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UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN PUBLICA Y GESTIÓN SOCIAL.

ESTADISTICA “EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDADES”

PROFESOR:

Dr . WILLY VICTOR MANDUJANO MIESES

LIMA – UNFV – Junio 2018

EJERCICIOS

RESUELTOS DE PROBABILIDADES

I.- ESPACIO MUESTRAL 1.

Construir siguientes

el

espacio

muestral

apropiado

para

los

experimentos aleatorios:

a) Elegir una carta de una baraja de 52 cartas. b) Inspeccionar

las

medidas

de

seguridad

contra

accidentes de una fábrica. c) Extraer una muestra de 5 bolas con reemplazamiento de una urna que contiene 12 bolas diferentes (esto es

las

bolas

se

devuelven

a

la

urna

antes

de

extraer una segunda vez). SOLUCIÓN A)

Si : C= Corazones, D = Diamantes, = Espada y T = trébol S = {C1, C2,....C13; D1, D2, ... D13; E1, E2,…E13; T1, T2,....T13}

B)

Hay n formas de inspeccionar las medidas de seguridad contra accidentes de una fábrica.  S = {0,1,2,..........n}

C)

Si a1, a2, a3,........a12, son las diferentes bolas  S={a1,a2,a3,......a12}5 producto cartesiano Dado que son con reemplazamiento.

2.

Un

inversionista

planea

oportunidades

de

Describa

espacio

el

escoger

inversión

que

muestral

dos le

de

han

que

las

cinco

recomendado.

representa

las

opciones posibles.

Solución Si {A,B,C,D,E} es el conjunto de 5 opciones  La forma como debe escoger las 5 opciones de 2 e 2 esta dado por: S = {AB.AC,AD.AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE} n(s) 

3.

5! 5 x 4 x3 x 2 x1   10 2! (5 - 2)! 2 x1x3 x 2 x1

Durante el día una máquina produce tres artículos cuya calidad

individual,

defina

como

defectuoso

o

no

defectuoso, se determina al final del día. Describa el espacio muestral generado por la producción diaria. Solución Son 8 horas de trabajo (Supuesto) Sea B = Artículo Bueno  D = Artículo Defectuoso.  S = {BBB,BBD,BDB,DBB,BDD,DBD,DDB,DDD}

4.

Suponga

que

la

demanda

diaria

de

gasolina

en

una

estación de servicio está acotada por 1,000 gls., que se lleva a un registro diario de venta. Describa el espacio muestral.

Solución  S = {Wi/0  Wi  1,000 gl}

Además Wi = 1………..1,000

suceso

venta del Galón 1

donde W = Suceso de cada momento 5.

El gerente general de una firma comercial, entrevisto a diez aspirantes a un puesto. Cada uno de los aspirantes es

calificado

como:

Deficiente,

Regular,

Bueno,

Excelente. a) Dar

el

espacio

muestral

adecuado

para

el

experimento. b) Describir los siguientes eventos: A: todos los aspirantes son calificados, deficientes o excelentes. B: sólo la última persona entrevistada es calificada como excelente. Solución S = {D,R,B,E}10 = [(X1,X2,X3,X4,……..X10)/Xj=D,R,B,E;j= 1,2,3, …..10]

II.- PROBABILIDAD DE EVENTOS EXCLUYENTES 6.

Las caras numeradas 1,2 y 3 de un dado son de color rojo; las cara s numeradas 4 y 5 son de color blanco, y la cara numerada 6 es azul. Al tirar este dado, cual es la probabilidad. a) Que aparezca una cara roja o el 5. b) Que aparezca una cara roja o número impar.

Solución a) Def. Evento A: Que aparezca una cara roja Def. Evento B: Que aparezca el número 5. P (A U B ) =

P(A) + P(B) ..............(1)

Es una probabilidad de

eventos mutuamente excluyentes

e independientes.  Pero : P (A) =

n(A)/ n(S)

A = {1,2,3}  n(A)= 3  S = {1,2,3,4,5,6}  P (A) =

n(S)= 6

3 1  6 2

Tambien: P(B) =

n(B)/ n(S)

B = {5}  n(B) = 1  S = {1,2,3,4,5,6} n(S) = 6 P (B) = 1/6 Reemplazando en (1) tenemos:  P (A U B ) = (3/6)+ (1/6)

= 4/6

= 2/3=

0.75 = 75%

b)  Def. P (A U B ) : Que aparezca una cara roja o un Número impar. Def. Def. Suceso

Suceso A: Que aparezca una cara roja (A

 B):

Que aparezca una cara roja e número impar a la vez

Por el teorema: P (A U B )

= P(A) + P(B) - P(A

A = {1,2,3}  n(A)= 3 

 B)

S = {1,2,3,4,5,6} n(S) = 6

P(A)= 3/6 B= {1,2,3}  n(B2)= 3  P(B)= 3/6

S = {1,2,3,4,5,6}  n(S)= 6

También: (A

 B)=

 B) = =

{1,3}  n(A

2

Reemplazamos (1) tenemos: P(B3)= (3/6)+(3/6)- 2/6 = 4/6 = 2/3 = 0.75 = 75%

PROBABILIDAD DE EVENTOS INDEPENDIENTES 7.

Una

caja

contiene

tres

bolitas

rojas

y

8

bolitas

negras, todas ellas del mismo material y del

mismo

tamaño. Si se extrae dos bolitas en sucesión y sin reemplazo, cual es la probabilidad de que ambas sean rojas. EJERCICIO Nº 7

R

N

R

N

N

N

N

S =N

R RR NNNNN NNN

n(s) = 11

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 R

N

Def . Evento A1 Def.

N

: De que la primera bola sea roja.

Evento A2/A1: De que la segunda bola extraviada sea también roja dado A1.

Son

sucesos

dependientes

que

definen

una

probabilidad

condicional. P(A1)* P(A2/A1)

=

……………… (1)

A1; {1,2,3}  n(A1) = 3  S = {RR,R,N,N.....N} n(S)= 11

P (A1)

=

3/11

P(A2/A1) =

n( A1 )  1 3  1 2 1    n( S )  1 11  1 10 5

Reemplazando en (1) tenemos: P(A1)* P(A2/A1)=

3 1 3 x  11 5 55

TEOREMA DE LA PROBABILIDAD DE EVENTOS EXCLUYENTES 8.

Entre los números 1,2, ......,50 se escoge un número par al azar. Cual es la probabilidad de que el número escogido sea divisible por 6 ó por 8.

SOLUCIÓN EJERCICIO Nº 8 Definimos el evento A = El # escogido sea divisible por 6 Definimos el evento B = El # escogido sea divisible por 8. El evento

(A

 B) = El

#

escogido sea divisible por

6

y por 8 Por el teorema: P (A U B )

= P(A) + P(B) - P(A

 B)

Excluyentes pero dependiente. P(A) = n(A)

_A = {6,12,18,24,30,36,42,48} n(A1)= 8 n(s) = {1,2,3,……………….,50}  n(s) = 50

n(S) P(A) =

8 50

También: P(B) = n(B)/n(S) Pero

B ={8,16,24,32,40,48}n(B)= 6

P(B) = 6/50

También: P (A

Pero

(A

 B)

 B)=

n(A

= {24,48}

 B) / n (S)  n (A  B

)= 2

Reemplazando en (1) tendremos: P (A U B ) =

8 6 2 12 6     50 50 50 50 25

PRINCIPIO MULTIPLICATIVO 9.

Diez fichas numeradas del al 10 se mezclan en una caja. Se sacan de la caja dos fichas numeradas (X,Y) una y otra vez sin sustitución. ¿Cuál es la probabilidad de que X+Y sea igual a 10?

SOLUCIÓN Definir: A: x + y = 10 P(A) = ?

S = {(1,2); (1,3)}; ......... (10,1) 10

9

n(S) = 90 n1

n2

A = {(1,9); (2,8); (3,7); (4,6); Se obtiene de la tabla de doble entrada

 n(A) = 4

Por lo tanto P(A)=

n(A) 4 2   n(S) 90 45

10. En la caja hay 6 cubos enumerados iguales. De una a la vez se extraen al azar todos los cubos de

la caja;

hallar la probabilidad de que los números de los cubos extraídos aparezcan en orden creciente. A : Obtener los cubos ...... en orden creciente (1,2,3,4,5,6) A = {(1,2,3,4,5,6)  n(A) = 1 S(e)={(1,2,3,4,5,6);(1,3,4,6,2);(..); ......(6,5,4,3,2,1)}  n(s)e = 8 n(S) =6! = 6x5x4x3x2x1 = 720 ..P(A)=



1 1  6! 720

PERMUTACIONES

Definición: Es un arreglo, orden de todos o parte de un conjunto de objetos. Ejemplo: A= {a,b,c}¿Cuántos arreglos (o posibles permutaciones) se pueden hacer? Las

posibles

permutaciones

son:

abc,acb,acb,bac,bca,cab,

cba; vemos que hay permutaciones posibles. De otro modo: =

3

x

2

x

1

6

Nomenclatura: Pnn  n!  n x (n - 1)(n - 2)(n - 3)..............1

COMBINACIONES: En algunos casos estamos interesados en el numero de formas de seleccionar r objetos en n, sin importar el orden. Estos seleccionados se llaman Combinaciones. Definición:

Un conjunto de r elementos de un conjunto que

tienen n elementos diferentes, se llama una combinación de los n elementos tomados de r a r. Denotación: Crn 

Coeficiente

n! ( n  r )!r!

Binomial

Propiedades:

a) n> r

Siempre

b)

Crn  Cnn r

c)

C0n  1

d) C1n  n

COMBINACIONES 11. En

una

caja

pintados.

hay

Un

15

piezas

mostrador

de

extrae

las al

cuales azar

10

dos

están

piezas.

Hallar la probabilidad de que las piezas extraídas sean pintadas. SOLUCIÓN  ξ : Extraer 2 piezas A: 2P. Extraídas [de 25 donde 10 están pintadas] Sean Pintadas

12. Un dispositivo contiene 5 elementos de los cuales 2 están

desgastados,

dispositivo

se

al

poner

conectan

en

en

funcionamiento

forma

aleatoria

el dos

elementos. Hallar la probabilidad de que los elementos no desgastados resulten conectados. SOLUCIÓN # e D = 2 # e D = 3 # total e = 5 n(S) = C25

Todos los elementos

n(A) = C23

No desgastado

n(A) C23C02 3! 3! 2! 3! 3! 3x 2 6 3 P(A)        5 n(S) C2 !5! 5 x 4x3! 5 x 4 20 10 PRINCIPIO MULTIPLICATIVO

13. Con los dígitos 0,1,3,5,7 y 9

se forman aleatoriamente

números de tres cifras distintas mayores que 100. ¿Cuál es la probabilidad de que estos números sean divisibles por cinco? SOLUCION A : Los números formados sean mayores que 100 y divisibles por 5 S : Los números mayores que 100. n (S) :

5

5

Múltiplos de 5

4

Y no múltiplos de 5

=

100

Además los números son múltiplos de 5  terminan en 5 o en 0 Sea n1 :# de 3 cifras terminadas en 0

5

4

1

Sea n2 :# de 3 cifras terminadas en 5

4

4

1

No va el cero

Y

P (A) =

= 20 =

16

n(A)= 36

n1  n 2  36 n(S)

COMBINACIONES 14. En

una

habitación

10

personas

tienen

insignias

numeradas del 1 al 10. Se eligen tres personas al azar y se les pide que dejen la habitación inmediatamente y se anotan los números

de insignias:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el número menor de insignias sea 5? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el numero mayor de insignias sea 5?

SOLUCION S : Elegir 3 personas de 10 que tienen insignias numeradas. a) A : Al elegir 3 personas el # menor sea 5 P(A)= ?

{

5 , 6, 7, 8, 9, 10}

Elementos mayores

Considera fijo Elemento fijo n (a) =

Crnpp

donde:

n = 6 elementos mayores r = 3 elementos p = # de elementos fijos

5! 5 x 4 x3!   10 (5  2)!2! 3!2 x1

C3611  n(A)  C52 

10 10 Además del n(S) = C3  C7 

P(A) 

En consecuencia:

b)

B : Insignias

10 x9 x8 x7! 10 x9 x8   120 (10  7)!7! 3 x 2 x1

n(A) 10 1   n(S) 120 12

cuyo # sea 5

B = {1, 2, 3, 4, 5

}  n (B)= 5 Fijo

Debemos tomarlos de 3en 3 o de r en r 4! C53--12C16 C24 1 (4  2)!2! P(B)   10   10 10! C3 C3 20 (10  3)!3!

15. De 20 personas que contrajeron cierta enfermedad

al

mismo tiempo y que fueron llevados a la misma sala de un hospital, 15

se recuperaron completamente en tres

días, al cabo del cual, se escogen aleatoriamente 5 personas para un chequeo ¿Cuál es la probabilidad de que los 5 sean dados de alta? ¿Cuál es la probabilidad

de que exactamente 4 sean dados de alta? ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de sea dado de alta? SOLUCION S : Escoger 5 personas de los 2 y darle de alta.  n(S)  C520

a)

A : Las personas sean dadas de alta (es decir todos los que están sanos)

 n(A)  C 15 5

(ya que 15 de los 20 están sanos)

Luego:

P(A) 

b)

C15 1,001 3  20 C5 5,168

B: Exactamente 4 personas están sanas n(B) = C15 x C15 4 5 C15 4 C1 P(A)   C520

c)

Sea C : “Ninguna Persona está sana” C

tiene C

5

5

De las 5 extraídas Las que están enfermas

 (S) = 1 P(C) =

1  C520

POR DEFINICION DE PROBABILIDAD

16. Elige una carta aleatoriamente de una baraja de 52 cartas?Cuál es la probabilidad de que sea un palo negro (espadas o tréboles)? ¿Cuál es la probabilidad de que sea un 10? ¿Cuál de que sea una figura (rey, reyna o sota)? ¿Cuál es la probabilidad de que sea un 4 o menos?. SOLUCION S =

Elegir una carta de una baraja de 52 cartas.

N(S)= 52 a)

A : “Obtenemos un palo negro” A tiene 26 elementos (13 espadas + 13 tréboles)

 n(A) = 26 P(A) = b)

n(A) 26 1   n(S) 52 2

B : “Obtener 1 diez”

 n(B) = 4 (pues hay 4 diez/ ) c)

C: “Obtener una figura” (Rey, Reina, Sotas)

 n(C) = 12 (4 reyes + 4 reinas + 4 sotas)Luego: P(C) = d)

12 3  52 13

D : “Obtener 4 o menos” n(D)= 16 (4 cuatros + 4 tres + 4 dos + 4 unos o ases) P(D) =

16 4  52 13

PERMUTACIONES 17. Un

experimento

aleatorio

consiste

en

disponer

los

dígitos 1,3,4,5,6,7,8,9. Uno a continuación del otro; calcular la probabilidad de: a)

Que el 3 aparece junto con el 4 y en ese orden

b)

E l número formado sea par.

c)

El numero formado sea múltiplo de 4.

d)

El número formado sea múltiplo de 3

e) SOLUCION a) n(S) = 8!

Elemento de 1,3,4,5,6,7,8,9

A: 3 aparece

junto al 4 y en ese orden

En las diferentes ordenaciones

aparecen juntas y

en ese orden, luego puede ordenarse como uno solo. Quedan

solamente 7 números por permutar.

n(A) = 7! De donde P(A) = b) B:

7! 1  8! 8

El # formado sea

par.

S: Formado por # pares . Para que el # formado sea par, debe terminar en 2,4,6,8 las cuales pueden

escogerse de

4 formas y para c/u de

estas si empiezan con el mismo # habrá 7! De ordenar los dígitos restantes.  n(B)  4 x 7!

De donde P(B) =

4 x 7! 1  8! 2

c) C: “El número formado sea múltiplo de 4” 5 múltiplos de 4

 cuando las 2 últimas cifras también

lo son y ese conjunto es: 32

24

36

28

52

64

56

48

72

84

76

68

92

96

es decir hay 14 posibles permutaciones y para c/u de ellos hay 6.

 n(C) = 14 x 6! P(C) = d) D:

14 x6! 1  8! 4

El # formado sea múltiplo de tres

 La suma de sus cifras es múltiplo de 3 Pero 2+3+4+5+6+7+8+9 = 44 no es múltiplo de 3 n(D) = 0 0 0 8!

 P(C)=

DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD 18. Una muestra aleatoria de 10 fábricas emplea un total de 10,000

personas,

demostró

que

ocurrieron

500

accidentes de trabajo durante un periodo reciente de dos meses. Hallar la probabilidad de un accidente de trabajo en una industria determinada. Solución: Sea el evento A: “un accidente de trabajo en la industria”, determinada entonces: P(A)= 500 = 0.05 por definición de frecuencias ya

que

esté

valor

de

la

probabilidad

se

relativos

basa

en

una

muestra, por lo tanto es una estimación del valor real desconocido, observe aquí no se supone implícitamente que las

normas

de

seguridad

no

han

cambiado

desde

que

se

realizó el muestreo.

19. La distribución de los miembros de los partidos polí ticos es: Partido A Número Total de Militantes 105 Militantes Mujeres 15

B 100 20

C 70 5

D 45 10

E 40 3

F 15 2

¿Cuál es la probabilidad que un miembro seleccionado aleatoriamente: a) ¿Sea una mujer?

b) ¿Pertenezca al partido b? c) ¿Sea un miembro del partido c? W. VICTOR MANDUJANO MIESES

ESTADÍSTICA TEOREMA DE BAYES II.

SEGUNDA PARTE DE EJERCICIOS DE PROBABILIDADES

22.

Tres máquinas A, B, C producen respectivamente el 60%, 30% y 10% del número total de artículos de una fábrica. Los porcentajes de desperfectos de producción de estas máquinas son respectivamente 2%, 3% y 4% seleccionado un artículo al Azar resultó defectuoso. Hallar la probabilidad de que el artículo hubiera sido producido por la máquina C. P(A) = 60% P(B) = 30% P(C) = 10%

D/A = 2% D/B = 3% D/C = 4%

Sea D = Artículos defectuosos

P C  P D  C   A  .P D   P B  .P D   P C  .P D  A B C

 D  P

PC

 0.10 0.04 4  0.60 0.02   0.3 0.03   0.10 0.04 25 D/A ND/AA B

D/B ND/B D/C

C

ND/C

23.

En cierta facultad, 4% de los hombres y 1% de las mujeres tienen más de 6 pies de estatura. Además, 60% de los estudiantes son mujeres. Ahora bien si se selecciona al azar un estudiante y es más alto que 6 pies. ¿Cuál es la probabilidad que el estudiante sea mujer.

 6 pies H

> 6 pies

M P(> 6 pies/H) = 0.04 P(> 6 pies/M = 0.01 P M  

  6 pies 



P(H) = 0.4 P(M) = 0.6

P( M ) P

 

P( H ) P  

 6 pies

 H 

 0.6  0.01  0.4  0.04   0.6 0.01

6 pies

 M 

 P( M ) P  



  6 pies

 M 

3 11

> 6 pies/H

< 6 pies/H > 6 pies/M M

24.

< 6 pies/M

Un artículo que es manufacturado por 3 fábricas, se conoce que la primera fábrica produce el doble de número de artículos que la segunda y que la otra tercera fábrica produce el mismo número de artículos que la segunda, todo esto dentro de un período de producción determinado. Se sabe también que las fábricas 1 y 2 producen un 2% de artículos defectuoso cada uno, mientras que la fábrica 3 produce un 4% de artículos defectuosos; se colocan juntos los artículos producidos por las tres fábricas y se escoge un artículo al azar. Hallar la probabilidad: a) Que dicho artículo sea de la fábrica 1, si además se conoce que el artículo es defectuoso. b) Que el artículo sea de la fábrica 1 y se conoce que el artículo no es defectuoso.

A1: Obtención de artículos producidos por la fábrica 1 A2: Obtención de artículos producidos por la fábrica 2 A3: Obtención de artículos producidos por la fábrica 3

P(D/A1) = 0.02 P(D/A2) = 0.02 P(D/A3) = 0.04

P(A1) = r; P(A2) = r/2; P(A3) = r/2 => r + r/2 + r/2 = 1 r=½

 P(A1) = ½ ;

P(A2) = ¼ ;

P(A3) = ¼

a P  A1 . D   A1   P(A1/D)         D D D P  A1 .   P  A2 . A   P  A3 . A   A1   2 3 

 0.5 0.02  0.5  0.02    0.25  0.02   0.25  0.04 

 0.4

b P  A1  P  E  P  A1  B  A  A1    0.5  0.08   0.5 P  1     D P (B ) 1  P (B ) 0.975

P  A1  P  E   P  A2  P  E   P  A2  P  E   A1   A2   A3 

PROBABILIDAD DE EVENTOS INDEPENDIENTES 25.

La probabilidad de que un hombre viva 10 años más es ¼, y la probabilidad de que su esposa viva 10 años más es 1/3. Hallar la probabilidad de que: i) ambos estén vivos dentro de 10 años, ii) al menos uno está vivo a los 10 años, iii) solamente la esposa estará viva a los 10 años.

H

M

1/4

1/3

a P(HM) = P(H) P(M) = ¼ x 1/3 = 1/12  1  1 

 3   1

b P(HM’  H’M) = P(H)P(M’) + P(H’)P(M) =  4  3    4  x  3          1 3 4   12 12 12

c P(MH’) = 26.

1 3 3 x  3 4 12

La caja A contiene 8 artículos de los cuales 3 son defectuosos, y la caja B contiene 5 artículos de los cuales 2 son defectuosos. Se extrae al azar un artículo de cada caja: i) Cuál es la probabilidad de que ambos artículos sean defectuosos. ii) Cuál es la probabilidad de que un artículo sea defectuoso y otro no iii) Si un artículo es defectuoso y otro no, cuál es la probabilidad de que el artículo defectuoso proceda de la caja A?

D

D

D

D D

D

a

P(DC1xDC2) = P(DC1) P(DC2) =  8  5   20   

3 8 2  5

P  DC 4   P  D 2 

D

D

b

D D

D

D

 3  8 

P  DC1  DC 2   P  DC1DC 2  5 P DC 1  8 3 P D2  5

D

3

P  DC 1  DC 2  

c

27.

Las probabilidades de que tres hombres peguen en el blanco son, respectivamente 1/6, ¼, y 1/3. Cada uno dispara una vez al blanco i) hallar la probabilidad de que exactamente uno de ellos pegue en el blanco; ii) si solamente uno pega en el blanco; ¿Cuál es la probabilidad de que sea el primer hombre?. P(A) =

1 6

P( A )=

5 6

P(B)=

1 4

P( B )=

3 4

P(C)=

1 3

P( C )=

2 3

S = {(A  B  C)

 (A  B  C)  (A  B  C)}

P(S) = P(A).(B).P(C) + P(A).P(B).P(C) + P(A).P(B).(PC) P(S) =

 1  3   2  5   1  2  5   3   1     .           .   6 4 3 6 4 3 6 4 3

P(S) = S= {A  B  C} P(S1) = P(A).P(B)P(C)  1   3  2 

P(S1) =  6 . 4  3      

28.

Un equipo gana (W) con probabilidad 0.5; pierde (L) con probabilidad 0.3 y empata (T), con probabilidad 0.2. El equipo juega dos veces. i) Determinar el espacio muestral S y las probabilidades de los eventos elementales ii) hallar la probabilidad de que el equipo gane una vez por lo menos. T

(W,T)

(L,T)

(T,T)

(W,L)

(L,L)

(T,L)

(W,W)

(L,W)

(T,W)

L W

W

L

T

S = {(W,W), (L,W), (T,W), (W,L) (L,L) (T,L), (W,T), (L,T), (T,T)} Los Eventos Elementales son: S = {(W,W), (L,L), (T,T)} S1 = gane al menos una vez S1 = {(W,W), (L,W) (T,W), (W,L), (W,T)} P(S1) = P(w).P(w) + P(L) x P(w) + P(T).P(W) + P(w).P(L) + P(W).P(T) P(S1) = (0.5)(0.5) + (0.3)(0.5) + (0.2)(0.5) + (0.5)(0.3) + (0.5)(0.2) P(S1) =

29.

Se lanzan 4 monedas balanceadas. Hallar la probabilidad de obtener 2 caras o tres caras. S = {(cccc), (c,s,c,c) ..... (s,s,s,s)} => n(s) = 24 = 16 A: obtener 2 caras o 3 caras P(A) = P(2 caras) + P(3 caras) P(A) = C

4 2

n( s )



4 3

4! 2! 2!

4! 1! 2!

C   ns 16 16

=