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• Roux Hernandez Martinez

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INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE CALKINI

Nombre de la asignatura: Algebra Lineal Carrera: Ingeniería en Sistemas Computacionales Clave: ACF-0903 Hrs. teoría - Hrs. práctica - Créditos: 3 - 2 - 5 EN EL ESTADO DE CAMPECHE

TEMARIO U

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RAMIRO JOSE GONZALEZ HORTA A r q u i t e c t o

Arq. Ramiro González Horta. Junio 2011

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Espacios Vectoriales. 4.1 Definición de espacio vectorial. 4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades. 4.3 Combinación lineal. Independencia lineal. 4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base. 4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades. 4.6 Base ortonormal, proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt.

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Espacios Vectoriales. 4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base. BASES Y DIMENSIÓN DEFINICIÓN Base Un conjunto finito de vectores v1, v2, . . ., vn es una base para un espacio vectorial V si i. v1, v2, . . ., vn es linealmente independiente ii. v1, v2, . . ., vn genera V. Todo conjunto de n vectores linealmente independiente Rn es una base en Rn En Rn se define

e1 =

1 0 0 . . 0

,

e2 =

0 1 0 . . 0

,

e3 =

0 0 1 . . 0

,........,

en =

0 0 0 . . 1

Base canónica.- Entonces, como los vectores e1 son las columnas de una matriz identidad e1, e2, . . ., en es un conjunto linealmente independiente y, por lo tanto, constituye una base en Rn. EJEMPLO 1 0 0 0 0 0 0 1 0 Base canónica para M220 que , 1 0 ,0 1 y 0 0 generan a M22 Si 0 0 0 0 C C 1 0 0 1 0 0 = C01 0 + 0C2 0 = 0 + 1 C4 1+ C 03 0 0 C C , entonces es obvio que c1 = c2=c3=c4= 0. Así, estas matrices son linealmente independientes y forman una base para M22 . 1 3

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DEFINICIÓN Dimensión.- Si el espacio vectorial V tienen una base finita, entonces la dimensión de V es el número de vectores en todas las bases y V se llama espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, V

se llama espacio de dimensión infinita. Si V = 0 , entonces se dice que V tiene dimensión cero. EJEMPLO La dimensión de Rn Como n vectores linealmente independientes en Rn constituye una base, se ve que Dim Rn = n

Cambio de base Sea x un vector que en base B1 (de vectores unitarios u1, u2, ...) será igual a m1u1+ m2u2 + m3u3 + ... El mismo vector, utilizando otra base B2 (de vectores unitarios v1, v2, ...) será n1v1+ n2v2 + n3v3 + ... Supongamos que u1, u2, ... se representan en la base B2 de esta forma: u1 = a11v1 + a21v2 + ... + an1vn u2 = a12v1 + a22v2 + ... + an2vn ............................................................. un = a1nv1 + a2nv2 + ... + annvn Por lo tanto, sustituyendo estas ecuaciones en la fórmula original nos queda: x = m1(a11v1 + a21v2 + ... + an1vn ) + m2(a12v1 + a22v2 + ... + an2vn) + ... Reordenando queda: x = (m1a11 + m2a12 + ... + mna1n)v1 + ... + (m1an1 + m2an2 + ... + mnann)vn Comparando con la fórmula x = n1v1+ n2v2 + n3v3 + ... deducimos que: n1 = m1a11 + m2a12 + ... + mna1n n2 = m1a21 + m2a22 + ... + mna2n ................................................................. nn = m1ann + m2an2 + ... + mnann Esto se puede expresar de forma matricial:

n1 a11 + a12 + ... + a1n m1 n2 = a21 + a22 + ... + a2n m2 ..... ........................................ nn a2n + an2 + ... + ann mn Llamando A a la matriz de coeficientes, X' al vector en la base B2 y X al vector en la base B1 nos queda: X' = AX despejando X nos queda: X = A-1X'

Base Un conjunto de vectores {v1, v2, ..., vn} forma una base para V si i. {v1, v2, ..., vn} es linealmente independiente. ii.{v1, v2, ..., vn} genera V. Asi pues, Todo conjunto de n vectores linealmente independientes enℜn es una base en ℜn En ℜn definimos

Como los términos ei son las columnas de la matriz identidad (cuyo determinante es 1), entonces {e1, e2, ..., en} es linealmente independiente y, por tanto, constituye una base en ℜn. Esta entidad especial se llama base canónica en ℜn.

Teorema 1. Si {v1, v2, ..., vn} es una base de V y si v ∈ V, entonces existe un conjunto único de escalares c1, c2, ..., cn tales que v= c1v1, c2v2, ..., cnvn. Teorema 2. Si {u1, u2, ..., un} y {v1, v2, ..., vn} son bases del espacio vectorial V, entonces m = n; esto es, cualesquiera dos bases en un espacio vectorial V poseen el mismo número de vectores.

Dimensión Si el espacio vectorial V posee una base finita, la dimensión de V es el número de vectores en la base, y V se llama espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, V se denomina espacio vectorial de dimensión infinita. Si V = {0}, entonces V se dice que es de dimensión cero. Notación. Se simboliza la dimensión de V como dim V. Teorema 3. Supóngase que dim V = n. Si u1, u2, ..., um es un conjunto de m vectores linealmente independientes en V, entonces m ≤ n. Teorema 4. Sea H un subespacio del espacio vectorial V de dimensión finito. Entonces H es finito-dimensional y dim H ≤ dim V Demostración. Sea dim V = n. Cualquier conjunto de vectores en H linealmente independiente, lo es tambien en V. Por el Teorema 3, cualquier conjunto linealmente independiente en H, cuando más, contiene n vectores. Así pues, H es de dimensión finita. Más aún, como una base en H es un conjunto linealmente independiente, se ve que dim H ≤ n. Teorema 5. Cualesquiera n vectores linealmente independientes en un espacio vectorial V de dimensión n, constituyen una base.