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Muelles o resortes Son elementos de máquinas que sometidos a carga varían su forma entre límites más o menos amplios, siempre que estas cargas no los expongan a solicitaciones superiores a los límites de elasticidad del material con el cual están construidos, produciendo su destrucción. Según el tipo de muelle, la energía de la carga que soporta el mismo, se transforma total o parcialmente en trabajo de deformación y de rozamiento, o solo en energía de deformación del resorte, con lo que se evita total o parcialmente la fuerza de choque sobre los apoyos o se logra almacenar en él energía potencial. Se utilizan como uniones de máquinas a sus bases para disminuir sus trepidaciones, para almacenar energía para el accionamiento de dispositivos, para suspensión de diferentes partes de vehículos para absorción de impactos, etc.

Existen diferentes tipos de muelles, estando clasificados por su forma geométrica: muelles de hojas elásticas, de plato, helicoidales o de barras de torsión, etc., o por su forma de trabajo: tracción, compresión, flexión, torsión. Pueden ser de sección rectangular, cuadrada, circular o de formas especiales. Almacenaje de energía por los resortes Si se designa, según se muestra en la figura (Fig.3.54), por f la desviación, o sea una medida de la traslación (Fig.3.54a), del giro (Fig.3.54b), o del alargamiento o acortamiento (Fig.3.54c) por flexión, torsión, tracción o compresión respectivamente del muelle, bajo la acción de una fuerza F, la característica de un muelle sin rozamiento, en el campo de las deformaciones elásticas (ley de Hooke) es una recta o una curva.. Es una recta si f crece proporcionalmente con F, como por ejemplo en los muelles espirales y de ballesta sin rozamiento. Si por el contrario, a medida que aumenta la deformación del muelle, éste se hace más rígido, entonces la línea característica se va inclinando cada vez más al ir aumentando la carga, o sea que se va curvando (amortiguación progresiva). En este caso, la pendiente de la tangente a la línea característica es una medida de la fuerza unitaria del muelle (Fig.3.55). El valor del trabajo absorbido por el muelle de características rectilínea (recta 1 de la figura Fig.3.55) es: (3.121) Siendo la tangente del ángulo α1 que forman las direcciones de la fuerza F y la deformación f una constante: (3.122)

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El valor de tgα1 representa la dureza del muelle y se designa con la letra c midiéndose en kg/cm o en N/cm. Para un muelle en general, de características rectilíneas o no, (curva 2 de la figura Fig.3.55) es: (3.123) Para el muelle de características elásticas se puede escribir:

(3.124) Estando T en kgcm oNm, correspondiente al área rayada del triángulo de la figura (Fig.3.55). Cálculo de muelles Muelles de tracción y compresión Considerando un resorte de sección constante A y de longitud l, medidos en cm2 y en cm respectivamente. Si se designa con ±Δl = f el alargamiento o acortamiento del resorte debido a la carga F que actúa en la dirección del eje del muelle (Fig.3.55 c). Si es σ la tensión de tracción o compresión y E el modulo de elasticidad del material (para el acero es E = 2,1.106 kg/cm2 = 205,8 Gpa) , ambos en kg/cm2 o N/m2, en el campo de las deformaciones elásticas se verifica que el alargamiento o acortamiento unitario es:

(3.125) De la (3.125), operando se obtiene la deformación en función de la tensión, del módulo de elasticidad y de la longitud del resorte:

(3.126) Si es:

F = σ.A (3.127) Luego el trabajo total de deformación dado por la expresión (3.124) en la que se reemplazan los valores de F y f dados por las expresiones (3.126) y (3.126) respectivamente será:

(3.128) Para su cálculo debe tenerse en cuenta que la máxima tensión de tracción o compresión que en los muelles tenga lugar no debe sobrepasar las tensiones

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admisibles; es decir que debe verificarse: a) σmax ≤ σ tracción admisible b) σmax ≤ σcompresión admisible

(3.129)

Además si el volumen del muelle es: V = A.l

(3.130)

Se tendrá que para los muelles trabajando a tracción y compresión, la energía absorbida en el proceso total de deformación, o sea el trabajo elástico, valdrá:

(3.131) Muelles de anillos elásticos: es un ejemplo de muelle que trabaja a la tracción y compresión (Fig.3.56). Consiste en una serie de anillos concéntricos de secciones cónicas unas interiores y otras exteriores, superpuestos unos sobre otros, con los de diámetro menor introducidos dentro de los de diámetro mayor. Los internos trabajan a la compresión y los externos a la tracción, existiendo además, entre las superficies en contacto rozamiento. Las tensiones a las que están sometidos los anillos están dadas por las siguientes expresiones: a) Para los anillos externos (3.132) b) Para los anillos internos

(3.133) La deformación de los anillos es: (3.134) El volumen del resorte es:

V = 2π (ne re Ae + ni ri Ai)

(3.135)

Siendo en la (3.132), (3.133) y (3.134) Ae y Ai las áreas de las secciones de cada anillo externo e interno respectivamente; re y ri los radios desde el centro de gravedad de cada uno de los anillos externo e interno respectivamente; ne el número de anillos externos y ni el número de anillos internos; z el número de

superficies cónicas en contacto; β el ángulo que forma el eje del resorte con la cara cónica de un anillo; μ = tgϕ el coeficiente de rozamiento. Por lo general , para anillos de acero, es μ ≈ 0,16, debiendo verificarse β > ϕ.

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Muelles de plato (de flexión) Los muelles de plato, también llamados Belleville, son arandelas de forma cónica, que cuando se cargan axialmente trabajan a la flexión (Fig.3.57). Se utilizan cuando hay que absorber grandes cargas y ser pequeño el espacio disponible para el recorrido del resorte. Varios de estos discos pueden superponerse simplemente formando paquetes o combinarse para formar columnas (Fig.3.58). La tensión admisible que pueden soportar es un 75% de la tensión de bloque, siendo esta última la que comprime el plato hasta dejarlo horizontal (plano). Se pueden utilizar, con mucha aproximación, las ecuaciones para el cálculo a la flexión de una placa anular, para los valores prácticos siguientes: 4º ≤ α ≤ 7º (3.136) siendo el valor óptimo:

αopt = 6,5º

(3.137)

(3.138) Si es < 0,03 existe el peligro de doblado y para > 0,06 no se puede aplicar el cálculo como placa anular. Los valores de la tensión admisible σ0 y de la deformación f del muelle están dados por expresiones que contienen factores obtenidos experimentalmente en función de la relación

, siendo las mismas las siguientes: (3.139)

y para

, es: (3.140)

El trabajo de deformación T absorbido por el resorte, para la tensión σ de trabajo a la cual está sometido el plato, está dado por la expresión: (3.141) La máxima deformación experimentada por el plato al ser sometido a una carga que produce la tensión de σbloque es la altura h0 y está dada por la expresión

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siguiente:

(3.142)

Los factores k1, k2 y k3 están diagramados para longitudes dadas en milímetros, según se muestra en la figura (Fig.3.59). Muelles de flexión de ballesta rectos Son utilizados por los general en vehículos, denominados comúnmente elásticos, formando paquetes de hojas o ballesta, superpuestas unas encimas de las otras. Pueden ser de forma rectangular, trapecial o triangular. El triangular constituye un sólido de igual resistencia a la flexión de altura h constante, siendo el momento de inercia y su sección resistente el de la sección empotrada. Se logra la flexión constante obteniendo de esta forma el máximo aprovechamiento del material. La línea elástica en este caso corresponde aproximadamente a un arco de círculo. Analizando la figura (Fig.3.60), si actúa la fuerza F en el extremo del muelle, a la distancia l, y siendo el momento de inercia de la sección empotrada el dado por la expresión: (3.143) y su sección resistente: (3.144)

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El momento flector producido será: (3.145) Siendo la fuerza F : (3.146) Y la deformación: (3.147) Reemplazando en la (3.147) el valor de J dado por la (3.143) y el de F dado por la (3.146) resulta para f el valor: (3.148) Haciendo σb = σbmax ≤ σbadm el trabajo que puede absorber el muelle triangular es:

(3.149) Por ser el volumen del muelle: (3.150) la (3.149) resulta: (3.151) Los muelles triangulares de una sola hoja resultarían muy anchos para su aplicación práctica, por lo que generalmente se lo divide en varias fajas longitudinales (Fig.3.61) las que superpuestas de a pares una sobre otras dan un muelle de ballesta triangular compuesto, obteniéndose así un sólido de igual resistencia a la flexión, el cual tiene igual resistencia y capacidad que el muelle triangular sencillo de ancho B = n.b, siendo n el número de hojas. Se supone que no hay rozamiento entre las hojas, condición que nunca se cumple en la práctica, por más lubricadas que estén las superficies. Son de aplicación las mismas expresiones, siendo el ancho de cálculo en este caso n.b. Muelles de torsión Los resorte que trabajan a la torsión pueden ser resortes de barra recta y resortes helicoidales de secciones cuadradas, rectangulares o cilíndricas.

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a) Resorte a torsión de barra cilíndrica recta.: consiste en una barra que es sometida a un par de fuerzas perpendiculares a su eje que producen un momento torsor igual a: Mt = F.r

(3.152)

Por la acción de este par las dos secciones paralelas perpendiculares al eje separadas una distancia l giran, desplazándose un ángulo ω en el radio r. Además la línea espiral originada por el giro de la periferia forma con la generatriz primitiva del cilindro el ángulo de deslizamiento γ. Si se analiza la figura (Fig.3.62) se puede observar que la deformación f que experimenta la sección en la periferia, es decir, a la distancia r, está dada por el desplazamiento desde el punto A hasta el punto B, siendo: f = arco A.B

(3.153)

f = r.ω = r.ω ≅ l.γ

(3.154)

Por otra parte es:

de donde: (3.155) Designando con G el módulo de elasticidad a la torsión, cuyo valor para el acero es 8.105 kg/cm2, el deslizamiento será: (3.156) Reemplazando en la (3.154) el valor de γ dado por la (3.155), la deformación es: (3.157) La expresión del momento torsor en función de la sección resistente y el esfuerzo unitario de corte es: Mt = W.τ

(3.158)

Estando la sección resistente polar para la sección circular dada por: (3.159) Igualando los segundos miembros de las expresiones (3.152) y (3.158) que dan el momento torsor, reemplazando además en la (3.158) el valor de la sección resistente polar dada por la (3.159), se obtiene:

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(3.160) De la (3.160) se obtiene: (3.161) El trabajo de deformación, según la (3.124) es:

(3.162) Como el volumen del cilindro es: (3.163) El trabajo absorbido por la barra, con τ = τmax ≤ τadm según la (3.162) es:

(3.164)

b) Muelles helicoidales de sección circular: el resorte helicoidal está formado por el arrollamiento de un alambre o varilla de sección uniforme, alrededor de un cilindro. El eje del alambre forma una hélice, manteniendo una distancia constante entre las espiras sucesivas. Si la distancia entre espiras es pequeña, se dice que es un resorte de espiras cerradas, y considerando la tensión a la que está expuesto el material del mismo, puede aplicarse la teoría de la torsión. Por lo tanto, considerando al resorte una sucesión de muelles de torsión unidos en el espacio (Fig.3.63a), de diámetro del alambre d, diámetro de una espira D y radio de la misma R y sometido a una fuerza F, para que exista equilibrio debe ser igualada esta fuerza externa por las fuerzas internas del material. Por ser la pendiente del muelle pequeña, se puede suponer sin cometer mucho error, que la fuerza F actúa perpendicular a la línea helicoidal (Fig.3.63b), y calculando por torsión con un radio R de la espira, siendo W la sección resistente polar dada por la (3.159), se tiene: Mt = F.R = W. τ

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(3.165) Despejando τ de la (3.165) y reemplazando W según la (3.159) se tiene: (3.166) Para obtener la desviación f se recurre a la figura (Fig.3.64) en la que se considera un elemento diferencial dL del muelle, el cual es igual a: dL = R.dα (3.167) Siendo: R = OS (3.168) el radio de la espira del resorte. Bajo la acción del momento Mt el radio OA de la sección transversal de la barra girará el ángulo dθ hasta ocupar la posición OB describiendo el arco CD dado por la expresión: Arco CD = OC. dθ (3.169) El punto de aplicación de la fuerza F descenderá la distancia CE. Por tratarse de un elemento diferencial se puede suponer que el arco CD se confunde con la secante CD, resultando: arco OC.dθ = secante De la (3.170) se obtiene:

(3.170)

CE = OC.dθ .cosβ = OC. .dθ Operando en la (3.171) resulta:

(3.171) CE = R. .dθ

(3.172)

Siendo CE la deformación del elemento diferencial dL del resorte y dθ el ángulo de torsión que corresponde al giro de la sección del elemento dL por efecto de la fuerza F. A los efectos de obtener el valor de dθ en función del momento torsor Mt, de la longitud dL del elemento de resorte considerado, del diámetro d del alambre y del módulo G de elasticidad a la torsión del material, se observa en la figura (Fig.3.65) que es: (3.173) De donde resulta:

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(3.174) Siendo dγ la deformación que sufre a lo largo de su generatriz el elemento dL, que en función de el esfuerzo unitario de corte τ y el módulo G de elasticidad a la torsión es igual a: (3.175) Igualando los segundos miembros de la (3.174) y de la (3.175) por tener iguales los primeros miembro, se obtiene: (3.176) Despejando τ de la (3.176) es: (3.177) Por otra parte es: (3.178) Siendo W la sección resistente polar, de donde reemplazando su valor dado por la (3.159) en la (3.178), resulta: (3.179) Reemplazando en la (3.179) el valor de τ dado por la (3.177) obtenemos:

(3.180) Despejando de la (3.180) dθ se obtiene:

(3.181) Pero en la (3.181) es:

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(3.182) Donde es Ip el momento de inercia polar de la sección del alambre. Reemplazando en la (3.181) π.d4/32 por Ip se obtiene:

(3.183) Reemplazando en la (3.183) el valor de Mt y de dL dados por las (3.165) y (3.167) respectivamente y en la (3.172) el valor de dθ dado por la (3.183), obtenemos:

(3.184) Como se dijo, CE es la deformación para la longitud dL del resorte. La deformación f para el largo total 2π.n del resorte, siendo n el número de espiras del resorte, se obtiene integrando CE para α variando desde 0 hasta 2π.n:

(3.185) Integrando la (3.185) se obtiene:

(3.186) Y reemplazando Ip por su valor según la (3.182) se obtiene finalmente, para la deformación total f del resorte:

(3.187) El trabajo de deformación absorbido por el resorte será:

(3.188)

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Como el volumen V del resorte es:

(3.189) Además, como debe ser para la mayor solicitación a la que está expuesto el resorte:

τ = τmax ≤ τadm

(3.190)

La (3.188) resulta: (3.191) La (3.191) permite calcular el trabajo de deformación, no influyendo la curvatura de la barra. Deben tenerse en cuenta la tensión cortante en los puntos de la sección más próxima al eje del muelle, la cual está dada por la expresión:

(3.192) El factor k’ depende de la relación D/d y puede obtenerse de diagramas similares al de la figura (Fig.3.66), los cuales se construyen con datos obtenidos experimentalmente. Si se comparan los trabajos de deformación T de los distintos muelles, se observa que los de tracción y compresión tienen la facultad de absorber el mayor con aprovechamiento del material del muelle.

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, lo que permite un mayor

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