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Notas Sobre Teor´ıas Gauge.

0

Aµ = Aµ − ∂µθ.

Carlos Manada Rodr´ıguez

14 de noviembre de 2015

i La vida es sue˜ no...

ii

Prefacio El material de estas notas tiene como objetivo ayudarme a entender las conocidas como teor´ıas gauge. El material de las notas est´a tomado casi textualmente de las referencias. 14 de noviembre de 2015, Carlos Manada.

iii

iv

´Indice general

Prefacio

III

1. Introducci´ on

1

1.1. De Qu´e Va . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. El Redescubrimiento del Gauge

2

5

2.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2. La Conexi´on de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.3. La Teor´ıa gauge de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.4. Momento can´onico y Potencial Electrodin´amico . . . . . . . . 10 2.5. Mec´anica Cu´antica y Teor´ıa Gauge . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.6. El Efecto Aharonov-Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.7. Spin isot´opico y Nueva Teor´ıa Gauge . . . . . . . . . . . . . . 14 2.8. Taor´ıa gauge Yang-Mills . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.9. Teor´ıa Gauge y Geometr´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 v

´INDICE GENERAL

vi 3. Gauge, Potenciales y todo lo dem´ as

19

3.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.2. Transformaciones gauge locales . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3. Conexiones y Potenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.4. El Campo Potencial Vector

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.5. Eligiendo un gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.6. El tensor de Maxwell y el teorema de Stokes . . . . . . . . . . 25

4. Teor´ıas Gauge Yang-Mills

27

4.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2. Construyendo un modelo gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2.1. La Ecuaci´on de Dirac con Electromagnetismo . . . . . 29 4.3. El problema de la Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5. La Ecuaci´ on de Maxwell

33

6. El Dif´ıcil nacimiento de la Teor´ıa Gauge Moderna

35

7. La Ruptura de Simetr´ıa Gauge

37

7.1. Ruptura espont´anea de simetr´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 7.2. Ruptura de Simetr´ıa Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

8. La teor´ıa Unificada de Weinberg-Salam

41

´INDICE GENERAL

vii

9. Teor´ıa de Color Gauge

43

10.Topolog´ıa y Simetr´ıa Gauge

45

Bibliograf´ıa

47

viii

´INDICE GENERAL

Cap´ıtulo 1 Introducci´ on

1

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

2

1.1.

De Qu´ e Va

La teor´ıa de gauge, llamada tambi´en teor´ıa de calibre, es una clase de teor´ıa que se fundamenta en la idea de que las transformaciones pueden ser de tipo local o global. Una teor´ıa gauge es invariante bajo un grupo local de transformaciones, la exigencia de que las transfomaciones sean globales es dejada de lado y los lagrangianos poseen simetr´ıa local. Para obtener el lagrangiano bajo transformaciones locales se usa el principio de gauge, el cual consiste en introducir nuevos campos en el lagrangiano de tal forma que se cancelen los t´erminos que rompen la invariancia de este. De tal manera, por cada generador del grupo se introduce un campo gauge el cual esta asociado a las interacciones, esto significa que por cada interacci´on se puede asociar un grupo de simetr´ıas y un conjunto de campos gauge. Debido a que las teor´ıas gauge con simetr´ıa local provocan la aparici´on de interacciones y de campos asociados a estas se necesita encontrar la teor´ıa correcta para describir las interacciones fundamentales, exigir simetr´ıa local respecto de la magnitud correcta, para que surjan los campos correctos, y con ellos describir las interacciones fundamentales. La primera teor´ıa gauge fue la electrodin´amica cu´antica, formulada hacia finales de la d´ecada de los 20 por los f´ısicos P.A.M. Dirac, W. Heisenberg y W.Pauli.

´ VA 1.1. DE QUE

3

Una teor´ıa gauge para las interacciones fuertes fue descrita por C. N. Yang y R. L. Mills, en 1954. Sin embargo, ideas similares aplicables a la interacciones d´ebil est´an impl´ıcitas en la primera teor´ıa de la desintegraci´on beta de Fermi, en 1934 y m´as claramente en el trabajo de Oscar Klein, en 1938. La teor´ıa gauge para la unificaci´on de las interacciones electromagn´eticas y d´ebiles se sustentan en el trabajo de S. Weinberg y A. Salam, esta teor´ıa electrodebil incorpora un campo gauge no conmutativo o campo de YangMills con una ruptura espont´anea de simetr´ıa llevada a cabo por el bos´on de Higgs; en esta teor´ıa los fermiones son descritos por un lagrangiano de Dirac generalizado adecuadamente para que sea invariante gauge bajo un cierto grupo gauge de simetr´ıa interna. La teor´ıa gauge para las interacciones fuertes, denominada cromodin´amica cu´antica corresponde a Murray Gell-Mann y se desarroll´o por los a˜ nos 70 del siglo pasado. Esta teor´ıa parte de una simetr´ıa gauge no abeliana exacta. Los propagadores de esta interacci´on son llamadas gluones, no tienen masa, aparecen de confinados y no se presentan en estado libre.

4

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

Cap´ıtulo 2 El Redescubrimiento del Gauge

5

CAP´ITULO 2. EL REDESCUBRIMIENTO DEL GAUGE

6

2.1.

Introducci´ on

Invarianza gauge ha sido solo recientemente reconocida como el principio f´ısico governando las fuerzas fundamentales entre las part´ıculas elementales. La idea de la invarianza fue primero propuesta por Hermann Weyl, en 1919 cuando las u ´nicas part´ıculas conocidas eran el electr´on y el prot´on. Fueron necesarios casi 50 a˜ nos para que la invarianza gauge fuera redescubierta y su significado entendido. La raz´on para este diapas´on era que la intepretaci´on f´ısica de Weyl de la invarianza gauge fue pronto mostrada incorrecta.

2.2.

La Conexi´ on de Einstein

En 1919, solo dos fuerzas eran conocidas, el electromagnetismo y la gravitaci´on. En el mismo a˜ no, un grupo de cient´ıficos hizo la confirmaci´on experimental de la teor´ıa general de la relatividad de Einstein, que llev´o a Hermann Weyl, su idea revolucionaria de la invarianza gauge en 1919. Para ver como una cosa lleva a la otra, repasemos algunas ideas b´asicas de la relatividad. La idea b´asica bajo la relatividad especial y general es que no existe un sistema de referencia absoluto en el universo. El movimiento f´ısico de cualquier sistema debe ser descrito relativo a alg´ un sistema de coordenadas arbitrario

´ DE EINSTEIN 2.2. LA CONEXION

7

especificado por un observador, y las leyes de la f´ısica deben ser independientes del sistema de referencia. Por ejemplo consideremos una part´ıcula,la cual se est´a moviendo con velocidad constante v con respecto a un observador. Sea S el sistema de referencia 0

del observador, y S el sistema de referencia que se mueve con la part´ıcula. El observador puede decir que se mueve con velocidad v con respecto a S, o 0

que est´a en reposo con respecto a S . El punto importante es que el sistema 0

inercial S puede ser relacionado con el sistema inercial S por una transformaci´on de Lorentz. En relatividad general. la descripci´on de movimiento relativo es mucho m´as complicada porque uno est´a tratando con el movimiento de un sistema en un campo gravitatorio. Comparemos la f´ısica de un ascensor cayendo con el observador en un sistema de referencia inercial en relatividad especial. Parece que el ascensor corresponde con un sistema de referencia no inercial (acelerado). Sin embargo esto no es verdad ya que el campo gravitatorio no produce la misma aceleraci´on en cualquier punto del espacio. Cuando uno se mueve infinitesimalmente desde la fuente el campo gravitatorio eventualmente se anula. Esto es, el ascensor solo puede ser considerado como sistema de referencia en una regi´on infinitesimal del espacio en el que el campo gravitatorio se considera constante. Einstein resolvi´o el problema de tener diferentes sistemas no inerciales con

CAP´ITULO 2. EL REDESCUBRIMIENTO DEL GAUGE

8

el concepto matem´atico de conexi´on. Para entender el concepto de conexi´on, consideremos un 4-vector Aµ , el cual representa alguna cantidad f´ısica medible. Ahora supongamos que el f´ısico en el elevador localizado en x observa que Aµ cambia en una cantidad dAµ , y un segundo f´ısico en un elevador en 0

0

0

x observa una cantidad que var´ıa en dAµ . ¿C´omo relacionar dAµ , y dAµ ?. En relatividad especial dAµ es un vector del tipo Aµ , 0

dAν =

∂xµ dAµ , ∂x0 ν

(2.2.1)

la relaci´on 2.2.3 indica que la transformaci´on de Lorentz, es una transformaci´on lineal. ¿Qu´e pasa en relatividad general?, ∂xµ dAµ + Aµ d dAν = ∂x0 ν 0

Se suele notar, Γµνλ =

2.3.



∂xµ ∂x0 ν

 ,

(2.2.2)

∂ 2 xµ ∂xµ dA + A dxλ . µ µ ∂x0 ν ∂x0 ν ∂x0 λ

(2.2.3)

∂ 2 xµ . ∂x0 ν ∂x0 λ

La Teor´ıa gauge de Weyl

Weyl, fue un paso m´as all´a, y se pregunt´o si otras fuerzas de la naturaleza (como el electromagnetismo) pueden ser descritas por una conexi´on. La invarinza gauge de Weyl puede ser descrita f´acilmente en lenguaje matem´atico. consideremos un vector en x con norma dada por f (x), expandiendo

2.3. LA TEOR´IA GAUGE DE WEYL

9

a primer orden en dx, f (x + dx) = f (x) + ∂µ f dxµ .

(2.3.1)

Si por conveniencia definimos S(x) = 1, S(x + dx) = S(x) + ∂µ Sdxµ .

(2.3.2)

Tenemos entonces (a primer orden), Sf = f + ∂µ f dxµ + f ∂µ Sdxµ .

(2.3.3)

Vemos que la norma ha cambiado en, (∂µ + ∂µ S)f dxµ .

(2.3.4)

La derivada ∂µ S es la conexi´on matem´atica asociada con el gauge. Weyl di´o el paso de identificar la conexi´on gauge ∂µ S con el potencial elctromagn´etico Aµ . Es directo que un segundo cambio gauge con un factor de escala Λ transformar´a la conexi´on como sigue, ∂µ S → ∂µ S + ∂µ Λ.

(2.3.5)

Del elctromagnetismo cl´asico, sabemos que el potencial se transforma como una transformaci´on gauge, Aµ → Aµ + ∂µ Λ,

(2.3.6)

CAP´ITULO 2. EL REDESCUBRIMIENTO DEL GAUGE

10

el cual deja el campo el´ectrico y magn´etico invariable. Esta fue la raz´on por la que Weyl interpret´o el potencial electromagn´etico como una conexi´on gauge. Desafortunadamente Einstein, y otros observaron que la invarianza de escala estaba en contradicci´on con algunos fen´omenos f´ısicos. La longitud de onda de Compton λ = h/M c, y ya que la longitud de onda depende de la masa, no depende de la posici´on, y esto contradice la idea original de Weyl de la invarianza de escala. Sin embargo, la idea, de la simetr´ıa gauge, sobrevivi´o.

2.4.

Momento can´ onico y Potencial Electrodin´ amico

Un hecho clave de la invarianza gauge se observa en la teor´ıa cl´asica del electromagnetismo, pµ → pµ − eAµ .

(2.4.1)

Esto es motivado por el principio de Hamilton, de m´ınima acci´on. La derivaci´on de el lagrangiano es encontrado en muchos textos, y es,

1 1 L = (pµ − eAµ )2 − Fµν F µν . 2 4

(2.4.2)

´ ´ 2.4. MOMENTO CANONICO Y POTENCIAL ELECTRODINAMICO 11 El primer t´ermino da la energ´ıa cin´etica, mientras el segundo da el tensor de de energ´ıa del campo electromagn´etico a partir del tensor de Maxwell, Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ .

(2.4.3)

Adem´as, 

Fµν



E1 E2 E3   0     −E 0 −B3 B2    1  =   −E  B 0 −B  2 3 1     −E3 −B2 B1 0

(2.4.4)

El principio de Hamilton, se formula en t´erminos del camino que un sistema din´amico sigue entre dos puntos. Dado un sistema descrito por un lagrangiano L(q, t). La integral, Z S=

L(q, t)dt,

(2.4.5)

es llamada la acci´on. El principio de hamilton asegura que un sistema sigue el camino para la acci´on S es m´ınima. El m´ınimo de la acci´on es encontrado variando las coordenadas generalizadas q, y velocidades, dq/dt, y haciendo que la variaci´on de S, δS sea igual a cero. Las ecuaciones resultantes son las llamadas ecuaciones de Euler-Lagrange,  ∂λ

∂L ∂(∂λ qµ )

 −

∂L = 0. ∂qµ

(2.4.6)

A partir de 2.4.6, identificando q con las coordenadas espaciales, obtenemos la ley de Lorentz, e identificando q con Aµ , las leyes de Maxwell.

CAP´ITULO 2. EL REDESCUBRIMIENTO DEL GAUGE

12

2.5.

Mec´ anica Cu´ antica y Teor´ıa Gauge

Con el nacimiento de la mec´anica cu´antica, Hermann Weyl y otros dieron un nuevo significado a la teor´ıa gauge de weyl. En lugar de como un cambio de escala, una transformaci´on gauge puede ser reinterpretada como como un cambio en la fase de una funci´on de onda, ψ → ψe−ieλ ,

(2.5.1)

y tenemos la familiar transformaci´on gauge para el potencial, Aµ → Aµ − ∂µ λ.

(2.5.2)

Y la ecuaci´on de Schr¨odinger, es invariante por las dos transformaciones anteriores. La ecuaci´on de ondas no relativista de Schr¨odinger es escrita como,   ∂ψ 1 2 (−i~∇ − eA) + eφ + V ψ = i~ . (2.5.3) 2m ∂t y observamos que las transformaciones 2.5.1,2.5.2 no var´ıan 2.5.3. La fase de una funci´on de onda es claramente una variable local, y la objeci´on primera que se hace a la teor´ıa de Weyl se desvanece, ya que la teor´ıa no implica ning´ un cambio de medida en el espacio tiempo.

2.6.

El Efecto Aharonov-Bohm

Unos quince a˜ nos despu´es del descubrimiento de Weyl de la invarianza gauge. Aharonov y Bohm propusieron un experimento simple pero ingenioso

2.6. EL EFECTO AHARONOV-BOHM

13

que cambiar´ıa la idea de que el potencial Aµ , no tiene efectos f´ısicos observables. El experimento consiste en una fuente de electrones monoenerg´eticos que es difractada por dos aperturas en una pared. localizada, tras la pared, entre las aperturas se encuentra un solenoide. Con un di´ametro mucho menor que la distancia entre las aperturas. Fuera del solenoide el campo electromagn´etico es cero, pero no as´ı su potencial. La corriente en el solenoide produce una diferencia de fase (respecto de cuabdo no la hay) en la funci´on de onda de los electrones. Sea ψ0 la funci’on de onda del electr´on cuando no existe corriente en el solenoide. Cuando la corriente es activada, el hamiltoniano tiene la forma usual,

H=

1 (−i~∇ − eA)2 , 2m

(2.6.1)

Dirac mostr´o que la nueva funci´on de onda tiene la forma,

ψ = ψ0 exp(−ieS/~),

con S =

R

(2.6.2)

˙ Adx.

Las funciones de ondas de dos electrones es.

ψ1 = ψ0 exp(−ieS1 /~),

(2.6.3)

ψ2 = ψ0 exp(−ieS2 /~).

(2.6.4)

CAP´ITULO 2. EL REDESCUBRIMIENTO DEL GAUGE

14

Se ve f´acilmente que la diferencia de fase se calcula como, e e(S1 − S2 )/~ = ~

Z



Z A · dx −

1

A · dx .

(2.6.5)

2

Por el teorema de Stoke, esto es directamente proporcional al flujo magn´etico Φ dentro del solenoide. Aunque la soluci´on de Dirac lleva a la soluci´on correcta de la fiferencia de fase, tiene la peculiaridad de que no es univaluada.

2.7.

Spin isot´ opico y Nueva Teor´ıa Gauge

En 1935 Yukawasugiri´o que la fuerza nuclear fuerte era producida por la mediaci´on de una part´ıcula como en el electromagnetismo. Sin embargo a diferencia de este, el mediador, si tiene masa, esto podr´ıa explicar el corto alcance de la fuerza. El potencial ser´ıa, V =

g −r/R e , 4πr

(2.7.1)

con R = ~/M c, y M la masa del mediador. Otra caracter´ıstica de la fuerza es la independencia de la carga el´ectrica.

2.8.

Taor´ıa gauge Yang-Mills

En 1954 C. N. Yang y R. Mills, propusieron que la fuerza nuclear fuerte es descrita por una teor´ıa de campo similar al electromagnetismo que es inva-

2.8. TAOR´IA GAUGE YANG-MILLS

15

riante gauge. Ellos postularon que el grupo gauge local era SU (2), grupo de spin isot´opico. Esto es un concepto revolucionario ya que cambi´o el concepto de identidad dentro las part´ıculas elementales. C´omo es posible que un potencial genere una rotaci´on dentro del espacio interno de simetr´ıas de una part´ıcula. Para responder a esta cuesti´on tenemos que definir cuidad´osamente el potencial de Yang-Mills en el lenguaje del grupo de rotaciones. Una rotaci´on tridimensional R(θ) de una funci´on de onda es escrita, R(θ)ψ = e−iθL ψ,

(2.8.1)

donde θ es el a´ngulo de rotaci´on y L es el momento angular. Nosotros comparamos esta rotaci´on con el cambio de fase de la funci´on de ond tras una transformaci´on gauge. Claramente, la rotaci´on tiene la misma forma matem´atica que el factor de fase de la funci´on de onda. Sin embargo esto no significa que el potencial mismo sea una rotaci´on como R(θ). Notamos anteriormente que la cantidad del cambio de fase debe ser proporcional a la cantidad de momento angular L. Esto es, la forma m´as general del potencial de Yang-Mills es una combinaci´on linear de los operadores d4e momento angular,

Aµ =

X i

Aiµ (x)Li ,

(2.8.2)

16

CAP´ITULO 2. EL REDESCUBRIMIENTO DEL GAUGE

donde los coeficientes Aiµ dependen de la posici´on del espacio-tiempo. Esto indica que el potencial de Yang-Mills no es una rotaci´on pero se comporta como el generador de una rotaci´on. Para el caso del electromagnetismo, el operador del momento angular es reemplazado por una matriz unitaria, y Aiµ es justamente proporcional al cambio de fase ∂µ λ. Podemos deducir inmediatamente algunas propiedades interesantes del potencial de Yang-Mills. Por ejemplo, el potencial debe tener tres componentes de carga correspondientes a los tres operadores de momento angular independientes L+ , L− y L3 . Las componentes del potencial que act´ uan sobre L+ pueden transformar un estado down en un estado up. Podemos asociar estas operaciones formales con procesos reales donde un neutr´on absorbe una unidad de de espin isot´opico del campo gauge y se transforma en un prot´on. Este ejemplo indica que el campo gauge de Yang-Mills transporta carga el´ectrica a diferencia del potencial electromagn´etico. El campo de Yang-Mills difiere en otro aspecto del campo electromagn´rtico, aunque tienen una propiedad en com´ un, ellos tienen masa cero. La masa cero del fot´on es bien conocida de las ecuaciones de Maxwell, pero la invarianza gauge requiere que la masa del potencial gauge sea id´enticamente cero para toda teor´ıa gauge. La raz´on t´ecnica es que la masa del potencial debe ser

2.9. TEOR´IA GAUGE Y GEOMETR´IA

17

introducida en el lagrangiano a trav´es del t´ermino, m2 Aµ Aµ ,

(2.8.3)

que garantiza que las ecuaciones del movimiento sean las correstas. Desafortunadamente, el t´ermino 2.8.3 no es invariante gauge. Esta propiedad del potencial har´a que se introduzcan t´erminos extra proporcionales a Aµ . Esto significa que el campo de Yang-Mills deba tener masa cero como el fot´on. Por tanto los campos de Yang-Mills no pueden tener un comportamiento de corto alcance como las fuerzas nucleares (al tener masa cero son de largo alcance como el electromagnetismo). Aunque las fuerzas de Yang-Mills fallaron en su prop´osito original, establecieron los fundamentos de las teor´ıas gauge modernas.

2.9.

Teor´ıa Gauge y Geometr´ıa

La teor´ıa Yang-Mills reaviv´o las viejas ideas de que las part´ıculas elementales deben tener nuevos grados de libertad en un espacio interno. Mostrando como estos grados internos de libertad podr´ıan ser unificados de una manera no trivial, Yang y Mills descubrieron un nuevo tipo de geometr´ıa en f´ısica. Para ver como el grupo gauge define un espacio interno, examinemos los ejemplos del grupo de fase U (1), y el grupo SU (2), grupo spin isot´opico. Para el grupo U (1), el espacio interno consiste de todos los posibles valo-

18

CAP´ITULO 2. EL REDESCUBRIMIENTO DEL GAUGE

res de la fase de la funci´on de onda. Estas coordenadas de fase pueden ser interpretadas como coordenadas angulares en un espacio bidimensional.

Cap´ıtulo 3 Gauge, Potenciales y todo lo dem´ as

19

20

´ CAP´ITULO 3. GAUGE, POTENCIALES Y TODO LO DEMAS

3.1.

Introducci´ on

Las parte fundamental de una teor´ıa gauge son el grupo de simetr´ıa gauge, el potencial gauge el cual define la conexi´on, y las part´ıculas f´ısicas las cuales son las fuentes del campo gauge, las cuales interact´ uan unas con otras a trav´es v´ıa el potencial gauge. En este cap´ıtulo, veremos en detalle como formular el potencial gauge o conexi´on para el caso de un gauge no abeliano como SU (2).

3.2.

Transformaciones gauge locales

Nuestro problema ahora es ver como un grupo de transformaciones de simetr´as nos puede llevar a una conexi´on, la cual nosotros podremos identificar con el potencial de un campo gauge. Comenzamos escribiendo la forma general de la transformaci´on de un grupo de simetr´ıas para un (no-abeliano) grupo, ! U ψ = exp −iq

X

θk (x)Fk

ψ.

(3.2.1)

k

La naturaleza local de la transformaci´on es indicada por los par´ametros θk (x), los cuales son funciones continuas. La constante q es la carga el´ectrica para el grupo gauge U (1) para un acoplamiento constante de un grupo gauge arbitrario. Este es el u ´nico camino por el cual la carga entra directamente en

3.3. CONEXIONES Y POTENCIALES

21

los c´alculos. Sean Fk los generadores del grupo de simetr´ıa interno y satisface las relaciones de conmutaci´on usuales, [Fi , Fj ] = icijk Fk ,

(3.2.2)

donde las constantes de estructura cijk dependen del grupo particular. Para ver como la transformaci´on 3.2.1 define una conexi´on consideremos lo siguiente. Tomemos una part´ıcula test descrita por una funci´on de ondas ψ(x) y se mueve entre dos puntos x y x + dx. Analicemos como cambia su direcci´on en el espacio de simetr´ıa interno. La direcci´on interna en x tiene un ´angulo θk (x). Para una distancia infinitesimal dx, este cambio puede ser descrito por el efecto de la transformaci´on 3.2.1 sobre ψ(x) produciendo una rotaci´on de a´ngulo interno dθk = θk (x + dx) − θk (x).

3.3.

Conexiones y Potenciales

Vamos a calcular expl´ıcitamente la conexi´on de la transformaci´on 3.2.1 moviendo una part´ıcula test a trav´es del potencial externo. Por razones pedag´ogicas separaremos la parte interna de la externa de la funci´on de ondas ψ(x). Escribimos, ψ(x) =

X α

ψα (x)uα ,

(3.3.1)

22

´ CAP´ITULO 3. GAUGE, POTENCIALES Y TODO LO DEMAS

donde los uα forman un conjunto de vectores base para el espacio interno. La parte externe ser´a ψα (x). Asumimos que la representaci´on es irreducible, y entonces la part´ıcula tiene una u ´nica carga, y una u ´nico iosp´ın. Supongamos que la part´ıcula la movemos de x a x + dx modific´andose la funci´on de onda en dψ,

dψ = ψ(x + dx) − ψ(x),

(3.3.2)

tambi´en, dψ =

X [∂µ ψα dxµ uα + ψα duα ].

(3.3.3)

α

Tenemos por otra parte de 3.2.1, "

#

U (dx) = exp −iq

X

dθk Fk , dθk = ∂µ θk dxµ ,

(3.3.4)

k

el cual rota un vector u una cantidad du,

U (dx)u = u + du.

(3.3.5)

X

(3.3.6)

Por tanto, U (dx)uα = exp[−iq

∂µ θk dxµ (Fk )αβ ]uβ .

k

xpandiendo U (dx) a primer orden en dx, obtenemos,

uα + duα = [δαβ − iq

X k

∂µ θk dxµ (Fk )αβ ]uβ .

(3.3.7)

3.4. EL CAMPO POTENCIAL VECTOR

23

Introduciendo el operador conexi´on,

(Aµ )αβ =

X

∂µ θk (Fk )αβ .

(3.3.8)

k

Y finalmente obtenemos el cambio total dψ,

dψ =

X

[∂µ ψα δαβ − iq(Aµ )αβ ψα ]dxµ uβ .

(3.3.9)

αβ

y,

dψ =

X

(dψ)β uβ

(3.3.10)

(Dµ ψβ )dxµ uβ .

(3.3.11)

β

≡

X β

Identificando t´erminos,

Dµ ψβ =

X [δβα ∂µ − iq(Aµ )βα ]ψα .

(3.3.12)

α

Y para el caso particular del grupo gauge del electromagnetismo U (1),

Dµ = (∂µ − iqAµ )ψ.

3.4.

(3.3.13)

El Campo Potencial Vector

Para terminar la identificaci´on del operador conexi´on mostraremos que tiene las usuales propiedades bajo una transformaci´on gauge. Una manera de hacer esto es viendo como se transforma Dµ ψ. Tenemos las siguientes

´ CAP´ITULO 3. GAUGE, POTENCIALES Y TODO LO DEMAS

24

identidades, 0

ψ = U ψ,

(3.4.1)

Dµ ψ = U (Dµ ψ),

(3.4.2)

(∂µ − iqAµ )U ψ = U (∂µ − iqAµ )ψ,

(3.4.3)

i 0 Aµ = U Aµ U −1 − (∂µ U )U −1 . q

(3.4.4)

0

0

0

y entonces,

Consideremos el ejemplo del electromagnetismo. La transformaci´on gauge U puede ser escrita como, U = e−iqλ(x) ,

(3.4.5)

teniendo que, 0

Aµ = Aµ − ∂µ λ.

3.5.

(3.4.6)

Eligiendo un gauge

La elecci´on de un gauge afecta a la invarianza gauge y la invarianza Lorentz simult´aneamente. Una trnsformaci´on de Lorentz entre dos sitemas de referencia inerciales est´a siempre asociada con una transformaci´on gauge. 0

Aµ = Lνµ Aν − ∂µ λ,

(3.5.1)

3.6. EL TENSOR DE MAXWELL Y EL TEOREMA DE STOKES 0

25

0

con Lνµ una transformaci´on Lorentz. Tenemos ∂ µ Aµ = ∂ µ Aµ , que es posible solamente si ∂ µ ∂µ λ = 0.

3.6.

El tensor de Maxwell y el teorema de Stokes

Sabemos de electromagnetismo cl´asico que el flujo Φ atravesando una superficie con frontera una curva cerrada est´a dado por el teorema de Stokes Φ=

H

A · dx. ¿Significa esto que el tensor de Maxwell Fµν puede ser derivado

geom´etricamente del teorema de Stokes moviendo una part´ıcula test a lo largo de una curva cerrada a trav´es de un campo gauge externo?. Moverenos una part´ıcula test a trav´es de desplazamientos sucesivos de los lados de un paralelogramo infinitesimal dx, dy. Tenemos entonces,

U (dx) = 1 − iqAµ (x)dxµ , (3.6.1) Ux (dx) = 1 − iqAµ (x)dxµ , (3.6.2) Ux+dx (dy) = 1 − iqAµ (x + dx)dxµ = 1 − iqAν (x)dy ν − iq∂µ Aν (x)dxµ dy ν . (3.6.3)

26

´ CAP´ITULO 3. GAUGE, POTENCIALES Y TODO LO DEMAS

Podemos calcular el cambio interno neto tras las transformaciones gauge sucesivas a lo largo de los cuatro lados del paralelogramo como, Ux+dx (dy)Ux (dx) − Ux+dy (dx)Ux (dy) =

Cap´ıtulo 4 Teor´ıas Gauge Yang-Mills

27

CAP´ITULO 4. TEOR´IAS GAUGE YANG-MILLS

28

4.1.

Introducci´ on

En este cap´ıtulo, discutiremos el procedimiento para construir una teor´ıa de tipo Yang-Mills basado sobre un grupo gaue no abeliano. Nuestro prop´osito es derivar las ecuaciones del movimiento para una teor´ıa gauge no abeliana y comparar con las ecuaciones familiares del electromagnetismo. Para conseguir este objetivo necesitamos introducir algunos conceptos fundamentales del formalismo lagrangiano de las teor´ıas de campo. El prop´osito del lagrangiano es acoplar el campo gauge a fuentes y part´ıculas.

4.2.

Construyendo un modelo gauge

Para entend er como los requerimientos anteriores son satisfechos, examinamos el lagrangiano para la interacci´on familiar entre el campo del electr´on ψ y el potencial electromagn´etico Aµ . El lagrangiano puede ser escrito,

1 L = iψγ µ Dµ ψ − F µν Fµν − mψψ. 4

(4.2.1)

El primer t´ermino en el lagrangiano envuelve la derivada covariante que da la energ´ıa el´ectrica del electr´on. El segundo t´ermino es la forma familiar de la densidad de energ´ıa contenida en el campo electromagn´etico, y el u ´ltimo

4.2. CONSTRUYENDO UN MODELO GAUGE

29

t´ermino da la masa del electr´on. Aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange, iγ µ Dµ ψ = mψ

(4.2.2)

∂ µ Fµν = jν

(4.2.3)

jν = qψγν ψ.

(4.2.4)

Vemos que la forma funcional del lagrangano est´a constre˜ nida por la necesidad de conseguir de obtener las ecuaciones correctas de las ecuaciones del movimiento. La ecuaci´on de Dirac viene del t´ermino de la energ´ıa cin´etica y de la masa del electr´on. El t´ermino de la energ´ıa en el lagrangiano da la parte izquierda de las ecuaciones de Maxwell, mientras la derecha viene del t´ermino de la energ´ıa cin´etica.

4.2.1.

La Ecuaci´ on de Dirac con Electromagnetismo

Las transformaciones aplicadas al campo de Dirac producen potenciales vectoriales que garantizan su invarianza, estos potenciales, denominados potenciales gauge, a su vez generan una densidad lagrangiana propia. Sea la densidad lagrangiana de Dirac normal, L = iψγ µ ∂µ ψ − mψψ = ψ(γ µ ∂µ − m)ψ.

(4.2.5)

Realizemos la transformaci´on, ψ → eiα ψ,

(4.2.6)

CAP´ITULO 4. TEOR´IAS GAUGE YANG-MILLS

30

y apliquemos esta transformaci´on al lagrangiano (U (1) transformaci´on),

L = ψ(γ µ ∂µ − m)ψ → ψe−iα(x) (γ µ ∂µ − m)ψeiα(x) ,

(4.2.7)

tenemos entonces,

L → ψe−iα(x) (γ µ ∂µ − m)ψeiα(x)

(4.2.8)

= ψ(γ µ ∂µ − m)ψ + ψγ µ ψ∂µ α(x)

(4.2.9)

= ψ(γ µ ∂µ − m − γ µ ∂µ α(x))ψ.

(4.2.10)

Si queremos que L sea invariante bajo esta transformaci´on U (1) local, debemos encontrar un t´ermino que cancele el t´ermino ψγ µ ψ∂µ α. Definimos un campo local Aµ que bajo la transformaci´on U (1) eiα se transforma seg´ un Aµ → Aµ − 1q ∂µ α. LLamamos a Aµ el campo gauge. Introducimos Aµ remplezando ∂µ por Dµ = ∂µ + iqAµ . Por tanto nuestro lagrangiano es ahora,

L = ψ(iγ µ Dµ − m)ψ = ψ(iγ µ ∂µ − m − qγ µ Aµ )ψ.

(4.2.11)

4.2. CONSTRUYENDO UN MODELO GAUGE

31

Entonces bajo la transformaci´on U (1), 1 L → ψe−iα (iγ µ ∂µ − m − qγ µ [Aµ − ∂µ α])ψeiα q

(4.2.12)

ψ(iγ µ ∂µ − m − γ µ ∂µ α − qγ µ Aµ + γ µ ∂µ α)ψ

(4.2.13)

= ψ(iγ µ ∂µ − m − qγ µ Aµ )ψ

(4.2.14)

= ψ(iγ µ Dµ − m)ψ

(4.2.15)

= L.

(4.2.16)

Es decir Aµ ha conseguido la simetr´ıa U (1). Reescribamos nuestro lagrangiano,

L = ψ(iγ µ Dµ − m)ψ

(4.2.17)

= ψ(iγ µ ∂µ − m − qγ µ Aµ )ψ

(4.2.18)

= ψ(iγ µ ∂µ − m)ψ − ψqγ µ Aµ ψ

(4.2.19)

= ψ(iγ µ ∂µ − m)ψ − qj µ Aµ ,

(4.2.20)

con j µ = ψγ µ ψ. Pero tenemos un problema, de las ecuaciones de Euler-Lagrange,

0=

∂L = qj µ , ∂Aµ

(4.2.21)

y por tanto, j µ , y de nuevo tenemos un lagrangiano no invariante bajo las transformaciones U (1).

CAP´ITULO 4. TEOR´IAS GAUGE YANG-MILLS

32

Nuestro lagrangiano completo ser´a, i 1 L = ψ(iγ µ Dµ − m)ψ − F µν Fµν − J µ Aµ , F µν = [Dµ , Dν ]. 4 q

(4.2.22)

Con J µ un t´ermino fuente de Aµ , y el t´ermino F µν un t´ermino cin´etico. Resumiendo, hemos comenzado con el lagrangiano de una part´ıcula de esp´ın 1/2, la cual tiene una simetr´ıa U (1) global. Esta simetr´ıa global la inclu´ımos en el lagrangiano en forma de una simetr´ıa local que fuerza a la aparici´on de un potencial Aµ . Es decir, esta simetr´ıa fuerza la aparici´on del electromagnetismo. Esta fuerza, como el fot´on, es una consecuencia de la simetr´ıa U (1). Teor´ıas de este tipo, donde generamos una fuerza a partir de un grupo de Lie, son llamadas teor´ıas gauge, o teor´ıas Yang-Mills.

4.3.

El problema de la Masa

Cap´ıtulo 5 La Ecuaci´ on de Maxwell

33

34

´ DE MAXWELL CAP´ITULO 5. LA ECUACION

Cap´ıtulo 6 El Dif´ıcil nacimiento de la Teor´ıa Gauge Moderna

35

36CAP´ITULO 6. EL DIF´ICIL NACIMIENTO DE LA TEOR´IA GAUGE MODERNA

Cap´ıtulo 7 La Ruptura de Simetr´ıa Gauge

37

CAP´ITULO 7. LA RUPTURA DE SIMETR´IA GAUGE

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7.1.

Ruptura espont´ anea de simetr´ıa

Consideremos el lagrangiano, 1 1 1 L = − ∂ µ φ† ∂µ φ − m2 φ† φ = − ∂ µ φ† ∂µ φ − V (φ† , φ). 2 2 2

(7.1.1)

Este lagrangiano tiene simetr´ıa U (1). Modifiquemos el lagrangiano a V (φ† , φ) = 1 λm2 (φ† φ 2

− Φ2 )2 . Ahora el vac´ıo se ha modificado a | φ |= Φ. Existen, por

tanto, infinitos vac´ıos que pueden ser parametrizados por eiα . Podemos por tantp elegir nuestro α, y definirlo como nuestro vac´ıo. Elegimos por tanto nuestro α para que nuestro vaci´o sea φ = Φ. Expandimos nuestro vac´ıo, de tal modo que φ = Φ + γ + iβ, y el lagrangiano se transforma en, 1 1 1 1 L = {− ∂ µ γ∂µ γ− 4λm2 Φ2 γ 2 − ∂ µ β∂µ β}− λm2 {4Φγ 3 +4Φγβ 2 +γ 4 +γ 2 β 2 +β 4 }. 2 2 2 2 (7.1.2) √ En esta nueva teor´ıa el campo γ tiene masa ( 4λm2 Φ2 ), mientras que el campo β no (bos´ on Goldstone). notar que no es obvia la simetr´ıa U (1), por esto a esto lo llamamo ruptura de simetr´ıa.

7.2.

Ruptura de Simetr´ıa Local

Comenzemos con un lagrangiano para un campo escalar complejo con un gauge U (1), 1 1 L = − {(∂µ − iqAµ )φ† }{(∂µ + iqAµ )φ} − Fµν F µν − V (φ† , φ). 2 4

(7.2.1)

7.2. RUPTURA DE SIMETR´IA LOCAL

39

Supongamos que el campo externo j µ = 0, y que el potencial V tiene la forma, V (φ† , φ) = 21 λm2 (φ† φ − Φ2 )2 , es decir, el vac´ıo est´a degenerado en | φ |= Φ. Expandimos el lagrangiano en φ = Φ + h, 1 1 1 1 L = − ∂ µ h∂µ h − 4λm2 Φ2 h2 − Fµν F µν − q 2 Φ2 A2 + Lint . 2 2 4 2 Tenemos ahora un escalar con masa

(7.2.2)

√ 4λm2 Φ2 , y una campo con masa qΦ.

En otras palabras Aµ ha ganado masa. Comenzamos nuestra teor´ıa sin masa, y meramente introduciendo una ruptura de simetr´ıa en la teor´ıa nuestra part´ıcula portadora de fuerza ha adquirido masa. Este mecanismo lleva el nombre de mecanismo de higgss, h lleva el nombre de bos´ on de higgs.

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CAP´ITULO 7. LA RUPTURA DE SIMETR´IA GAUGE

Cap´ıtulo 8 La teor´ıa Unificada de Weinberg-Salam

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CAP´ITULO 8. LA TEOR´IA UNIFICADA DE WEINBERG-SALAM

Cap´ıtulo 9 Teor´ıa de Color Gauge

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CAP´ITULO 9. TEOR´IA DE COLOR GAUGE

Cap´ıtulo 10 Topolog´ıa y Simetr´ıa Gauge

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CAP´ITULO 10. TOPOLOG´IA Y SIMETR´IA GAUGE

Bibliograf´ıa [1] R.Huamani, F.Villegas. Simetr´ıas Gauge Locales Aplicadas a la F´ısica. Revista de Investigaci´on F´ısica 14. 2011. [2] M.B.Robinson, K.R.Bland, G.B.Cleaver, J.R.Dittmann. A Simple introduction to Particle Physics. Part I. Foundations and the Standard Model. [3] K. Moriyasu. An Elementary primer for Gauge Theory. World Scientific.

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