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Carlos Gabriel Gómez Villagrán Matemática Aplicada para Proyectos

Maestría en Formulación y Evaluación de Proyectos Escuela de Postgrado Ciencias Económicas Universidad de San Carlos de Guatemala



Aplicaciones financieras ◦ ◦ ◦ ◦ ◦

Interés compuesto Valor presente TIR Anualidades Amortización de préstamos

▪

▪

El interés mide la rentabilidad del dinero o capital que se utiliza en una ahorro y/o préstamo. Tipos de interés ▪ Interés Simple ▪ Mide la rentabilidad sobre el capital inicial prestado o depositado. ▪ Se puede calcular de la forma siguiente: ▪ 𝑪𝒏 = 𝑪𝒐 𝟏 + 𝒊𝒏 ▪ Donde: ▪ Cn = Capital futuro en n períodos ▪ Co = Capital inicial ▪ i = interés ▪ n = número de períodos

▪

Tipos de interés ▪ Interés Compuesto ▪ La rentabilidad generada se va sumando período a período al capital inicial, dicho de otra forma se va capitalizando (reinvertir o añadir al capital inicial). ▪ Se puede calcular de la siguiente forma: ▪ 𝐂𝐧 = 𝐂𝐨 𝟏 + 𝐢 𝐧 ▪ Tasa interés por período con capitalizaciones m veces al año ▪ 𝒊𝒎 = 𝟏 + 𝒊𝒆𝒇

𝟏Τ 𝒎

−𝟏

▪ Número de períodos ▪ 𝒏=

𝒍𝒐𝒈 𝑪𝒏ൗ𝑪𝒐 𝒍𝒐𝒈 𝟏+𝒊



Una persona deposita 100 u.m. en un banco que garantiza un interés compuesto anual del 5%. ¿Qué importe recibe la persona al cabo de 2 años? ¿y al cabo de 27 meses? i

i

Capitalización

Capitalización

Co 

A los 2 años: ◦ 𝐂𝟐 = 𝐂𝐨 𝟏 + 𝐢



C2

C1 𝐧

= 100 (1 + 0.05)2 = 110.25

En 27 meses  12 meses ---- 1 año  27 meses ---- x años

 𝑪𝟐.𝟐𝟓 = 𝐂𝐨 𝟏 + 𝐢

x = (27*1)/12 = 2.25 𝐧

= 100 (1 + 0.05)2.25 = 116.60



Una persona deposita 200 u.m. en un banco que garantiza un tipo de interés compuesto anual del 6%. ¿Qué importe recibe al cabo de 21 meses?

200 

C21

Interés x período, ▪ 𝒊𝒎 = 𝟏 + 𝒊𝒆𝒇

𝟏Τ 𝒎

− 𝟏 = 𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟔

𝑪𝟐𝟏 = 𝐂𝐨 𝟏 + 𝒊𝟏𝟐

𝒎

𝟏ൗ 𝟏𝟐

− 𝟏 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟖𝟔8

= 200 (1 + 0.004868)21 =221.47



Una persona deposita 100 u.m. en un banco que garantiza un interés simple anual del 6%. ¿Qué importe recibe la persona al cabo de 3 años? ¿y al cabo de 42 meses?

◦ 𝐶𝑛 = 𝐶𝑜 + 𝐶0 𝑖𝑛 = 𝐶0 (1 + 𝑖𝑛)

◦ 𝐶3 = 100 1 + 0.06 ∗ 3 = 118 𝑢. 𝑚 ◦ A los 42 meses pasarlos a años

◦ 𝐶42 = 100 1 + 0.06 ∗ 3.5 = 121 𝑢. 𝑚

Una persona deposita 500 u.m. en un banco que garantiza un tipo de interés compuesto anual del 3%. Si al cabo del tiempo recibe 579.64 u.m., se pide calcular el periodo que el dinero ha estado en el banco? ◦ Co=500, i=3%, Cn=579.64 y n=?

◦ 𝐂𝐧 = 𝐂𝐨 𝟏 + 𝐢 𝐧 , se despeja n ◦

𝐶𝑛 𝐶0

◦ ln

= (1 + 𝑖)𝑛 =⇒ ln 𝐶𝑛 𝐶𝑜

𝐶𝑛 𝐶𝑜

= ln 1 + 𝑖

𝑛

➔

𝐶𝑛

= nln 1 + 𝑖

=⇒ 𝑛 =

𝑙𝑛 𝐶𝑜 ln(1+𝑖)

=

𝑙𝑛

579.64 500

ln(1+0.03)

= 5𝑎ñ𝑜𝑠

◦ Una persona deposita 200 u.m. en un banco que garantiza un tipo de interés compuesto anual i. Pasados 6 años recibe 253.06 u.m. ¿Se pide calcular el tipo de interés aplicado?

◦ Co=200, n=6 años, Cn=253.06 e i=? ◦ 𝐂𝐧 = 𝐂𝐨 𝟏 + 𝐢 𝐧 , se despeja i

◦ 𝑖=

𝐶𝑛 𝐶𝑜

1Τ 𝑛

−1=

253.06 200

1Τ 6

− 1 = 0.04 = 4% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙



Es el valor monetario hoy en día, dado un valor futuro. ACTUALIZAR A i FNC1

FNC2

FNC3

FNC4

Io



Donde: ◦ Io = Inversión inicial en el año 0

◦ FNC = Flujo neto de caja = beneficios ◦ I = tasa de actualización, tasa de descuento, cto. De capital, tipo de interés y tasa de rendimiento mínimo aceptable (TREMA)

◦ Forma de calcular:

 𝐂𝐧 = 𝐂𝐨 𝟏 + 𝐢

 𝐂𝐨 =

𝐧

𝑪𝒏 𝟏+𝐢 𝐧

 𝑉𝐴𝑁 = −𝐼𝑜 +  𝑉𝐴𝑁 = −𝐼𝑜 +

𝑛 𝑭𝑵𝑪𝒊 σ𝑖=1 𝟏+𝐢 𝒊

𝑭𝑵𝑪𝟏 𝟏+𝐢 𝟏

+

𝑭𝑵𝑪𝟐 𝟏+𝐢 𝟐

+

𝑭𝑵𝑪𝟑 𝟏+𝐢 𝟑

+

𝑭𝑵𝑪𝟒 𝟏+𝐢 𝟒



Se nos presenta una decisión de inversión que tiene un desembolso inicial de 70 u.m. y genera un flujo neto de caja el primer año de 15 u.m. y de 60 u.m. el segundo. Se pide calcular la VAN sabiendo que i=5%.

0 70

𝑭𝑵𝑪𝟏 𝟏+𝐢 𝟏

+

𝑭𝑵𝑪𝟐 𝟏+𝐢 𝟐

𝟏𝟓 𝟏+𝟎.𝟎𝟓 𝟏

+

𝟔𝟎 𝟏+𝟎.𝟎𝟓 𝟐



𝑉𝐴𝑁 = −𝐼𝑜 +



𝑉𝐴𝑁 = −70 +

= −𝟏. 𝟐𝟗

15

60

1

2



Una empresa está analizando invertir en un proyecto cuyo coste inicial es de 400,000 u.m. y que se prevé que genere un flujo neto de caja anual de 132,000 u.m. durante los próximos 6 años. ¿Calcule el VAN si el coste del capital es del 5%? 132 132 132

132 132 132

400 

𝑉𝐴𝑁 = −400 + 𝟏𝟑𝟐 𝟏+𝟎.𝟎𝟓 𝟔

 

𝟏𝟑𝟐 𝟏+𝟎.𝟎𝟓 𝟏

𝟏𝟑𝟐 𝟏+𝟎.𝟎𝟓 𝟐

+

+

𝟏𝟑𝟐 𝟏+𝟎.𝟎𝟓 𝟑

+

𝟏𝟑𝟐 𝟏+𝟎.𝟎𝟓 𝟒

+

𝟏𝟑𝟐 𝟏+𝟎.𝟎𝟓 𝟓

+

= 𝟐𝟔𝟗. 𝟗𝟗𝟏 𝒎𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒓𝒍𝒐 𝒙 𝒎𝒊𝒍.

Flujos netos constantes: 𝑉𝐴𝑁 = −𝐼𝑜 +

1− 1+𝑖 −𝑛 𝐹𝐶 𝑖

=⇒ −400 +

1− 1+0.05 −6 132 0.05

= 269.991 𝑥 𝑚𝑖𝑙

➢ Una empresa esta analizando un proyecto de mejora del servicio de atención al cliente para los primeros 5 años. Para ello, estudia subcontratar una empresa especializada en este tipo de servicio. El coste del servicio ascendería a 150,000 u.m. anuales y se estima que la mejora en el servicio al cliente incrementará los ingresos anuales en 200,000 u.m. Calcule el VAN sabiendo que el coste del capital es del 5% anual. 50

50

50

50

50

1

2

3

4

5

◦ Io = 0 0

◦ FNC = 200 -150 = 50 ◦ 𝑉𝐴𝑁 = −𝐼𝑜 +

1− 1+𝑖 −𝑛 𝐹𝐶 𝑖

=⇒ −0 +

1− 1+0.05 −5 50 0.05

= 216.474 𝑥 𝑚𝑖𝑙

◦ La TIR es aquel tipo de interés que hace que el VAN sea igual a 0.



Se presenta una decisión de inversión que tiene un desembolso inicial de 70 u.m. y genera un flujo de caja el primer año de 15 u.m. y de 60 u.m. el segundo año. Se pide calcular la TIR de la inversión.



𝑉𝐴𝑁 = −𝐼𝑜 +



0 = −70 +

 

𝑭𝑵𝑪𝟏 𝟏+𝐢 𝟏

𝟏𝟓 𝟏+𝑻𝑰𝑹 𝟏

+

+

𝑭𝑵𝑪𝟐 𝟏+𝐢 𝟐

𝟔𝟎 𝟏+𝑻𝑰𝑹 𝟐

Hacer un cambio de variable: x = (1+TIR)

0 70

15

60

1

2

 



Hacer un cambio de variable: x = (1+TIR), entonces queda la ecuación:

0 = −70 + −70𝑥 2

+

𝟏𝟓 𝒙 𝟏

+

𝟏𝟓 2 𝑥 𝒙 𝟏

𝟔𝟎 𝒙 𝟐

y la ecuación la multiplico por X2

𝟔𝟎 𝟐 +𝒙 𝒙 𝟐



0=



0 = −70𝑥 2 + 15𝑥 + 60



  

  

 

0 = −70𝑥 2 + 15𝑥 + 60 resuelvo

𝑥=

−𝑏± 𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎

=

−15± 152 −4(−70)(60) 2(−70)

X1= 1.0391 X2= -0.825 Entonces si: x = 1 + TIR X1 = 1 + TIR ➔ 1.0391=1+TIR Despejando TIR TIR = 0.391 TIR = 3.91%







Se presenta una decisión de inversión que tiene un desembolso inicial de 1000 u.m. y genera unos flujos netos de caja de 300 u.m. el primer y el segundo año y de 600 u.m. el tercero. Se pide calcular la TIR de la inversión.

𝑉𝐴𝑁 = −𝐼𝑜 +

𝑭𝑵𝑪𝟏 𝟏+𝐢 𝟏

V𝐴𝑁 = −1000 +

𝟑𝟎𝟎 𝟏+𝒊 𝟏

+

𝑭𝑵𝑪𝟐 𝟏+𝐢 𝟐

+

𝟑𝟎𝟎 𝟏+𝐢 𝟐

+

+

𝑭𝑵𝑪𝟑 𝟏+𝐢 𝟑

𝟔𝟎𝟎 𝟏+𝐢 𝟑

=𝟎



0 = −1000 +

𝟑𝟎𝟎 𝟏+𝒊 𝟏

VAN 0

+

𝟑𝟎𝟎 𝟏+𝐢 𝟐

+

𝟔𝟎𝟎 𝟏+𝐢 𝟑

Interés positivo

Interés negativo

𝟑𝟎𝟎 𝟏+𝒊 𝟏

+

𝟑𝟎𝟎 𝟏+𝐢 𝟐

V𝐴𝑁 = −1000 +



Tipo de interés positivo i1 = 8% 𝟑𝟎𝟎 𝟏+𝟎.𝟎𝟖 𝟏

𝟑𝟎𝟎 𝟏+𝟎.𝟎𝟖 𝟐



V𝐴𝑁1 = −1000 +



Tipo de interés negativo i2 = 10% 𝟑𝟎𝟎 𝟏+𝟎.𝟏𝟎 𝟏



V𝐴𝑁2 = −1000 +



Aplicando esta fórmula



𝑇𝐼𝑅 = 𝑖1 + 𝑖2 − 𝑖1

𝑉𝐴𝑁1 𝑉𝐴𝑁1−𝑉𝐴𝑁2

+

+

𝟔𝟎𝟎 𝟏+𝐢 𝟑



+

𝟑𝟎𝟎 𝟏+𝟎.𝟏𝟎 𝟐

+

𝟔𝟎𝟎 𝟏+𝟎.𝟎𝟖 𝟑

= 𝟏𝟏. 𝟐𝟕

+

𝟔𝟎𝟎 𝟏+𝟎.𝟏𝟎 𝟑

= 𝟐𝟖. 𝟓𝟓

= 0.08 + 0.1 − 0.08

11.27 11.27−(−28.55)

= 0.08566