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bee76985_ch11.qxd 10/6/09 6:55 PM Página 610

PROBLEMA RESUELTO 11.2 Una pelota se lanza con una velocidad de 10 m/s dirigida verticalmente hacia arriba desde una ventana ubicada a 20 m sobre el suelo. Si se sabe que la aceleración de la pelota es constante e igual a 9.81 m/s2 hacia abajo, determine a) la velocidad v y la elevación y de la pelota sobre el suelo en cualquier tiempo t, b) la elevación más alta que alcanza la pelota y el valor correspondiente de t, c) el tiempo en el que la pelota golpea el suelo y la velocidad correspondiente. Dibuje las curvas v-t y y-t.

SOLUCIÓN y v0 = +10 m/s a = – 9.81 m/s2

a) Velocidad y elevación. El eje y que mide la coordenada de la posición (o elevación) se elige con su origen O sobre el suelo y su sentido positivo hacia arriba. El valor de la aceleración y los valores iniciales de v y y son como se indica. Al sustituir a en a
dv
dt y observar que en t
0, v0
10 m/s, se tiene dv 
a
9.81 m/s2 dt

y0 = +20 m



v

v0
10

O

 9.81 dt

dv


t

0


[9.81t]t0 v  10
9.81t [v]v10

v(m/s) 10

v
10  9.81t Curva velocidad-tiempo

Pe

nd

ie

0

nt

e

1.019

=

a

=

3.28 –9

.8

1

Al sustituir v en v
dy
dt y observar que en t
0, y0
20 m, se tiene dy 
v
10  9.81t dt

t(s)



m

/s 2

y

y0
20

–22.2

(1)

dy


 (10  9.81t) dt t

0

y [y]20

m

/s


[10t  4.905t2]t0 y  20
10t  4.905t2 y
20  10t  4.905t2

(2)

v0

=

10

y(m)

ien nd

10  9.81t
0

te =

Pe

dien

25.1

Pen

te

=

b) Máxima elevación. Cuando la pelota alcanza su máxima elevación, se tiene v
0. Al sustituir en (1), se obtiene Al sustituir t
1.019 s en (2), se tiene

v=

20

–22

y
20  10(1.019)  4.905(1.019)2

.2 m

Curva posición-tiempo

/s

0

1.019

t
1.019 s

3.28

t(s)

y
25.1 m

c) La pelota golpea el suelo. Cuando la pelota golpea el suelo, se tiene y
0. Al sustituir en (2), se obtiene 20  10t  4.905t2
0

t
1.243 s

y

t
3.28 s

Sólo la raíz t
3.28 s corresponde a un tiempo después de que el movimiento se ha iniciado. Al considerar este valor de t en (1), se tiene v
10  9.81(3.28)
22.2 m/s

610

v
22.2 m/sw

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PROBLEMA RESUELTO 11.3

Émbolo

El mecanismo de freno que se usa para reducir el retroceso en ciertos tipos de cañones consiste esencialmente en un émbolo unido a un cañón que se mueve en un cilindro fijo lleno de aceite. Cuando el cañón retrocede con una velocidad inicial v0, el émbolo se mueve y el aceite es forzado a través de los orificios en el émbolo, provocando que este último y el cañón se desaceleren a una razón proporcional a su velocidad; esto es, a
kv. Exprese a) v en términos de t, b) x en términos de t, c) v en términos de x. Dibuje las curvas del movimiento correspondiente.

Aceite

SOLUCIÓN a) v términos de t. Al sustituir kv por a en la expresión fundamental que define a la aceleración, a
dv
dt, se escribe

v v0

dv kv
 dt

O

t



dv 
k dt v v ln 
kt v0

v

v0

dv 
k v

 dt t

0

v
v0 ekt

b) x en términos de t. Al sustituir la expresión que acaba de obtenerse para v en v
dx
dt, se escribe

x

dx v0 ekt
 dt

v0 k



x

0

O

t

v v0

dx
v0



t

e
kt dt

0

v0
kt t v0
kt x
[e ]0
(e  1) k k v0 x
(1  e
kt) k c) v en términos de x. dv/dx, se escribe

Mediante la sustitución kv para a en a
v dv kv
v dx

O

v0



x

k

dv
k dx v

v0

dv
k



x

0

dx

v  v0
kx

v
v0  kx

Comprobación. La parte c) podría haberse resuelto al eliminar t de las respuestas obtenidas para las partes a) y b). Este método alternativo puede utilizarse como una comprobación. De la parte a) se obtiene e
kt
v
v0; al sustituir en la respuesta de la parte b), se obtiene v0 v v x
0 (1  e
kt)
 1   k k v0





v
v0  kx

(comprobación)

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