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Curso: Semestre: Profesores:

´s Bello Universidad Andre Facultad de Ingenier´ıa Ingenier´ıa Civil Industrial

ICI 2204 - M´etodos matem´ aticos 1-2018 Diego Beneventti - Samantha Reid Juan Carlos Vel´ asquez

Taller 6 Plazo: Viernes 15, 23:59 Instrucciones:  S´ olo se permitir´ an grupos de m´ınimo 3 integrantes y m´aximo 4 integrantes, o de lo contrario existir´ a una penalizaci´ on en la nota.  El taller se entrega de manera virtual en el aula virtual en la secci´on ”Entrega de Trabajos” en el apartado ”Taller 6”.

Nombre Integrantes:

1.

Ejercicio 1 (20 puntos)

Para la siguiente ecuaci´ on diferencial:

y 0 = y ∗ sin(x)3 0≤x≤2 y(0) = 1 Se tiene la siguiente soluci´ on exacta para la ecuaci´on diferencial anterior: y=e

cos(x)∗cos(x)2 −3 3

2

∗ e3

Por lo tanto se pide: a) Encontrar y(2) a trav´es del M´etodo de Euler con un h = 0,5, adem´as de calcular el error verdadero respectivo. b) Resolver con Runge Kutta orden 2, adem´as de calcular el error verdadero.

Respuesta (a) Primero, se obtiene el valor an´ alitico reemplazando en la ecuaci´on:

y(x) = e

cos(x)∗cos(x)2 −3 3

2

∗ e3

y(0,5) = 0,897589 y(1) = 0,755212 y(1,5) = 0,716616 y(2) = 0,699524 Luego, obtener la soluci´ on mediante Euler:

y(0,5) = y(0) + f (0; 1) ∗ 0,5
= 1 + 1 ∗ sin(0)3 ∗ 0,5 = 1 + (0) ∗ 0,5 = 1 y(1) = y(0,5) + f (0,5; 1) ∗ 0,5
= 1 + 1 ∗ sin(0,5)3 ∗ 0,5 = 1 + (0,110195) ∗ 0,5 = 1 + 0,055098 = 1,0551 y(1,5) = y(1) + f (1; 1,0551) ∗ 0,5
= 1,0551 + 1,0551 ∗ sin(1)3 ∗ 0,5 = 1,0551 + (0,628653) ∗ 0,5 = 1,0551 + 0,314327 = 1,36943 y(2) = y(1,5) + f (1,5; 1,36943) ∗ 0,5
= 1,36943 + 1,36943 ∗ sin(1,5)3 ∗ 0,5 = 1,36943 + (1,35916) ∗ 0,5 = 1,36943 + 0,67958 = 2,04901 Y los porcentajes de error, para cada iteraci´on, son:

t (0,5) = 11,4096 % t (1) = 39,7091 % t (1,5) = 91,0968 % t (2) = 192,915 %

(b) Ahora se resuelve por RK2 , con el mismo h = 0,5:  C´ alculo de y(0,5): k1 = f (xi ; yi ) = f (0; 1) = 0 k2 = f (xi + h; yi + hk1 ) = f (0,5; 1 + 0 ∗ 0,5) = f (0,5; 1) = 0,110195 h y(0,5) = y(0) + (k1 + k2 ) = 1 + 0,25 ∗ (0 + 0,110195) = 1,02755 2  C´ alculo de y(1): k1 = f (xi ; yi ) = f (0,5; 1,02755) = 0,113231 k2 = f (xi + h; yi + hk1 ) = f (1; 1,02755 + 0,113231 ∗ 0,5) = f (1; 1,08417) = 0,645974 h y(1) = y(0,5) + (k1 + k2 ) = 1,02755 + 0,25 ∗ (0,113231 + 0,645974) = 1,21735 2  C´ alculo de y(1,5): k1 = f (xi ; yi ) = f (1; 1,21735) = 0,725325 k2 = f (xi + h; yi + hk1 ) = f (1,5; 1,21735 + 0,725325 ∗ 0,5) = f (1,5; 1,58001) = 1,56817 h y(1,5) = y(1) + (k1 + k2 ) = 1,21735 + 0,25 ∗ (0,725325 + 1,56817) = 1,79072 2  C´ alculo de y(2): k1 = f (xi ; yi ) = f (1,5; 1,79072) = 1,7773 k2 = f (xi + h; yi + hk1 ) = f (2; 1,79072 + 0,5 ∗ 1,7773) = f (2; 2,67937) = 2,01442 h y(2) = y(1,5) + (k1 + k2 ) = 1,79072 + 0,25 ∗ (1,7773 + 2,01442) = 2,73865 2 Y los porcentajes de error, para cada iteraci´on, son:

t (0,5) = 14,4789 % t (1) = 61,1931 % t (1,5) = 149,886 % t (2) = 291,502 %

2.

Ejercicio 2 (20 puntos)

A continuaci´ on, se da la siguiente ecuaci´on diferencial:

y0 = y − x 0≤x≤2 y(0) = 1 a) Aplicar Taylor orden 3 con un h=0.5. b) Resolver ecuaci´ on diferencial mediante Runge Kutta orden 4.

Respuesta (a) El m´etodo de tercer orden es: y(xi + h) = y(xk ) + y 0 (xk )h + y 00 (xk )

h2 h3 + y 000 (xk ) 2! 3!

Primero se calculan las derivadas: dy 0 d(y − x) ydy xdx = = − dx dx dx dx = 1 ∗ (y − x) = y − x − 1

y 00 =

y 000 = y − x − 1 Y luego se procede a calcular desde 0 a 2 con un tama˜ no de paso de 0.5:

0,53 0,52 + y 000 (0) 2 6 0,52 0,53 = 1 + (y0 − x0 ) ∗ 0,5 + (y0 − x0 − 1) + (y0 − x0 − 1) 2 6 = 1 + (1 − 0) ∗ 0,5 + (1 − 0 − 1) ∗ 0,125 + (1 − 0 − 1) ∗ 0,0208 = 1,5

y(0,5) = y(0) + y 0 (0)h + y 00 (0)

0,53 0,52 + y 000 (0,5) 2 6 = 1,5 + (1,5 − 0,5) ∗ 0,5 + (1,5 − 0,5 − 1) ∗ 0,125 + (1,5 − 0,5 − 1) ∗ 0,0208

y(1) = y(0,5) + y 0 (0,5) + y 00 (0,5)

=2 0,52 0,53 + y 000 (1) 2 6 = 2 + (2 − 1) ∗ 0,5 + (2 − 1 − 1) ∗ 0,125 + (2 − 1 − 1) ∗ 0,0208

y(1,5) = y(1) + y 0 (1) + y 00 (1)

= 2,5 0,52 0,53 + y 000 (1,5) 2 6 = 2,5 + (2,5 − 1,5) ∗ 0,5 + (2,5 − 1,5 − 1) ∗ 0,125 + (2,5 − 1,5 − 1) ∗ 0,0208

y(2) = y(1,5) + y 0 (1,5) + y 00 (1,5)

=3

(b) Ahora se resuelve por RK4 , con el mismo h = 0,5:  C´ alculo de y(0,5): k1 = f (xi ; yi ) = f (0; 1) = 1 − 0 = 1 k2 = f (xi + 0,5 ∗ h; yi + 0,5 ∗ k1 ∗ h) = f (0,25; 1 + 0,5 ∗ 1 ∗ 0,5) = f (0,25; 1,25) = 1 k3 = f (xi + 0,5 ∗ h; yi + 0,5 ∗ k2 ∗ h) = f (0,25; 1,25) = 1 k4 = f (xi + h; yi + h ∗ k3 ) = f (0,5; 1 + 0,5 ∗ 1) = f (0,5; 1,5) = 1 1 1 y(0,5) = y(0) + (k1 + 2 ∗ (k2 + k3 ) + k4 ) = 1 + ∗ (1 + 2 ∗ (1 + 1) + 1) ∗ 0,5 = 1,5 6 6  C´ alculo de y(1): k1 = f (xi ; yi ) = f (0,5; 1,5) = 1 k2 = f (xi + 0,5 ∗ h; yi + 0,5 ∗ k1 ∗ h) = f (0,75; 1,5 + 0,5 ∗ 1 ∗ 0,5) = f (0,75; 1,75) = 1 k3 = f (xi + 0,5 ∗ h; yi + 0,5 ∗ k2 ∗ h) = f (0,75; 1,75) = 1 k4 = f (xi + h; yi + h ∗ k3 ) = f (1; 1,5 + 1 ∗ 0,5) = f (1; 2) = 1 1 1 y(1) = y(0,5) + (k1 + 2 ∗ (k2 + k3 ) + k4 ) = 1,5 + ∗ (1 + 2 + 2 + 1) ∗ 0,5 = 2 6 6  C´ alculo de y(1,5): k1 = f (xi ; yi ) = f (1; 2) = 1 k2 = f (xi + 0,5 ∗ h; yi + 0,5 ∗ k1 ∗ h) = f (1,25; 2 + 0,5 ∗ 1 ∗ 0,5) = f (1,25; 2,25) = 1 k3 = f (xi + 0,5 ∗ h; yi + 0,5 ∗ k2 ∗ h) = f (1,25; 2,25) = 1 k4 = f (xi + h; yi + h ∗ k3 ) = f (1,5; 2 + 1 ∗ 0,5) = f (1,5; 2,5) = 1 1 1 y(1,5) = y(1) + (k1 + 2 ∗ k2 + 2 ∗ k3 + k4 ) = 2 + ∗ (1 + 2 + 2 + 1) ∗ 0,5 = 2,5 6 6  C´ alculo de y(2): k1 = f (xi ; yi ) = f (1,5; 2,5) = 1 k2 = f (xi + 0,5 ∗ h; yi + 0,5 ∗ k1 ∗ h) = f (1,75; 2,5 + 0,5 ∗ 1 ∗ 0,5) = f (1,75; 2,75) = 1 k3 = f (xi + 0,5 ∗ h; yi + 0,5 ∗ k2 ∗ h) = f (1,75; 2,75) = 1 k4 = f (xi + h; yi + h ∗ k3 ) = f (2; 2,5 + 2,5 ∗ 0,5) = f (2; 3) = 1 1 1 y(1,5) = y(1) + (k1 + 2 ∗ k2 + 2 ∗ k3 + k4 ) = 2,5 + ∗ (1 + 2 + 2 + 1) ∗ 0,5 = 3 6 6

3.

Ejercicio 3 (20 puntos)

Si se supone que el arrastre es proporcional al cuadrado de la velocidad, se puede modelar la velocidad de un objeto que cae como un paracaid´ısta, por medio de la ecuaci´on diferencial siguiente: dv cd = g − v2 dt m Donde v es la velocidad (m/s), t = tiempo(s), g es la aceleraci´on de la gravedad (9.81 m/s2 ), cd = coeficiente de arrastre de segundo orden (kg/m) y m = masa (kg). Resuelva para la velocidad y distancia que recorre un objeto de 90 kg con coeficiente de arrastre de 0.225 kg/m. Si la velocidad inicial es de 0 m/s (asumiendo que parti´o desde t=0), se desea obtener la velocidad cuando hayan pasado 4 segundos (con 1 segundo de paso). Obtenga la soluci´on con m´etodo de Euler y m´etodo de RK de cuarto orden.

Respuesta Se pide resolver la siguiente ecuaci´ on diferencial: dv = 9,8 − 0,0025 ∗ v 2 dt (a) Luego, obtener la soluci´ on mediante Euler:

v(1) = v(0) + f (0; 0) ∗ 1 = 0 + (9,8 − 0,0025 ∗ 02 ) ∗ 1 = 0 + (9,8) ∗ 1 = 9,8 v(2) = v(1) + f (1; 9,8) ∗ 1 = 9,8 + (9,8 − 0,0025 ∗ (9,8)2 ) ∗ 1 = 9,8 + (9,5599) ∗ 1 = 19,3599 v(3) = v(2) + f (2; 19,3599) ∗ 1 = 19,3599 + (9,8 − 0,0025 ∗ (19,3599)2 ) ∗ 1 = 19,3599 + (8,86299) ∗ 1 = 28,2229 v(4) = v(3) + f (3; 28,2229) ∗ 1 = 28,2229 + (9,8 − 0,0025 ∗ (28,2229)2 ) ∗ 1 = 28,2229 + (7,80867) = 36,0316

(b) Ahora se resuelve por RK4 , con el mismo h = 1:  C´ alculo de v(1): k1 = f (ti ; vi ) = f (0; 0) = 9,8 k2 = f (ti + 0,5 ∗ h; vi + 0,5 ∗ k1 ∗ h) = f (0,5; 0 + 0,5 ∗ 9,8) = f (0,5; 4,9) = 9,73998 k3 = f (ti + 0,5 ∗ h; vi + 0,5 ∗ k2 ∗ h) = f (0,5; 4,87) = 9,74071 k4 = f (ti + h; vi + h ∗ k3 ) = f (1; 0 + 1 ∗ 9,74071) = f (1; 9,74071) = 9,5628 1 v(1) = v(0) + (k1 + 2 ∗ (k2 + k3 ) + k4 ) 6 1 = 0 + ∗ (9,8 + 2 ∗ (9,73998 + 9,74071) + 9,5628) = 9,7207 6  C´ alculo de v(2): k1 = f (ti ; vi ) = f (1; 9,7207) = 9,56377 k2 = f (ti + 0,5 ∗ h; vi + 0,5 ∗ k1 ∗ h) = f (1,5; 9,7207 + 0,5 ∗ 9,56377) = f (1,5; 14,5026) = 9,2742 k3 = f (ti + 0,5 ∗ h; vi + 0,5 ∗ k2 ∗ h) = f (1,5; 14,3578) = 9,28463 k4 = f (ti + h; vi + h ∗ k3 ) = f (2; 9,7207 + 1 ∗ 9,28463) = f (2; 19,0053) = 8,897 1 v(2) = v(1) + (k1 + 2 ∗ (k2 + k3 ) + k4 ) 6 1 = 9,7207 + ∗ (9,56377 + 2 ∗ (9,2742 + 9,28463) + 8,897) = 18,9838 6  C´ alculo de v(3): k1 = f (ti ; vi ) = f (2; 18,9838) = 8,89904 k2 = f (ti + 0,5 ∗ h; vi + 0,5 ∗ k1 ∗ h) = f (2,5; 18,9838 + 0,5 ∗ 8,89904) = f (2,5; 23,4333) = 8,4272 k3 = f (ti + 0,5 ∗ h; vi + 0,5 ∗ k2 ∗ h) = f (2,5; 23,1974) = 8,4547 k4 = f (ti + h; vi + h ∗ k3 ) = f (3; 18,9838 + 8,4547) = f (3; 27,4385) = 7,91782 1 v(3) = v(2) + (k1 + 2 ∗ (k2 + ∗k3 ) + k4 ) 6 1 = 18,9838 + ∗ (8,89904 + 2 ∗ (8,4272 + 8,4547) + 7,91782) = 27,4139 6  C´ alculo de v(4): k1 = f (ti ; yi ) = f (3; 27,4139) = 7,9212 k2 = f (ti + 0,5 ∗ h; vi + 0,5 ∗ k1 ∗ h) = f (3,5; 27,4139 + 0,5 ∗ 7,9212) = f (3,5; 31,3745) = 7,3391 k3 = f (ti + 0,5 ∗ h; vi + 0,5 ∗ k2 ∗ h) = f (3,5; 31,0835) = 7,38454 k4 = f (ti + h; vi + h ∗ k3 ) = f (4; 27,4139 + 7,38454) = f (4; 34,7984) = 6,77268 1 v(4) = v(3) + (k1 + 2 ∗ (k2 + ∗k3 ) + k4 ) 6 1 = 27,4139 + ∗ (7,9212 + 2 ∗ (7,3391 + 7,38454) + 6,77268) = 34,7708 6