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• Angélica Ushiña Reinoso

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PROBLEMA: Considerando a una partícula restringida a un movimiento en tres dimensiones y confinada a rebotar entre las seis paredes sólidas de una caja, determinar mediante la ecuación de onda de Schrödinger independiente del tiempo los valores de energía que pueda tener dicha partícula. Para casos en los cuales tenemos más de una coordenada para la especificación de la función de onda ψ como ocurre en este problema en donde la función de onda en lugar de ser ψ(x) es ahora ψ(x,y,z), la ecuación de onda de Schrödinger tiene que ser utilizada en su forma original con el restablecimiento del operador Laplaciano ∇. Esto implica que la ecuación de onda de Schrödinger que tendrá que ser utilizada para la solución de este problema en tres dimensiones en los ejes coordenados Cartesianos rectangulares es la siguiente:

Al igual que como ocurrió con el problema unidimensional, podemos suponer que la energía de la partícula que está encerrada confinada a moverse dentro de una caja no tiene otra componente más que su energía cinética, lo cual significa que el término de la energía potencial V(x,y,z) en la ecuación de Schrödinger dentro de la caja es igual a cero: V(x,y,z) = 0 Del mismo modo, para que la partícula no pueda salir de la caja podemos considerar que el potencial fuera de la misma es tan grande que podría considerarse infinito, lo cual efectivamente confina a la partícula a permanecer atrapada en la caja, de modo tal que la probabilidad de encontrar a la partícula fuera de la caja es igual a cero y por lo tanto la función de onda ψ fuera de la caja debe ser igual a cero. Para casos como estos casos la técnica matemática más ampliamente utilizada es la de separación de variables. Esta técnica requiere escribir la función de onda como el producto de varias funciones, cada una de las cuales depende únicamente de una sola coordenada. En este caso: ψ(x,y,z) = X(x)Y(y)Z(z) Tomando las derivadas parciales: ∂ψ/∂x = Y(y) Z(z) dX/dx___∂²ψ/∂x² = Y(y) Z(z) d²X/∂x² ∂ψ/∂y = X(x) Z(z) dY/dy___∂²ψ/∂y² = X(x) Z(z) d²Y/∂y² ∂ψ/∂z = X(x) Y(y) dZ/dz___∂²ψ/∂z² = X(x) Y(y) d²Z/∂z² Metiendo todo esto en la ecuación de Schrödinger y dividiendo ambos miembros entre X(x)Y(y)Z(z) obtenemos entonces:

Si la energía de la partícula puede ser considerada como la suma obtenida de las contribuciones individuales debidas a cada una de las coordenadas, podemos entonces formalizar tal hecho del modo siguiente: E = Ex + Ey + Ez Igualando las componentes del lado izquierdo en la ecuación de Schrödinger con las componentes del lado derecho obtenemos entonces tres ecuaciones distintas:

La separación de variables se pudo llevar a cabo porque las funciones X(x), Y(y) y Z(z) son cada una funciones de variables que pueden cambiar independientemente la una de la otra. Si Y(y) y Z(z) son mantenidas constantes, por ejemplo, el segundo término y el tercer término en el lado izquierdo de la ecuación de Schrödinger deben ser iguales a cero. Y puesto que la energía E es constante, el primer término en el lado izquierdo debe ser constante; es el término al cual llamamos Ex desde el lado derecho de la ecuación, con lo cual obtenemos la primera de las tres ecuaciones de arriba. Los mismos argumentos son aplicables a las otras dos variables produciéndonos las otras dos ecuaciones. Lo importante en todo caso aquí es que hemos logrado convertir una ecuación diferencial parcial en tres ecuaciones diferenciales ordinarias que pueden ser resueltas fácilmente. Trabajando en forma similar a como lo hicimos en el caso unidimensional y suponiendo que la dimensión de la caja a lo largo de la coordenada-x es a, la solución de la primera ecuación diferencial ordinaria es:

mientras que la solución de la segunda ecuación diferencial ordinaria suponiendo que la dimensión de la caja a lo largo de la coordenada-y es b es:

Por último, la solución de la tercera ecuación diferencial ordinaria suponiendo que la dimensión de la caja

a lo largo de la coordenada-z es c es:

Como puede verse, tenemos tres números cuánticos en lugar de uno solo, n1, n2 y n3, habiendo un número cuántico para cada coordenada. Aplicando los mismos razonamientos que los utilizados en el caso unidimensional, los niveles permisibles de energía serán entonces: E = Ex + Ey + Ez

Si la caja es una caja simétrica, o sea a = b = c = L, entonces los niveles permisibles de energía estarán dados por la siguiente relación:

Mientras que para una caja unidimensional el estado del sistema podía ser especificado dando un solo número cuántico, esto deja de ser válido para una caja cúbica porque una energía puede ser lograda mediante combinaciones distintas de los tres números cuánticos n1, n2 y n3. Si definimos los siguientes números k:

entonces la solución general ondulatoria al problema de la partícula en una caja tridimensional será igual al producto de las tres funciones de onda respectivas para cada coordenadas escrito de la siguiente manera:

Los números cuánticos: n1 = 2__ n2 = 1__n3 = 1 n1 = 1__ n2 = 2__n3 = 1 n1 = 1__ n2 = 1__n3 = 2 ciertamente especifican distintos estados del sistema (distintas funciones de onda), pero cada uno de estos tres estados posee la misma energía que los otros dos. Se dice que un nivel de energía así representa

un estado degenerado, siendo la degeneración igual al número de funciones de onda independientes del sistema, en este caso tres. Ya habíamos encontrado una situación así en la Mecánica Matricial al señalar que dentro de una matriz que representa una cantidad física tenemos varias entradas con valores propios eigen iguales. Pero en ese caso manejábamos matrices que representan cantidades físicas cuyas entradas en la matriz son valores que pueden ser medidos en el laboratorio, y si hay valores iguales en una misma matriz entonces tenemos una degeneración. Al aplicar la ecuación de onda de Schrödinger para la solución de los problemas presentados aquí no hemos recurrido a ningún tipo de matriz, pero nuevamente nos hemos topado con los estados degenerados. Esto no es ninguna coincidencia, porque resulta que los estados degenerados de un sistema obtenidos mediante las técnicas de la Mecánica Matricial resultan ser los mismos para un mismo problema que los estados degenerados obtenidos mediante la ecuación de Schrödinger.