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Universidad Andr´ es Bello Departamento de Matem´ aticas Facultad de Ingenieria Algebra I FMM-009 Ayudante: Francois Moraga

Ejercicios Resueltos Conjuntos 2do Semestre 2008

Problema 1 Problema 1.a Soluci´ on

Sabiendo que A, B, C ⊆ U demostrar que: (A ∪ B) ∩ (A ∪ B c ) ≡ A

Utilizando propiedades de conjuntos, tenemos que: (A ∪ B) ∩ (A ∪ B c ) A ∪ (B ∩ B c ) A∪Ø A

Problema 1.b

≡ ≡ ≡ ≡

A A /Distributividad A /Ley de Complementaci´on A /Ley de Identidad

(A ∪ B) ∪ (Ac ∩ B c ) ≡ U

Soluci´ on Utilizando propiedades de conjuntos, tenemos que: (A ∪ B) ∪ (Ac ∩ B c ) ≡ U (A ∪ B) ∪ (A ∪ B)c ≡ U U ≡ U Problema 1.c

/ /Ley de Morgan /Ley de complementaci´on

(A − B) − C ≡ (A − C) − B

Soluci´ on Utilizando propiedades, tenemos que: (A − B) − C (A ∩ B c ) ∩ C c (A ∩ C c ) ∩ B c (A − C) − B

≡ ≡ ≡ ≡

(A − C) − B (A − C) − B /Diferencia de conjuntos (A − C) − B /Asociatividad, conmutatividad (A − C) − B /Diferencia de conjuntos

Problema 1.d Soluci´ on

A − (B − C) ≡ A ∩ (B c ∪ C)

Utilizando propiedades, tenemos que: A − (B − C) ≡ A ∩ (B c ∪ C) c c A ∩ (B ∩ C ) ≡ A ∩ (B c ∪ C) /Diferencia A ∩ (B c ∪ C) ≡ A ∩ (B c ∪ C) /Ley de morgan

Problema 1.e Soluci´ on

C ∪ {[A − (B ∩ C)] − [(B ∩ C) − A]} ≡ A ∪ C

Por propiedades de conjuntos, tenemos que:

C ∪ {[A − (B ∩ C)] − [(B ∩ C) − A]} C ∪ {[A ∩ (B ∩ C)c ] ∩ [(B ∩ C) ∩ Ac ]c } C ∪ {[A ∩ (B ∩ C)c ] ∩ [(B ∩ C)c ∪ A]} C ∪ {A ∩ [(B ∩ C)c ∩ ((B ∩ C)c ∪ A)]} C ∪ {A ∩ (B ∩ C)c } (C ∪ A) ∩ (C ∪ (B c ∪ C c )) (C ∪ A) ∩ (U ) (C ∪ A)

≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡

A A A A A A A A

∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪

C C C C C C C C

/Diferencia /Ley de Morgan /Asociatividad /Absorci´on /Distributividad /Complementaci´on /Identidad

Problema 2

Si B − A = Ø demuestre utilizando algebra de conjuntos que: [(A − C)c − (B ∪ C)c ] ∩ [A ∪ (C − B)] ≡ C

Soluci´ on

Observese que si B − A = Ø, entonces B c ∪ A = U . Luego,

[(A − C)c − (B ∪ C)c ] ∩ [A ∪ (C − B)] [(A ∩ C c )c ∩ (B ∪ C)] ∩ [A ∪ (C ∩ B c )] [(Ac ∪ C) ∩ (B ∪ C)] ∩ [A ∪ (C ∩ B c )] [C ∪ (Ac ∩ B)] ∩ [(A ∪ C) ∩ (A ∪ B c )] [C ∪ Ø] ∩ [(A ∪ C) ∩ U ] C ∩ (A ∪ C) C

≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡

C C C C C C C

/Diferencia /Ley de Morgan /Distributividad /Hipotesis /Ley identidad /Absorci´on

Problema 3 Si A y B son conjuntos en un universo U . Se define una nueva operaci´ on A¬B = A ∪ B c . Usando las propiedades de las operaciones de conjuntos, demostrar que: [A ∩ (B ¬ A)] ∩ [A ¬ (B ¬ A)] ≡ A Soluci´ on que:

Utilizando algebra de proposiciones y la hipotesis del ejercicio, tenemos

[A ∩ (B ¬ A)] ∩ [A ¬ (B ¬ A)] [A ∩ (B ∪ Ac )] ∪ [A ∪ (B ∪ Ac )c ] [(A ∩ B) ∪ (A ∩ Ac )] ∪ [A ∪ (B c ∩ A)] [(A ∩ B) ∪ Ø] ∪ [A ∪ (B c ∩ A)] [(A ∩ B) ∪ Ø] ∪ A (A ∩ B) ∪ A A

≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡

A A A A A A A

/Hipotesis /Distributividad /Ley de complementaci´on /Absorci´on /Identidad /Absorci´on

Problema 4 En un peri´ odico, sobre 50 empleados de una secci´on se sabe que 16 son s´olo reporteros, 14 fot´ ografos no diagramadores y entre estos hay 4 que a la vez son reporteros, 5 son diagramadores u ´nicamente, 4 diagramadores y fot´ografos, 3 son diagramadores y reporteros. Adem´as, hay 8 empleados que s´olo cubren otras especialidades de la secci´ on. Realice un diagrama de Venn-Euler y algebraicamente. Determinar cuantos empleados desarrollan las tres especialidades. Soluci´ on

Observe que al realizar un diagrama de venn, tenemos que:

Apartir del enunciado podemos determinar que: a = 16 d + g = 14 −→ g = 10 c = 5 e+f

= 4

(∗) b + e = 3 h = 8

Observese que el n´ umero de empleados es de 50, esto quiere decir que: a + b + c + d + e + f + g + h = 50 Luego, ordenando tenemos que: a + b + c + d + e + f + g + h = 50 a + c + h + (d + g) + (e + f ) + b = 50 16 + 5 + 8 + 14 + 4 + b = 50 b = 50 − 47 b = 3

Entonces, las ecuaciones anteriores nos permitieron calcular b = 3, de esta forma tenemos que si reemplazamos en (∗) llegamos a que e = 0. Esto quiere decir que no hay empleados que desarrollen las tres especialidades.

Problema 5 Un total de 60 clientes potenciales visitaron una tienda de art´ıculos de computadores. De todos, 52 compraron alg´ un articulo; 20 compraron papel; 36 compraron disquetes y 12 compraron tinta para impresoras. Si 6 compraron papel y disquetes, 9 compraron disquetes y tinta, por u ´ltimo 5 compraron papel y tinta. ¿Cu´antos compraron los tres art´ıculos? ¿Cu´antos compraron al menos un art´ıculo? Dibuje el diagrama de Venn-Euler que represente la situaci´on. Soluci´ on Si formamos el diagrama de Venn, bajo las condiciones del ejercicio tenemos que:

A partir del enunciado podemos determinar las siguientes ecuaciones. a + b + c + d + e + f + g + h = 60 a + b + c + d = 20 −→ a + d = 15 d + e + f + g = 36 −→ f + g = 30 b+e+c+f

= 12 −→ b + c = 3

d+e = 6 e+f

= 9

b+e = 5 h = 8

Observe que nuestro trabajo es encontrar el valor de e. para ello sabemos que: a + b + c + d + e + f + g + h = 60 (a + d) + (f + g) + (b + c) + h + e = 60 15 + 30 + 3 + 8 + e = 60 e = 60 − 56 e = 4

de esta manera tenemos que 4 clientes compraron los tres articulos. ¿Cu´antos compraron al menos un articulo?. La respuesta esta en el enunciado. (pienselo)