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• Román Tito

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MUCHA SUERTE Páginas: desde la 84 a la 86 8) ¿A qué tasa efectiva equivale una tasa nominal de 15% capitalizable semestralmente? Solución: i= j = 0,15 f=2 f



j 1  i   1  f 

  

0,15   1 i   1  2  

2

1  i  1,155625 i  1,155625  1 i  0,155625 i  15,56 % Una tasa nominal de 15% anual capitalizable trimestralmente es equivalente a la tasa efectiva de 15,56% puesto que producen el mismo monto en tiempos iguales.

9) ¿A que tasa anual capitalizable trimestralmente equivale una tasa efectiva de 19,2519%? Solución: j= f=4 i = 0,192519

j 1  i   1  f 



f



  

j 1  0,192519   1   4  

j 1,192519   1   4 

4

4

4

j 4

1,192519  1 

1,045  1 

j 4

(0,045)4  j j  0,18 j  18 %

10) Hallar la tasa nominal convertible trimestralmente equivalente al 5% convertible semestralmente. Solución: j= f=4 i = 0,05 m=2



i   1  m  

m

0,05   1  2  

f



j   1  f  2

  

12



j    1  12  

Simplificando exponentes tenemos:



j  (1  0,025)   1   12   j   1,025   1   12   6

1,025  1 

6

j 12

1,00412392  1 

j 12

(0,00412392)12  j j  0,049487 j  4,949 %

6

11) ¿A qué tasa anual capitalizable trimestralmente se debe colocar un capital de $1000 para que produzca un monto de $5500 en 6 años 9 meses? Solución:

C = 40000 M = 40000+3/4(40000) = 70000 f=4 n = 5 (4) = 20 i = j/4

M  C (1  i ) n j  70000  40000 1   4 

20

70000  j   1  40000  4

20

j  1,75   1   4 

20

1,75  1 

20

j 4

1,0283759  1 

j 4

 0,0283759 4 

j

j  0,113504 j  11,3504% Es la tasa nominal anual convertible

Trimestralmente

12) ¿Cuántos años se necesitarán para que $1500 aumenten al doble al 6% convertible trimestralmente? Solución: C = 1500 M = 3000 f=4 n = # años · frecuencia i = 0,06 /4 = 0,015

M  C (1  i ) n 3000  1500(1  0,015) n 3000  (1,015) n 1500

2  1,015 n log 2  n · log 1,015

n

log 2 log 1,015

n  46,56 Trimestres

número años · 4  46,56 número de años  11,64

13) ¿Cuántos años se necesitarán para que el monto de $4000 sea de $7500 al 4,6% convertible trimestralmente? Solución: C = 4000 M = 7500 f=4 n = # años · frecuencia i = 0,046 /4 = 0,0115

M  C (1  i ) n 7500  4000(1  0,0115) n 7500  (1,0115) n 4000

1,875  1,0115 n log 1,875  n · log 1,0115

n

log 1,875 log 1,0115

n  54,98 Trimestres

número años · 4  54,98 número de años  13,74

14) Hallar el valor presente de $2000 pagaderos en 8,5 años al 5% convertible semestralmente. Solución: M = 2000 f=2 n = 8,5 (2) = 17 i = 0,05/2 = 0,025

M  C (1  i ) n C

M (1  i ) n

C

2000 (1  0,025)17

o

C  M (1  i ) n

C  1314,39 $

15) Hallar el valor presente de $4000 pagaderos en 5 años 4 meses al 6% convertible trimestralmente. (Por la forma matemática y comercial) Solución:

Por la forma matemática M = 4000 f=4 i = 0,06/4 = 0,015

5

4 1 16  5  12 3 3

t = 5 años 4 meses =

n=

64  16    ·4  3  3 C

M (1  i ) n

4000

C

(1  0,015)

64 3

C  2911,51$

Por la forma práctica o comercial M = 4000 f=4 i = 0,06/4 = 0,015

5

4 1 16  5  12 3 3

t = 5 años 4 meses =

n=

64 1  16   21    ·4  3 3  3

entonces n=21 y una

fracción 1/3

M  C (1  i ) n (1  it ) C C

M

1  i  7 (1  it ) 4000 1  (1  0,015) 21  1  0,015 ·  3 

C  2911,43 $

16) Al nacer su hijo, un padre desea invertir una cantidad tal, que acumulada al 3,5% convertible semestralmente importe $6000 cuándo el hijo tenga 21 años. ¿Cuánto tendrá que invertir? Solución: M = 6000 f=2 n = 21 (2) = 42 i = 0,035/2 = 0,0175

M  C (1  i ) n C

M (1  i ) n

C

6000 (1  0,0175) 42

o

C  M (1  i ) n

C  2895,38 $

17) Un documento suscrito el día de hoy por un valor de $95000 a 5 años de plazo con una tasa de interés del 17% anual capitalizable semestralmente; se vende 2 años antes de la fecha de vencimiento, considerando una tasa de 16% anual capitalizable semestralmente, calcular el valor de la venta del documento en esa fecha. Solución:

Trazamos un gráfico de tiempo y valores

0

1

2

3

C=

4 5 M=

Primero se calcula monto C = 95000 f=2 n = 5(2) = 10 i = 0,17/2 = 0,085

M  C (1  i ) n M  95000(1  0,085)10 M  214793,43 $

Luego se calcula el valor actual en la fecha de negociación M = 214793,43 f=2 i = 0,16/2 = 0,08 n = 2(2) = 4

C

M (1  i ) n

C

214793,43 (1  0,08) 4

C  157879,58$

18) Un documento de $10000 suscrita el día de hoy a 5 años y 6 meses plazo, es negociado luego de transcurrido 2 años y 3 meses de la fecha de suscripción, con una tasa de interés de 18% anual capitalizable trimestralmente, calcular su valor actual a la fecha de negociación Solución:

M = 10000 f=4 i = 0,18/4 = 0,045 t = 5 años y 6 meses – 2 años y 3 meses = 3 años 3 meses

3

3 1 13  3  12 4 4 años

n=

13 4

(4) = 13

C

M (1  i ) n

C

10000 (1  0,045)13

C  5642,72$

19) Calcular el descuento compuesto matemático y el descuento compuesto bancario de un documento cuyo monto al final de 7 años es $7000, si fue descontado 3 años antes de la fecha de su vencimiento con una tasa de interés de 14% anual capitalizable semestralmente Solución:

Descuento compuesto matemático M = 7000 f=2 n = 3(2)= 6 i = 0,14/2 = 0,07



Dc  M 1  1  i 

n





Dc  7000 1  1  0,07  Dc  7000(0,333658)

6



Dc  2335,60 $

Descuento compuesto bancario: M = 7000 f=2 n = 3(2)=6 d = 0,14/2 = 0,07



Dbc  M 1  1  d 

n





Dbc  7000 1  1  0,07 

6



Dbc  90000(0,35301) Dbc  2471,07 $

Páginas 101

7) Suponiendo una tasa efectiva de 4%, ¿con qué pagos iguales X al final de un año y al final de 3 años es posible reemplazar las siguientes obligaciones; $2000 con vencimiento en 3 años sin intereses; y $4000 con intereses al 4% convertible semestralmente con vencimiento en 6 años? Utilizar la fecha focal a los 3 años. Solución: Primero hallaremos el monto de la segunda obligación C = 4000 f=2 i = 0,04/2 = 0,02 n = 6(2) =12

M  C (1  i ) n

M  4000(1  0,02)12 M  5072,97$

Debe 0 Paga

2000 1

2

5072,97 3

x

4

5

6

x

La fecha focal que utilizaremos es a los 3 años f=1 i = 0,04 Ecuación de valor Paga = Debe

x  x(1  0,04) 2  2000 

5072,97

1  0,04 3

x  1,0816 x  2000  4509,85 2,0816x = 6509,85

x

6509,85 2,0816

x  3127,33 $ Los pagos iguales son de 3127,33 $ en 1 y 3 años

8) ¿Cuál será el importe de cada uno de los 4 pagos anuales que tendrán que hacerse para liquidar una deuda de $20000 con vencimiento el día de hoy, suponiendo un rendimiento del 4% convertible trimestralmente, si el primer pago se hace de inmediato Solución:

Paga x

Debe 2000

x

x

1

x

2

3

f=4 i = 0,04/4 = 0,01 Ecuación:

x

x

1  0,01

1



x

1  0,01

2



x

1  0,01 3

 2000

x  0,99 x  0,9803x  0,9759 x  2000 3,94099 x  2000 x  507,49$ Se debe realizar 4 pagos de 507,49 para liquidar la deuda.

9) Una empresa tiene las siguientes deudas: $10000 a 3 años de plazo con una tasa de 18% capitalizable semestralmente; $50000 a 4 años y 6 meses con una tasa de 12% efectiva; $30000 a 6 años 9 meses con una tasa de 15% anual capitalizable trimestralmente; la empresa desea reemplazar sus deudas por un solo pago en un tiempo equivalente para los tres vencimientos. Calcular la fecha de pago y el valor de pago único, considerando una tasa de interés de 14% anual capitalizable semestralmente. Solución: Primero se debe hallar los montos de las tres deudas C = 10000 f=2 n = 3(2) = 6 i = 0,18/2 = 0,09

M  C (1  i ) n M  10000(1  0,09) 6 M  16771$ C = 50000

f=1 n = 4,5 i = 0,12

M  C (1  i ) n M  50000(1  0,12) 4,5 M  83262,82$ C = 30000 f=4 n = 6(4) + 3 = 27 i = 0,15/4 = 0,0375

M  C (1  i ) n M  30000(1  0,0375) 27 M  81058,79$

Te 

M 1t1  M 2 t 2  M 3 t 3  . . . M1  M 2  M 3  . . .

Te 

16771(3)  83262,82(4,5)  81058,79(6,75) 16771  83262,82  81058,79

Te 

973780,52 181092,61

Te  5,377 años

1 año

360 días

0,377

X = 0,377(360) = 136 días

Te = 5 años 4 meses 16 días