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NOCIONES BÁSICAS DE CÁLCULO VECTORIAL

I. INTRODUCCIÓN Para poder determinar la posición de un punto en el espacio de forma unívoca necesitamos establecer en primer lugar un sistema de referencia que está formado por un conjunto de tres ejes no coplanarios con un origen común (origen de coordenadas). Utilizaremos el sistema de ejes cartesianos, formado por tres ejes perpendiculares entre sí (ejes X,Y,Z). La posición de un punto cualquiera del espacio viene determinada por un conjunto ordenado de tres números, cuyo valor particular depende del sistema de coordenadas elegido. Existen diferentes tipos de sistemas que son utilizados habitualmente (componentes cartesianas, cilíndricas, esféricas). (Aunque en estos apuntes utilizaremos las componentes cartesianas conviene saber expresar las coordenadas de un punto en otros sistemas).

Z

•P

O

X Figura 1 Sistema de referencia

Y

2

En el sistema de coordenadas cartesiano, la posición de un punto del espacio, P, viene dada en forma de tres números P:(Px,Py,Pz) los cuales representan las coordenadas del punto P. Estos números indican la distancia que hay que recorrer paralelamente a cada uno de los ejes, partiendo desde el origen de coordenadas, para llegar a la posición del punto P. (ver Figura 2) Ejemplo: Si las componentes de un punto P son (2,3,5) significa que partiendo desde el origen de coordenadas debemos movernos dos unidades en la dirección del eje X, desde ese punto movernos 3 unidades en la dirección del eje Y y 5 unidades en la dirección del eje Z. El punto del espacio alcanzado corresponde a P.

P: (Px,Py,Pz) Z

•P

Pz O

Y

Px X

Py

Figura 2 Coordenadas del punto P

Para establecer matemáticamente las leyes físicas recurrimos a diferentes magnitudes. Una magnitud en Física representa algo que puede ser medido. Las magnitudes que quedan completamente caracterizadas por un número se llaman escalares. Un ejemplo de magnitud escalar es la temperatura que podemos medir en un punto cualquiera del espacio colocando un termómetro en dicho punto. ¿Qué sucede cuando queremos expresar cómo se está moviendo un coche? Con un número podemos indicar la velocidad a la que se está moviendo, pero no conseguimos toda la información de su movimiento porque no sabemos en qué dirección se está moviendo. La velocidad es un ejemplo de magnitud vectorial en la cual necesitamos determinar su magnitud, dirección y sentido. Este tipo de magnitudes en física se

Nociones básicas de cálculo vectorial

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expresan a través de otros elementos matemáticos: los vectores (ejemplos de vectores son la velocidad, aceleración, fuerza, campo eléctrico, campo magnético...)

II. VECTORES Con un vector tenemos asociado además de un número, una determinada dirección y sentido. Para determinar matemáticamente un vector hacemos lo siguiente: igual que cuando queremos señalar una dirección apuntamos con el dedo, podemos ver un vector como una flecha en el espacio que señala la dirección y sentido que queremos indicar y cuya longitud representa el número que queremos asociar con ese vector (ver Figura 3) Tomemos el origen del vector (que vendrá dado por un determinado punto del espacio de coordenadas P : ( Px , Py , Pz ) ) y su extremo (de coordenadas Q : (Q x , Q y , Q z ) ).

r

Definimos el vector que va de P a Q, que representaremos como el vector P Q como

(Q x − Px , Q y − Py , Q z − Pz ) . Estos tres números

el conjunto de tres números

representan las componentes del vector.

Z Q

P O

Y

X Figura 3 Representación de un vector

Un vector en el cual tenemos especificado su origen y extremo se llama vector ligado. Sin embargo existen multitud de vectores equivalentes con la misma longitud, dirección y sentido que solo se diferencian en la posición de su origen. El conjunto de todos los vectores idénticos (con idénticas componentes) cuyo origen está contenido sobre la recta que contiene el vector se denominan vector deslizante. El conjunto de todos los vectores con idénticas componentes con origen en cualquier punto del espacio representa lo que llamamos un vector libre.

4

Un vector libre, en el cual el origen no es especificado, se representa por un conjunto de tres números que representan las componentes del vector (lo representaremos con

r

una letra mayúscula con una flecha encima) y lo expresamos del modo V : (V x , V y , V z ) . Estas componentes representan las distancias que debemos recorrer paralelamente a cada uno de los ejes X,Y,Z desde el origen del vector para llegar a su extremo (ver figura 4)

r

Dado el vector V = (V x , V y , V z ) definimos el módulo del vector como la cantidad:

r V = (V x2 + V y2 + V z2 )

(1)

Este número corresponde a la longitud del vector. Un vector se llama unitario si tiene módulo igual a 1. Se usan para indicar una dirección en el espacio. Representaremos este tipo de vectores de la forma: uˆ . Podemos convertir un vector cualquiera en unitario dividiéndolo por su módulo. Los vectores unitarios en la dirección de los ejes de coordenadas son de gran importancia. Vienen representados del siguiente modo: Vector unitario en dirección del eje X: iˆ = (1,0,0) Vector unitario en la dirección del eje Y: ˆj = (0,1,0) Vector unitario en la dirección del eje Z: kˆ = (0,0,1)

Z

→

|V| Vz Vx

^

k î

^

j

X Figura 4 Módulo y componentes de un vector

Vy

Y

Nociones básicas de cálculo vectorial

5

III. OPERACIONES CON VECTORES Los vectores aparecen continuamente en un gran número de situaciones en física y es imprescindible conocer las distintas operaciones que podemos establecer a partir de ellos. SUMA DE VECTORES

r

r

Dados dos vectores A = ( Ax , Ay , Az ) y B = ( B x , B y , B z ) , definimos el vector suma de éstos como el vector de componentes:

r r r C = A + B = ( Ax + B x , Ay + B y , A z + B z )

(2)

Geométricamente podemos determinar el vector suma de la forma en que se ve en la Figura 5.

r

Ejercicio: Demuestra que el vector C de la figura 5 tiene por componentes las dadas en la definición (2) (Ayuda:Utilizar la definición de vectores en función de su punto origen y extremo)

Z →

C

→

→

B

A

O

Y

X Figura 5 Suma de vectores

PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR

r

La multiplicación de un vector V = (V x , V y , V z ) por un escalar, λ, da como resultado otro vector de componentes:

6

r r F = λ ⋅ V = (λ ⋅ V x , λ ⋅ V y , λ ⋅ V z )

r

(3)

r

El vector F tiene la misma dirección y sentido del vector V , pero su módulo es λ veces mayor. Forma alternativa de expresar un vector: A partir de las definiciones precedentes de vector unitario, suma y producto de un vector por un escalar, un vector puede representarse en función de los vectores unitarios iˆ , ˆj y kˆ del siguiente modo alternativo:

r V = V x ⋅ iˆ + V y ⋅ ˆj + V z ⋅ kˆ

(4)

(Ejemplo: El vector (3,5,4) también se puede escribir como 3iˆ + 5 ˆj + 4kˆ )

PRODUCTO DE DOS VECTORES Dados dos vectores

r r A = ( Ax , Ay , Az ) y B = ( B x , B y , B z ) , podemos definir dos

operaciones diferentes de producto: producto escalar y producto vectorial. Importante: El producto escalar de dos vectores da como resultado un escalar (número). El producto vectorial de dos vectores da como resultado un vector. PRODUCTO ESCALAR

r

r

r r

El producto escalar de dos vectores, A y B , se representa de la forma A ⋅ B y se define como:

r r r r A ⋅ B = A ⋅ B ⋅ cos α

(5)

donde α es el ángulo que forman los dos vectores entre sí. Si bien esta es la definición de producto escalar, no es la forma más conveniente de encontrar el valor de este producto puesto que en la mayoría de las ocasiones desconocemos el valor de α y lo que conocemos es el valor de las componentes de cada vector. Podemos dar una expresión equivalente para el producto escalar utilizando la representación de un vector en función de los vectores unitarios (4). Sabemos que

Nociones básicas de cálculo vectorial

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éstos vectores ( iˆ , ˆj y kˆ ) forman 90º entre sí, de modo que aplicando la definición (5) tenemos:

iˆ ⋅ iˆ = ˆj ⋅ ˆj = kˆ ⋅ kˆ = 1 ⋅ 1 ⋅ cos(0) = 1 y

iˆ ⋅ ˆj = iˆ ⋅ kˆ = ˆj ⋅ kˆ = 1 ⋅ 1 ⋅ cos(90) = 0 Utilizando este resultado tenemos

r r A ⋅ B = ( Ax iˆ + Ay ˆj + Az kˆ) ⋅ ( B x iˆ + B y ˆj + B z kˆ) = Ax B x (iˆ ⋅ iˆ) + Ax B y (iˆ ⋅ ˆj ) + K + Az B z (kˆ ⋅ kˆ) cada término entre paréntesis da 0 ó 1 y al final obtenemos el resultado:

r r A ⋅ B = Ax B x + Ay B y + Az B z

(6)

Esta es la definición que nos permite calcular el producto escalar de dos vectores en función de sus componentes y que será de mayor utilidad a lo largo del curso.

r

r

Ejemplo: Calcula el producto escalar de A : (1,2,4) y B : (3,5,0)

r r A ⋅ B = 1 ⋅ 3 + 2 ⋅ 5 + 4 ⋅ 0 = 13

PRODUCTO VECTORIAL Ya hemos dicho que el producto vectorial de dos vectores es un vector. El producto vectorial aparece en muchos campos de la física y es por tanto importante saber calcularlo correctamente. En este resumen no nos centraremos en los motivos que originan la necesidad de introducir estos vectores en la física y nos limitaremos a ver su definición.

r

r

r

r

El producto vectorial de dos vectores, que representamos como A ∧ B ó A × B , se define como el vector que tiene por módulo:

r r r r A ∧ B = A ⋅ B ⋅ senα

(7)

r

r

cuya dirección es perpendicular al plano que contiene a los vectores A y B y cuyo sentido viene dado por la regla de la mano derecha (Figura 6)

8

Podemos expresar el producto vectorial en función de las componentes de cada uno de los vectores al igual que en el producto escalar a partir de la definición. En primer lugar determinamos el producto vectorial de los vectores unitarios

iˆ ∧ iˆ = 0 ,

iˆ ∧ ˆj = kˆ ,

ˆj ∧ iˆ = − kˆ ,

ˆj ∧ ˆj = 0 ,

iˆ ∧ kˆ = − ˆj r j ∧ kˆ = iˆ

kˆ ∧ iˆ = ˆj ,

kˆ ∧ ˆj = −iˆ ,

kˆ ∧ kˆ = 0

El producto vectorial expresado en función de las componentes de los vectores queda:

r r A ∧ B = Ax B x (iˆ ∧ iˆ) + Ax B y (iˆ ∧ ˆj ) + K + Az B z (kˆ ∧ kˆ) Sustituyendo cada paréntesis por el valor obtenido anteriormente queda

r r A ∧ B = ( Ay B z − Az B y )iˆ − ( Ax B z − Az B x ) ˆj + ( Ax B y − Ay B x )kˆ

(8)

Esta expresión corresponde al vector producto vectorial.

→

→

A∧B

→

B →

A

Figura 6 Producto vectorial

Este resultado puede expresarse igualmente de una forma mucho más compacta utilizando las propiedades de los determinantes

Nociones básicas de cálculo vectorial

9

iˆ r r A ∧ B = Ax Bx

ˆj

kˆ

Ay By

Az Bz

Si calculamos el determinante (bien por desarrollo por menores o por la regla de Barrow) encontramos que equivale exactamente a la expresión (8). Como desarrollo por menores este determinante puede expresarse de la forma:

iˆ r r A ∧ B = Ax Bx

ˆj Ay By

kˆ Ay Az = iˆ ⋅ By Bz

Az A − ˆj ⋅ x Bz Bx

Az ˆ Ax +k⋅ Bx Bz

Ay By

r r Ejemplo: Calcula el producto vectorial de A : (1,2,4) y B : (3,5,0) iˆ ˆj kˆ r r 1 4 ˆ 1 2 2 4 A ∧ B = 1 2 4 = iˆ ⋅ − ˆj ⋅ +k⋅ = iˆ(2 ⋅ 0 − 4 ⋅ 5) − ˆj (1 ⋅ 0 − 4 ⋅ 3) + kˆ(1 ⋅ 5 − 2 ⋅ 3) = 3 0 3 5 5 0 3 5 0 = −20iˆ + 12 ˆj − kˆ

IV. REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR EN FUNCIÓN DE SU MÓDULO Y SU VECTOR UNITARIO En muchas ocasiones al estudiar diversos problemas físicos nos encontramos con vectores de los que conocemos su módulo y dirección (por ejemplo en Mecánica en muchas ocasiones sabemos qué fuerza estamos aplicando y en qué dirección). Para el desarrollo matemático de las ecuaciones, sin embargo, es muy útil el uso de las componentes de un vector. En este apartado recordaremos como calcular las componentes de un vector a partir de su módulo y vector unitario. DETERMINACIÓN DE LAS COMPONENTES DEL VECTOR UNITARIO A UN EJE DADO

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Para especificar una determinada dirección en el espacio debemos caracterizar las componentes del eje en dicha dirección. Un eje queda determinado por un vector unitario en la dirección de dicho eje. (Figura 7) Podemos determinar las componentes del vector unitario de un eje en dos formas: 1.- Si conocemos dos puntos cualquiera del eje, P y Q, podemos determinar el vector unitario del siguiente modo

r PQ uˆ = r PQ

2.- Si conocemos los ángulos que forma el eje con los ejes cartesianos X,Y,Z, podemos determinar el vector unitario a través de los cosenos directores

uˆ = (cos α , cos β , cos γ ) donde α es el ángulo entre el eje dado y el eje X, β es el ángulo entre el eje y el eje Y y γ es el ángulo que el eje forma con el eje Z

•Q Z

Eje

û

•P

γ β

Y

α X Figura 7 Determinación de las componentes del vector unitario en la dirección de un eje dado

Nociones básicas de cálculo vectorial

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Una vez calculado el vector unitario en la dirección que nos interesa, podemos escribir un vector cualquiera en dicha dirección como

r r V = V ⋅ uˆ

Ejemplo: Un vector de módulo 15 está aplicado en la dirección de la diagonal del cubo, de arista L, mostrado en la figura. Determina las componentes de dicho vector. Z B

→

V L

X

Y

A

Para determinar el vector necesitamos su módulo y su vector unitario. El vector unitario lo podemos determinar a partir de las componentes de dos puntos del eje que contiene el vector De la figura obtenemos A : ( L,0,0) y B : (0, L, L) . A partir de estos formamos el

r

r

vector A B = (− L, L, L) y su módulo es A B = (− L) 2 + L2 + L2 = L 3

r AB  1 1 1   El vector unitario en esta dirección es uˆ = , , r =  − 3 3 3 AB 

r

r



El vector buscado es V = V ⋅ uˆ = 15 ⋅  −



1 1 1   15 15 15  , , , ,   = − 3 3 3 3 3 3 

12

Ejemplo: Determinar las coordenadas de un vector de módulo 15 que está situado sobre la diagonal de la cara inferior de un cubo idéntico al del ejemplo anterior

Z

L

Y →

γ

V

β X

α

En este caso determinaremos el vector unitario a partir de los cosenos directores del eje que contiene al vector. De la figura vemos que el eje forma un ángulo de 135º con el eje X, un ángulo de 45º con el eje Y y un ángulo de 90º con el eje Z de modo que podemos escribir

 1 1  uˆ = (cos135, cos 45, cos 90) =  − , ,0  2 2   y el vector vendrá dado por

r r  15 15  V = V ⋅ uˆ =  − , ,0  2 2  