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• Marco Cisneros Pacheco

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ARITMÉTICA CEPRE UNI

NÚMEROS RACIONALES

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Relación de equivalencia Dado el conjunto A≠∅ y 𝑅 una relación definida sobre A. Decimos que 𝑅 es una relación de equivalencia si cumple las siguientes propiedades: Reflexiva Si para todo 𝑥 ∈ 𝐴 se tiene (𝑥, 𝑥) ∈ 𝑅. Simétrica Si (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅 se tiene (𝑦, 𝑥) ∈ 𝑅. Transitiva Si 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑅 y (𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅 se tiene (𝑥, 𝑧) ∈ 𝑅.

Notaciones: En adelante escribiremos 𝑥𝑥𝑥 en vez de (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅. Usaremos las letras 𝑅,~, etc para denotar una relación.

Ejemplos: Para 𝐴 = {1,2,3}, definamos las relaciones sobre 𝐴 :

a) b) c) d)

𝑅1 = { 1,1 , 1,2 , 2,1 , (2,2)} 𝑅2 = 1,1 , 2,2 , 3,3 𝑅3 = 1,1 , 1,2 , 2,1 , 2,2 , 3,3 𝑅4 = ∅

Los ejemplos b) y c) son relaciones de equivalencia, a) y d) no son relaciones de equivalencia sobre A.

Clase de equivalencia Dada la relación de equivalencia 𝑅 sobre 𝐴, para cada 𝑥 ∈ 𝐴 definamos el conjunto 𝑥 = {𝑎 ∈ 𝐴: 𝑥𝑥𝑥} como la clase de equivalencia del elemento 𝑥.

Nota: Este conjunto agrupa todos los elementos de 𝐴 que están relacionados con 𝑥. Ejemplos: De los ejemplos anteriores se tiene • Para 𝑅2 : 1 = 1, 2 = 2 y 3 = 3 • Para 𝑅3 : 1 = 1,2 = 2 y 3 = 3

Conjunto cociente Dada la relación de equivalencia 𝑅 sobre 𝐴, definamos el conjunto cociente 𝐴 = { 𝑥 : 𝑥 ∈ 𝐴} 𝑅

Nota: La relación de equivalencia 𝑅 permite particionar el conjunto A en conjuntos disjuntos. Ejemplos: De los ejemplos anteriores se tiene • Para 𝑅2 : 𝐴 ={1, 2, 3} 𝑅2

• Para 𝑅3 : 𝐴 ={1, 3} 𝑅3

Números Racionales Dado el conjunto F=𝑍𝑍𝑍 ∗ ≠∅ y ~ una relación definida sobre F por Se tiene:

(𝑎, 𝑏)~(𝑐, 𝑑) ↔ 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏

• ~ es relación de equivalencia. • La clase de equivalencia esta dada por (𝑎, 𝑏) =

𝑐, 𝑑 ∈ 𝐹: 𝑐, 𝑑 ~ 𝑎, 𝑏 .

Es más estos son puntos que pertenecen a una recta que pasa por el origen. 𝐹

• El conjunto cociente = { 𝑎, 𝑏 : (𝑎, 𝑏) ∈ 𝐹} se denomina el ~ conjunto de los números racionales.

Operaciones entre números Racionales 𝑎

En adelante denotemos (𝑎, 𝑏) = y definamos las siguientes 𝑏 operaciones: Adición 𝑎 𝑐 𝑎𝑑 + 𝑏𝑏 + = 𝑏 𝑑 𝑏𝑏 Multiplicación 𝑎 𝑐 𝑎𝑐 × = 𝑏 𝑑 𝑏𝑏 Ejemplos:

• •

1 2

−3 4

+

×

−3 4

4 −3

=

=

−2 8

=

−12 −12

−1 4

=

1 1

Densidad en los números reales Decimos que 𝐴 es denso en 𝑅 si para todo x, y ∈ 𝑅 con x < y se tiene que existe un z ∈ 𝐴 tal que x < z < y. Ejemplos: Son conjuntos densos en 𝑅 • 𝑄, 𝐼 y 𝑅. • 𝑁 𝑐 𝑦 𝑍𝑐 .

Observación: En general el complemento de todo conjunto discreto resulta denso en 𝑅.