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• Luis Alberto Naal Ayil

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Luis Alberto naal ayil

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Introducción En este tema de las operaciones con vectores y sus propiedades se darán a conocer los aspectos que lo involucran donde se llevan operaciones de aspectos de producto escalar y suma de vectores donde se describen sus propiedades de cada uno y algunas formas de graficarlos y ejemplos.

Operaciones con vectores Producto por escalar Sean un vector u de Rn, y un escalar α de R, se define el producto por escalar del vector u y el escalar α como

au = (au , au 2 ,..., au n )

Efectos El producto escalar produce alargamientos o contracciones sobre el vector u, estos dependen del escalar que interviene en la operación, esto es 1.

Si a > 1, entonces el vector au tiene magnitud o norma mayor que la norma de u y conserva la dirección de u.

2.

Si 0 < a < 1, entonces el vector au tiene magnitud o norma menor que la norma de u y conserva la dirección de u.

3.

Si —1 < a < 0, entonces el vector au tiene magnitud o norma menor que la norma de u y direccioón contaria a la de u.

4.

Si a < —1, entonces el vector au tiene magnitud o norma mayor que la norma de u y dirección contaría a la de u .

Ejemplo 1 Dados el vector u = (— 1, 2, 4) y escalar a = 7 encontrar el producto au, un vector unitario en la dirección del vector u y un vector con magnitud 10 con dirección contraria a la de u.

Solución De acuerdo con la definición que se dio de producto escalar, tenemos 7u = (7(—1), 7(2), 7(4)) = (—7,14, 28)

Un vector unitario en la dirección del vector u se consigue con la expresión

Asi, el vector unitario es

A este último se le conoce como el vector normalizado de u, o la normalizacion del vector Para conseguir un vector de longitud 10 con dirección contraria de , basta con multiplicar por 10 el vector unitario encontrado en el ejemplo anterior y cambiar su dirección, esto equivale a multiplicar por -1, es decir, el vector se consigue multiplicando el vector unitario por -10, esto es,

Propiedades del Producto por Escalar Sean u y v dos vectores de R n a y 3 dos escalares cualesquiera. Entonces 1.

au es un elemento de R n .

2.

1 u = u.

3.

(a3)u = a ( f l u ) = 3 (au).

4.

a(u + v) = au + av.

5.

(a + 3)u = au + /3u

Suma de

vectores

Dados dos u y v

de R4 vectores se define la suma de u

yv

como sigue

u + v = (ui + vi,u2 + v 2 , ...,u n + v n ) .

Gráficamente podemos representar la suma así

Método del Paralelogramo

Método del Triangulo

Notemos que la suma se da componente a componente, y el vector suma es también un vector de Rn. Usando la operación producto por escalar, podemos definir la resta a partir de la suma, como sigue u - v = u + (-v) = (ui - vi,u2 - v2, ...,u n - v n ) .

Ejemplo 2 Dados los vectores u = (2,4, 6, 8) y v = (-1,-3, 6,8) de Rn Hallar 1. u + v 2. 3u + §v 3.

v - 4 u - (2u + 8v)

Solución 1.

u + v = (2,4, 6, 8) + (-1,-3, 6, 8) = (2 - 1, 4 - 3, 6 + 6, 8 + 8) = (1,1,12,16)

2. 3u + §v = 3(2, 4, 6, 8) + § (-1, -3, 6, 8) = (6,12,18, 24) + ¡(-2/3, -6/3,12/3,16/3) 3.

v - 4 u - (2u + 8v) = v - 4 u - 2 u - 8 v = -7 v - 6 u = -7(-1, -3, 6, 8) - 6(2, 4, 6,8) = (7, 21, -42, -56) + (-12, -24, -36, -48) = (-5, -3, -78, -104)

Propiedades de la Suma de Vectores Dados u, v y w en R n . Entonces

1.

u + v es un vector de

2.

u + v = v + u.

3.

(u + v) + w = u + (v + w).

4.

u + 0 = 0 + u, donde el vector 0 = (0, 0,....., 0) es el unico con esta

5.

propiedad. u + (-u) = (-u) + u = 0, a -u se le llama el inverso aditivo de u, y es el único con esta propiedad.

Rn.

El conjunto Rn con las operaciones Producto por escalar y suma, conforma lo reconoceremos como espacio vectorial.

Conclusión Se entendió de que para hallar vectores se necesitan operaciones de producto escalar y de suma pero se debe saber cual usar para obtener los resultados correctos y que de igual forma uno puede graficar dependiendo los resultados que se tengan.