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• Enrique Zavala

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    Métodos de Energía  En la sección anterior estudiamos la relación entre la fuerza, la masa y la aceleración en un sistema cualquiera, así como sus implicaciones en cuanto al comportamiento general de un cuerpo, ahora daremos paso al análisis de otra situación que también es común, ¿Qué ocurre cuando por ejemplo te piden en casa que muevas el refrigerador porque hay debajo un objeto pequeño? Difícilmente podrás aplicar una fuerza que se traduzca en un movimiento con aceleración constante, vencerás la fuerza de fricción y lo desplazaras una cierta distancia, para que una vez localizado y recuperado el objeto, regreses el refrigerador a su sitio original ¡es mucho trabajo!, ¿No crees? Y ahora bien, ¿cuál es el sentido del término trabajo?, ¿hiciste exactamente lo que tu papá hace cuando dice que su trabajo es bien pagado? o, ¿realizaste un gran esfuerzo para alcanzar una meta que te ha dejado grandes satisfacciones? Si tu respuesta es afirmativa a alguna de las tres preguntas es tiempo de que aclaremos en este tema tus dudas sobre un concepto básico de la mecánica, si la respuesta fue negativa entonces te será más sencillo establecer la relación entre el desplazamiento de un objeto, las fuerzas aplicadas, los cambios de velocidad o posición y la rapidez con la que se puede efectuar el desplazamiento o cambio de posición.

Trabajo mecánico 

  Es común emplear el término trabajo en forma indistinta; en el campo de la mecánica se designa como trabajo (W) a la capacidad que tiene un cuerpo para moverse una cierta distancia, en el instante en que se le aplica una fuerza paralela a la trayectoria del movimiento generado. y

F x θ

d La figura anterior nos muestra el caso más general en el que la fuerza aplicada, no es paralela a la superficie sobre la que se coloca el cajón, y, de acuerdo a la concepción general y al sistema de referencia empleado se establece que W = Fx ⋅ d Siendo W = trabajo, expresado en joules (J) Fx = fuerza paralela a la trayectoria del objeto bajo estudio expresada en newtons (N) d = distancia recorrida por el objeto expresada en metros (m) De la consideración de que la componente paralela a la trayectoria del movimiento es Fx = Fcosθ, se tiene que W = (Fcosθ)⋅d En donde θ es el ángulo que forma la fuerza neta (resultante o total) con la trayectoria del objeto bajo estudio. Consideramos importante que tengas presente que para expresar trabajo empleamos la unidad de joule (J) porque la unidad compuesta (Nm) se emplea para expresar el momento o torque producido por una fuerza, que es una cantidad vectorial, mientras que el trabajo es una cantidad escalar (que se asocia a la energía como veremos más adelante) que no posee dirección. Pensemos ahora en una situación muy importante, el trabajo no posee dirección, pero ¿le podemos asignar un sentido? No, estrictamente hablando no, lo que si podemos observar es que podemos hablar de un trabajo positivo o negativo, pensemos por

ejemplo en una piedra que cae verticalmente, la fuerza que actúa sobre ella es su peso y se dirige al centro de la tierra, así pues el sentido del movimiento corresponde directamente al de la fuerza aplicada, sin embargo, en condiciones normales actúan fuerzas de fricción sobre la piedra que impiden el movimiento retardando en cierta forma la caída, estas fuerzas se oponen al movimiento y también realizan un trabajo que es imperceptible a nuestra vista pues no podemos apreciar fácilmente como retrasan a la piedra. El trabajo siempre será positivo cuando la fuerza aplicada actué en el mismo sentido del movimiento que produce, si por el contrario, la fuerza actuante es opuesta al movimiento que sigue el cuerpo y no es lo suficientemente grande en magnitud para impedir el desplazamiento en forma instantánea, se considera que el trabajo realizado es negativo.

    Energía mecánica ¿Recuerdas a algún político importante cuando en uno de sus discursos anuncia que actuará con energía para abatir la pobreza? O bien algún anuncio de radio o televisión que afirma que el cereal de tal marca te proporciona la energía suficiente para iniciar un nuevo día, ¿qué te están ofreciendo? ¿A qué se refieren? O más bien ¿qué es la energía? Al igual que con el concepto de trabajo, sucede que usamos el término en forma indistinta aunque con ciertas limitantes, en el lenguaje figurado se refiere al uso adecuado del poder para el bienestar común, cosa alejada hasta cierto punto de la realidad y por el otro lado concebimos a la energía como el agente capaz de suministrar los elementos mínimos que se requieren para realizar cualquier tipo de actividad, ya sean proteínas, vitaminas, combustible, calor para transformar materias primas, corriente eléctrica para iluminarnos en la oscuridad y vivir con ciertas comodidades, etc. En la mecánica se conoce como energía a la medida de la capacidad que tiene todo sistema material para realizar trabajo. Y puesto que al referirnos a un sistema material, nos encontramos que cualquier cantidad de ellos pueden realizar trabajo a través de diversos elementos que proveen energía, haremos una clasificación general de las formas de energía más empleadas en nuestros días.

Formas de energía

Solar.- Es el resultado de la radiación electromagnética del sol, alrededor del 40% del total llega a la tierra y contribuye a que tengamos otras formas de energía. Atómica o nuclear.- Esta contenida en el núcleo de los átomos, particularmente de materiales radioactivos, los cuales después de un proceso de fisión o de fusión liberan la energía en forma de calor y radiación. Eléctrica.- Se produce por medio de diversos procesos, como el electromagnético y el hidráulico entre otros, sin embargo, todos tienen un resultado común: los electrones fluyen en un material conductor. Eólica.- Esta forma de energía esta contenida en el viento, se empleaba para mover barcos, hoy en día se ocupa en algunos lugares en donde se aprovecha para crear electricidad por medio de los generadores eólicos que son similares en su aspecto físico, a los antiguos molinos. Su uso es todavía limitado por lo difícil que es asegurar que el flujo del viento sea constante. Hidráulica.- Esta contenida en el agua y se aprovecha cuando esta fluye en embalses de ríos o incluso con el ir y venir de las olas para que por medio de diversos dispositivos y máquina se cree energía eléctrica. Química.- Las diversas reacciones que se presentan entre los diversos compuestos químicos genera energía que se manifiesta en forma de calor, la ingesta de alimentos proporciona los componentes a diversos procesos bioquímicos para que el cuerpo humano adquiera calorías, vitaminas y proteínas. Térmica.- Es la energía calorífica contenida en la combustión de las máquinas térmicas que emplean combustibles de origen fósil como la hulla y el diesel entre otros. Radiante.- Se designa con este nombre a la energía de cualquier tipo de radiación electromagnética como los rayos gama, los rayos X, los ultravioleta, los infrarrojos e incluso los rayos luminosos. Mecánica.- Esta contenida en todos los cuerpos y se manifiesta de acuerdo al comportamiento cinemático de los mismos de tal manera que la energía mecánica total de un cuerpo es la suma de su energía cinética y de su energía potencial.

Las formas de energía anteriores son objeto de estudio en numerosos campos y disciplinas, y para nuestro curso, estudiaremos, la energía mecánica.

Energía cinética y Principio de Trabajo   La energía cinética de un cuerpo (Ec) representa el trabajo total a realizar sobre tal cuerpo para que adquiera una velocidad de magnitud v a partir del reposo

Ec = 12 mv 2 [J] La energía cinética es una cantidad escalar que siempre es positiva independientemente de la dirección y sentido de la velocidad. Para determinar el valor de la energía cuando el cambio de velocidad no se da desde el reposo es suficiente con restar al valor final el valor inicial, es decir ΔE c = 12 mv 2f − 12 mv i2 [J] Y puesto que la energía corresponde al trabajo podemos escribir entonces Wi → f = 12 mv 2f − 12 mv i2

Reordenando 1 2

mv i2 + Wi → f = 12 mv 2f

[J]

Esta expresión se denomina Principio del trabajo y la energía y nos indica que la energía cinética que adquiere un objeto corresponde a la energía cinética que inicialmente tenía más el trabajo que se realiza para que alcance el estado de movimiento final a partir del inicial.

Energía Potencial  A diferencia de la energía cinética en donde se analiza el movimiento de un cuerpo con un velocidad específica ahora consideraremos sólo el cambio de posición que puede sufrir el cuerpo por la acción de una fuerza; tomemos en primer lugar el movimiento de una masa puntual que se desplaza sobre una trayectoria cualquiera cerca de la superficie terrestre de tal manera que sólo actúa el peso trayectoria

mg

Para este cuerpo se define a la energía potencial gravitacional (Epg) como el trabajo que se realiza contra el campo gravitacional para elevarlo por arriba de un plano de referncia arbitrario en el que la energía es cero. Epg = mgh [J] Si por el contrario, se evalua el trabajo que realiza el campo gravitacional sobre la masa entonces W = − mgh , de donde se deduce que el trabajo del peso es igual y opuesto a la energía potencial. trayectoria Epg = mgh

h

mg

Epg= 0

Observa que la energía potencial de una masa puntual solo depende del cambio de altura h y no de la trayectoria que sigue debido a que el campo gravitacional tiene el carácter de conservativo. Pasemos ahora al análisis de la segunda forma de energía potencial más empleada en la mecánica, la energía potencial elástica, (Epe) esta se define como el trabajo que se realiza sobre un resorte para deformarlo, esta energía se puede recuperar en forma del trabajo que realiza el resorte sobre cuerpo al que se une en el extremo móvil durante la restauración del resorte a su longitud original. Para evaluar la energía potencial elástica debemos considerar que la fuerza efectiva de un resorte es F = kx, en donde k es la constante de rigidez elástica y x es la deformación que sufre, así pues cuando se grafica la fuerza contra el valor de deformación tenemos F

kx

x o

xi

xf

Así pues, la energía potencial es el área bajo la recta que se ha trazado (A = ½ b×h), si la medimos a partir de la longitud original del resorte (deformación cero) hasta un valor inicial xi tenemos

Epe =

1 2

(xi − 0) × kxi

Es decir, en general

Epe = 12 kxi2 [J] Con k = constante de rigidez elástica expresada en N/m xi = deformación inicial del resorte expresada en m Si deseamos medir la energía potencial entre una deformación final xf cualquiera y la deformación inicial xi, debemos calcular el área de cada triángulo y restarlo para obtener el cambio de energía potencial ΔEpe =

1 2

(

k x 2f − xi2

)

[J]

Y en donde x2 es la deformación final. ¿Qué signo se asocia a la energía potencial?, cuando se toma un sólo valor de deformación como en la primer ecuación, se considera positiva, pues el valor de deformación se eleva al cuadrado, si tienes un cambio de energía como en la última expresión, es suficiente con que consideres que es lo que está sucediendo cuando se deforma el resorte, si la deformación aumenta desde la posición inicial a la posición final, la variación de energía potencial es positiva, (valor final menos valor inicial), y por el contrario, si la deformación disminuye entonces la energía potencial es negativa.

Ley de la conservación de la energía  Al considerar que la energía mecánica total es la suma de las energías cinética y potencial, tenemos entonces que la expresión que relaciona el trabajo con la energía puede expresarse como 1 2

mv i2 + mghi + 12 kx i2 + Wi → f = 12 mv 2f + mgh f + 12 kx 2f

Esta ecuación señala que la energía mecánica inicial más el trabajo para llevar a un cuerpo de una posición inicial a una final es igual a la energía mecánica final y debes tener presente que al momento de aplicarla no se debe incluir el trabajo que realizan los pesos y las fuerzas elásticas ya que se introducen en la ecuación como formas de energía potencial. La aplicación de esta ecuación en el caso en que sólo actúan fuerzas conservadoras como el peso y la fuerza de un resorte nos permite establecer que el trabajo es nulo, lo cual nos lleva a una conclusión muy importante 1 2

mvi2 + mghi + 12 kxi2 = 12 mv 2f + mgh f + 12 kx 2f

En ausencia de fuerzas de carácter conservativo la energía se mantiene constante El enunciado anterior es el Principio de conservación de la energía, y aunque quizás hayas observado que un trompo después de cierto tiempo de girar se detiene, esto no sucede porque perdió su energía, en realidad esta se transformo en calor por la fricción del juguete con la superficie y fue esta misma fuerza de fricción la que hizo que se detuviera, cuando lo animas de nueva cuenta con la cuerda, la energía que esta almacenada lo hace girar.

Potencia mecánica  ¿Porqué un sedán de lujo tiene un motor de mayor capacidad que el que tiene un mini auto urbano? ¿Porqué un tractor no es más rápido que una retroexcavadora? Rápidamente podríamos responder a estas preguntas afirmando que en ambos casos es así porque tienen características diferentes y fueron diseñados para una función específica. La respuesta es correcta, pero, ¿qué hay de fondo? Si entramos a los detalles nos encontramos que en el caso de los autos ambos se emplean para transportar personas y objetos personales, mientras que en el segundo caso se emplean ambos vehículos para remover tierra y piedras. En realidad, están diseñados considerando la fuerza que se requiere para desplazar tanto la masa que los conforma, como la masa que han de transportar o mover y, para que cumplan con tal objetivo se considera como factor de diseño el trabajo a realizar y el tiempo que deben empelar para ello, a esta característica se le denomina potencia. En términos generales, se define a la potencia mecánica (P) como la capacidad de un sistema para realizar trabajo en la unidad de tiempo. Su modelo matemático es el siguiente: W [watt] P= t En donde naturalmente tenemos que el trabajo (W) se expresa en joules y el tiempo (t) en segundos; el sistema internacional de unidades considera al Watt como unidad de potencia mecánica en lugar de la combinación J/s en honor del científico James Watt quién fue el primero en concebir y construir una máquina de vapor. En las especificaciones de los autos es común hoy en día que se emplee el hp (horsepower) o el cv (cheval à vapeur) para indicar la potencia de un auto. Consideremos ahora un par de situaciones, sabemos que el trabajo es el desplazamiento de un sólido por la aplicación de una fuerza, entonces P = F⋅d/t En segundo término tenemos que para el movimiento uniforme se cumple que la velocidad se calcula mediante

v = d/t Por lo que podemos concluir que

P = F⋅v Esta última expresión es útil para determinar la potencia, cuando el objeto ha vencido las fuerzas que se oponen al movimiento y se mueve a velocidad constante de tal manera que sólo se requiere conocer la magnitud de la fuerza neta aplicada y la magnitud de la velocidad con la se mueve el objeto en estudio ya que su dirección es la misma que tiene la fuerza actuante. A la relación entre el trabajo realizado por una máquina y el trabajo realizado sobre esa máquina en el mismo lapso de tiempo se denomina eficiencia mecánica (em) en el entendido de que al interior de tal máquina no se consume ni se acumula ninguna forma de energía, la eficiencia siempre es menor a la unidad porque toda máquina funciona siempre con pérdidas por fricción o desgaste, la energía que se pierde, se transforma en calor que a su vez es disipado por el medio ambiente. em =

W Ws

En donde W es el trabajo que realiza la máquina expresado en joules y Ws representa el trabajo suministrado a la máquina para que funcione expresado en las mismas unidades; ahora bien, si consideramos que la potencia es la rapidez con la que se realiza trabajo podemos expresar Pfinal em = Pconsumida

Ejemplos  E1. Un auto de 1600 se empuja sobre una rampa metálica para que descienda 1.5 m hasta el sitio en que será reparado, considerando que la fricción entre el auto y la rampa es nula y que basta un empujón insignificante para que ruede el auto sobre la rampa, calcula el trabajo realizado. Solución: Datos: Masa, m = 16000 kg Distancia recorrida, h = 1.5 m Incógnita: Trabajo desarrollado ¿Qué vamos a hacer? Calcular el trabajo que realiza el peso para llevar el auto de una posición alta a una inferior ¿Cómo lo vamos a hacer? Aplicamos la ecuación de trabajo en el entendido de que la única fuerza que actúa (o interviene) para realizar trabajo es el peso. Operaciones Trabajo realizado por el peso

W = mgh = 1600(9.81)×1.5 = 23544 J Respuesta: El trabajo realizado es de 23.54 kJ, el trabajo es positivo porque el peso actúa en la misma dirección del movimiento. E2. Se coloca un bloque de 20 kg sobre un plano inclinado a 15° y se le proporciona una velocidad inicial vo, calcula el trabajo que desarrollan las fuerzas actuantes para que el bloque pueda descender 20 m sobre la superficie del plano considerando que el coeficiente de fricción entre el bloque y el plano es de 0.2. Solución: Datos: Masa del bloque, m = 20 kg Inclinación de la superficie, θ = 15° Distancia recorrida, d = 20 m Coeficiente de fricción, μd = 0.2 Incógnita: Trabajo desarrollado por el bloque al descender por el plano inclinado ¿Qué vamos a hacer? Calcular el trabajo que realiza el bloque ¿Cómo lo vamos a hacer? Para determinar el trabajo calcularemos la fuerza neta que es paralela a la superficie del movimiento y después aplicamos la ecuación de trabajo. Operaciones Las fuerzas que actúan en el bloque son mg

15°

movimiento μdN 15° N

Al aplicar la suma de fuerzas verticales (perpendiculares al plano) observamos que se encuentran en equilibrio y entonces tenemos que la normal es igual al peso en magnitud: ÊΣF = 0: N – mgcosθ = 0 ∴ N = 20×9.81cos15° = 189.515 N

+

Las fuerzas que actúan paralelas al plano nos llevan a obtener la fuerza neta (o resultante) +

ÌΣF = Ft: mgsenθ – μdN = Ft ∴ Ft = 20×9.81sen15° − 0.2×189.515 = 12.877 N

El trabajo realizado es entonces

W = Fd = 12.877×20 = 257.547 J Respuesta: El trabajo realizado por la fuerza resultante sobre el bloque al descender en el plano es de 257.547 J.

E3. Una joven madre jala un auto de pedales en el que viaja su hijo, calcula el trabajo realizado por las fuerzas que actúan sobre el carro para moverlo una distancia de 30 m considerando que la masa total del conjunto es de 45 kg y la fuerza que aplica la señora es de 140 N con una dirección de 40° con respecto a la horizontal. El coeficiente de fricción entre el auto y el suelo es de 0.3. ¿Cuánto vale la potencia desarrollada si el auto viaja a una velocidad constante de 1.2 m/s? Solución: Datos: Distancia recorrida, d = 30 m Masa, m = 45 kg Fuerza aplicada, F = 140 N a 40° con la horizontal Coeficiente de fricción, μd = 0.3 Velocidad del carrito, v = 1.2 m/s Incógnita: Trabajo desarrollado y potencia requerida para mover el auto de pedales ¿Qué vamos a hacer? Calcular el trabajo que realiza el carro de pedales y luego calcular la potencia ¿Cómo lo vamos a hacer? Para determinar el trabajo calcularemos la fuerza neta que es paralela a la superficie del movimiento, después aplicamos la ecuación de trabajo y calculamos la potencia. Operaciones

mg F

θ

μdN N

Al considerar que las fuerzas en el eje vertical están en equilibrio y no intervienen en el movimiento (son perpendiculares a la superficie) se tiene que la normal es igual al peso en magnitud menos la componente vertical de la fuerza con que la mamá jala el carro y entonces la resultante es: +

← ΣF = Ft: Fcosθ – μd(mg – Fsenθ) = Ft ∴ Ft = 140cos40° − 0.3(45×9.81−140sen40°) = 1.808 N ←

El trabajo realizado es entonces

W = Fd = 1.808×30 = 54.25 J

Y la potencia es

P = Fv = 54.25(1.2) = 65.09 W Respuesta: El trabajo realizado es de 54.25 J y la potencia suministrada al sistema es de 65.09 W. Para este problema debes tener en cuenta que primero descompusimos las fuerzas en componentes vertical y horizontal para facilitar el cálculo. E4. Determina el trabajo realizado por las fuerzas que actúan en una carretilla con materiales de construcción al descender por un tablón de 4 m de longitud inclinado a 20°. La carretilla la empuja un trabajador a una velocidad constante de 1.2 m/s con una fuerza de 300 N paralela a la superficie. ¿A cuánto asciende la potencia? Considera que la masa de la carretilla es de 120 kg y que el coeficiente de fricción es de 0.4. Solución: Datos: Distancia recorrida, d = 4 m Inclinación de la superficie, θ = 20° Velocidad, v = 1.2 m/s Fuerza aplicada a la carretilla, F = 300 N Masa de la carretilla, m = 120 kg Coeficiente de fricción, μd = 0.4 Incógnita: Trabajo y potencia para bajar por el tablón ¿Qué vamos a hacer? Calcular el trabajo que realiza la carretilla así como la potencia. ¿Cómo lo vamos a hacer? De nueva cuenta nos auxiliamos con un diagrama y calculamos la fuerza neta en el sistema para calcular el trabajo, con este dato podemos determinar la potencia. Operaciones Las fuerzas que actúan en la carretilla son

F

mg

20° movimiento

20° μdN

N

De nueva cuenta hacemos la suma de fuerzas verticales y se tiene que la normal es igual al peso en magnitud: +

ÊΣF = 0: N – mgcosθ = 0 ∴ N = mgcosθ

Mientras que la fuerza neta es +

ÌΣF = Ft: F + mgsenθ – μdN = Ft

∴ Ft = F + mgsenθ – μd mgcosθ

Ft = 300 + 120×9.81(sen20° − 0.2cos20°) = 481.385 N El trabajo realizado es entonces

W = Fd = 481.385×4 = 1925.54 J Mientras que la potencia es

P = Fv = 481.385×1.5 = 722.07 W Respuesta: El trabajo realizado por la fuerza resultante es de 1925.54 J mientras que la potencia suministrada es de 722.07 W que es aproximadamente 1 hp.

E5. Calcula la energía cinética de un automóvil compacto de 1200 kg que viaja a 120 km/h. Solución: Datos: Masa, m = 1200 kg Velocidad del auto, v = 120 km/h = 33.333 m/s Incógnita: Energía cinética del auto ¿Qué vamos a hacer? Calcular la energía cinética del auto asumiendo que el movimiento se evalúa a partir de una referencia cero. ¿Cómo lo vamos a hacer? Tomamos directamente al ecuación de energía cinética y sustituimos los datos Operaciones Energía cinética del auto

E c = 12 mv 2 =

1 2

(1200) × (33.333)2 = 666666.667 J

Respuesta: La energía cinética del auto al viajar a la velocidad de 120 km/h es de 666.67 kJ, esta energía es equivalente al trabajo que está desarrollando el motor del auto para desplazarse a tal velocidad y nos permite en un momento dado determinar la potencia que se requiere. E6. Se lanza un bloque de 45 kg sobre un plano inclinado a 15º con una velocidad de 6 m/s. Calcula la velocidad que adquiere al recorrer 7 m sobre el plano inclinado considerando que el coeficiente de fricción entre el plano y el bloque es de 0.4. Solución: Datos: Masa, m = 45 kg Inclinación del plano, θ = 15º Velocidad del bloque, v = 6 m/s Distancia que recorre el bloque, d = 7 m Coeficiente de fricción, μd = 0.4 Incógnita: Velocidad que alcanza el bloque en el instante en que ha recorrido 7 metros ¿Qué vamos a hacer? Calcular la velocidad final del bloque después de que se anima de una velocidad inicial y se hace descender por un plano inclinado ¿Cómo lo vamos a hacer? Sustituimos los datos en la ecuación correspondiente en el entendido de que el bloque realiza un trabajo que se conjuga con la energía cinética inicial para que descienda por el plano. Operaciones La energía cinética final del bloque es: 1 2

mv 2f = 12 mvi2 + Wi → f

El trabajo para llevar el bloque de la posición inicial a la posición final corresponde al producto de la fuerza neta aplicada por la distancia recorrida, verifica con la ayuda de un diagrama que la fuerza es

F = mg(senθ – μdcosθ) De tal manera que el trabajo es

W = 45×9.81(sen15º − 0.4cos15º) ×7 = − 394.152 J Y la energía cinética inicial es

Eci = ½ (45×62) = 810 J Por lo que entonces la velocidad final será vf =

2 m

(

1 2

)

mv i2 + Wi → f =

2 45

(810 − 394.152 ) = 4.299

m/s

Respuesta: La energía cinética del bloque al descender 7 m sobre el plano inclinado es de 4.3 m/s, y es importante observar que el trabajo realizado corresponde a una pérdida de energía que se traduce en calor por la fricción existente entre el bloque y la superficie sobre la que desliza. E7. Un auto de 1600 kg parte del reposo y sube por una pendiente de 5º con movimiento uniforme acelerado alcanzando una velocidad de 60 km/h después de recorrer 60 m hacia arriba de la pendiente. Calcula la energía cinética del auto y determina la potencia que suministra el motor a las ruedas para que alcance tal velocidad. ¿Cuál es la eficiencia del motor en el supuesto de que la potencia del auto es de 110 hp? Solución: Datos: Masa del auto, m = 1600 kg Velocidad inicial del auto, vo = 0 Inclinación de la pendiente, θ = 5º Velocidad final del auto, v = 60 km/h = 16.667 m/s Distancia que recorre el auto, d = 60 m Incógnita: Energía cinética del auto y potencia suministrada por el motor ¿Qué vamos a hacer? Calcular la energía cinética del auto y la potencia suministrada por el motor ¿Cómo lo vamos a hacer? Asumimos que la energía cinética es equivalente al trabajo realizado y con los datos de la cinemática del auto determinamos el tiempo para evaluar la potencia suministrada. Operaciones La energía cinética del auto es (recuerda que parte del reposo):

Ec =

1 2

(1600) × 16.667 2 = 222222.222

J

El trabajo para que el auto suba por la pendiente es equivalente a la energía cinética y entonces, de acuerdo a la cinemática tenemos v 2 − v o2 16.667 2 − 0 = = 2.315 m/s2 a= 2(s − s o ) 2 × 60 t=

v − v o 16.667 − 0 = = 7.2 s a 2.315

De tal manera que la potencia suministrada por el motor del auto es

P=

W 222222.222 = = 30864.198 W 7.2 t

La potencia nominal es de 110 hp o sea 82027 W, de tal manera que la eficiencia es em = Respuesta:

30864.198 = 0.376 82027

La energía cinética del auto al subir por la pendiente es de 222.222 kJ mientras que la potencia que suministra el motor es de 30.864 kW siendo la eficiencia del sistema del 37.6%. E8. Calcula la altura máxima que alcanza una pelota que es lanzada verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 35 m/s.

Solución: Datos: Velocidad inicial de la pelota, vo = 35 m/s Incógnita: Altura máxima alcanzada por la pelota en el tiro vertical ¿Qué vamos a hacer? Calcular la altura que puede alcanzar una pelota que es lanzada hacia arriba en forma vertical ¿Cómo lo vamos a hacer? Consideramos que la energía cinética final que tiene la pelota depende el trabajo realizado para llevarla de la posición inferior a la posición más alta más la energía cinética que se proporciona al inicio del movimiento. Operaciones El trabajo que realiza el peso sobre la pelota en su trayecto de ascenso es W = − mgh Mientras que la energía cinética inicial es

E c = 12 mv12 Como la energía cinética final es nula porque la pelota llega a la altura máxima y su velocidad es nula al iniciar el movimiento de descenso tenemos que 1 mv12 − mgh = 0 2 De donde concluimos que la altura que alcanza la pelota es h=

h=

1 2

mv12 mg

=

v12 2g

35 2 = 62.436 m 2 × 9.81

Respuesta: La altura máxima que alcanza la pelota es de 62.436 m y es importante recalcar el hecho de que no es necesario conocer la masa del objeto que es lanzado verticalmente hacia arriba para determinar la altura que alcanza, es suficiente con conocer la velocidad inicial. E9. En una montaña rusa se separa accidentalmente una sección del convoy y cuando se encuentra en la parte más baja de una curva su velocidad es de 25 m/s. Determina la velocidad que lleva en la siguiente etapa de ascenso, justo cuando ya ha alcanzado una altura de 2.5 m.

Solución: Datos: Velocidad inicial, v1 = 25 m/s Altura alcanzada por la sección del convoy, h = 2.5 m Incógnita: Velocidad con la que empieza el ascenso la parte del convoy que se zafó ¿Qué vamos a hacer? Calcular la velocidad final del sistema

¿Cómo lo vamos a hacer? Consideramos que la energía cinética inicial se suma al trabajo realizado por las fuerzas actuantes en el sistema y todo esto será igual a la energía cinética final de donde obtendremos la velocidad final Operaciones El trabajo que realiza el peso de la sección del convoy en su trayecto de ascenso es Wi → f = − mgh Mientras que la energía cinética inicial es

E ci = 12 mvi2 En este caso la energía cinética final es

E cf = 12 mv 2f Y entonces tenemos que 1 2

mvi2 − mgh = 12 mv 2f

Ecuación en la que observamos que podemos reducir términos y despejar la velocidad final, la cual es v f = v i2 − 2 gh

La sustitución numérica de los datos nos proporciona v f = 25 2 − 2 × 9.81 × 2.5 = 23.998 m/s

Respuesta: La velocidad de la sección del convoy en su nueva etapa de ascenso es de 23.998 m/s y es necesario que recalquemos el hecho de que no es necesario conocer la trayectoria exacta del convoy y que la ecuación general obtenida ya la conocemos pues la obtuvimos en la unidad anterior al estudiar el movimiento uniforme acelerado en la caída libre.

E10. Un vehículo todo terreno de 1950 kg viaja a 70 km/h cuando su conductor se ve obligado a frenar para evitar embestir un hato de ganado que se traviesa en el camino más o menos a una distancia de 25 m, si por lo intempestivo de la acción, el vehículo derrapa de tal manera que se genera una fuerza de fricción entre el camino y las ruedas del vehículo de 12.5 kN, determina la distancia que requiere el vehículo para detenerse sin problema alguno.

Solución: Datos: Masa del vehículo, m = 1950 kg Velocidad inicial, vo = 70 km/h = 19.444 m/s Distancia aproximada entre el ganado y el vehículo, x = 25 m Fuerza de fricción, F = 12.5 kN Incógnita: Distancia que derrapa el vehículo ¿Qué vamos a hacer? Calcular la distancia que recorre el vehículo al patinar sobre la superficie ¿Cómo lo vamos a hacer? Con los datos podemos calcular directamente la energía cinética del auto e igualarla con el trabajo realizado por la fuerza resultante que actúa en la dirección del movimiento del vehículo para determinar la distancia recorrida Operaciones La energía cinética inicial es

E ci = 12 mvi2 = ½(1950×19.4442) = 368617.4 J El trabajo que realiza la fuerza de fricción sobre el auto es

W = − Fd = − 12500d Dado que la energía cinética final es nula porque el auto se detiene se cumple que 368617.4 – 12500d = 0 De donde se establece que la distancia recorrida es d = 29.489 m Respuesta: El auto deslizará 29.5 m antes de detenerse lo cual implica que si el ganado no avanza para cruzar el camino el riesgo de un accidente grave es muy alto. E11. Calcula la energía potencial contenida en una cascada de agua de 26 m de altura considerando que la cantidad de masa en movimiento es de 70000 kg

Solución: Datos: Masa del agua, m = 70000 kg Altura de la caída de agua, h = 26 m Incógnita: Energía potencial de la cascada ¿Qué vamos a hacer? Calcular la energía potencial que está contenida en la cascada ¿Cómo lo vamos a hacer? Sustituimos los datos directamente en la ecuación de energía potencial gravitacional ya que no se hace referencia en el enunciado a componente elástico alguno Operaciones La energía potencial es Epg= mgh = 70000×9.81×26 = 17854200 J Respuesta: La energía potencial gravitacional almacenada en la cascada de agua es de 17.854×106 J.

E12. Calcula la energía potencial de la defensa de un auto de 1180 kg cuando al golpear la pared en una maniobra de estacionamiento, los componentes elásticos de 180 kN/m de rigidez elástica se comprimen 11 cm. ¿A qué velocidad se realizaba la maniobra al momento del impacto?

Solución: Datos: Masa del auto, m = 1180 kg Rigidez elástica de la defensa, k = 180000 N/m Deformación, x = 0.11 m Incógnita: Energía potencial de la defensa del auto ¿Qué vamos a hacer? Calcular la energía potencial de la defensa y determinar la velocidad con la que se hace la maniobra de estacionamiento ¿Cómo lo vamos a hacer? En este caso procedemos a sustituir los datos en la ecuación de energía potencial elástica en forma directa y después aplicamos la ecuación de trabajo y energía Operaciones

La energía potencial elástica es Epk= ½kx2 = ½×180000×0.112 = 1089 J Al considerar que la energía mecánica final es la suma de la energía inicial más el trabajo realizado por la fuerza neta actuante en la dirección del movimiento tenemos: 1 2

mv i2 + mghi + 12 kx i2 + Wi → f = 12 mv 2f + mgh f + 12 kx 2f

En esta expresión tenemos que sólo hay energía cinética inicial (antes del choque) y energía potencial final (la defensa se deforma) y entonces 1 mvi2 + 0 + 0 + 0 = 0 + 0 + 12 kx 2f 2 De donde tenemos que la velocidad al momento del impacto es vi =

kx 2f m

=

180000 × 0.112 = 1.845 m/s 1180

Respuesta: La energía potencial elástica de la defensa del auto es de 1.09 kJ y la velocidad con la que se hacía la maniobra es de 6.64 km/h. E13. Un auto desciende por una pendiente de 3° con una rapidez de 50 km/h cuando se bloquean las llantas y el auto desliza 15 m antes de detenerse. Determina el coeficiente de fricción entre las llantas y el pavimento.

Solución: Datos: Ángulo de la pendiente, θ = 3° Velocidad inicial del auto, vo = 50 km/h =13.889 m/s Distancia recorrida por el auto, d = 15 m Incógnita: Coeficiente de fricción entre las llantas y el auto ¿Qué vamos a hacer? Calcular el valor del coeficiente de fricción en el sistema ¿Cómo lo vamos a hacer? Calculamos con los datos la energía del auto y el trabajo realizado por la fuerza de fricción, para calcular μ Operaciones La ecuación de trabajo y energía es 1 2

mv i2 + mghi + 12 kx i2 + Wi → f = 12 mv 2f + mgh f + 12 kx 2f

Para aplicar esta expresión debemos tener en cuenta que: A) B) C) D)

El auto empieza a descender cuando se bloquean las ruedas, en tal posición la energía potencial gravitacional es nula Al final del recorrido de 15 m el auto se detiene, por tanto carece de energía cinética en tal situación No hay energía potencial elástica La única fuerza que produce trabajo es la de fricción pues se considera que al auto almacena energía potencial gravitacional por el cambio de posición 1 2

mvi2 + 0 + 0 + Wi → f = 0 + mgh f + 0

El trabajo que realiza la fuerza de fricción se opone al movimiento y es

Wi → f = − (μmgcosθ)d De esta forma, al sustituir datos se establece 0.5×m(13.899)2 − (μm×9.81cos3°)15 = − m×9.81×15sen3° 96.4506m −146.9483mμ = −7.7012m Ecuación que nos conduce a

μ = 0.708

Respuesta: El coeficiente de fricción cinético entre las llantas y el auto es de 0.7; observa que tal cono se señala en el texto no se toma el trabajo realizado por el peso pues se incluye como energía potencial gravitacional, además de que no es necesario conocer la masa del auto. E14. La masa de la lenteja de un péndulo es de 0.3 kg y se une a un cable de 0.5 m de longitud. Si el arreglo se coloca sobre un plano vertical de tal manera que el péndulo se suelta desde la posición horizontal, determina la energía potencial del péndulo cuando la lenteja se halla en la posición vertical ¿Cuál es la aceleración normal del péndulo?

r m

Solución: Datos: Masa de la lenteja, m = 3° Longitud del cable, r = 0.5 m Incógnita: Energía potencial del péndulo y aceleración en la posición vertical ¿Qué vamos a hacer? Calcular la energía potencial y la aceleración del péndulo ¿Cómo lo vamos a hacer? Empleamos el principio de conservación de la energía Operaciones La energía potencial gravitacional es Epg = mgh = 0.3×9.81×0.5 = 1.4715 J Para el cálculo de la aceleración normal tenemos an = v2/r La velocidad la obtenemos al considerar la conservación de la energía del sistema, es decir Ec = Ep = ½mv2 Por lo que entonces 1.4715 = ½(0.3)v2

∴ v2 = 2(1.4715)/0.3 = 9.81

Lo cual nos lleva finalmente a concluir que an = 9.81/0.5 = 19.62 m/s2 Respuesta: La energía potencial del péndulo es de 1.4715 J y la aclaración que adquiere es la normal debido a la trayectoria circular que sigue la lenteja, su valor es de 19.62 m/s2 (dos veces el valor de aceleración de la gravedad); en el movimiento de un péndulo se observa que la energía es potencial gravitacional y cinética y en las posiciones extremas se transforma por completo de una a otra forma ya que la altura en el cambio de posición de la lenteja se reduce a cero siendo entonces su velocidad máxima.

E15. Para simular el comportamiento de la defensa de un auto se lanza un bloque de 15 kg sobre una superficie horizontal lisa contra la maqueta de la defensa cuya rigidez elástica es de 2200 N/m, calcula la velocidad del bloque una vez que ha comprimido 18 cm al prototipo considerando que inicialmente la velocidad del bloque era de 10 km/h

Solución: Datos: Masa del bloque, m = 15 kg Rigidez elástica, k = 2200 N/m Deformación de la defensa, xf = 0.18 m Velocidad inicial del auto, vo = 10 km/h = 2.778 m/s Incógnita: Velocidad final del bloque ¿Qué vamos a hacer? Calcular la velocidad que alcanza el bloque al comprimir 18 cm la defensa ¿Cómo lo vamos a hacer? Empleamos la ecuación de conservación de la energía Operaciones Para este caso la ecuación de conservación de la energía es 1 2

mvi2 + 12 kxi2 = 12 mv 2f + 12 kx 2f

Porque no se tiene energía potencial gravitacional (el movimiento de la masa es sobre la horizontal) y como inicialmente no hay compresión en la defensa 1 mvi2 + 0 = 12 mv 2f + 12 kx 2f 2 De esta forma, al sustituir datos se establece 0.5×15(2.778)2 = 0.5×15v2 + 0.5 (2200×0.182) Y las operaciones nos llevan a 22.2303 = 7.5v2

∴ v = 1.72 m/s

Respuesta: La velocidad final del bloque es de 6.2 km/h. ¿Qué sucede con la velocidad final si se aumenta la velocidad inicial y se mantiene la misma deformación?

Ejercicios 1. Un contenedor de 120 kg es arrastrado por un cable que forma un ángulo de 40° con la horizontal y ejerce una fuerza de 1800 N durante un trayecto horizontal recto de 5 m. Determina el trabajo realizado por las fuerzas actuantes considerando que el rozamiento es prácticamente nulo. 2. ¿Qué sucede en el ejercicio anterior si el coeficiente de fricción toma un valor 0.5? ¿Cuál es la potencia en el motor del malacate que arrastra el contenedor si el cable se enrolla a una velocidad constante de 1.8 m/s? 3. Un auto se descompone cuando viaja sobre una pendiente de 20°, si el auto se detiene después de recorrer 12 m, calcula el trabajo realizado por la fuerza resultante considerando que la masa del auto es de 1200 kg y que el coeficiente de fricción entre el auto y el pavimento es de 0.3. Si el descenso se realizo en 6 segundos, calcula la potencia desarrollada en tal situación. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza que debe aplicar el conductor para evitar que el auto se mueva sobre la pendiente? 4. Calcula la potencia que suministra el motor de un montacargas para elevar una tarima con tambos de aceite que totalizan una masa de 480 kg con una velocidad constante de 0.6 m/s desde el piso hasta una altura de 80 cm para así trasladarla de un almacén a un camión de distribución. 5. Calcula el trabajo que realiza una fuerza de 180 N que un jugador de hockey sobre hielo proporciona al disco de 200 g para que este recorra una distancia de 4 m a la meta en 0.5 s. Considera que el coeficiente de fricción entre el hielo y el disco es de 0.04 y que la fuerza actúa en forma paralela a la superficie de deslizamiento. ¿Cuál es la magnitud de la potencia suministrada?

6. Calcula la magnitud de la fuerza que se debe aplicar paralela a la superficie de deslizamiento de un bloque de mármol de 100 kg para que suba por un plano inclinado a 30º y recorra 5 m con una velocidad constante, en el entendido de que el trabajo realizado es de 3 kJ. Considera que la fuerza de fricción es despreciable. 7. En un camino vecinal un tractor se descompone y su operario lo puede detener hasta que choca con un pajar, calcula la energía cinética del tractor si al momento del impacto viaja a 30 km/h y su masa es de 800 kg. ¿A cuánto asciende el trabajo realizado por el pajar sobre el tractor? 8. Calcula la energía cinética de un auto de 1200 kg que viaja a 80 km/h y compárala con la de una furgoneta de 1590 kg que se mueve a 50 km/h. Considera que ambos vehículos requieren de 9 segundos para alcanzar la velocidad indicada y determina la potencia suministrada por el motor de cada uno de ellos. ¿Qué motor suministra más potencia? 9. Encargan a un estibador que acomode un contenedor de 160 kg de masa en un almacén y puesto que no hay quién lo auxilie, decide empujarlo por el piso por una distancia de 30 m hasta que quede acomodado en el sitio indicado. Si la fuerza de fricción es de 600 N y la velocidad con la que llega al sitio de almacenaje a partir del reposo es de 6 m/s, determina la magnitud de la fuerza que debe aplicar para mover el contenedor. ¿Qué pasa si no aplica la fuerza en forma paralela a la superficie? 10. En un experimento se deja caer desde el reposo y a una altura de 1.15 m, una esfera de acero de 200 g. Si se mide su velocidad justo antes de impactar con el piso y se registra una velocidad es de 4.73 m/s, determina la altura desde la que se dejo caer la esfera, ¿a qué atribuyes la diferencia? 11. Para mejorar el diseño de las defensas de un auto se hace una prueba en la que se consigue detener el auto, de 1390 kg, al chocar en una barra de contención a una velocidad de 20 km/h presentando un desplazamiento de 18 cm sin que se presenten daños considerables en la defensa del auto. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza que soporta la defensa? 12. Si el trabajo realizado por un malacate para mover una carga con una velocidad de 12 m/s a partir del reposo es de 78536 J, calcula la masa que se está moviendo. 13. Calcula la energía cinética de un avión al despegar si se sabe que la fuerza de empuje de sus motores es de 70 kN y que requiere de 1970 m para despegar. ¿Cuál es la velocidad con la que inicia el ascenso considerando que su masa es 20600 kg? 14. Determina la eficiencia de un malacate que consume una potencia de 1 kW para elevar una carga de 60 kg a una velocidad de 1.5 m/s. 15. Determina la energía potencial de un bombero de 80 kg que para rescatar a una persona sube por una escalera inclinada a 80° desde el piso hasta una altura de 9 m. ¿cuál es el trabajo que realiza cuando desciende al piso cargando a una anciana de 60 kg? 16. Un automóvil mal estacionado en una pendiente empieza a moverse hacia debajo de la pendiente hasta llegar a la parte plana de una avenida, si la masa del auto es de 1380 kg y la distancia que recorre sobre el plano inclinado a 18° es de 12 m, determina la velocidad con la que llega al final del recorrido considerando que la fuerza de fricción entre las llantas y el pavimento es de 2750 N ¿Cuál sería la velocidad si se considera que esta lloviendo y la fricción es nula? 17. Para facilitar las tareas en un almacén se decide que los contenedores de gran tamaño se colocarán sobre un plano inclinado a 30° para evitar lesiones a los trabajadores al cargar un peso excesivo. Si un contenedor de 50 kg se suelta desde el reposo y recorre 10 m plano abajo para llegar a la posición de almacenaje siendo el coeficiente de fricción de 0.3, determina la velocidad que alcanza al término del recorrido por el plano inclinado. 18. Para probar el prototipo de un dispositivo de lanzamiento de misiles submarinos se coloca un misil de 10 kg en el riel horizontal de lanzamiento comprimiendo el disparador 2 cm, si la rigidez elástica de este sistema es de 500 N/m, calcula la velocidad que alcanza el misil cuando se ha alejado 4 cm del disparador asumiendo que el coeficiente de rozamiento en el sistema es de 0.2 y es equivalente al que existe entre el torpedo y el agua de mar. 19. Un resorte de 90 cm de longitud y 250 N/m de rigidez elástica se coloca sobre el techo y cuidadosamente se le agrega un contrapeso de 15 kg. Cuando se suelta a partir del reposo el movimiento del sistema es de vaivén vertical. ¿Cuál es la longitud total del resorte cuando la masa se encuentra en la posición más baja?

20. Calcula la velocidad y la aceleración normal que tiene la lenteja de un péndulo de 0.2 kg cuando se libera desde la posición horizontal como muestra la figura y llega a la posición θ = 60°.

r= 60 cm m

θ