Si cada arete costó S/.13 y cada sortija S/.16. ¿Cuántos artículos compró en total?

un

número

El

cuadrado

de

un

número

La suma de los cubos de dos

6)

El cubo de la suma de dos números impares y consecutivos. (x + x + 2)3 ...............................................................

7)

“a” es 5 veces “b” a = 5b ...............................................................

x y 13x + 16y = 148 1

8,4

2

7,6

3

6,8

4

6

Soluciones descartadas (no son enteras)

compró: 4 aretes + 6 sortija = 10 artículos

PROBLEMAS PROPUESTOS

87

de

números consecutivos. x3 + (x + 1)3 ...............................................................

Perímetro = 4(40) = 160m

Planteando: 2k + 3k + 4k = 126 9k = 126 k = 14 Finalmente:

cuadrado

disminuido en cinco. (x-5)2 ...............................................................

4L - 40 = 3L L = 40

C

El

aumentado en seis. (x+6)2 ...............................................................

9 2 L 16 3 L (L - 10) = 4

k

número,

x

3)

(L - 10)2 =

Tanteando:

un

4(x + x/3) ............................................................... 2

Solución: N° aretes N° sortijas

El quíntuple de disminuido en su mitad.

............................................................... 5x 2 2) El cuádruple de un número aumentado en su tercera parte.

9 2  4L  40  L    4 16   Simplificando:

k

B 3k

Determina

Escribe al lenguaje matemático (forma simbólica) cada uno de los siguientes enunciados :

L  Lado

Solución:

A 2k

inicial.

Solución:

3.- A, B y C tiene en total 126 limones; si “C” le diera la cuarta parte a “A” tendrían la misma cantidad, pero si A le diera la mitad a B entonces B tendría la misma cantidad que C. ¿Cuántos limones tiene “B”?

PROBLEMAS RESUELTOS

área

perímetro del cuadrado original.

2.- En un examen de 30 preguntas, cada respuesta correcta vale 4 puntos, la incorrecta –1 punto y en blanco 0 puntos. Si un estudiante obtuvo 82 puntos y notó que por cada respuesta en blanco tenía 3 correctas. ¿Cuántas contesto incorrectamente? Solución: N° blanco x N° correctas  3x N° incorrectas  (30 - 4x) Luego: 0(x) + 4(3x) + (-1)(30 - 4x) = 82 12x – 30 + 4x = 82 16x = 112 x=7 Finalmente:

I.

8)

“a” es 5 veces más que “b” a = 6b ...............................................................

9)

“a” es 5 más que “b” a –b = 5 ...............................................................

10)

“a” es 5 veces mayor que “b” a –6b ...............................................................

11)

Dos números están en la relación de 3 es a 5.

a 3  ............................................................... b 5 12)

“m” excede a “n” en “x” m-n=x ...............................................................

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Prof. Miguel Angel Caira P.

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

13)

“El exceso de “m” sobre “n” es “z” m-n=z ...............................................................

14)

“a” es excedido por “b” en 20 unidades. b-a=20

a cada pregunta no relacionada con esta materia, ¿Cuánto demorará resolver matemáticamente si el examen dura tres horas? a) 45 min b) 52 min c) 62 min d) 60 min e) 50 min

............................................................... II.- Desarrolla en tu siguientes preguntas

cuaderno

las

1).- Ana y Katty fueron de compras y cada una compró tantos artículos como soles pago por cada uno. Si Ana gastó S/.600 menos que Katty y compraron 30 artículos en total, ¿Cuánto gastó Ana? a) S/.100 b) S/.81 c) S/.25 d) S/.625 e) S/.400 2).- Ana tiene el doble de lo que tiene María en dinero; luego Ana le prestó cierta suma a María; por lo que ahora María tiene el triple de lo que le queda a Ana. Si el préstamo que pidió María excede en S/.6 a lo que tenía inicialmente, ¿con cuánto se quedó Ana? a) S/.12 b) S/.15 c) S/.18 d) S/.24 e) S/.30 3).- Yo tengo el triple de la mitad de lo que tienes más S/. 10. Si tú tuvieras el doble de lo que tienes, tendrías S/.5 más de lo que tengo, ¿cuánto tengo? a) S/.50 b) S/.55 c) S/.60 d) S/.40 e) S/.45 4).- En el camino a un hormiguero se escuchó la siguiente conversación: “Si tú me dieras un gramo, cargaríamos el mismo peso”. Respuesta: “Pero si yo te diera un gramo, cargarías el doble que yo”. ¿Cuántos gramos cargan entre los dos? a) 14 b) 12 c) 16 d) 20 e) 7 5).- Se tiene un examen de 350 preguntas de las cuales 50 son de matemática. Suponiendo que a cada pregunta de matemáticas se de el doble de tiempo que

6).- Se reunieron varios amigos quienes tomaron cuatro tazas de leche y dos tazas de café y tuvieron que pagar 20 soles. Si en otra oportunidad consumieron 1 taza de leche y 3 tazas de café y pagaron 10 soles, entonces una taza de leche cuesta: a) 2,5 soles b) 3 soles c) 4 soles d) 5 soles e) 6 soles 7).- En el primer piso de una biblioteca hay 500 mil libros, en el segundo piso hay 300 mil y en el tercer piso 100 mil. ¿Cuántos libros deben trasladarse del primero al tercer piso para que en el primer piso haya tantos libros como en el segundo y tercero juntos? a) 20 mil b) 50 mil c) 100 mil d) 75 mil e) 150 mil 8).- En 7 horas 30 minutos una costurera puede confeccionar un pantalón y tres camisas; ó 2 pantalones y una camisa. ¿En cuánto tiempo puede confeccionar un pantalón y una camisa? a) 3 horas b) 4 horas c) 5 horas d) 4 horas 30 min e) 3 horas 30min 9).- Indica cuánto aumenta el área de un rectángulo de perímetro “2p” cuando cada uno de sus lados aumenta en “x” (Área de rectángulo = base x altura, perímetro =  de sus 4 lados) a) x2 + px b) x2 – px c) (x+p)2 2 2 2 2 d) x – p e) x – 2px + x 10).- Un día viernes en el colegio 200 Millas un alumno preguntó a su profesor de R.M. “¿Qué hora es?”, y le contestó: “La hora es tal que la fracción que falta por transcurrir del día, es igual a la fracción que falta por transcurrir de la semana, considerando

lunes como inicio de la semana”. ¿A qué hora le hizo la pregunta? a) 15:00 h b) 16:00 h c) 17:00 h d) 18:00 h e) 19:00 h 11).- Al dividir un número entre 5 el residuo es 3 y al dividirlo entre 8 el residuo es 6. Si los cocientes se diferencian en 9, ¿qué resto dará al dividir el número por 7? a) 6 b) 3 c) 1 d) 5 e) 2 12).- En una reunión el número de caballeros es dos veces más que el número de damas; después que se retiran 8 parejas, el número de caballeros que ahora queda es cuatro veces más que el nuevo número de damas. ¿Cuántos caballeros habían inicialmente? a) 16 b) 32 c) 48 d) 64 e) 72 13).- En un edificio de 4 pisos se observa que el número de habitaciones de cada piso es uno más respecto del inmediato anterior y en cada habitación hay tantas ventanas como habitaciones hay en el respectivo piso. Si el total de ventanas del último piso y el total de habitaciones del primer piso suman 69, calcula cuántas habitaciones en total tiene el edificio. a) 28 b) 26 c) 12 d) 16 e) 36 14).- Se tiene x, (x + y) , 2y monedas de S/.1, S/.2 y S/.5 respectivamente. Al cambiar todo el dinero en billetes de S/.10 se cuentan 30 billetes, coincidiendo el número de monedas que excedía las monedas de S/.2 a las de S/5. Calcula cuánto dinero se tiene en monedas de S/.2. a) S/.24 b) S/.116 c) S/.64 d) S/.120 e) S/.128 15).- Una madre debe repartir una herencia de 70 mil dólares en el momento del nacimiento de su hijo o hija. Si tuviera un hijo ella recibiría la mitad de lo que recibe su hijo. Pero si naciera mujer, la madre recibiría el doble de lo de su hija. Llegó el

88

día del parto y para sorpresa de todos nacieron gemelos, un hombre y una mujer. ¿Cuánto recibió el hijo? a) $20 000 b) $10 000 c) $30 000 d) $40 000 e) $25 000 16).-Con S/.1 296 se han comprado igual número de vasos de tres clases distintas, siendo los precios respectivos de cada clase de vaso 7; 8 y 12 soles. ¿Cuántas docenas de vasos se compraron? a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 17).- En una bolsa hay fichas blancas y fichas negras. Si se saca 5 fichas blancas, queda el doble de fichas negras que blancas. Si se extrae 6 fichas negras y 3 blancas, la razón de blancas a negras será 8: 11. ¿Cuántas fichas blancas hay en la bolsa? a) 23 b) 19 c) 25 d) 28 e) 16 18).- El cuadrado de la suma de las 2 cifras que componen un número es igual a 121. Si de este cuadrado se restan el cuadrado de la primera cifra y el doble del producto de las 2 cifras, se obtiene 81. ¿Cuál es la diferencia de las cifras del número? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 19).- A un campamento de retiro, asisten 320 personas entre varones, mujeres y niños. Si el número de varones es tres veces más que el número de mujeres y éste es el triple que el de los niños, ¿cuántos hombres hay? a) 120 b) 160 c) 320 d) 240 e) 200 20).- Sobre un estante se pueden colocar 15 litros de ciencias y 3 libros de letras ó 9 libros de letras y 5 libros de ciencias. ¿Cuántos libros de ciencias únicamente caben en el estante? a) 15 b) 20 c) 24 d) 30 e) 18 21).- Ana le dice a Raúl: “Si me dieras 5 de tus galletas, ambos tendríamos la misma cantidad” y éste respondió: “Si me dieras 10 de las tuyas, tendría el triple de lo que

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Prof. Miguel Angel Caira P. te quedaría”. ¿Cuántas galletas tiene Ana? a) 10 b) 25 c) 40 d) 30 e) 35 22).-Se han comprado un traje, un bastón y un sombrero por $259. El traje costó 8 veces lo que costo el sombrero y el bastón $30 menos que el traje. Halla la diferencia del precio del sombrero con el traje. a) 110 $ b) 115 $ c) 119 $ d) 112 $ e) 215 $ 23).- En una reunión de amigos los cuales estaban en pareja, cada varón compra una caja de chocolates para cada dama. En cada caja el número de chocolates es tanto como el número total de cajas, y estas son tantas como el triple del número de soles que cuesta cada chocolate. Si los varones gastan en total 243 soles. ¿cuántas damas son las damas afortunadas? a) 15 b) 18 c) 12 d) 9 e) 6 24).- Una rajá dejó en herencia a sus hijas cierto número de perlas. Tenían que repartírselas de una forma muy especial. Cada hija recibiría: La mayor, una perla más 1/7 de las restantes, la segunda dos perlas más 1/7 de las tres restantes, la tercera tres perlas más 1/7 de las restantes, y así sucesivamente todas las demás hijas. Las hijas menores se sintieron perjudicadas por este reparto. El juez, tras contar las perlas, les dijo que todas ellas se llevarían el mismo número de perlas. ¿Cuántas hijas y perlas había?. Dar como respuesta la suma de ambos resultados. a) 36 b) 42 c) 50 d) 35 e) 48 25).-Un asunto fue sometido a votación de 800 personas y se perdió, habiendo votado de nuevo las mismas personas sobre el mismo asunto, fue ganado el caso por el triple de votos por el que había sido perdido y la nueva mayoría fue con respecto a la anterior como 13 es a 11. ¿Cuántas

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO personas cambiaron de opinión entre la primera y segunda votación? a) 416 b) 160 c) 150 d) 220 e)180

2.3.- CÁLCULO DEL ÁNGULO “ ” 1er CASO : Cuando el minutero adelanta al horario.

CLAVES DE RESPUESTAS 1) c 5) a 9) a 13) b 17) b 21) b 25) b

2) c 6) c 10) b 14) b 18) c 22) c

3) b 7) b 11) b 15) d 19) d 23) d

4) b 8) d 12) c 16) a 20) b 24) b

VII. CRONOMETRÍA

2.

RELOJES

12

1.

CALENDARIOS

1.2.- OBSERVACIONES a) Considerar el número de días que atrae cada mes.



9

1.1.- CONCEPTO Es un sistema de medida del tiempo, agrupados en unidades superiores, como semanas, meses, años, etc.

2 30°

H

8 7

3 4

6

5



m 7

b) Un día se vuelve a repetir cada 7 días. +7 +7k Martes 1

+7

Normal

12 meses (febrero trae 28 c) Con respecto a un año. días)

H 1  m 12

5

6

2.4.- TIEMPO RELACIONADO CON CAMPANADAS, GOLPES, ETC. En general : Número de campanadas : 1

2

3

4

1°

2°

3°

I

I

I

n

n+1

(n-1)° n° I

I

tiempo de cada intervalo

n° Campanadas = n° intervalos + 1 Ejemplo :

m div.

1C

2C

3C

4C

5C

m

366 días

3

1°

2°

2seg

T

H

=

2seg

m/12 div

Febrero (29 días) Se repite cada 4 años()

4

H 7

11 m 2

Del gráfico:

Lo cual significa que cada vez que el minutero avance “m” divisiones el horario avanzará “m/12” divisiones. 12

9

Bisiesto

3

 m

 = 30H -

2

”H” antes que “m”

En cada hora la relación de recorrido de “H” y “m” es: H 5 divisiones  m 60 divisiones

52 semanas

Año

1 m

10

RELACIÓN DEL RECORRIDO DEL HORARIO Y MINUTERO

+7

Martes Martes . . . Martes 8 365 días 15

12

9

2.2.-

4 5

6

11

5 divisiones (1 división 1min)

Observación: En 1 hora el minutero recorre 60 divisiones, luego: 1h 60 div 60 min 360°

Año normal Año bisiesto Agosto Setiembre Octubre Noviembre Diciembre 31 30 31 30 31

H

11 m - 30H 2

”m” antes que “H” 2do CASO : Cuando el horario adelanta al minutero.

 1 div = 1 min = 6° Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio 31 28 ó 29 31 30 31 30 31

=

3

8

H : Horario m : minutero  : ángulo formado por el horario y el minutero

1

m

2

9

Instrumento empleado para medir o indicar el paso del tiempo y divide el día en horas, minutos y segundos. 11

1

10

2.1.- CONCEPTO

10

12

11

89

6

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4

3°

4°

2 seg

2seg

x

2

= 8seg

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Tiempo = n° de Total intervalos

x

Tiempo de cada intervalo

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO = 11 h 10min p.m. 2)

2.5.- ADELANTOS Y ATRASOS Estas situaciones se presentan como consecuencia de algún desperfecto en el reloj, por lo que no marcaran la hora correcta.

Hace 12 horas y media se descompuso un reloj sufriendo un atraso de 8 min. cada 4 horas. Si en éste instante marca 8h 57min. ¿Cuál es la hora correcta?

° =

Hora marcada por un reloj adelantado

Hora real

Tiempo 4h  12,5 

(40) - 30(3)

 ° = 220° - 90° = 130° 5)

Solución : Hora marcada por un reloj atrasado

11 2

c) Martes e) Jueves

Atraso 8min x

Si el 1 de enero de 1942 cae jueves. ¿Qué día caerá el 1 de mayo del mismo año? Solución : N° de días =31 Ene +28Feb + 31Mar + 30Abr = 120 días 

(-) atraso total

 ADELANTOS HM = HR + AD  ATRASOS HM = HR - AT

(+) adelanto total

x=

Donde: HM : Hora marcada HR : Hora real AD : Adelanto

12,5 (8) = 25min 4

9h 22 min = HR 3)

Qué ángulo forman el horario y minutero a las 5h 10min. Solución : 10

x = 70 min = 1h 10min Sabemos : HM = HR + adelanto HM = 10h + 1 h 10min

1

3



8

4

H

7

° = -

2

m

9

Se adelantó durante : 22h - 8h = 14h Adelanto 5min x

12

11

Siendo las 8 a.m. empieza a adelantarse un reloj 5min cada hora. ¿Qué hora marcará cuando la hora correcta sea 10 pm del mismo día? Solución :

Tiempo 1h  14h 

PROBLEMAS PROPUESTOS

HM = HR - atraso

PROBLEMAS RESUELTOS 1)

Lo cual significa que caerá un día después de jueves, es decir viernes.

Sabemos : 8h 57min = HR - 25 min

Donde: HM : Hora marcada HR : Hora real AT : Atraso

Pero : 120 = 7 + 1

(10) + 30(5)

° = -55° + 150° = 95° 4)

Halla la medida del ángulo que forman horario y minutero a las 3h 40min. Solución :

11

12

1

10 9

2

m

8 7

2).- Siendo viernes el mañana del mañana de hace 5 días. ¿Qué día será el anteayer del anteayer de dentro de 4 días? a) Lunes b) Jueves c) Viernes d) Martes e) Sábado

5

6

11 2

1).- ¿A qué será equivalente el ayer del anteayer del ayer del pasado mañana del pasado mañana de mañana. a) Ayer b) Mañana c) Anteayer d) Pasado mañana e) F.D

H  6

3 4

5

3).- En un mes hay 5 jueves, 5 viernes y 5 sábados. ¿Qué fecha cae el tercer miércoles de dicho mes? a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22 4).- Si el 1 de enero de 1843 cae jueves. ¿Qué día caerá 1 de mayo del mismo año? a) Lunes b) Martes c) Miércoles d) Jueves e) Viernes 5).- En un determinado mes existen 5 viernes, 5 sábado y 5 domingos. ¿Qué día será el 18 de dicho mes? a) Domingo b) Lunes

90

d) Miércoles

6).- Si el lunes es el martes del miércoles y el jueves es el viernes del sábado. ¿Qué día es el domingo del lunes? a) Martes b) Miércoles c) Jueves d) Viernes e) Sábado 7).- Si el ayer del mañana es sábado. ¿Qué día será el mañana del ayer de pasado mañana? a) Lunes b) Martes c) Miércoles d) Jueves e) Viernes 8).- Si el ayer del anteayer de mañana es lunes. ¿Qué día será el pasado mañana del mañana de anteayer? a) Lunes b) Martes c) Domingo d) Jueves e) Viernes 9).- ¿Qué día del año marcará la hoja de un almanaque cuando el número de hojas arrancadas excede en dos a los 3/8 del número de hojas que quedan? a) 11 de abril b) 12 de abril c) 13 de abril d) 10 de abril e) N.A. 10).- En un determinado mes el primer día cayó martes y el último también. ¿Qué día cayó el 20 de mayo de dicho año? a) Lunes b) Miércoles c) Sábado d) Jueves e) Martes 11).- ¿Qué fracción decimal de la hora viene a ser 24 minutos con 36 segundos? a) 0.52 b) 0.37 c) 0.71 d) 0.41 e) 0.49 12).- Un reloj segundos. En campanadas? a) 12 s d) 9 s

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da 6 campanadas en 5 cuántos segundos dará 12 b) 10 s e) 13 s

c) 11 s

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13).- Una alarma suena 5 veces por segundo, cuántas veces sonará en un minuto? a) 300 b) 240 c) 301 d) 241 e) 299 14).- ¿Cuántas campanadas dará en un día un reloj que indica cada hora con igual número de campanadas y cada media hora con una campanada? a) 178 b) 179 c) 160 d) 168 e) N.A 15).- ¿Cuál de las siguientes relaciones es correcta? I. A las 12h30min las agujas del reloj están diametralmente opuestas. II. Cuando el horario recorre 30° el minutero recorre 60 minutos. III. A las 6h 30min las agujas están superpuestas. a) Sólo I c) Sólo III

b) Sólo II d) I y II

e) I, II, III

16).- Un ciego da 20 golpes de bastón en cierto tiempo. ¿Cuántos golpes de bastón dará en el triple de tiempo? a) 60 b) 59 c) 58 d) 61 e) 62 17).- Un boxeador da 5 golpes en 40 segundos. ¿Cuánto se demorará para dar 20 golpes? a) 3min 10 seg b) 3min 20 seg c) 3min 30seg d) 2min 50seg e) 2min 40seg 18).- Si faltan transcurrir del día tanto como ya pasó hasta hace 6 horas. ¿Qué hora es? a) 6 pm b) 5 am c) 3 am d) 4 pm e) 3 pm 19).- Si las horas transcurridas del día exceden en 4 a los 2/3 de las horas no transcurridas, entonces la hora es : a) 12:00 b) 13:00 c) 12:45 d) 08:40 e) 08:30

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 20).- Si faltan para las 9:00 la mitad de los minutos que pasaron desde las 7:00. ¿Qué hora es? a) 7:50 b) 8:10 c) 8:20 d) 8:40 e) 8:30 21).- Un reloj demora “x” segundos en dar (x+y) campanadas. ¿Cuánto tiempo demora en dar “xy” campanadas? xy  1 xy  1 a) b) x  y 1 x  y 1

x( y  1) c) x  y 1

x( xy  1) d) ( x  y  1)

x( xy  1) e) ( x  y  1) 22).- Un reloj que se atrasa 6min cada 2 h sincronizado el 4 de mayo a las 4p.m. ¿Cuál seré l próximo día en la que volverá a marcar la hora exacta. a) 14 de mayo b) 16 de mayo c) 15 de mayo d) 12 de mayo e) 13 de mayo 23).- Un reloj se adelanta 1 min por hora si empieza correctamente a las 12 del medio día del jueves 16 de setiembre. ¿Cuándo volverá a señalar la hora correcta? a) 10 de octubre b) 16 de octubre c) 30 de setiembre d) 4 de octubre e) 20 de octubre 24).- Un reloj se atrasa 2 min, cada hora y otro se adelanta 3min cada hora. Si los dos se sincronizan al medio día con un reloj normal. Cada cuánto tiempo volverán a marcar la hora exacta los res relojes: a) 4 días b) 8 días c) 10 días d) 5 días e) 6 días 25).- Un reloj marcará la hora exacta a las 12 del medio día, al cabo de cuántos días tendrá un atraso de 2 días si se atrasa 10 min cada hora? a) 10 días b) 12 días c) 14 días d) 8 días e) 9 días

26).- Un reloj se adelanta 2min cada 3h a que hora empezó adelantarse si a las 11h 15min de la noche marca las 11h 27min. a) 5:15 am b) 4:15 am c) 6:15 am d) 4: 27 am e) 5: 15 pm 27).- Rita sale de su casa a las 1 pm (según su reloj) y llega al colegio a las 2pm (según su colegio); luego se percata que su reloj estaba atrasado 6min y el del colegio adelantado 14min. ¿Cuánto tiempo se demoró Rita? a) 32’ b) 40’ c) 48’ d) 52’ e) 42’ 28).- Un reloj adelanta 5min cada hora y otro adelanta 2min cada hora ambos relojes se ponen a la hora a las 12 del día. ¿Después de cuántas horas el primero estará adelantado una hora respecto al otro? a) 20h b) 18h c) 10h d) 15h e) 40h 29).- Un reloj se atrasa 2 min cada 45 min se puso a la hora a las 7:45pm. ¿Qué hora marcará cuando realmente sean las 8:30 am del día siguiente? a) 7:56 b) 8:04 c) 7:54 d) 7:45 e) 8:15 30).- Un reloj en lugar de tener 12 divisiones tiene 9 y cada vez gira una vez a su eje. ¿Qué hora marcará a las 4pm? a) 5h b) 6h c) 4h d) 3h e) 2h 31).- Un reloj que tiene 30h gira una sola vez en torno a su eje al día.?Qué ángulo forman las manecillas de dicho reloj cuando en un reloj normal sean las 12 del día? a) 0° b) 90° c) 180° d) 120° e) 150° 32).- Faltan para las 6 tanto como la mitad del tiempo que transcurrió desde las 4:36. ¿Qué hora es? a) 3:36 b) 5:30 c) 5:28 d) 5:32 e) 5:42

91

33).- Qué ángulo forman las manecilla de un reloj a las 2h 20’? a) 40° b) 50° c) 55° d) 45° e) 35° 34).- ¿Qué ángulo forman el horario y el minutero a las 10h40’? a) 70° b) 75° c) 80° d) 85° e) 90° 35).- ¿A qué hora entre las 4 y las 5 las agujas de un reloj se superponen? a) 4h 20

3 min 11

3 min 11 9 c) 4h22 min 11 9 min 11 8 e) 4h 21 min 11

b)

4h21

d)

4h21

36).- ¿A qué hora entre las 1 y las 2 se forma un ángulo recto por primera vez? a) 1h20

3 min 11

8 min 11 9 c) 1h21 min 11 9 min 11 8 e) 1h21 min 11

b)

1h22

d)

1h23

37).- ¿Cuántas veces se superponen las agujas de un reloj? a) 12 b) 24 c) 11 d) 22 e) 23

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RAZONAMIENTO MATEMÁTICO

CLAVES DE RESPUESTAS 01) b 02) a

03) d

04) e

05) b

06) e 07) a

08) d

09) b

10) c

11) d 12) c

13) d

14) e

15) b

16) c 17) a

18) e

19) a

20) c

21) d 22) a

23) b

24) e

25) b

26) a 27) b

28) a

29) a

30) b

31) c 32) d

33) b

34) c

35) c

36) c 37) e

92

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